پرش به محتوای اصلی

هندسه و استدلال (ریاضی هفتم)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

هندسه و استدلال (هفتم)

نقطه، خط، نیم‌خط، پاره‌خط

  • نقطه: یک مکان مشخص؛ با حروف بزرگ نام می‌گیرد: AAادامهٔ فرمول را افقی ببین، BBادامهٔ فرمول را افقی ببین، CCادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • خط: مسیری که از هر دو طرف تا بی‌نهایت ادامه دارد و ابتدا و انتها ندارد؛ با حروف کوچک: xxادامهٔ فرمول را افقی ببین، yyادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • نیم‌خط: از یک نقطه (سرِ نیم‌خط) شروع می‌شود و فقط یک طرف تا بی‌نهایت می‌رود.
  • پاره‌خط: دو سرِ مشخص دارد و طول‌پذیر است؛ طولِ پاره‌خطِ ABABادامهٔ فرمول را افقی ببین را AB‾\overline{AB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌نویسیم.

چرا این قرارداد لازم است؟ چون ABABادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی «خودِ پاره‌خط» ولی AB‾\overline{AB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی «اندازهٔ آن». بدون این تفکیک، در شکل‌های شلوغ گیج می‌شوی.

نقطه‌های هم‌خط

اگر BBادامهٔ فرمول را افقی ببین بین AAادامهٔ فرمول را افقی ببین و CCادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد:

AC‾=AB‾+BC‾\boxed{\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

و از همین رابطه: BC‾=AC‾−AB‾\overline{BC} = \overline{AC} - \overline{AB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و AB‾=AC‾−BC‾\overline{AB} = \overline{AC} - \overline{BC}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

این رابطه فقط وقتی درست است که BBادامهٔ فرمول را افقی ببین واقعاً بین دو نقطهٔ دیگر باشد. پس اول شکل بکش، بعد رابطه بنویس.

نمونهٔ کامل: نقاط AAادامهٔ فرمول را افقی ببین، CCادامهٔ فرمول را افقی ببین، DDادامهٔ فرمول را افقی ببین، BBادامهٔ فرمول را افقی ببین به همین ترتیب روی یک خط‌اند و AB‾=7\overline{AB} = 7ادامهٔ فرمول را افقی ببین، AC‾=2\overline{AC} = 2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، DB‾=4\overline{DB} = 4ادامهٔ فرمول را افقی ببین. طول CD‾\overline{CD}ادامهٔ فرمول را افقی ببین چند است؟

7=2+CD‾+4⇒CD‾=17 = 2 + \overline{CD} + 4 \Rightarrow \overline{CD} = 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نامساوی مثلث

اگر سه نقطه هم‌خط نباشند، مثلث می‌سازند؛ مثلثِ ABCABCادامهٔ فرمول را افقی ببین را △ABC\triangle ABCادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌نویسیم. در هر مثلثی هر سه رابطهٔ زیر برقرارند:

AB‾+BC‾>AC‾AB‾+AC‾>BC‾BC‾+AC‾>AB‾\overline{AB} + \overline{BC} > \overline{AC} \qquad \overline{AB} + \overline{AC} > \overline{BC} \qquad \overline{BC} + \overline{AC} > \overline{AB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

یعنی مجموع هر دو ضلع از ضلع سوم بزرگ‌تر است.

چرا؟ چون رفتن از AAادامهٔ فرمول را افقی ببین مستقیم به CCادامهٔ فرمول را افقی ببین کوتاه‌ترین راه است؛ رفتن از AAادامهٔ فرمول را افقی ببین به BBادامهٔ فرمول را افقی ببین و بعد به CCادامهٔ فرمول را افقی ببین مسیری غیرمستقیم و بلندتر است.

نامساوی مثلث سه رابطه دارد، نه یکی. در سؤال «آیا چنین مثلثی وجود دارد؟» اگر حتی یکی برقرار نباشد، جواب منفی است. مثلاً با اضلاع ۳ و ۴ و ۱۰: چون 3+4=7<103+4 = 7 < 10ادامهٔ فرمول را افقی ببین، این مثلث وجود ندارد.

صورتِ فشردهٔ همین قانون: ضلع سوم همیشه بین تفاضل و مجموعِ دو ضلع دیگر است.

وسط پاره‌خط

نقطهٔ MMادامهٔ فرمول را افقی ببین وسطِ ABABادامهٔ فرمول را افقی ببین است اگر AM‾=MB‾\overline{AM} = \overline{MB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و در این حالت:

AM‾=MB‾=AB‾2وAB‾=2AM‾\overline{AM} = \overline{MB} = \frac{\overline{AB}}{2} \qquad \text{و} \qquad \overline{AB} = 2\overline{AM}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثلاً اگر AB‾=10\overline{AB} = 10ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر باشد، هر نیمه ۵ سانتی‌متر است.
مواظب باش برعکسش را ننویسی: AM‾\overline{AM}ادامهٔ فرمول را افقی ببین نصفِ AB‾\overline{AB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، نه برعکس.

روابط انتقالی

تساوی و نابرابریِ پاره‌خط‌ها دقیقاً مثل عددها رفتار می‌کنند:

اگر و نتیجه
a=ba = bادامهٔ فرمول را افقی ببین b=cb = cادامهٔ فرمول را افقی ببین a=ca = cادامهٔ فرمول را افقی ببین
a=ba = bادامهٔ فرمول را افقی ببین b<cb < cادامهٔ فرمول را افقی ببین a<ca < cادامهٔ فرمول را افقی ببین
a=ba = bادامهٔ فرمول را افقی ببین b>cb > cادامهٔ فرمول را افقی ببین a>ca > cادامهٔ فرمول را افقی ببین

روی شکل، پاره‌خط‌های مساوی را با تیک‌های یکسان علامت می‌زنیم؛ اگر دو جفتِ مساوی داریم، یکی را یک تیک و دیگری را دو تیک.

شمارش پاره‌خط و نیم‌خط

اگر nnادامهٔ فرمول را افقی ببین نقطه روی یک خط باشند:

تعداد پاره‌خط‌ها=n(n−1)2تعداد نیم‌خط‌ها=2n\text{تعداد پاره‌خط‌ها} = \frac{n(n-1)}{2} \qquad \text{تعداد نیم‌خط‌ها} = 2nادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثلاً با ۵ نقطه 5×42=10\frac{5\times4}{2} = 10ادامهٔ فرمول را افقی ببین پاره‌خط و با ۱۰ نقطه 4545ادامهٔ فرمول را افقی ببین پاره‌خط داریم.
اشتباه رایج این است که فقط پاره‌خط‌های کنارِ هم را می‌شمارند. پاره‌خط‌های بلندتر را هم بشمار: با چهار نقطهٔ A,B,C,DA,B,C,Dادامهٔ فرمول را افقی ببین شش پاره‌خط داریم، نه سه تا.

نقطه‌های هم‌فاصله روی یک خط

اگر روی یک خط داشته باشیم AB‾=BC‾=CD‾=DE‾\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{CD} = \overline{DE}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، می‌توان همهٔ پاره‌خط‌های بلندتر را بر حسبِ یک واحد نوشت:

AC‾=2AB‾AD‾=3AB‾AE‾=4AB‾BD‾=CE‾=2AB‾\overline{AC} = 2\overline{AB} \qquad \overline{AD} = 3\overline{AB} \qquad \overline{AE} = 4\overline{AB} \qquad \overline{BD} = \overline{CE} = 2\overline{AB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نمونهٔ کامل — دو خط‌کش: دو خط‌کشِ ۲۰ سانتی‌متری را طوری روی هم می‌گذاریم که ۵ سانتی‌متر هم‌پوشانی داشته باشند؛ طول کل چند است؟

20+20−5=35 سانتی‌متر20 + 20 - 5 = 35 \text{ سانتی‌متر}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

زاویه و نام‌گذاری آن

زاویه از دو نیم‌خط که از یک نقطهٔ مشترک شروع می‌شوند ساخته می‌شود؛ آن نقطه رأس است.

xOy^=yOx^=O^=O1^=1^\hat{xOy} = \hat{yOx} = \hat{O} = \hat{O_1} = \hat{1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

وقتی فقط یک زاویه در شکل هست، همان نامِ رأس کافی است؛ وقتی چند زاویه کنار هم‌اند، با شماره از هم جدا می‌شوند.

نوع زاویه اندازه
تند بین 0°0°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 90°90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین
راست دقیقاً 90°90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین
باز بین 90°90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین
نیم‌صفحه دقیقاً 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مقعر بین 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 360°360°ادامهٔ فرمول را افقی ببین

جمع و تفریق زاویه و نیمساز

اگر نیم‌خط OzOzادامهٔ فرمول را افقی ببین بین OxOxادامهٔ فرمول را افقی ببین و OyOyادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد:

xOy^=xOz^+zOy^xOz^=xOy^−zOy^\hat{xOy} = \hat{xOz} + \hat{zOy} \qquad \hat{xOz} = \hat{xOy} - \hat{zOy}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نیمساز نیم‌خطی است که از رأس شروع می‌شود و زاویه را دقیقاً نصف می‌کند:

aOx^=xOb^=12aOb^\hat{aOx} = \hat{xOb} = \frac{1}{2}\hat{aOb}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثلاً اگر aOb^=80°\hat{aOb} = 80°ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، هر نیمه 40°40°ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
هر نیم‌خطی که داخل زاویه باشد نیمساز نیست؛ تا وقتی نگفته‌اند نیمساز است، حق نداری فرضش کنی.

متمم و مکمل

  • دو زاویه متمم هم‌اند اگر مجموعشان 90°90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد: A^=90°−B^\hat{A} = 90° - \hat{B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • دو زاویه مکمل هم‌اند اگر مجموعشان 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد: A^=180°−B^\hat{A} = 180° - \hat{B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
ویژگی متمم مکمل
مجموع 90°90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین
نمونه 30°30°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 60°60°ادامهٔ فرمول را افقی ببین 110°110°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 70°70°ادامهٔ فرمول را افقی ببین
شکلِ هندسی گوشهٔ راست یک خط راست

برای تشخیص: ببین دو زاویه با هم یک گوشهٔ راست می‌سازند (متمم) یا یک خط راست (مکمل). جابه‌جا گرفتنِ این دو، رایج‌ترین خطای امتحان است — متممِ 60°60°ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 30°30°ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، نه 120°120°ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

زاویه‌های قائم‌الرأس

وقتی دو خط همدیگر را در نقطهٔ OOادامهٔ فرمول را افقی ببین قطع می‌کنند، چهار زاویه ساخته می‌شود. زاویه‌های روبه‌رو (نه کنارِ هم) قائم‌الرأس‌اند و همیشه با هم مساویاند:

O1^=O3^O2^=O4^\hat{O_1} = \hat{O_3} \qquad \hat{O_2} = \hat{O_4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چرا؟ (اثبات کوتاه) چون O1^+O2^=180°\hat{O_1} + \hat{O_2} = 180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و O3^+O2^=180°\hat{O_3} + \hat{O_2} = 180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس O1^+O2^=O3^+O2^\hat{O_1} + \hat{O_2} = \hat{O_3} + \hat{O_2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و در نتیجه O1^=O3^\hat{O_1} = \hat{O_3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. پس این یک نتیجهٔ منطقی است، نه قانونی حفظی.

نمونهٔ کامل: اگر یکی از چهار زاویه 70°70°ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، بقیه چند درجه‌اند؟ زاویهٔ روبه‌رویش هم 70°70°ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و دو زاویهٔ کناری هرکدام 180°−70°=110°180° - 70° = 110°ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

زاویه‌های مجاور (کنارِ هم) لزوماً مساوی نیستند؛ فقط روبه‌رویی‌ها مساوی‌اند.

مثلث و چندضلعی

مجموع زاویه‌های هر مثلث 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین است:

A^+B^+C^=180°\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثلث بر پایهٔ زاویه‌ها سه نوع است: تندزاویه (هر سه زاویه کمتر از 90°90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، قائم‌الزاویه (یک زاویهٔ 90°90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و باززاویه (یک زاویهٔ بیشتر از 90°90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین).
مثلث نمی‌تواند دو زاویهٔ راست داشته باشد، چون 90°+90°=180°90°+90° = 180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برای زاویهٔ سوم چیزی نمی‌ماند.

برای هر چندضلعیِ nnادامهٔ فرمول را افقی ببین ضلعی:

مجموع زاویه‌های داخلی=(n−2)×180°هر زاویهٔ منتظم=(n−2)×180°n\text{مجموع زاویه‌های داخلی} = (n-2) \times 180° \qquad \text{هر زاویهٔ منتظم} = \frac{(n-2) \times 180°}{n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چرا؟ چون هر nnادامهٔ فرمول را افقی ببین ضلعی را می‌توان به (n−2)(n-2)ادامهٔ فرمول را افقی ببین مثلث تقسیم کرد و هر مثلث 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد. پس چهارضلعی 360°360°ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پنج‌ضلعی 540°540°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شش‌ضلعی 720°720°ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد.

انواع چندضلعی: محدب (کوژ) هیچ زاویهٔ بزرگ‌تر از 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین ندارد؛ مقعر (کاو) دست‌کم یک زاویهٔ بزرگ‌تر از 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد؛ منتظم هم ضلع‌های مساوی دارد و هم زاویه‌های مساوی.
هر دو شرط با هم لازم است: لوزی ضلع‌های مساوی دارد ولی زاویه‌هایش مساوی نیست، و مستطیل برعکس. بین چهارضلعی‌ها فقط مربع منتظم است.

تبدیل‌های هندسی

وقتی شکلی را روی صفحه جابه‌جا، برگردان یا بچرخانیم، تبدیل هندسی انجام داده‌ایم و شکل تازه را تصویر می‌نامیم.

تبدیل چه می‌شود؟ اندازه جهت چه چیزی ثابت است؟
انتقال جابه‌جایی ساده ثابت ثابت هیچ نقطه‌ای
تقارن برگشتنِ آینه‌ای ثابت برعکس خط تقارن
دوران چرخش ثابت بستگی به زاویه مرکز دوران

در هر سه تبدیل، اندازه، مساحت، محیط و شکل دست‌نخورده می‌مانند؛ فقط موقعیت یا جهت عوض می‌شود.

انتقال یعنی شکل را مثل یک مُهر بلند کنی و جای دیگری بگذاری، بدون چرخش و بدون برگشتن. شکل اصلی و تصویر کاملاً هم‌جهت‌اند.

تقارن محوری یعنی برگرداندنِ شکل نسبت به یک خط تقارن، مثل تا کردنِ کاغذ. برای رسمِ قرینه: از هر نقطه یک خطِ عمود بر محور بکش، به همان اندازه از طرف دیگر برو، نقطهٔ تازه را علامت بزن، و در آخر همهٔ نقطه‌ها را به هم وصل کن.
تصویر در تقارن مثل آینه برمی‌گردد: قرینهٔ حرف «R» می‌شود «Я».

دوران یعنی چرخاندنِ شکل حول یک نقطهٔ ثابت. برای مشخص‌کردنِ یک دوران باید سه چیز بدانی: مرکز، مقدار (چند درجه) و جهت (ساعت‌گرد یا پادساعت‌گرد).
در دورانِ 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیازی به گفتنِ جهت نیست، چون از هر دو طرف به یک نتیجه می‌رسی؛ ولی در دورانِ 90°90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین حتماً باید جهت را بگویی.
دورانِ 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین حول یک نقطه، همان تقارن نقطه‌ای نسبت به آن نقطه است.

قرینه در مختصات: قرینهٔ نقطهٔ (x,y)(x,y)ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت به محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود (x,−y)(x,-y)ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نسبت به محور yyادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود (−x,y)(-x,y)ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نسبت به مبدأ می‌شود (−x,−y)(-x,-y)ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

تعدادِ محورهای تقارن: مثلث متساوی‌الاضلاع ۳، مربع ۴، مستطیل ۲، لوزی ۲، و دایره بی‌نهایت.

هم‌نهشتی

دو شکل هم‌نهشتاند اگر بتوان یکی را با یک یا چند تبدیل، کاملاً روی دیگری منطبق کرد. نمادش ≅\congادامهٔ فرمول را افقی ببین است:

ABCDE≅HGFKJABCDE \cong HGFKJادامهٔ فرمول را افقی ببین

اجزای متناظر یعنی ضلع‌ها و زاویه‌هایی که روبه‌روی هم می‌افتند و برابرند.

ترتیب حروف همه‌چیز را تعیین می‌کند. در نوشتهٔ بالا A↔HA \leftrightarrow Hادامهٔ فرمول را افقی ببین، B↔GB \leftrightarrow Gادامهٔ فرمول را افقی ببین، C↔FC \leftrightarrow Fادامهٔ فرمول را افقی ببین و به همین ترتیب؛ پس AB‾=HG‾\overline{AB} = \overline{HG}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و A^=H^\hat{A} = \hat{H}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اگر ترتیب را غلط بنویسی، همهٔ اجزای متناظر غلط می‌شوند.

هم‌نهشتی دوطرفه است: از ABC≅DEFABC \cong DEFادامهٔ فرمول را افقی ببین نتیجه می‌شود DEF≅ABCDEF \cong ABCادامهٔ فرمول را افقی ببین.
چند تبدیلِ پشت‌سرهم هم‌نهشتی را از بین نمی‌برد؛ شکلِ آخر همیشه با شکلِ اول هم‌نهشت است.
برابریِ اضلاع به‌تنهایی کافی نیست: مربع و لوزی می‌توانند اضلاع برابر داشته باشند ولی هم‌نهشت نباشند، چون زاویه‌هایشان فرق دارد.
برای شکل‌ها از ≅\congادامهٔ فرمول را افقی ببین استفاده کن، نه = ؛ علامت مساوی مالِ عددها و اندازه‌هاست.

هم‌نهشت در برابر مشابه: در شکل‌های هم‌نهشت اندازه‌ها هم برابرند، ولی شکل‌های مشابه (∼\simادامهٔ فرمول را افقی ببین) فقط شکلشان یکی است و اندازه می‌تواند فرق کند. پس هم‌نهشتی حالتِ خاصی از تشابه است.

در مثلث‌ها لازم نیست هر شش جزء را چک کنی؛ سه شرطِ معروف ض.ض.ض، ض.ز.ض و ز.ض.ز کافی‌اند (در سال‌های بعد کامل می‌خوانی).

کاشی‌کاری: وقتی یک شکل پایه با تبدیل‌های پیاپی تکرار شود و کل صفحه را بپوشاند، به آن پوشش صفحه می‌گویند؛ همان چیزی که در کاشی‌کاری‌های ایرانی می‌بینی و همهٔ قطعاتش با هم هم‌نهشت‌اند.

اشتباه‌های رایج

  • نوشتنِ AC‾=AB‾+BC‾\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}ادامهٔ فرمول را افقی ببین بدون بررسیِ اینکه BBادامهٔ فرمول را افقی ببین واقعاً بین AAادامهٔ فرمول را افقی ببین و CCادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد.
  • چک‌کردنِ فقط یکی از سه رابطهٔ نامساوی مثلث.
  • جابه‌جا گرفتنِ متمم و مکمل.
  • مساوی گرفتنِ زاویه‌های مجاور به‌جای زاویه‌های قائم‌الرأس.
  • نوشتنِ A^+B^+C^=90°\hat{A}+\hat{B}+\hat{C} = 90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای مثلث به‌جای 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • منتظم شمردنِ شکلی که فقط ضلع‌هایش مساوی است.
  • «انتقال» نامیدنِ شکلی که چرخیده یا برگشته است.
  • اندازه‌گیریِ مورب به‌جای عمود هنگام رسمِ قرینه.
  • تصور اینکه مرکز دوران هم با شکل حرکت می‌کند — مرکز دوران کاملاً ثابت است.
  • طولِ منفی برای پاره‌خط؛ اگر جواب منفی شد، حتماً شکل را دوباره ببین.

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) نقاط AAادامهٔ فرمول را افقی ببین، CCادامهٔ فرمول را افقی ببین، DDادامهٔ فرمول را افقی ببین، BBادامهٔ فرمول را افقی ببین به همین ترتیب روی یک خط‌اند و AB‾=15\overline{AB} = 15ادامهٔ فرمول را افقی ببین، AC‾=4\overline{AC} = 4ادامهٔ فرمول را افقی ببین، DB‾=6\overline{DB} = 6ادامهٔ فرمول را افقی ببین. طول CD‾\overline{CD}ادامهٔ فرمول را افقی ببین چند است؟
کلِ پاره‌خط از سه تکه ساخته شده: 15=4+CD‾+6⇒CD‾=515 = 4 + \overline{CD} + 6 \Rightarrow \overline{CD} = 5ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر.

۲) متمم و مکملِ زاویهٔ 35°35°ادامهٔ فرمول را افقی ببین چند است؟
متمم =90°−35°=55°= 90° - 35° = 55°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مکمل =180°−35°=145°= 180° - 35° = 145°ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۳) دو ضلعِ یک مثلث ۷ و ۱۰ هستند. اگر ضلع سوم عددی صحیح باشد، چند مقدارِ مختلف می‌تواند داشته باشد؟
ضلع سوم باید بین تفاضل و مجموعِ دو ضلع دیگر باشد: 10−7<x<10+710-7 < x < 10+7ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی 3<x<173 < x < 17ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مقدارهای صحیح از ۴ تا ۱۶ هستند، پس 16−4+1=1316-4+1 = 13ادامهٔ فرمول را افقی ببین مقدار.
خودِ ۳ و ۱۷ جواب نیستند؛ در آن حالت مثلث «صاف» می‌شود و اصلاً مثلثی ساخته نمی‌شود.

۴) مکملِ یک زاویه، ۴۰ درجه بیشتر از سه‌برابرِ متممِ همان زاویه است. آن زاویه چند درجه است؟
زاویه را xxادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌نامیم؛ متمم =90−x=90-xادامهٔ فرمول را افقی ببین و مکمل =180−x=180-xادامهٔ فرمول را افقی ببین:

180−x=3(90−x)+40⇒180−x=310−3x⇒2x=130⇒x=65°180 - x = 3(90-x) + 40 \Rightarrow 180 - x = 310 - 3x \Rightarrow 2x = 130 \Rightarrow x = 65°ادامهٔ فرمول را افقی ببین

بررسی: متمم 2525ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سه‌برابرش 7575ادامهٔ فرمول را افقی ببین، به‌علاوهٔ ۴۰ می‌شود 115115ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و مکمل هم 180−65=115180-65 = 115ادامهٔ فرمول را افقی ببین ✓

۵) روی یک خط ۸ نقطه هست. چند پاره‌خط ساخته می‌شود و اگر ۲ نقطهٔ دیگر اضافه کنیم، چند پاره‌خطِ تازه اضافه می‌شود؟
با ۸ نقطه: 8×72=28\frac{8\times7}{2} = 28ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ با ۱۰ نقطه: 10×92=45\frac{10\times9}{2} = 45ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ پس 45−28=1745-28 = 17ادامهٔ فرمول را افقی ببین پاره‌خطِ تازه.

۶) زاویه‌های AOC^\hat{AOC}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و COB^\hat{COB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین مکمل‌اند. اگر OMOMادامهٔ فرمول را افقی ببین نیمسازِ AOC^\hat{AOC}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ONONادامهٔ فرمول را افقی ببین نیمسازِ COB^\hat{COB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، ثابت کن MON^=90°\hat{MON} = 90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
چون مکمل‌اند: AOC^+COB^=180°\hat{AOC} + \hat{COB} = 180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین. نیمساز هر زاویه را نصف می‌کند، پس MOC^=12AOC^\hat{MOC} = \frac12 \hat{AOC}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و CON^=12COB^\hat{CON} = \frac12 \hat{COB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. حالا:

MON^=MOC^+CON^=12(AOC^+COB^)=12×180°=90°\hat{MON} = \hat{MOC} + \hat{CON} = \tfrac12\left(\hat{AOC} + \hat{COB}\right) = \tfrac12 \times 180° = 90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین

این یک الگوی کلی است: نیمسازهای دو زاویهٔ مجاورِ روی یک خط، همیشه بر هم عمودند — بی‌آنکه به اندازهٔ خودِ زاویه‌ها بستگی داشته باشد.

۷) هر زاویهٔ داخلیِ یک چندضلعیِ منتظم 150°150°ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. چند ضلع دارد؟

(n−2)×180n=150⇒180n−360=150n⇒30n=360⇒n=12\frac{(n-2)\times 180}{n} = 150 \Rightarrow 180n - 360 = 150n \Rightarrow 30n = 360 \Rightarrow n = 12ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پس دوازده‌ضلعیِ منتظم است. بررسی: 10×18012=150°\frac{10 \times 180}{12} = 150°ادامهٔ فرمول را افقی ببین ✓

۸) دو خط در نقطهٔ OOادامهٔ فرمول را افقی ببین همدیگر را قطع کرده‌اند و یکی از چهار زاویه 130°130°ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. سه زاویهٔ دیگر چند درجه‌اند؟
زاویهٔ روبه‌رویش (قائم‌الرأسش) هم 130°130°ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، و دو زاویهٔ کناری با آن مکمل‌اند چون روی یک خط راست‌اند: 180°−130°=50°180° - 130° = 50°ادامهٔ فرمول را افقی ببین. پس زاویه‌ها به ترتیب 130°130°ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 50°50°ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 130°130°ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 50°50°ادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند.

۹) می‌دانیم ABCDE≅HGFKJABCDE \cong HGFKJادامهٔ فرمول را افقی ببین. اگر AB‾=6\overline{AB} = 6ادامهٔ فرمول را افقی ببین و G^=100°\hat{G} = 100°ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، HG‾\overline{HG}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و B^\hat{B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین چقدرند؟
ترتیبِ حروف تکلیف را روشن می‌کند: A↔HA \leftrightarrow Hادامهٔ فرمول را افقی ببین و B↔GB \leftrightarrow Gادامهٔ فرمول را افقی ببین. پس HG‾\overline{HG}ادامهٔ فرمول را افقی ببین متناظرِ AB‾\overline{AB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و برابر 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود، و B^\hat{B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین متناظرِ G^\hat{G}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و برابر 100°100°ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۱۰) قرینهٔ نقطهٔ A(3,−5)A(3, -5)ادامهٔ فرمول را افقی ببین را نسبت به محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین، محور yyادامهٔ فرمول را افقی ببین و مبدأ بیاب.
نسبت به محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط yyادامهٔ فرمول را افقی ببین قرینه می‌شود: (3,5)(3, 5)ادامهٔ فرمول را افقی ببین. نسبت به محور yyادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط xxادامهٔ فرمول را افقی ببین قرینه می‌شود: (−3,−5)(-3, -5)ادامهٔ فرمول را افقی ببین. نسبت به مبدأ (که همان دورانِ 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین است) هر دو قرینه می‌شوند: (−3,5)(-3, 5)ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

در سؤال‌های استدلالیِ هندسه، اول هر چیزی را که «مساوی»، «مکمل» یا «نیمساز» است روی شکل علامت بزن؛ بیشترِ اثبات‌ها وقتی این نشانه‌ها روی شکل باشند، خودشان را نشان می‌دهند.

سؤال تستی

۵ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. نقاط XXادامهٔ فرمول را افقی ببین، YYادامهٔ فرمول را افقی ببین، ZZادامهٔ فرمول را افقی ببین، WWادامهٔ فرمول را افقی ببین به همین ترتیب روی یک خط قرار دارند. اگر XW‾=26\overline{XW} = 26ادامهٔ فرمول را افقی ببین، XY‾=13\overline{XY} = 13ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ZW‾=4\overline{ZW} = 4ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، طول YZ‾\overline{YZ}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 2626ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1717ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1010ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 99ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**پاسخ درست:** چون نقاط به همین ترتیب روی یک خط‌اند، کل پاره‌خط از سه تکه ساخته شده: XW‾=XY‾+YZ‾+ZW‾\overline{XW} = \overline{XY} + \overline{YZ} + \overline{ZW}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. با جای‌گذاری: 26=13+YZ‾+4⇒YZ‾=26−17=926 = 13 + \overline{YZ} + 4 \Rightarrow \overline{YZ} = 26 - 17 = 9ادامهٔ فرمول را افقی ببین. **رد گزینه‌های دیگر:** گزینهٔ 2626ادامهٔ فرمول را افقی ببین از فراموش‌کردنِ کاملِ تفریقِ دو تکهٔ دیگر (تکرارِ مستقیمِ کل) به دست می‌آید. گزینهٔ 1717ادامهٔ فرمول را افقی ببین از جمع‌کردنِ اشتباهِ دو تکهٔ داده‌شده به‌جایِ تفریق‌شان از کل ناشی می‌شود. گزینهٔ 1010ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک واحد با جوابِ درست فاصله دارد. **تلهٔ تستی:** رابطهٔ جمعیِ پاره‌خط‌ها فقط وقتی درست است که نقطهٔ میانی واقعاً **بینِ** دو نقطهٔ دیگر باشد؛ پیش از نوشتنِ معادله، همیشه اول ترتیبِ نقاط را روی خط مشخص کن (دقیقاً همان ترتیبی که در صورتِ سؤال گفته شده)، وگرنه رابطهٔ جمع/تفریق را برعکس می‌نویسی.

2. نقاط XXادامهٔ فرمول را افقی ببین، YYادامهٔ فرمول را افقی ببین، ZZادامهٔ فرمول را افقی ببین، WWادامهٔ فرمول را افقی ببین به همین ترتیب روی یک خط قرار دارند. اگر XW‾=25\overline{XW} = 25ادامهٔ فرمول را افقی ببین، XY‾=14\overline{XY} = 14ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ZW‾=6\overline{ZW} = 6ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، طول YZ‾\overline{YZ}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 2020ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2525ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**پاسخ درست:** چون نقاط به همین ترتیب روی یک خط‌اند، کل پاره‌خط از سه تکه ساخته شده: XW‾=XY‾+YZ‾+ZW‾\overline{XW} = \overline{XY} + \overline{YZ} + \overline{ZW}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. با جای‌گذاری: 25=14+YZ‾+6⇒YZ‾=25−20=525 = 14 + \overline{YZ} + 6 \Rightarrow \overline{YZ} = 25 - 20 = 5ادامهٔ فرمول را افقی ببین. **رد گزینه‌های دیگر:** گزینهٔ 2525ادامهٔ فرمول را افقی ببین از فراموش‌کردنِ کاملِ تفریقِ دو تکهٔ دیگر (تکرارِ مستقیمِ کل) به دست می‌آید. گزینهٔ 2020ادامهٔ فرمول را افقی ببین از جمع‌کردنِ اشتباهِ دو تکهٔ داده‌شده به‌جایِ تفریق‌شان از کل ناشی می‌شود. گزینهٔ 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک واحد با جوابِ درست فاصله دارد. **تلهٔ تستی:** رابطهٔ جمعیِ پاره‌خط‌ها فقط وقتی درست است که نقطهٔ میانی واقعاً **بینِ** دو نقطهٔ دیگر باشد؛ پیش از نوشتنِ معادله، همیشه اول ترتیبِ نقاط را روی خط مشخص کن (دقیقاً همان ترتیبی که در صورتِ سؤال گفته شده)، وگرنه رابطهٔ جمع/تفریق را برعکس می‌نویسی.

3. نقاط XXادامهٔ فرمول را افقی ببین، YYادامهٔ فرمول را افقی ببین، ZZادامهٔ فرمول را افقی ببین، WWادامهٔ فرمول را افقی ببین به همین ترتیب روی یک خط قرار دارند. اگر XW‾=28\overline{XW} = 28ادامهٔ فرمول را افقی ببین، XY‾=12\overline{XY} = 12ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ZW‾=9\overline{ZW} = 9ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، طول YZ‾\overline{YZ}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 77ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2828ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2121ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 88ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**پاسخ درست:** چون نقاط به همین ترتیب روی یک خط‌اند، کل پاره‌خط از سه تکه ساخته شده: XW‾=XY‾+YZ‾+ZW‾\overline{XW} = \overline{XY} + \overline{YZ} + \overline{ZW}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. با جای‌گذاری: 28=12+YZ‾+9⇒YZ‾=28−21=728 = 12 + \overline{YZ} + 9 \Rightarrow \overline{YZ} = 28 - 21 = 7ادامهٔ فرمول را افقی ببین. **رد گزینه‌های دیگر:** گزینهٔ 2828ادامهٔ فرمول را افقی ببین از فراموش‌کردنِ کاملِ تفریقِ دو تکهٔ دیگر (تکرارِ مستقیمِ کل) به دست می‌آید. گزینهٔ 2121ادامهٔ فرمول را افقی ببین از جمع‌کردنِ اشتباهِ دو تکهٔ داده‌شده به‌جایِ تفریق‌شان از کل ناشی می‌شود. گزینهٔ 88ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک واحد با جوابِ درست فاصله دارد. **تلهٔ تستی:** رابطهٔ جمعیِ پاره‌خط‌ها فقط وقتی درست است که نقطهٔ میانی واقعاً **بینِ** دو نقطهٔ دیگر باشد؛ پیش از نوشتنِ معادله، همیشه اول ترتیبِ نقاط را روی خط مشخص کن (دقیقاً همان ترتیبی که در صورتِ سؤال گفته شده)، وگرنه رابطهٔ جمع/تفریق را برعکس می‌نویسی.

4. نقاط XXادامهٔ فرمول را افقی ببین، YYادامهٔ فرمول را افقی ببین، ZZادامهٔ فرمول را افقی ببین، WWادامهٔ فرمول را افقی ببین به همین ترتیب روی یک خط قرار دارند. اگر XW‾=33\overline{XW} = 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین، XY‾=8\overline{XY} = 8ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ZW‾=11\overline{ZW} = 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، طول YZ‾\overline{YZ}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 3333ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1919ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1515ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1414ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**پاسخ درست:** چون نقاط به همین ترتیب روی یک خط‌اند، کل پاره‌خط از سه تکه ساخته شده: XW‾=XY‾+YZ‾+ZW‾\overline{XW} = \overline{XY} + \overline{YZ} + \overline{ZW}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. با جای‌گذاری: 33=8+YZ‾+11⇒YZ‾=33−19=1433 = 8 + \overline{YZ} + 11 \Rightarrow \overline{YZ} = 33 - 19 = 14ادامهٔ فرمول را افقی ببین. **رد گزینه‌های دیگر:** گزینهٔ 3333ادامهٔ فرمول را افقی ببین از فراموش‌کردنِ کاملِ تفریقِ دو تکهٔ دیگر (تکرارِ مستقیمِ کل) به دست می‌آید. گزینهٔ 1919ادامهٔ فرمول را افقی ببین از جمع‌کردنِ اشتباهِ دو تکهٔ داده‌شده به‌جایِ تفریق‌شان از کل ناشی می‌شود. گزینهٔ 1515ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک واحد با جوابِ درست فاصله دارد. **تلهٔ تستی:** رابطهٔ جمعیِ پاره‌خط‌ها فقط وقتی درست است که نقطهٔ میانی واقعاً **بینِ** دو نقطهٔ دیگر باشد؛ پیش از نوشتنِ معادله، همیشه اول ترتیبِ نقاط را روی خط مشخص کن (دقیقاً همان ترتیبی که در صورتِ سؤال گفته شده)، وگرنه رابطهٔ جمع/تفریق را برعکس می‌نویسی.

5. نقاط XXادامهٔ فرمول را افقی ببین، YYادامهٔ فرمول را افقی ببین، ZZادامهٔ فرمول را افقی ببین، WWادامهٔ فرمول را افقی ببین به همین ترتیب روی یک خط قرار دارند. اگر XW‾=23\overline{XW} = 23ادامهٔ فرمول را افقی ببین، XY‾=5\overline{XY} = 5ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ZW‾=3\overline{ZW} = 3ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، طول YZ‾\overline{YZ}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 1515ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2323ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 88ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1616ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**پاسخ درست:** چون نقاط به همین ترتیب روی یک خط‌اند، کل پاره‌خط از سه تکه ساخته شده: XW‾=XY‾+YZ‾+ZW‾\overline{XW} = \overline{XY} + \overline{YZ} + \overline{ZW}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. با جای‌گذاری: 23=5+YZ‾+3⇒YZ‾=23−8=1523 = 5 + \overline{YZ} + 3 \Rightarrow \overline{YZ} = 23 - 8 = 15ادامهٔ فرمول را افقی ببین. **رد گزینه‌های دیگر:** گزینهٔ 2323ادامهٔ فرمول را افقی ببین از فراموش‌کردنِ کاملِ تفریقِ دو تکهٔ دیگر (تکرارِ مستقیمِ کل) به دست می‌آید. گزینهٔ 88ادامهٔ فرمول را افقی ببین از جمع‌کردنِ اشتباهِ دو تکهٔ داده‌شده به‌جایِ تفریق‌شان از کل ناشی می‌شود. گزینهٔ 1616ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک واحد با جوابِ درست فاصله دارد. **تلهٔ تستی:** رابطهٔ جمعیِ پاره‌خط‌ها فقط وقتی درست است که نقطهٔ میانی واقعاً **بینِ** دو نقطهٔ دیگر باشد؛ پیش از نوشتنِ معادله، همیشه اول ترتیبِ نقاط را روی خط مشخص کن (دقیقاً همان ترتیبی که در صورتِ سؤال گفته شده)، وگرنه رابطهٔ جمع/تفریق را برعکس می‌نویسی.

نمونه سؤال تشریحی

۳ سؤال امتحانی با پاسخ نمونه — برای دیدن بزن

۱. الف) روی یک خط، B میان A و C است؛ AB=7 و BC=9 سانتی‌متر. ب) AC را بیابید و رابطهٔ جمع طول‌ها را توضیح دهید. استدلال کنید چرا نقطهٔ میان دو سر شرط جمع طول را برقرار می‌کند.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) چون B بین A و C قرار دارد، AC=AB+BCAC=AB+BCادامهٔ فرمول را افقی ببین. ب) پس AC=7+9=16AC=7+9=16ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر است. پاره‌خط کامل از دو قسمتِ بدون هم‌پوشانی ساخته شده است.
کجا بخوانم: در «بخش ب — انواع خط، نیم‌خط و پاره‌خط»
نکته مهم: شرط «بین بودن» نقطهٔ B برای جمع‌کردن طول‌ها لازم است.

۲. الف) نیمساز زاویه‌ای 84 درجه را رسم‌ناپذیر فرض کنید؛ اندازهٔ هر زاویهٔ کوچک‌تر را به دست آورید. ب) توضیح دهید چرا دو زاویه برابرند. دلیل برابر بودن دو بخش را از تعریف نیمساز نتیجه بگیرید.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) نیمساز زاویه را به دو قسمت مساوی می‌کند، پس هر زاویه 84/2=42∘84/2=42^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین است. ب) تعریف نیمساز برابری دو زاویهٔ حاصل را تضمین می‌کند؛ جمع آن‌ها نیز ۸۴ درجه می‌شود.
کجا بخوانم: در «بخش ج — نیمساز زاویه»
نکته مهم: نیمساز از رأس می‌گذرد و زاویه را به دو قسمت برابر تقسیم می‌کند.

۳. الف) سه طول 4، 6 و 11 سانتی‌متر برای ضلع‌های مثلث پیشنهاد شده است. ب) با نامساوی مثلث بررسی کنید آیا چنین مثلثی ساخته می‌شود و دلیل کافی را بیان کنید.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) جمع دو ضلع کوچک‌تر 4+6=104+6=10ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که از ضلع سوم ۱۱ کوچک‌تر است؛ شرط نامساوی مثلث نقض می‌شود. ب) چنین مثلثی وجود ندارد؛ برای ساخت مثلث، جمع هر دو ضلع باید از ضلع سوم بیشتر باشد.
کجا بخوانم: در «بخش ج — نامساوی مثلث (مهم‌ترین بخش درس)»
نکته مهم: برای رد امکان ساخت، کافی است یکی از سه نامساوی مثلث برقرار نباشد.

مباحث مرتبط

عددهای صحیح (ریاضی هفتم)الگو، جبر و معادله (ریاضی هفتم)شمارنده‌ها، ب.م.م و ک.م.م (ریاضی هفتم)سطح و حجم منشور (ریاضی هفتم)توان و جذر (ریاضی هفتم)بردار و مختصات (ریاضی هفتم)آمار، نمودار و احتمال (ریاضی هفتم)راهبردهای حل مسئله (ریاضی هفتم)ترتیب انجام عملیات — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)راهبردهای حل مسئله — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان