یک منشور 10 وجه دارد. تعداد یالهای آن کدام است؟

24 — «24» درست است. منشور دو قاعده دارد، پس 10 وجه شامل 2 قاعده و 8 وجه جانبی است، یعنی قاعده 8 ضلعی دارد. طبق الگو یالها 3n=3×8=24 است. قانون اویلر V-E+F=2 با V=2n=16 و F=10 نیز همین نتیجه را تأیید میکند. «16» رد میشود چون تعداد رأسهاست نه یالها. «18» رد میشود چون مربوط به منشور 6 ضلعی است. «20» رد میشود و ریشهی اشتباه مشخصی ندارد. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانشآموز ممکن است تعداد وجهها را با تعداد وجههای جانبی اشتباه بگیرد و n=10 فرض کند که یال 30 میشود (که در گزینه نیست) یا قانون اویلر را فراموش کند.

از یک مقوای مربعی به ضلع 24 سانتیمتر، از هر گوشه مربعی به ضلع x سانتیمتر میبُریم و کنارهها را بالا میزنیم تا جعبه بسازیم. حجم جعبه بر حسب x کدام است؟

x(24-2x)^2 — «x(24-2x)^2» درست است. طول و عرض جعبه 24-2x و ارتفاع x است، بنابراین حجم x×(24-2x)×(24-2x)=x(24-2x)^2 میشود. «x(24-x)^2» رد میشود چون فقط یک بار x از هر طرف کم شده نه دو بار. «2x(24-2x)^2» رد میشود چون ضریب 2 اضافی دارد. «(24-2x)^2» رد میشود زیرا عامل x (ارتفاع) را ندارد. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانشآموز فراموش میکند از هر دو طرف طول و عرض، دو بار مربع بریده میشود و یکی از xها را کم میگذارد.

سطح و حجم منشور (ریاضی هفتم)

Q: الف) مکعبمستطیلی ابعاد 4، 5 و 7 سانتیمتر دارد. ب) حجم را بیابید و تفاوت واحد آن با واحد مساحت یک وجه را توضیح دهید. دلیل تفاوت واحد را به تعداد ابعاد اندازهگیری پیوند دهید.

پاسخ کامل: الف) حجم 4×5×7=140 سانتیمتر مکعب است. ب) مساحت یک وجه 4×5=20 سانتیمتر مربع است؛ حجم فضای سهبعدی را میسنجد، اما مساحت دوبعدی است، بنابراین واحدهایشان فرق دارد. کجا بخوانم: در «حجم چیست؟» نکته مهم: حجم تعداد مکعبهای واحدی را نشان میدهد که جسم را پر میکنند.

Q: الف) منشور قائمی قاعدهٔ مثلثی با مساحت 12 سانتیمتر مربع و طول 9 سانتیمتر دارد. ب) حجم را محاسبه و رابطهٔ مساحت قاعده و طول را شرح دهید. استدلال کنید چرا لایهها حجم را میسازند.

پاسخ کامل: الف) حجم منشور برابر مساحت قاعده ضربدر طول منشور است: 12×9=108 سانتیمتر مکعب. ب) میتوان منشور را ۹ لایهٔ هماندازه با مساحت مقطع ۱۲ تصور کرد؛ جمع حجم لایهها ۱۰۸ میشود. کجا بخوانم: در «حجمهای منشوری» نکته مهم: هر منشور حجم برابر مساحت قاعده در ارتفاع دارد.

Q: حجم استوانهای با شعاع 3 سانتیمتر برابر 72π سانتیمتر مکعب است. الف) ارتفاع آن را بیابید. ب) اگر ارتفاع 10 سانتیمتر شود حجم جدید را محاسبه و تغییر را توضیح دهید.

پاسخ کامل: الف) π(3)^2h=72π، پس 9h=72 و ارتفاع ۸ سانتیمتر است. ب) با ارتفاع ۱۰، حجم π(3)^2(10)=90π سانتیمتر مکعب میشود؛ افزایش حجم 18π است، زیرا مساحت قاعده ثابت مانده و ارتفاع زیاد شده است. کجا بخوانم: در «استوانه — منشور گرد» نکته مهم: برای ارتفاع نامعلوم، حجم را بر مساحت قاعده تقسیم کنید.

Q: یک منشور پنجپهلو (قاعدهٔ پنجضلعی) را با صفحهای موازی قاعده برش میزنیم. مقطع حاصل چه شکلی است؟

پنجضلعی — «پنجضلعی» درست است. مقطع هر منشور موازی با قاعده، دقیقاً همشکل قاعده است. قاعدهٔ این منشور پنجضلعی است، پس مقطع نیز پنجضلعی خواهد بود. «چهارضلعی» رد میشود چون مقطع موازی با قاعده نمیتواند چهارضلعی شود مگر اینکه قاعده چهارضلعی باشد. «ششضلعی» رد میشود چون برای منشور ششپهلو صادق است. «هشتضلعی» رد میشود چون برای منشور هشتپهلو صادق است. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانشآموز ممکن است مقطع را با برش عمودی یا مورب اشتباه بگیرد و فکر کند مقطع منشور پنجپهلو میتواند مستطیل یا ششضلعی باشد. همچنین ممکن است تصور کند مقطع همواره همان شکل قاعده است ولی تعداد اضلاع را با تعداد وجههای جانبی اشتباه کند.

Q: استوانهای قائم داریم. یک صفحهی عمودی که از مرکز قاعدههای بالا و پایین میگذرد، آن را برش میزند. شکل مقطع کدام است؟

مستطیل — «مستطیل» درست است چون برش عمودی از مرکز استوانه (موازی با محور) یک مستطیل به عرض برابر قطر و ارتفاع برابر ارتفاع استوانه ایجاد میکند. «دایره» رد میشود زیرا دایره مقطع موازی با قاعده است نه عمودی. «بیضی» رد میشود چون مقطع مورب (با زاویه نه ۹۰ درجه و نه ۰ درجه) بیضی است و اینجا برش عمودی است. «ذوزنقه» رد میشود زیرا در برش عمودی استوانه هیچگاه ذوزنقه به وجود نمیآید. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانشآموز بهاشتباه گمان میکند هر برش غیرافقی بیضی میدهد و از تشخیص برش دقیقاً عمودی از مرکز غافل میماند.

Q: مستطیلی به طول 10 و عرض 4 سانتیمتر را حول ضلع بزرگتر میچرخانیم تا استوانه بسازیم. با π≈3 حجم استوانه چند سانتیمتر مکعب است؟

480 — «480» درست است. ضلع بزرگتر (10) محور دوران و ارتفاع استوانه میشود، ضلع کوچکتر (4) شعاع قاعده است. حجم V=π r^2 h=3×4^2×10=3×16×10=480. «120» رد میشود (احتمالاً با r=2 محاسبه شده). «160» رد میشود (شاید π r^2=16 و h=10 بدون ضرب π). «400» رد میشود و مربوط به حالتی است که مستطیل حول ضلع کوچکتر بچرخد (r=10,h=4 که V=3×100×4=1200 نیست). تلهٔ تستی این سؤال این است که دانشآموز ممکن است ضلع بزرگتر را شعاع فرض کند و حجم 1200 بهدست آورد (که در گزینه نیست) یا حالت دوم (حول ضلع کوچکتر) را با 400 (مربوط به π r^2 بدون h) اشتباه بگیرد.

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

سطح و حجم (هفتم)

حجم چیست؟

هر چیزی که در فضا جا اشغال کند حجم دارد. حجم‌ها یا هندسیاند (شکلِ مشخص و تعریف‌شده دارند، مثل مکعب و استوانه و هرم) یا غیرهندسی (شکلِ نامنظم، مثل سنگ و ابر).
فرقِ حجم با مساحت: مساحت فضای یک سطحِ دوبعدی را می‌سنجد و حجم فضای یک جسمِ سه‌بعدی را. کفِ اتاق مساحت دارد؛ خودِ اتاق حجم دارد.

همهٔ حجم‌های هندسی در سه خانواده جا می‌گیرند: منشوری (مکعب، استوانه)، هرمی (هرم، مخروط) و کروی (کره). خیلی از اجسامِ واقعی ترکیبیاند؛ مثلاً قوطی با درپوشِ گنبدی یعنی استوانه + نیم‌کره.

منشور و اجزایش

منشور حجمی است که دو قاعدهٔ موازی و هم‌شکل دارد و وجه‌های جانبی‌اش مستطیلاند.

قاعده: دو سطحِ موازیِ بالا و پایین.
وجه جانبی: سطحی که دو قاعده را به هم وصل می‌کند.
یال: لبه؛ خطِ مشترکِ دو وجه.
رأس: گوشه؛ نقطه‌ای که چند یال به هم می‌رسند.
ارتفاع: فاصلهٔ عمودیِ بین دو قاعده.

منشورها به نامِ شکلِ قاعده‌شان خوانده می‌شوند. اگر قاعده $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضلع داشته باشد:

\text{وجه جانبی} = n \qquad \text{رأس} = 2n \qquad \text{یال} = 3n \qquad \text{کلِ وجه‌ها} = n+2

مثلاً منشورِ سه‌پهلو ۳ وجه جانبی، ۶ رأس، ۹ یال و در کل ۵ وجه دارد.

هرم یک قاعده و یک رأسِ نوک‌تیز دارد و وجه‌های جانبی‌اش مثلثاند. برای هرم با قاعدهٔ $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضلعی: وجه $=n+1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، رأس $=n+1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و یال $=2n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مهم‌ترین فرقِ منشور و هرم: منشور دو قاعده دارد، هرم یک قاعده. و وجه‌های جانبیِ منشور مستطیل‌اند، ولی وجه‌های جانبیِ هرم مثلث.

استوانه همان منشوری است که قاعده‌اش دایره است، و مخروط همان هرمی است که قاعده‌اش دایره است. کره هیچ گوشه و قاعدهٔ صافی ندارد.

قانون اویلر: در هر چندوجهیِ ساده

V - E + F = 2

که $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعدادِ رأس‌ها، $E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعدادِ یال‌ها و $F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعدادِ وجه‌هاست. برای مکعب: $8-12+6 = 2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ✓ و برای منشورِ سه‌پهلو: $6-9+5 = 2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ✓ — ابزارِ خوبی برای وارسیِ شمارش‌هایت.

روش شمارشِ بی‌خطا: اول یال‌های قاعدهٔ پایین را بشمار، بعد یال‌های قاعدهٔ بالا، و در آخر یال‌های عمودی. برای رأس‌ها هم اول پایینی‌ها بعد بالایی‌ها.

چندوجهی‌های منتظم (اجسامِ افلاطونی): اگر همهٔ وجه‌های یک چندوجهی، چندضلعیِ منتظم و کاملاً یکسان باشند و در هر رأس هم تعدادِ یکسانی وجه به هم برسد، به آن چندوجهیِ منتظم می‌گویند. جالب است که در کلِ فضای سه‌بعدی دقیقاً پنج تا از این‌ها وجود دارد: چهاروجهی، مکعب، هشت‌وجهی، دوازده‌وجهی و بیست‌وجهی — نه بیشتر و نه کمتر. مکعب تنها عضوی است که هم‌زمان از خانوادهٔ منشوری هم هست. در طبیعت هم این نظم دیده می‌شود: بلورِ نمکِ خوراکی مکعبی است و الماس هشت‌وجهی.

مقطع و نما

مقطع یعنی سطحی که از برشِ یک حجم با یک صفحه به دست می‌آید.

مقطعِ هر منشور موازی با قاعده، همیشه دقیقاً همان شکلِ قاعده است.
در استوانه: برشِ موازیِ قاعده دایره، برشِ مورب بیضی و برشِ عمودی مستطیل می‌دهد.
مقطعِ کره همیشه دایره است، و مقطعِ موربِ مکعب می‌تواند مثلث، مستطیل یا حتی شش‌ضلعی باشد — بسته به زاویهٔ برش.

دید از جهات مختلف: نمای از بالای هر منشور همان شکلِ قاعده‌اش است. مثلاً استوانه از بالا دایره و از روبه‌رو مستطیل دیده می‌شود؛ مخروط از بالا دایره و از روبه‌رو مثلث.

حجمِ منشور — یک فرمول برای همه

\boxed{V = S_{\text{قاعده}} \times h}

چرا؟ یک لایه مکعبِ واحد روی قاعده بچین؛ تعدادشان برابرِ مساحتِ قاعده است. حالا $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین لایه روی هم بگذار؛ در کل $S \times h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مکعب داری.

جسم	حجم
مکعب (ضلع $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)	$a^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مکعب مستطیل	$l \times w \times h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
منشور $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پهلو	$S_{\text{قاعده}} \times h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
استوانه	$\pi r^2 h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مساحتِ قاعده‌های رایج: مستطیل $l\times w$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مربع $a^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مثلث $\frac{b\times h}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ذوزنقه $\frac{(a+b)\times h}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، لوزی $\frac{d_1 \times d_2}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، دایره $\pi r^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

در منشورِ مثلثی دو ارتفاع داری: ارتفاعِ خودِ مثلث (برای مساحتِ قاعده) و ارتفاعِ منشور (برای ضرب در $S$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). این دو را با هم قاطی نکن.
اصلِ کاوالیری: اگر دو جسم هم‌ارتفاع باشند و در هر برشِ موازیِ قاعده مساحتِ مقطعشان برابر باشد، حجمشان هم برابر است. به همین دلیل $V = S \times h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حتی برای منشورهای کج هم درست است، به شرطی که $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصلهٔ عمودیِ واقعی باشد نه طولِ لبهٔ کج.

مقطع با «دید از بالا» فرق دارد: دید از بالا یعنی از دور به کلِ جسم نگاه کنی، ولی مقطع یعنی جسم را ببُری و فقط سطحِ برش را ببینی. برای منشور هر دو یک شکل می‌دهند، اما برای هرم دید از بالا رأس و یال‌ها را هم نشان می‌دهد.

واحدها

حجم همیشه با توانِ ۳ نوشته می‌شود، چون سه بُعد داریم.

1 \text{ m}^3 = 1{,}000{,}000 \text{ cm}^3 \qquad 1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ لیتر} = 1000 \text{ cm}^3 \qquad 1 \text{ میلی‌لیتر} = 1 \text{ cm}^3

چرا توانِ ۳؟ چون $1\text{ m}^3 = 100 \times 100 \times 100 \text{ cm}^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
پیش از هر محاسبه، همهٔ اندازه‌ها را به یک واحد تبدیل کن؛ فراموش‌کردنِ این کار رایج‌ترین خطای مسائلِ کاربردی است.

پیوند با علوم: از رابطهٔ چگالی می‌توان جرم را از روی حجم به دست آورد:

\text{چگالی} = \frac{\text{جرم}}{\text{حجم}} \;\Rightarrow\; \text{جرم} = \text{چگالی} \times \text{حجم}

چگالیِ آب تقریباً $1\text{ g/cm}^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس مخزنی مکعبی به ضلعِ ۱۰ سانتی‌متر (با حجمِ $1000\text{ cm}^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) وقتی پر از آب باشد حدودِ ۱ کیلوگرم آب دارد.

حجم‌های ترکیبی

هر بخش را جدا حساب کن و جمع بزن: $V_{\text{کل}} = V_1 + V_2 + \ldots$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
اگر جسم نتیجهٔ برداشتنِ یک قطعه از جسمِ بزرگ‌تر باشد (مثل مکعبی با حفرهٔ استوانه‌ای)، کم کن:

V_{\text{باقی‌مانده}} = V_{\text{بزرگ}} - V_{\text{برداشته‌شده}}

مساحتِ جانبی و کل

مساحتِ جانبی یعنی مجموعِ مساحتِ وجه‌های کناری، بدونِ قاعده‌ها. مساحتِ کل یعنی جانبی به‌علاوهٔ هر دو قاعده.

ایدهٔ کلیدی — گسترده: اگر منشور را ببری و باز کنی، وجه‌های جانبی کنارِ هم یک مستطیلِ بزرگ می‌سازند که طولش محیطِ قاعده و عرضش ارتفاعِ منشور است. پس:

\boxed{S_{\text{جانبی}} = P \times h} \qquad \boxed{S_{\text{کل}} = P \times h + 2S_{\text{قاعده}}}

اثباتِ کوتاه: در منشورِ مثلثی با اضلاعِ قاعدهٔ $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سه وجهِ جانبی داریم با مساحت‌های $ah$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $bh$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $ch$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ مجموعشان $(a+b+c)h = P \times h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

برای استوانه، محیطِ قاعده $2\pi r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس:

S_{\text{جانبی}} = 2\pi r h \qquad S_{\text{کل}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r (h+r)

جسم	مساحت جانبی	مساحت کل
مکعب (ضلع $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)	$4a^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$6a^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مکعب مستطیل	$2(l+w)\times h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$2(lw+lh+wh)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
منشور $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پهلو	$P \times h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$Ph + 2S_{\text{قاعده}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
استوانه	$2\pi r h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$2\pi r(h+r)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

محیطِ دایره $2\pi r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، نه $\pi r^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. برای مساحتِ جانبی محیط لازم داری و برای قاعده مساحت — رایج‌ترین اشتباهِ این فصل همین است.
در مسائلِ واقعی دقت کن چه سطحی خواسته شده: کاشی‌کاریِ دیوار فقط جانبی است، رنگ‌کاریِ بدنه و سقفِ مخزن جانبی + یک قاعده، و پوشاندنِ جعبه با کاغذ مساحتِ کل.
مسئلهٔ غلتک: غلتکِ استوانه‌ای در هر دورِ کامل مستطیلی به طولِ $2\pi r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و عرضِ $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی زمین می‌سازد، یعنی دقیقاً به اندازهٔ مساحتِ جانبی‌اش.

ساختنِ حجم با دورانِ یک سطح

اگر مستطیلی را حول یکی از اضلاعش بچرخانی، استوانه می‌سازی: ضلعی که محورِ دوران است ارتفاع می‌شود و ضلعِ دیگر شعاع.
یک مستطیل با دو چرخشِ مختلف، دو استوانهٔ متفاوت می‌سازد. چون در $V = \pi r^2 h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شعاع به توانِ ۲ می‌رسد، شعاع تأثیرِ بیشتری از ارتفاع دارد: دو برابر شدنِ $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حجم را چهار برابر می‌کند، ولی دو برابر شدنِ $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط دو برابر.

جعبه ساختن از مقوا

از هر گوشهٔ مقوایی مربعی به ضلع $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مربعی به ضلعِ $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌بری و کناره‌ها را بالا می‌زنی. آنگاه طول و عرضِ جعبه $a-2x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاعش $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود:

V = x\,(a-2x)^2

بریدنِ بیشتر لزوماً حجمِ بیشتر نمی‌دهد؛ حجم وقتی بیشینه می‌شود که $x = \frac{a}{6}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد.

کاربردِ دوران در صنعت: در تراشکاری قطعهٔ فلزی می‌چرخد و شکلِ استوانه‌ای می‌گیرد؛ در سفالگری خاک روی چرخ می‌چرخد و کاسه می‌سازد؛ و گنبدِ مسجد از دورانِ یک قوس حولِ محورش ساخته می‌شود.

حجم بیشتر یا ورقِ کمتر؟

دو قوطیِ چای را مقایسه کن: یکی مکعبی $10\times10\times10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و دیگری استوانه‌ای با قطرِ ۱۰ و ارتفاعِ ۱۰ (با $\pi \approx 3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین).

V_{\text{مکعب}} = 1000\ \text{cm}^3, \quad S_{\text{کل}} = 6 \times 100 = 600\ \text{cm}^2

V_{\text{استوانه}} = 3 \times 25 \times 10 = 750\ \text{cm}^3, \quad S_{\text{کل}} = 2\times3\times5\times15 = 450\ \text{cm}^2

پس قوطیِ مکعبی چایِ بیشتری جا می‌دهد، ولی قوطیِ استوانه‌ای ورقِ کمتری مصرف می‌کند.
در طراحیِ صنعتی هدف معمولاً کم‌کردنِ مصرفِ ورق برای حجمی مشخص است. کره کمترین مساحت را برای حجمِ ثابت دارد، ولی قوطیِ کروی روی قفسه نمی‌ایستد؛ در میانِ شکل‌هایی که می‌شود روی هم چید، استوانه معمولاً به ورقِ کمتری از مکعب‌مستطیل نیاز دارد — برای همین قوطیِ کنسرو و نوشابه و رنگ اغلب استوانه‌ای‌اند.

مکعب‌های رنگ‌شده

مکعبی $n \times n \times n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را از بیرون رنگ کن و به مکعب‌های واحد ببُر:

موقعیت	وجه‌های رنگی	تعداد
گوشه‌ها	۳	$8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
وسطِ لبه‌ها	۲	$12(n-2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
وسطِ وجه‌ها	۱	$6(n-2)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
کاملاً داخلی	۰	$(n-2)^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اشتباه‌های رایج

قاطی‌کردنِ شعاع و قطر. اگر قطر داده شده، $r = \frac{d}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
استفاده از $\pi r^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌جای $2\pi r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (یا برعکس) در مساحتِ جانبی.
فراموش‌کردنِ ضریبِ ۲ در مساحتِ کل؛ منشور دو قاعده دارد.
اضافه‌کردنِ قاعده وقتی لازم نیست، مثل رنگ‌کردنِ لولهٔ دو سر باز.
نوشتنِ واحدِ اشتباه: مساحت $\text{cm}^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و حجم $\text{cm}^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
قاطی‌کردنِ ارتفاعِ مثلث با ارتفاعِ منشور.
شمردنِ فقط وجه‌های جانبیِ منشور و جا انداختنِ دو قاعده.
قاطی‌کردنِ یال و وجه: وجه یک سطح است و یال یک خط.
جدا دانستنِ مخروط از خانوادهٔ هرمی؛ مخروط هرمی با قاعدهٔ دایره است.
نام‌بردنِ فقط یک بخشِ حجم‌های ترکیبی.

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) منشورِ قائمی داریم که قاعده‌اش هشت‌ضلعی است. تعدادِ وجهِ جانبی، رأس و یالش چند است؟
با $n=8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: وجهِ جانبی $=8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، رأس $=16$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یال $=24$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. وارسی با اویلر: کلِ وجه‌ها $8+2 = 10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $16-24+10 = 2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ✓

۲) در یک منشور، مجموعِ تعدادِ یال‌ها و رأس‌ها ۴۵ است. قاعده چند ضلع دارد و چند وجه دارد؟
$3n + 2n = 45 \Rightarrow n = 9$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ پس قاعده نه‌ضلعی است و کلِ وجه‌ها $9+2 = 11$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تاست. وارسی: $18-27+11 = 2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ✓

۳) منشورِ مثلثی‌ای داریم که قاعده‌اش مثلثِ قائم‌الزاویه با ضلع‌های قائمهٔ ۶ و ۸ سانتی‌متر است و ارتفاعِ منشور ۱۲ سانتی‌متر است. حجمش چند است؟
مساحتِ قاعده: $S = \frac{6\times8}{2} = 24\ \text{cm}^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ پس $V = 24 \times 12 = 288\ \text{cm}^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۴) شیرِ آبی در هر دقیقه ۲۵ لیتر آب در مخزنی خالی به ابعادِ $1 \times 1.5 \times 2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متر می‌ریزد. در چند دقیقه پر می‌شود؟
$V = 1\times1.5\times2 = 3\ \text{m}^3 = 3000$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین لیتر، پس $3000 \div 25 = 120$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقه (۲ ساعت).

۵) از مکعب‌مستطیلی $10\times8\times6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر، حفره‌ای استوانه‌ای به شعاعِ ۲ سانتی‌متر به‌طورِ کامل و موازیِ ضلعِ ۱۰ سانتی‌متری سوراخ شده است. با $\pi \approx 3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حجمِ باقی‌مانده چند است؟
حجمِ جعبه $= 10\times8\times6 = 480$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ حجمِ حفره $= \pi r^2 h = 3\times4\times10 = 120$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ پس باقی‌مانده $= 480-120 = 360\ \text{cm}^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۶) لوله‌ای فلزی و دو سر باز با قطرِ ۱۴ و طولِ ۵۰ سانتی‌متر را فقط از بیرون رنگ می‌کنیم. با $\pi \approx \frac{22}{7}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مساحتِ رنگ‌خورده چند است؟
چون دو سر باز است فقط مساحتِ جانبی حساب می‌شود و $r = 7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

S = 2\pi r h = 2 \times \tfrac{22}{7} \times 7 \times 50 = 2200\ \text{cm}^2

۷) مساحتِ کلِ مکعب‌مستطیلی با عرضِ ۶ و ارتفاعِ ۴ سانتی‌متر برابر ۲۴۸ سانتی‌متر مربع است. طولش چند است؟

S_{\text{کل}} = 2(lw+lh+wh) = 2(6l+4l+24) = 20l+48 = 248 \Rightarrow l = 10

وارسی: $2(60+40+24) = 248$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ✓

۸) مکعبی به ضلعِ ۵ واحد از مکعب‌های واحد ساخته و رنگ شده، سپس دوباره باز می‌شود. چند مکعب دقیقاً ۲ وجهِ رنگی دارند و چند مکعب هیچ وجهِ رنگی ندارند؟
با $n=5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: دووجهی‌ها $12(n-2) = 36$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا و بی‌رنگ‌ها $(n-2)^3 = 27$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا.

۹) از مقوایی مربعی به ضلعِ ۱۸ سانتی‌متر جعبه‌ای با بیشترین حجم می‌سازیم. اندازهٔ برش و حجمِ بیشینه چند است؟
$x = \frac{18}{6} = 3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ طول و عرض $= 18-6 = 12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاع $=3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $V = 12\times12\times3 = 432\ \text{cm}^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. وارسی: با $x=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حجم $392$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و با $x=4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حجم $400$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود — هر دو کمتر.

۱۰) هرمی داریم که قاعده‌اش پنج‌ضلعی است. تعدادِ وجه، رأس و یالش چند است؟
با $n=5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: وجه $=n+1=6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (پنج مثلثِ جانبی + یک قاعده)، رأس $=n+1=6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (پنج رأسِ قاعده + رأسِ بالا) و یال $=2n=10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. وارسی با اویلر: $6-10+6 = 2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ✓

۱۱) استخری مکعب‌مستطیلی به طولِ ۵، عرضِ ۳ و عمقِ ۱٫۲ متر داریم. چند لیتر آب می‌گیرد؟
$V = 5\times3\times1.2 = 18\ \text{m}^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و چون هر متر مکعب ۱۰۰۰ لیتر است، $18000$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین لیتر.

۱۲) قوطیِ استوانه‌ای با شعاعِ ۳ و ارتفاعِ ۱۰ سانتی‌متر را داخلِ کوچک‌ترین جعبهٔ مکعب‌مستطیلی که دورش را می‌گیرد می‌گذاریم. با $\pi \approx 3.14$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چند درصدِ حجمِ جعبه پر می‌شود؟
قطرِ استوانه ۶ است، پس $V_{\text{جعبه}} = 6\times6\times10 = 360\ \text{cm}^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $V_{\text{استوانه}} = 3.14\times9\times10 = 282.6\ \text{cm}^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. درصدِ پرشدگی: $\frac{282.6}{360}\times100 = 78.5\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. این عدد تصادفی نیست؛ تقریباً برابرِ $\frac{\pi}{4}\times100$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و برای هر استوانهٔ محاط در جعبهٔ هم‌اندازه تکرار می‌شود.

۱۳) مستطیلی $10\times4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را یک‌بار حولِ ضلعِ ۱۰ و بارِ دیگر حولِ ضلعِ ۴ می‌چرخانیم. کدام حجمِ بیشتری دارد و چند برابر؟
حولِ ضلعِ ۱۰ ( $h=10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $r=4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین): $V_1 = 160\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. حولِ ضلعِ ۴ ( $h=4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $r=10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین): $V_2 = 400\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. پس چرخش حولِ ضلعِ کوچک‌تر — که شعاع را بزرگ می‌کند — حجمِ بیشتری می‌دهد و نسبتشان $\frac{400}{160} = 2.5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

سؤال تستی

۵ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

چرا گزینه‌ی درست، درست است
چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. یک منشور پنج‌پهلو (قاعدهٔ پنج‌ضلعی) را با صفحه‌ای موازی قاعده برش می‌زنیم. مقطع حاصل چه شکلی است؟

هشت‌ضلعی
پنج‌ضلعی
چهارضلعی
شش‌ضلعی

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«پنج‌ضلعی» درست است. مقطع هر منشور موازی با قاعده، دقیقاً هم‌شکل قاعده است. قاعدهٔ این منشور پنج‌ضلعی است، پس مقطع نیز پنج‌ضلعی خواهد بود. «چهارضلعی» رد می‌شود چون مقطع موازی با قاعده نمی‌تواند چهارضلعی شود مگر اینکه قاعده چهارضلعی باشد. «شش‌ضلعی» رد می‌شود چون برای منشور شش‌پهلو صادق است. «هشت‌ضلعی» رد می‌شود چون برای منشور هشت‌پهلو صادق است. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز ممکن است مقطع را با برش عمودی یا مورب اشتباه بگیرد و فکر کند مقطع منشور پنج‌پهلو می‌تواند مستطیل یا شش‌ضلعی باشد. همچنین ممکن است تصور کند مقطع همواره همان شکل قاعده است ولی تعداد اضلاع را با تعداد وجه‌های جانبی اشتباه کند.

2. استوانه‌ای قائم داریم. یک صفحه‌ی عمودی که از مرکز قاعده‌های بالا و پایین می‌گذرد، آن را برش می‌زند. شکل مقطع کدام است؟

بیضی
ذوزنقه
مستطیل
دایره

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«مستطیل» درست است چون برش عمودی از مرکز استوانه (موازی با محور) یک مستطیل به عرض برابر قطر و ارتفاع برابر ارتفاع استوانه ایجاد می‌کند. «دایره» رد می‌شود زیرا دایره مقطع موازی با قاعده است نه عمودی. «بیضی» رد می‌شود چون مقطع مورب (با زاویه نه ۹۰ درجه و نه ۰ درجه) بیضی است و اینجا برش عمودی است. «ذوزنقه» رد می‌شود زیرا در برش عمودی استوانه هیچگاه ذوزنقه به وجود نمی‌آید. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز به‌اشتباه گمان می‌کند هر برش غیرافقی بیضی می‌دهد و از تشخیص برش دقیقاً عمودی از مرکز غافل می‌ماند.

3. یک منشور $10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وجه دارد. تعداد یال‌های آن کدام است؟

$16$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$24$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$18$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$20$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

« $24$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. منشور دو قاعده دارد، پس $10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وجه شامل $2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قاعده و $8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وجه جانبی است، یعنی قاعده $8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضلعی دارد. طبق الگو یال‌ها $3n=3\times8=24$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. قانون اویلر $V-E+F=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $V=2n=16$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $F=10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیز همین نتیجه را تأیید می‌کند. « $16$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون تعداد رأس‌هاست نه یال‌ها. « $18$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون مربوط به منشور $6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضلعی است. « $20$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود و ریشه‌ی اشتباه مشخصی ندارد. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز ممکن است تعداد وجه‌ها را با تعداد وجه‌های جانبی اشتباه بگیرد و $n=10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فرض کند که یال $30$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود (که در گزینه نیست) یا قانون اویلر را فراموش کند.

4. از یک مقوای مربعی به ضلع $24$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر، از هر گوشه مربعی به ضلع $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر می‌بُریم و کناره‌ها را بالا می‌زنیم تا جعبه بسازیم. حجم جعبه بر حسب $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

$x(24-x)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$2x(24-2x)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$x(24-2x)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(24-2x)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

« $x(24-2x)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. طول و عرض جعبه $24-2x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاع $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، بنابراین حجم $x\times(24-2x)\times(24-2x)=x(24-2x)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. « $x(24-x)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون فقط یک بار $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از هر طرف کم شده نه دو بار. « $2x(24-2x)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون ضریب $2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اضافی دارد. « $(24-2x)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود زیرا عامل $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (ارتفاع) را ندارد. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز فراموش می‌کند از هر دو طرف طول و عرض، دو بار مربع بریده می‌شود و یکی از $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببینها را کم می‌گذارد.

5. مستطیلی به طول $10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و عرض $4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر را حول ضلع بزرگتر می‌چرخانیم تا استوانه بسازیم. با $\pi\approx3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حجم استوانه چند سانتی‌متر مکعب است؟

$400$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$480$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$120$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$160$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

« $480$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. ضلع بزرگتر ( $10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) محور دوران و ارتفاع استوانه می‌شود، ضلع کوچکتر ( $4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) شعاع قاعده است. حجم $V=\pi r^2 h=3\times4^2\times10=3\times16\times10=480$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. « $120$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود (احتمالاً با $r=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین محاسبه شده). « $160$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود (شاید $\pi r^2=16$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $h=10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بدون ضرب $\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). « $400$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود و مربوط به حالتی است که مستطیل حول ضلع کوچکتر بچرخد ( $r=10,h=4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که $V=3\times100\times4=1200$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیست). تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز ممکن است ضلع بزرگتر را شعاع فرض کند و حجم $1200$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌دست آورد (که در گزینه نیست) یا حالت دوم (حول ضلع کوچکتر) را با $400$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (مربوط به $\pi r^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بدون $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) اشتباه بگیرد.

نمونه سؤال تشریحی

۳ سؤال امتحانی با پاسخ نمونه — برای دیدن بزن

۱. الف) مکعب‌مستطیلی ابعاد 4، 5 و 7 سانتی‌متر دارد. ب) حجم را بیابید و تفاوت واحد آن با واحد مساحت یک وجه را توضیح دهید. دلیل تفاوت واحد را به تعداد ابعاد اندازه‌گیری پیوند دهید.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) حجم $4\times5\times7=140$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر مکعب است. ب) مساحت یک وجه $4\times5=20$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر مربع است؛ حجم فضای سه‌بعدی را می‌سنجد، اما مساحت دو‌بعدی است، بنابراین واحدهایشان فرق دارد.
کجا بخوانم: در «حجم چیست؟»
نکته مهم: حجم تعداد مکعب‌های واحدی را نشان می‌دهد که جسم را پر می‌کنند.

۲. الف) منشور قائمی قاعدهٔ مثلثی با مساحت 12 سانتی‌متر مربع و طول 9 سانتی‌متر دارد. ب) حجم را محاسبه و رابطهٔ مساحت قاعده و طول را شرح دهید. استدلال کنید چرا لایه‌ها حجم را می‌سازند.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) حجم منشور برابر مساحت قاعده ضرب‌در طول منشور است: $12\times9=108$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر مکعب. ب) می‌توان منشور را ۹ لایهٔ هم‌اندازه با مساحت مقطع ۱۲ تصور کرد؛ جمع حجم لایه‌ها ۱۰۸ می‌شود.
کجا بخوانم: در «حجم‌های منشوری»
نکته مهم: هر منشور حجم برابر مساحت قاعده در ارتفاع دارد.

۳. حجم استوانه‌ای با شعاع 3 سانتی‌متر برابر $72\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر مکعب است. الف) ارتفاع آن را بیابید. ب) اگر ارتفاع 10 سانتی‌متر شود حجم جدید را محاسبه و تغییر را توضیح دهید.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) $\pi(3)^2h=72\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $9h=72$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاع ۸ سانتی‌متر است. ب) با ارتفاع ۱۰، حجم $\pi(3)^2(10)=90\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر مکعب می‌شود؛ افزایش حجم $18\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، زیرا مساحت قاعده ثابت مانده و ارتفاع زیاد شده است.
کجا بخوانم: در «استوانه — منشور گرد»
نکته مهم: برای ارتفاع نامعلوم، حجم را بر مساحت قاعده تقسیم کنید.

مباحث مرتبط

عددهای صحیح (ریاضی هفتم)الگو، جبر و معادله (ریاضی هفتم)هندسه و استدلال (ریاضی هفتم)شمارنده‌ها، ب.م.م و ک.م.م (ریاضی هفتم)توان و جذر (ریاضی هفتم)بردار و مختصات (ریاضی هفتم)آمار، نمودار و احتمال (ریاضی هفتم)راهبردهای حل مسئله (ریاضی هفتم)ترتیب انجام عملیات — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)راهبردهای حل مسئله — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان