نقاط $X$، $Y$، $Z$، $W$ به همین ترتیب روی یک خط قرار دارند. اگر $\overline{XW} = 26$، $\overline{XY} = 13$ و $\overline{ZW} = 4$ باشد، طول $\overline{YZ}$ کدام است؟

$9$ — **پاسخ درست:** چون نقاط به همین ترتیب روی یک خطاند، کل پارهخط از سه تکه ساخته شده: $\overline{XW} = \overline{XY} + \overline{YZ} + \overline{ZW}$. با جایگذاری: $26 = 13 + \overline{YZ} + 4 \Rightarrow \overline{YZ} = 26 - 17 = 9$. **رد گزینههای دیگر:** گزینهٔ $26$ از فراموشکردنِ کاملِ تفریقِ دو تکهٔ دیگر (تکرارِ مستقیمِ کل) به دست میآید. گزینهٔ $17$ از جمعکردنِ اشتباهِ دو تکهٔ دادهشده بهجایِ تفریقشان از کل ناشی میشود. گزینهٔ $10$ یک واحد با جوابِ درست فاصله دارد. **تلهٔ تستی:** رابطهٔ جمعیِ پارهخطها فقط وقتی درست است که نقطهٔ میانی واقعاً **بینِ** دو نقطهٔ دیگر باشد؛ پیش از نوشتنِ معادله، همیشه اول ترتیبِ نقاط را روی خط مشخص کن (دقیقاً همان ترتیبی که در صورتِ سؤال گفته شده)، وگرنه رابطهٔ جمع/تفریق را برعکس مینویسی.

نقاط $X$، $Y$، $Z$، $W$ به همین ترتیب روی یک خط قرار دارند. اگر $\overline{XW} = 25$، $\overline{XY} = 14$ و $\overline{ZW} = 6$ باشد، طول $\overline{YZ}$ کدام است؟

$5$ — **پاسخ درست:** چون نقاط به همین ترتیب روی یک خطاند، کل پارهخط از سه تکه ساخته شده: $\overline{XW} = \overline{XY} + \overline{YZ} + \overline{ZW}$. با جایگذاری: $25 = 14 + \overline{YZ} + 6 \Rightarrow \overline{YZ} = 25 - 20 = 5$. **رد گزینههای دیگر:** گزینهٔ $25$ از فراموشکردنِ کاملِ تفریقِ دو تکهٔ دیگر (تکرارِ مستقیمِ کل) به دست میآید. گزینهٔ $20$ از جمعکردنِ اشتباهِ دو تکهٔ دادهشده بهجایِ تفریقشان از کل ناشی میشود. گزینهٔ $6$ یک واحد با جوابِ درست فاصله دارد. **تلهٔ تستی:** رابطهٔ جمعیِ پارهخطها فقط وقتی درست است که نقطهٔ میانی واقعاً **بینِ** دو نقطهٔ دیگر باشد؛ پیش از نوشتنِ معادله، همیشه اول ترتیبِ نقاط را روی خط مشخص کن (دقیقاً همان ترتیبی که در صورتِ سؤال گفته شده)، وگرنه رابطهٔ جمع/تفریق را برعکس مینویسی.

نقاط $X$، $Y$، $Z$، $W$ به همین ترتیب روی یک خط قرار دارند. اگر $\overline{XW} = 28$، $\overline{XY} = 12$ و $\overline{ZW} = 9$ باشد، طول $\overline{YZ}$ کدام است؟

$7$ — **پاسخ درست:** چون نقاط به همین ترتیب روی یک خطاند، کل پارهخط از سه تکه ساخته شده: $\overline{XW} = \overline{XY} + \overline{YZ} + \overline{ZW}$. با جایگذاری: $28 = 12 + \overline{YZ} + 9 \Rightarrow \overline{YZ} = 28 - 21 = 7$. **رد گزینههای دیگر:** گزینهٔ $28$ از فراموشکردنِ کاملِ تفریقِ دو تکهٔ دیگر (تکرارِ مستقیمِ کل) به دست میآید. گزینهٔ $21$ از جمعکردنِ اشتباهِ دو تکهٔ دادهشده بهجایِ تفریقشان از کل ناشی میشود. گزینهٔ $8$ یک واحد با جوابِ درست فاصله دارد. **تلهٔ تستی:** رابطهٔ جمعیِ پارهخطها فقط وقتی درست است که نقطهٔ میانی واقعاً **بینِ** دو نقطهٔ دیگر باشد؛ پیش از نوشتنِ معادله، همیشه اول ترتیبِ نقاط را روی خط مشخص کن (دقیقاً همان ترتیبی که در صورتِ سؤال گفته شده)، وگرنه رابطهٔ جمع/تفریق را برعکس مینویسی.

نقاط $X$، $Y$، $Z$، $W$ به همین ترتیب روی یک خط قرار دارند. اگر $\overline{XW} = 33$، $\overline{XY} = 8$ و $\overline{ZW} = 11$ باشد، طول $\overline{YZ}$ کدام است؟

$14$ — **پاسخ درست:** چون نقاط به همین ترتیب روی یک خطاند، کل پارهخط از سه تکه ساخته شده: $\overline{XW} = \overline{XY} + \overline{YZ} + \overline{ZW}$. با جایگذاری: $33 = 8 + \overline{YZ} + 11 \Rightarrow \overline{YZ} = 33 - 19 = 14$. **رد گزینههای دیگر:** گزینهٔ $33$ از فراموشکردنِ کاملِ تفریقِ دو تکهٔ دیگر (تکرارِ مستقیمِ کل) به دست میآید. گزینهٔ $19$ از جمعکردنِ اشتباهِ دو تکهٔ دادهشده بهجایِ تفریقشان از کل ناشی میشود. گزینهٔ $15$ یک واحد با جوابِ درست فاصله دارد. **تلهٔ تستی:** رابطهٔ جمعیِ پارهخطها فقط وقتی درست است که نقطهٔ میانی واقعاً **بینِ** دو نقطهٔ دیگر باشد؛ پیش از نوشتنِ معادله، همیشه اول ترتیبِ نقاط را روی خط مشخص کن (دقیقاً همان ترتیبی که در صورتِ سؤال گفته شده)، وگرنه رابطهٔ جمع/تفریق را برعکس مینویسی.

نقاط $X$، $Y$، $Z$، $W$ به همین ترتیب روی یک خط قرار دارند. اگر $\overline{XW} = 23$، $\overline{XY} = 5$ و $\overline{ZW} = 3$ باشد، طول $\overline{YZ}$ کدام است؟

$15$ — **پاسخ درست:** چون نقاط به همین ترتیب روی یک خطاند، کل پارهخط از سه تکه ساخته شده: $\overline{XW} = \overline{XY} + \overline{YZ} + \overline{ZW}$. با جایگذاری: $23 = 5 + \overline{YZ} + 3 \Rightarrow \overline{YZ} = 23 - 8 = 15$. **رد گزینههای دیگر:** گزینهٔ $23$ از فراموشکردنِ کاملِ تفریقِ دو تکهٔ دیگر (تکرارِ مستقیمِ کل) به دست میآید. گزینهٔ $8$ از جمعکردنِ اشتباهِ دو تکهٔ دادهشده بهجایِ تفریقشان از کل ناشی میشود. گزینهٔ $16$ یک واحد با جوابِ درست فاصله دارد. **تلهٔ تستی:** رابطهٔ جمعیِ پارهخطها فقط وقتی درست است که نقطهٔ میانی واقعاً **بینِ** دو نقطهٔ دیگر باشد؛ پیش از نوشتنِ معادله، همیشه اول ترتیبِ نقاط را روی خط مشخص کن (دقیقاً همان ترتیبی که در صورتِ سؤال گفته شده)، وگرنه رابطهٔ جمع/تفریق را برعکس مینویسی.

هندسه و استدلال (هفتم) — نمونه سؤال و درسنامهٔ امتحانات

هندسه و استدلال (هفتم)

نقطه، خط، نیم‌خط، پاره‌خط

نقطه: یک مکان مشخص؛ با حروف بزرگ نام می‌گیرد: $A$ ، $B$ ، $C$ .
خط: مسیری که از هر دو طرف تا بی‌نهایت ادامه دارد و ابتدا و انتها ندارد؛ با حروف کوچک: $x$ ، $y$ .
نیم‌خط: از یک نقطه (سرِ نیم‌خط) شروع می‌شود و فقط یک طرف تا بی‌نهایت می‌رود.
پاره‌خط: دو سرِ مشخص دارد و طول‌پذیر است؛ طولِ پاره‌خطِ $AB$ را $\overline{AB}$ می‌نویسیم.

🔑 چرا این قرارداد لازم است؟ چون $AB$ یعنی «خودِ پاره‌خط» ولی $\overline{AB}$ یعنی «اندازهٔ آن». بدون این تفکیک، در شکل‌های شلوغ گیج می‌شوی.

نقطه‌های هم‌خط

اگر $B$ بین $A$ و $C$ باشد:

\boxed{\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}}

و از همین رابطه: $\overline{BC} = \overline{AC} - \overline{AB}$ و $\overline{AB} = \overline{AC} - \overline{BC}$ .

🔑 این رابطه فقط وقتی درست است که $B$ واقعاً بین دو نقطهٔ دیگر باشد. پس اول شکل بکش، بعد رابطه بنویس.

نمونهٔ کامل: نقاط $A$ ، $C$ ، $D$ ، $B$ به همین ترتیب روی یک خط‌اند و $\overline{AB} = 7$ ، $\overline{AC} = 2$ ، $\overline{DB} = 4$ . طول $\overline{CD}$ چند است؟

7 = 2 + \overline{CD} + 4 \Rightarrow \overline{CD} = 1

نامساوی مثلث

اگر سه نقطه هم‌خط نباشند، مثلث می‌سازند؛ مثلثِ $ABC$ را $\triangle ABC$ می‌نویسیم. در هر مثلثی هر سه رابطهٔ زیر برقرارند:

\overline{AB} + \overline{BC} > \overline{AC} \qquad \overline{AB} + \overline{AC} > \overline{BC} \qquad \overline{BC} + \overline{AC} > \overline{AB}

یعنی مجموع هر دو ضلع از ضلع سوم بزرگ‌تر است.

چرا؟ چون رفتن از $A$ مستقیم به $C$ کوتاه‌ترین راه است؛ رفتن از $A$ به $B$ و بعد به $C$ مسیری غیرمستقیم و بلندتر است.

🔑 نامساوی مثلث سه رابطه دارد، نه یکی. در سؤال «آیا چنین مثلثی وجود دارد؟» اگر حتی یکی برقرار نباشد، جواب منفی است. مثلاً با اضلاع ۳ و ۴ و ۱۰: چون $3+4 = 7 < 10$ ، این مثلث وجود ندارد.

🔑 صورتِ فشردهٔ همین قانون: ضلع سوم همیشه بین تفاضل و مجموعِ دو ضلع دیگر است.

وسط پاره‌خط

نقطهٔ $M$ وسطِ $AB$ است اگر $\overline{AM} = \overline{MB}$ ؛ و در این حالت:

\overline{AM} = \overline{MB} = \frac{\overline{AB}}{2} \qquad \text{و} \qquad \overline{AB} = 2\overline{AM}

مثلاً اگر $\overline{AB} = 10$ سانتی‌متر باشد، هر نیمه ۵ سانتی‌متر است.
🔑 مواظب باش برعکسش را ننویسی: $\overline{AM}$ نصفِ $\overline{AB}$ است، نه برعکس.

روابط انتقالی

تساوی و نابرابریِ پاره‌خط‌ها دقیقاً مثل عددها رفتار می‌کنند:

اگر	و	نتیجه
$a = b$	$b = c$	$a = c$
$a = b$	$b < c$	$a < c$
$a = b$	$b > c$	$a > c$

روی شکل، پاره‌خط‌های مساوی را با تیک‌های یکسان علامت می‌زنیم؛ اگر دو جفتِ مساوی داریم، یکی را یک تیک و دیگری را دو تیک.

شمارش پاره‌خط و نیم‌خط

اگر $n$ نقطه روی یک خط باشند:

\text{تعداد پاره‌خط‌ها} = \frac{n(n-1)}{2} \qquad \text{تعداد نیم‌خط‌ها} = 2n

مثلاً با ۵ نقطه $\frac{5\times4}{2} = 10$ پاره‌خط و با ۱۰ نقطه $45$ پاره‌خط داریم.
🔑 اشتباه رایج این است که فقط پاره‌خط‌های کنارِ هم را می‌شمارند. پاره‌خط‌های بلندتر را هم بشمار: با چهار نقطهٔ $A,B,C,D$ شش پاره‌خط داریم، نه سه تا.

نقطه‌های هم‌فاصله روی یک خط

اگر روی یک خط داشته باشیم $\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{CD} = \overline{DE}$ ، می‌توان همهٔ پاره‌خط‌های بلندتر را بر حسبِ یک واحد نوشت:

\overline{AC} = 2\overline{AB} \qquad \overline{AD} = 3\overline{AB} \qquad \overline{AE} = 4\overline{AB} \qquad \overline{BD} = \overline{CE} = 2\overline{AB}

نمونهٔ کامل — دو خط‌کش: دو خط‌کشِ ۲۰ سانتی‌متری را طوری روی هم می‌گذاریم که ۵ سانتی‌متر هم‌پوشانی داشته باشند؛ طول کل چند است؟

20 + 20 - 5 = 35 \text{ سانتی‌متر}

زاویه و نام‌گذاری آن

زاویه از دو نیم‌خط که از یک نقطهٔ مشترک شروع می‌شوند ساخته می‌شود؛ آن نقطه رأس است.

\hat{xOy} = \hat{yOx} = \hat{O} = \hat{O_1} = \hat{1}

وقتی فقط یک زاویه در شکل هست، همان نامِ رأس کافی است؛ وقتی چند زاویه کنار هم‌اند، با شماره از هم جدا می‌شوند.

نوع زاویه	اندازه
تند	بین $0°$ و $90°$
راست	دقیقاً $90°$
باز	بین $90°$ و $180°$
نیم‌صفحه	دقیقاً $180°$
مقعر	بین $180°$ و $360°$

جمع و تفریق زاویه و نیمساز

اگر نیم‌خط $Oz$ بین $Ox$ و $Oy$ باشد:

\hat{xOy} = \hat{xOz} + \hat{zOy} \qquad \hat{xOz} = \hat{xOy} - \hat{zOy}

نیمساز نیم‌خطی است که از رأس شروع می‌شود و زاویه را دقیقاً نصف می‌کند:

\hat{aOx} = \hat{xOb} = \frac{1}{2}\hat{aOb}

مثلاً اگر $\hat{aOb} = 80°$ باشد، هر نیمه $40°$ است.
🔑 هر نیم‌خطی که داخل زاویه باشد نیمساز نیست؛ تا وقتی نگفته‌اند نیمساز است، حق نداری فرضش کنی.

متمم و مکمل

دو زاویه متمم هم‌اند اگر مجموعشان $90°$ باشد: $\hat{A} = 90° - \hat{B}$ .
دو زاویه مکمل هم‌اند اگر مجموعشان $180°$ باشد: $\hat{A} = 180° - \hat{B}$ .

ویژگی	متمم	مکمل
مجموع	$90°$	$180°$
نمونه	$30°$ و $60°$	$110°$ و $70°$
شکلِ هندسی	گوشهٔ راست	یک خط راست

🔑 برای تشخیص: ببین دو زاویه با هم یک گوشهٔ راست می‌سازند (متمم) یا یک خط راست (مکمل). جابه‌جا گرفتنِ این دو، رایج‌ترین خطای امتحان است — متممِ $60°$ برابر $30°$ است، نه $120°$ .

زاویه‌های قائم‌الرأس

وقتی دو خط همدیگر را در نقطهٔ $O$ قطع می‌کنند، چهار زاویه ساخته می‌شود. زاویه‌های روبه‌رو (نه کنارِ هم) قائم‌الرأس‌اند و همیشه با هم مساویاند:

\hat{O_1} = \hat{O_3} \qquad \hat{O_2} = \hat{O_4}

چرا؟ (اثبات کوتاه) چون $\hat{O_1} + \hat{O_2} = 180°$ و $\hat{O_3} + \hat{O_2} = 180°$ ، پس $\hat{O_1} + \hat{O_2} = \hat{O_3} + \hat{O_2}$ و در نتیجه $\hat{O_1} = \hat{O_3}$ . پس این یک نتیجهٔ منطقی است، نه قانونی حفظی.

نمونهٔ کامل: اگر یکی از چهار زاویه $70°$ باشد، بقیه چند درجه‌اند؟ زاویهٔ روبه‌رویش هم $70°$ است و دو زاویهٔ کناری هرکدام $180° - 70° = 110°$ .

🔑 زاویه‌های مجاور (کنارِ هم) لزوماً مساوی نیستند؛ فقط روبه‌رویی‌ها مساوی‌اند.

مثلث و چندضلعی

مجموع زاویه‌های هر مثلث $180°$ است:

\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°

مثلث بر پایهٔ زاویه‌ها سه نوع است: تندزاویه (هر سه زاویه کمتر از $90°$ )، قائم‌الزاویه (یک زاویهٔ $90°$ ) و باززاویه (یک زاویهٔ بیشتر از $90°$ ).
🔑 مثلث نمی‌تواند دو زاویهٔ راست داشته باشد، چون $90°+90° = 180°$ و برای زاویهٔ سوم چیزی نمی‌ماند.

برای هر چندضلعیِ $n$ ضلعی:

\text{مجموع زاویه‌های داخلی} = (n-2) \times 180° \qquad \text{هر زاویهٔ منتظم} = \frac{(n-2) \times 180°}{n}

چرا؟ چون هر $n$ ضلعی را می‌توان به $(n-2)$ مثلث تقسیم کرد و هر مثلث $180°$ دارد. پس چهارضلعی $360°$ ، پنج‌ضلعی $540°$ و شش‌ضلعی $720°$ دارد.

انواع چندضلعی: محدب (کوژ) هیچ زاویهٔ بزرگ‌تر از $180°$ ندارد؛ مقعر (کاو) دست‌کم یک زاویهٔ بزرگ‌تر از $180°$ دارد؛ منتظم هم ضلع‌های مساوی دارد و هم زاویه‌های مساوی.
🔑 هر دو شرط با هم لازم است: لوزی ضلع‌های مساوی دارد ولی زاویه‌هایش مساوی نیست، و مستطیل برعکس. بین چهارضلعی‌ها فقط مربع منتظم است.

تبدیل‌های هندسی

وقتی شکلی را روی صفحه جابه‌جا، برگردان یا بچرخانیم، تبدیل هندسی انجام داده‌ایم و شکل تازه را تصویر می‌نامیم.

تبدیل	چه می‌شود؟	اندازه	جهت	چه چیزی ثابت است؟
انتقال	جابه‌جایی ساده	ثابت	ثابت	هیچ نقطه‌ای
تقارن	برگشتنِ آینه‌ای	ثابت	برعکس	خط تقارن
دوران	چرخش	ثابت	بستگی به زاویه	مرکز دوران

🔑 در هر سه تبدیل، اندازه، مساحت، محیط و شکل دست‌نخورده می‌مانند؛ فقط موقعیت یا جهت عوض می‌شود.

انتقال یعنی شکل را مثل یک مُهر بلند کنی و جای دیگری بگذاری، بدون چرخش و بدون برگشتن. شکل اصلی و تصویر کاملاً هم‌جهت‌اند.

تقارن محوری یعنی برگرداندنِ شکل نسبت به یک خط تقارن، مثل تا کردنِ کاغذ. برای رسمِ قرینه: از هر نقطه یک خطِ عمود بر محور بکش، به همان اندازه از طرف دیگر برو، نقطهٔ تازه را علامت بزن، و در آخر همهٔ نقطه‌ها را به هم وصل کن.
🔑 تصویر در تقارن مثل آینه برمی‌گردد: قرینهٔ حرف «R» می‌شود «Я».

دوران یعنی چرخاندنِ شکل حول یک نقطهٔ ثابت. برای مشخص‌کردنِ یک دوران باید سه چیز بدانی: مرکز، مقدار (چند درجه) و جهت (ساعت‌گرد یا پادساعت‌گرد).
🔑 در دورانِ $180°$ نیازی به گفتنِ جهت نیست، چون از هر دو طرف به یک نتیجه می‌رسی؛ ولی در دورانِ $90°$ حتماً باید جهت را بگویی.
🔑 دورانِ $180°$ حول یک نقطه، همان تقارن نقطه‌ای نسبت به آن نقطه است.

قرینه در مختصات: قرینهٔ نقطهٔ $(x,y)$ نسبت به محور $x$ می‌شود $(x,-y)$ ، نسبت به محور $y$ می‌شود $(-x,y)$ و نسبت به مبدأ می‌شود $(-x,-y)$ .

تعدادِ محورهای تقارن: مثلث متساوی‌الاضلاع ۳، مربع ۴، مستطیل ۲، لوزی ۲، و دایره بی‌نهایت.

هم‌نهشتی

دو شکل هم‌نهشتاند اگر بتوان یکی را با یک یا چند تبدیل، کاملاً روی دیگری منطبق کرد. نمادش $\cong$ است:

ABCDE \cong HGFKJ

اجزای متناظر یعنی ضلع‌ها و زاویه‌هایی که روبه‌روی هم می‌افتند و برابرند.

🔑 ترتیب حروف همه‌چیز را تعیین می‌کند. در نوشتهٔ بالا $A \leftrightarrow H$ ، $B \leftrightarrow G$ ، $C \leftrightarrow F$ و به همین ترتیب؛ پس $\overline{AB} = \overline{HG}$ و $\hat{A} = \hat{H}$ . اگر ترتیب را غلط بنویسی، همهٔ اجزای متناظر غلط می‌شوند.

🔑 هم‌نهشتی دوطرفه است: از $ABC \cong DEF$ نتیجه می‌شود $DEF \cong ABC$ .
🔑 چند تبدیلِ پشت‌سرهم هم‌نهشتی را از بین نمی‌برد؛ شکلِ آخر همیشه با شکلِ اول هم‌نهشت است.
🔑 برابریِ اضلاع به‌تنهایی کافی نیست: مربع و لوزی می‌توانند اضلاع برابر داشته باشند ولی هم‌نهشت نباشند، چون زاویه‌هایشان فرق دارد.
🔑 برای شکل‌ها از $\cong$ استفاده کن، نه $=$ ؛ علامت مساوی مالِ عددها و اندازه‌هاست.

هم‌نهشت در برابر مشابه: در شکل‌های هم‌نهشت اندازه‌ها هم برابرند، ولی شکل‌های مشابه ( $\sim$ ) فقط شکلشان یکی است و اندازه می‌تواند فرق کند. پس هم‌نهشتی حالتِ خاصی از تشابه است.

در مثلث‌ها لازم نیست هر شش جزء را چک کنی؛ سه شرطِ معروف ض.ض.ض، ض.ز.ض و ز.ض.ز کافی‌اند (در سال‌های بعد کامل می‌خوانی).

کاشی‌کاری: وقتی یک شکل پایه با تبدیل‌های پیاپی تکرار شود و کل صفحه را بپوشاند، به آن پوشش صفحه می‌گویند؛ همان چیزی که در کاشی‌کاری‌های ایرانی می‌بینی و همهٔ قطعاتش با هم هم‌نهشت‌اند.

اشتباه‌های رایج

نوشتنِ $\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}$ بدون بررسیِ اینکه $B$ واقعاً بین $A$ و $C$ باشد.
چک‌کردنِ فقط یکی از سه رابطهٔ نامساوی مثلث.
جابه‌جا گرفتنِ متمم و مکمل.
مساوی گرفتنِ زاویه‌های مجاور به‌جای زاویه‌های قائم‌الرأس.
نوشتنِ $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C} = 90°$ برای مثلث به‌جای $180°$ .
منتظم شمردنِ شکلی که فقط ضلع‌هایش مساوی است.
«انتقال» نامیدنِ شکلی که چرخیده یا برگشته است.
اندازه‌گیریِ مورب به‌جای عمود هنگام رسمِ قرینه.
تصور اینکه مرکز دوران هم با شکل حرکت می‌کند — مرکز دوران کاملاً ثابت است.
طولِ منفی برای پاره‌خط؛ اگر جواب منفی شد، حتماً شکل را دوباره ببین.

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) نقاط $A$ ، $C$ ، $D$ ، $B$ به همین ترتیب روی یک خط‌اند و $\overline{AB} = 15$ ، $\overline{AC} = 4$ ، $\overline{DB} = 6$ . طول $\overline{CD}$ چند است؟
کلِ پاره‌خط از سه تکه ساخته شده: $15 = 4 + \overline{CD} + 6 \Rightarrow \overline{CD} = 5$ سانتی‌متر.

۲) متمم و مکملِ زاویهٔ $35°$ چند است؟
متمم $= 90° - 35° = 55°$ و مکمل $= 180° - 35° = 145°$ .

۳) دو ضلعِ یک مثلث ۷ و ۱۰ هستند. اگر ضلع سوم عددی صحیح باشد، چند مقدارِ مختلف می‌تواند داشته باشد؟
ضلع سوم باید بین تفاضل و مجموعِ دو ضلع دیگر باشد: $10-7 < x < 10+7$ یعنی $3 < x < 17$ . مقدارهای صحیح از ۴ تا ۱۶ هستند، پس $16-4+1 = 13$ مقدار.
🔑 خودِ ۳ و ۱۷ جواب نیستند؛ در آن حالت مثلث «صاف» می‌شود و اصلاً مثلثی ساخته نمی‌شود.

۴) مکملِ یک زاویه، ۴۰ درجه بیشتر از سه‌برابرِ متممِ همان زاویه است. آن زاویه چند درجه است؟
زاویه را $x$ می‌نامیم؛ متمم $=90-x$ و مکمل $=180-x$ :

180 - x = 3(90-x) + 40 \Rightarrow 180 - x = 310 - 3x \Rightarrow 2x = 130 \Rightarrow x = 65°

بررسی: متمم $25$ ، سه‌برابرش $75$ ، به‌علاوهٔ ۴۰ می‌شود $115$ ؛ و مکمل هم $180-65 = 115$ ✓

۵) روی یک خط ۸ نقطه هست. چند پاره‌خط ساخته می‌شود و اگر ۲ نقطهٔ دیگر اضافه کنیم، چند پاره‌خطِ تازه اضافه می‌شود؟
با ۸ نقطه: $\frac{8\times7}{2} = 28$ ؛ با ۱۰ نقطه: $\frac{10\times9}{2} = 45$ ؛ پس $45-28 = 17$ پاره‌خطِ تازه.

۶) زاویه‌های $\hat{AOC}$ و $\hat{COB}$ مکمل‌اند. اگر $OM$ نیمسازِ $\hat{AOC}$ و $ON$ نیمسازِ $\hat{COB}$ باشد، ثابت کن $\hat{MON} = 90°$ .
چون مکمل‌اند: $\hat{AOC} + \hat{COB} = 180°$ . نیمساز هر زاویه را نصف می‌کند، پس $\hat{MOC} = \frac12 \hat{AOC}$ و $\hat{CON} = \frac12 \hat{COB}$ . حالا:

\hat{MON} = \hat{MOC} + \hat{CON} = \tfrac12\left(\hat{AOC} + \hat{COB}\right) = \tfrac12 \times 180° = 90°

🔑 این یک الگوی کلی است: نیمسازهای دو زاویهٔ مجاورِ روی یک خط، همیشه بر هم عمودند — بی‌آنکه به اندازهٔ خودِ زاویه‌ها بستگی داشته باشد.

۷) هر زاویهٔ داخلیِ یک چندضلعیِ منتظم $150°$ است. چند ضلع دارد؟

\frac{(n-2)\times 180}{n} = 150 \Rightarrow 180n - 360 = 150n \Rightarrow 30n = 360 \Rightarrow n = 12

پس دوازده‌ضلعیِ منتظم است. بررسی: $\frac{10 \times 180}{12} = 150°$ ✓

۸) دو خط در نقطهٔ $O$ همدیگر را قطع کرده‌اند و یکی از چهار زاویه $130°$ است. سه زاویهٔ دیگر چند درجه‌اند؟
زاویهٔ روبه‌رویش (قائم‌الرأسش) هم $130°$ است، و دو زاویهٔ کناری با آن مکمل‌اند چون روی یک خط راست‌اند: $180° - 130° = 50°$ . پس زاویه‌ها به ترتیب $130°$ ، $50°$ ، $130°$ ، $50°$ هستند.

۹) می‌دانیم $ABCDE \cong HGFKJ$ . اگر $\overline{AB} = 6$ و $\hat{G} = 100°$ باشد، $\overline{HG}$ و $\hat{B}$ چقدرند؟
ترتیبِ حروف تکلیف را روشن می‌کند: $A \leftrightarrow H$ و $B \leftrightarrow G$ . پس $\overline{HG}$ متناظرِ $\overline{AB}$ است و برابر $6$ می‌شود، و $\hat{B}$ متناظرِ $\hat{G}$ است و برابر $100°$ .

۱۰) قرینهٔ نقطهٔ $A(3, -5)$ را نسبت به محور $x$ ، محور $y$ و مبدأ بیاب.
نسبت به محور $x$ فقط $y$ قرینه می‌شود: $(3, 5)$ . نسبت به محور $y$ فقط $x$ قرینه می‌شود: $(-3, -5)$ . نسبت به مبدأ (که همان دورانِ $180°$ است) هر دو قرینه می‌شوند: $(-3, 5)$ .

🔑 در سؤال‌های استدلالیِ هندسه، اول هر چیزی را که «مساوی»، «مکمل» یا «نیمساز» است روی شکل علامت بزن؛ بیشترِ اثبات‌ها وقتی این نشانه‌ها روی شکل باشند، خودشان را نشان می‌دهند.

هندسه و استدلال (هفتم)

خلاصه‌ی درسنامه

هندسه و استدلال (هفتم)

نقطه، خط، نیم‌خط، پاره‌خط

نقطه‌های هم‌خط

نامساوی مثلث

وسط پاره‌خط

روابط انتقالی

شمارش پاره‌خط و نیم‌خط

نقطه‌های هم‌فاصله روی یک خط

زاویه و نام‌گذاری آن

جمع و تفریق زاویه و نیمساز

متمم و مکمل

زاویه‌های قائم‌الرأس

مثلث و چندضلعی

تبدیل‌های هندسی

هم‌نهشتی

اشتباه‌های رایج

نمونه سؤال‌های حل‌شده

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین