یک منشور پنجپهلو (قاعدهٔ پنجضلعی) را با صفحهای موازی قاعده برش میزنیم. مقطع حاصل چه شکلی است؟

پنجضلعی — «پنجضلعی» درست است. مقطع هر منشور موازی با قاعده، دقیقاً همشکل قاعده است. قاعدهٔ این منشور پنجضلعی است، پس مقطع نیز پنجضلعی خواهد بود. «چهارضلعی» رد میشود چون مقطع موازی با قاعده نمیتواند چهارضلعی شود مگر اینکه قاعده چهارضلعی باشد. «ششضلعی» رد میشود چون برای منشور ششپهلو صادق است. «هشتضلعی» رد میشود چون برای منشور هشتپهلو صادق است. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانشآموز ممکن است مقطع را با برش عمودی یا مورب اشتباه بگیرد و فکر کند مقطع منشور پنجپهلو میتواند مستطیل یا ششضلعی باشد. همچنین ممکن است تصور کند مقطع همواره همان شکل قاعده است ولی تعداد اضلاع را با تعداد وجههای جانبی اشتباه کند.

استوانهای قائم داریم. یک صفحهی عمودی که از مرکز قاعدههای بالا و پایین میگذرد، آن را برش میزند. شکل مقطع کدام است؟

مستطیل — «مستطیل» درست است چون برش عمودی از مرکز استوانه (موازی با محور) یک مستطیل به عرض برابر قطر و ارتفاع برابر ارتفاع استوانه ایجاد میکند. «دایره» رد میشود زیرا دایره مقطع موازی با قاعده است نه عمودی. «بیضی» رد میشود چون مقطع مورب (با زاویه نه ۹۰ درجه و نه ۰ درجه) بیضی است و اینجا برش عمودی است. «ذوزنقه» رد میشود زیرا در برش عمودی استوانه هیچگاه ذوزنقه به وجود نمیآید. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانشآموز بهاشتباه گمان میکند هر برش غیرافقی بیضی میدهد و از تشخیص برش دقیقاً عمودی از مرکز غافل میماند.

یک منشور $10$ وجه دارد. تعداد یالهای آن کدام است؟

$24$ — «$24$» درست است. منشور دو قاعده دارد، پس $10$ وجه شامل $2$ قاعده و $8$ وجه جانبی است، یعنی قاعده $8$ ضلعی دارد. طبق الگو یالها $3n=3\times8=24$ است. قانون اویلر $V-E+F=2$ با $V=2n=16$ و $F=10$ نیز همین نتیجه را تأیید میکند. «$16$» رد میشود چون تعداد رأسهاست نه یالها. «$18$» رد میشود چون مربوط به منشور $6$ ضلعی است. «$20$» رد میشود و ریشهی اشتباه مشخصی ندارد. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانشآموز ممکن است تعداد وجهها را با تعداد وجههای جانبی اشتباه بگیرد و $n=10$ فرض کند که یال $30$ میشود (که در گزینه نیست) یا قانون اویلر را فراموش کند.

از یک مقوای مربعی به ضلع $24$ سانتیمتر، از هر گوشه مربعی به ضلع $x$ سانتیمتر میبُریم و کنارهها را بالا میزنیم تا جعبه بسازیم. حجم جعبه بر حسب $x$ کدام است؟

$x(24-2x)^2$ — «$x(24-2x)^2$» درست است. طول و عرض جعبه $24-2x$ و ارتفاع $x$ است، بنابراین حجم $x\times(24-2x)\times(24-2x)=x(24-2x)^2$ میشود. «$x(24-x)^2$» رد میشود چون فقط یک بار $x$ از هر طرف کم شده نه دو بار. «$2x(24-2x)^2$» رد میشود چون ضریب $2$ اضافی دارد. «$(24-2x)^2$» رد میشود زیرا عامل $x$ (ارتفاع) را ندارد. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانشآموز فراموش میکند از هر دو طرف طول و عرض، دو بار مربع بریده میشود و یکی از $x$ها را کم میگذارد.

مستطیلی به طول $10$ و عرض $4$ سانتیمتر را حول ضلع بزرگتر میچرخانیم تا استوانه بسازیم. با $\pi\approx3$ حجم استوانه چند سانتیمتر مکعب است؟

$480$ — «$480$» درست است. ضلع بزرگتر ($10$) محور دوران و ارتفاع استوانه میشود، ضلع کوچکتر ($4$) شعاع قاعده است. حجم $V=\pi r^2 h=3\times4^2\times10=3\times16\times10=480$. «$120$» رد میشود (احتمالاً با $r=2$ محاسبه شده). «$160$» رد میشود (شاید $\pi r^2=16$ و $h=10$ بدون ضرب $\pi$). «$400$» رد میشود و مربوط به حالتی است که مستطیل حول ضلع کوچکتر بچرخد ($r=10,h=4$ که $V=3\times100\times4=1200$ نیست). تلهٔ تستی این سؤال این است که دانشآموز ممکن است ضلع بزرگتر را شعاع فرض کند و حجم $1200$ بهدست آورد (که در گزینه نیست) یا حالت دوم (حول ضلع کوچکتر) را با $400$ (مربوط به $\pi r^2$ بدون $h$) اشتباه بگیرد.

سطح و حجم (هفتم) — نمونه سؤال و درسنامهٔ امتحانات

سطح و حجم (هفتم)

حجم چیست؟

هر چیزی که در فضا جا اشغال کند حجم دارد. حجم‌ها یا هندسیاند (شکلِ مشخص و تعریف‌شده دارند، مثل مکعب و استوانه و هرم) یا غیرهندسی (شکلِ نامنظم، مثل سنگ و ابر).
فرقِ حجم با مساحت: مساحت فضای یک سطحِ دوبعدی را می‌سنجد و حجم فضای یک جسمِ سه‌بعدی را. کفِ اتاق مساحت دارد؛ خودِ اتاق حجم دارد.

همهٔ حجم‌های هندسی در سه خانواده جا می‌گیرند: منشوری (مکعب، استوانه)، هرمی (هرم، مخروط) و کروی (کره). خیلی از اجسامِ واقعی ترکیبیاند؛ مثلاً قوطی با درپوشِ گنبدی یعنی استوانه + نیم‌کره.

منشور و اجزایش

منشور حجمی است که دو قاعدهٔ موازی و هم‌شکل دارد و وجه‌های جانبی‌اش مستطیلاند.

قاعده: دو سطحِ موازیِ بالا و پایین.
وجه جانبی: سطحی که دو قاعده را به هم وصل می‌کند.
یال: لبه؛ خطِ مشترکِ دو وجه.
رأس: گوشه؛ نقطه‌ای که چند یال به هم می‌رسند.
ارتفاع: فاصلهٔ عمودیِ بین دو قاعده.

منشورها به نامِ شکلِ قاعده‌شان خوانده می‌شوند. اگر قاعده $n$ ضلع داشته باشد:

\text{وجه جانبی} = n \qquad \text{رأس} = 2n \qquad \text{یال} = 3n \qquad \text{کلِ وجه‌ها} = n+2

مثلاً منشورِ سه‌پهلو ۳ وجه جانبی، ۶ رأس، ۹ یال و در کل ۵ وجه دارد.

هرم یک قاعده و یک رأسِ نوک‌تیز دارد و وجه‌های جانبی‌اش مثلثاند. برای هرم با قاعدهٔ $n$ ضلعی: وجه $=n+1$ ، رأس $=n+1$ و یال $=2n$ .

🔑 مهم‌ترین فرقِ منشور و هرم: منشور دو قاعده دارد، هرم یک قاعده. و وجه‌های جانبیِ منشور مستطیل‌اند، ولی وجه‌های جانبیِ هرم مثلث.

استوانه همان منشوری است که قاعده‌اش دایره است، و مخروط همان هرمی است که قاعده‌اش دایره است. کره هیچ گوشه و قاعدهٔ صافی ندارد.

قانون اویلر: در هر چندوجهیِ ساده

V - E + F = 2

که $V$ تعدادِ رأس‌ها، $E$ تعدادِ یال‌ها و $F$ تعدادِ وجه‌هاست. برای مکعب: $8-12+6 = 2$ ✓ و برای منشورِ سه‌پهلو: $6-9+5 = 2$ ✓ — ابزارِ خوبی برای وارسیِ شمارش‌هایت.

🔑 روش شمارشِ بی‌خطا: اول یال‌های قاعدهٔ پایین را بشمار، بعد یال‌های قاعدهٔ بالا، و در آخر یال‌های عمودی. برای رأس‌ها هم اول پایینی‌ها بعد بالایی‌ها.

چندوجهی‌های منتظم (اجسامِ افلاطونی): اگر همهٔ وجه‌های یک چندوجهی، چندضلعیِ منتظم و کاملاً یکسان باشند و در هر رأس هم تعدادِ یکسانی وجه به هم برسد، به آن چندوجهیِ منتظم می‌گویند. جالب است که در کلِ فضای سه‌بعدی دقیقاً پنج تا از این‌ها وجود دارد: چهاروجهی، مکعب، هشت‌وجهی، دوازده‌وجهی و بیست‌وجهی — نه بیشتر و نه کمتر. مکعب تنها عضوی است که هم‌زمان از خانوادهٔ منشوری هم هست. در طبیعت هم این نظم دیده می‌شود: بلورِ نمکِ خوراکی مکعبی است و الماس هشت‌وجهی.

مقطع و نما

مقطع یعنی سطحی که از برشِ یک حجم با یک صفحه به دست می‌آید.

مقطعِ هر منشور موازی با قاعده، همیشه دقیقاً همان شکلِ قاعده است.
در استوانه: برشِ موازیِ قاعده دایره، برشِ مورب بیضی و برشِ عمودی مستطیل می‌دهد.
مقطعِ کره همیشه دایره است، و مقطعِ موربِ مکعب می‌تواند مثلث، مستطیل یا حتی شش‌ضلعی باشد — بسته به زاویهٔ برش.

دید از جهات مختلف: نمای از بالای هر منشور همان شکلِ قاعده‌اش است. مثلاً استوانه از بالا دایره و از روبه‌رو مستطیل دیده می‌شود؛ مخروط از بالا دایره و از روبه‌رو مثلث.

حجمِ منشور — یک فرمول برای همه

\boxed{V = S_{\text{قاعده}} \times h}

چرا؟ یک لایه مکعبِ واحد روی قاعده بچین؛ تعدادشان برابرِ مساحتِ قاعده است. حالا $h$ لایه روی هم بگذار؛ در کل $S \times h$ مکعب داری.

جسم	حجم
مکعب (ضلع $a$ )	$a^3$
مکعب مستطیل	$l \times w \times h$
منشور $n$ پهلو	$S_{\text{قاعده}} \times h$
استوانه	$\pi r^2 h$

مساحتِ قاعده‌های رایج: مستطیل $l\times w$ ، مربع $a^2$ ، مثلث $\frac{b\times h}{2}$ ، ذوزنقه $\frac{(a+b)\times h}{2}$ ، لوزی $\frac{d_1 \times d_2}{2}$ ، دایره $\pi r^2$ .

🔑 در منشورِ مثلثی دو ارتفاع داری: ارتفاعِ خودِ مثلث (برای مساحتِ قاعده) و ارتفاعِ منشور (برای ضرب در $S$ ). این دو را با هم قاطی نکن.
🔑 اصلِ کاوالیری: اگر دو جسم هم‌ارتفاع باشند و در هر برشِ موازیِ قاعده مساحتِ مقطعشان برابر باشد، حجمشان هم برابر است. به همین دلیل $V = S \times h$ حتی برای منشورهای کج هم درست است، به شرطی که $h$ فاصلهٔ عمودیِ واقعی باشد نه طولِ لبهٔ کج.

🔑 مقطع با «دید از بالا» فرق دارد: دید از بالا یعنی از دور به کلِ جسم نگاه کنی، ولی مقطع یعنی جسم را ببُری و فقط سطحِ برش را ببینی. برای منشور هر دو یک شکل می‌دهند، اما برای هرم دید از بالا رأس و یال‌ها را هم نشان می‌دهد.

واحدها

حجم همیشه با توانِ ۳ نوشته می‌شود، چون سه بُعد داریم.

1 \text{ m}^3 = 1{,}000{,}000 \text{ cm}^3 \qquad 1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ لیتر} = 1000 \text{ cm}^3 \qquad 1 \text{ میلی‌لیتر} = 1 \text{ cm}^3

🔑 چرا توانِ ۳؟ چون $1\text{ m}^3 = 100 \times 100 \times 100 \text{ cm}^3$ .
🔑 پیش از هر محاسبه، همهٔ اندازه‌ها را به یک واحد تبدیل کن؛ فراموش‌کردنِ این کار رایج‌ترین خطای مسائلِ کاربردی است.

پیوند با علوم: از رابطهٔ چگالی می‌توان جرم را از روی حجم به دست آورد:

\text{چگالی} = \frac{\text{جرم}}{\text{حجم}} \;\Rightarrow\; \text{جرم} = \text{چگالی} \times \text{حجم}

چگالیِ آب تقریباً $1\text{ g/cm}^3$ است، پس مخزنی مکعبی به ضلعِ ۱۰ سانتی‌متر (با حجمِ $1000\text{ cm}^3$ ) وقتی پر از آب باشد حدودِ ۱ کیلوگرم آب دارد.

حجم‌های ترکیبی

هر بخش را جدا حساب کن و جمع بزن: $V_{\text{کل}} = V_1 + V_2 + \ldots$
اگر جسم نتیجهٔ برداشتنِ یک قطعه از جسمِ بزرگ‌تر باشد (مثل مکعبی با حفرهٔ استوانه‌ای)، کم کن:

V_{\text{باقی‌مانده}} = V_{\text{بزرگ}} - V_{\text{برداشته‌شده}}

مساحتِ جانبی و کل

مساحتِ جانبی یعنی مجموعِ مساحتِ وجه‌های کناری، بدونِ قاعده‌ها. مساحتِ کل یعنی جانبی به‌علاوهٔ هر دو قاعده.

ایدهٔ کلیدی — گسترده: اگر منشور را ببری و باز کنی، وجه‌های جانبی کنارِ هم یک مستطیلِ بزرگ می‌سازند که طولش محیطِ قاعده و عرضش ارتفاعِ منشور است. پس:

\boxed{S_{\text{جانبی}} = P \times h} \qquad \boxed{S_{\text{کل}} = P \times h + 2S_{\text{قاعده}}}

اثباتِ کوتاه: در منشورِ مثلثی با اضلاعِ قاعدهٔ $a$ ، $b$ ، $c$ سه وجهِ جانبی داریم با مساحت‌های $ah$ ، $bh$ و $ch$ ؛ مجموعشان $(a+b+c)h = P \times h$ است.

برای استوانه، محیطِ قاعده $2\pi r$ است، پس:

S_{\text{جانبی}} = 2\pi r h \qquad S_{\text{کل}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r (h+r)

جسم	مساحت جانبی	مساحت کل
مکعب (ضلع $a$ )	$4a^2$	$6a^2$
مکعب مستطیل	$2(l+w)\times h$	$2(lw+lh+wh)$
منشور $n$ پهلو	$P \times h$	$Ph + 2S_{\text{قاعده}}$
استوانه	$2\pi r h$	$2\pi r(h+r)$

🔑 محیطِ دایره $2\pi r$ است، نه $\pi r^2$ . برای مساحتِ جانبی محیط لازم داری و برای قاعده مساحت — رایج‌ترین اشتباهِ این فصل همین است.
🔑 در مسائلِ واقعی دقت کن چه سطحی خواسته شده: کاشی‌کاریِ دیوار فقط جانبی است، رنگ‌کاریِ بدنه و سقفِ مخزن جانبی + یک قاعده، و پوشاندنِ جعبه با کاغذ مساحتِ کل.
🔑 مسئلهٔ غلتک: غلتکِ استوانه‌ای در هر دورِ کامل مستطیلی به طولِ $2\pi r$ و عرضِ $h$ روی زمین می‌سازد، یعنی دقیقاً به اندازهٔ مساحتِ جانبی‌اش.

ساختنِ حجم با دورانِ یک سطح

اگر مستطیلی را حول یکی از اضلاعش بچرخانی، استوانه می‌سازی: ضلعی که محورِ دوران است ارتفاع می‌شود و ضلعِ دیگر شعاع.
🔑 یک مستطیل با دو چرخشِ مختلف، دو استوانهٔ متفاوت می‌سازد. چون در $V = \pi r^2 h$ شعاع به توانِ ۲ می‌رسد، شعاع تأثیرِ بیشتری از ارتفاع دارد: دو برابر شدنِ $r$ حجم را چهار برابر می‌کند، ولی دو برابر شدنِ $h$ فقط دو برابر.

جعبه ساختن از مقوا

از هر گوشهٔ مقوایی مربعی به ضلع $a$ ، مربعی به ضلعِ $x$ می‌بری و کناره‌ها را بالا می‌زنی. آنگاه طول و عرضِ جعبه $a-2x$ و ارتفاعش $x$ می‌شود:

V = x\,(a-2x)^2

🔑 بریدنِ بیشتر لزوماً حجمِ بیشتر نمی‌دهد؛ حجم وقتی بیشینه می‌شود که $x = \frac{a}{6}$ باشد.

کاربردِ دوران در صنعت: در تراشکاری قطعهٔ فلزی می‌چرخد و شکلِ استوانه‌ای می‌گیرد؛ در سفالگری خاک روی چرخ می‌چرخد و کاسه می‌سازد؛ و گنبدِ مسجد از دورانِ یک قوس حولِ محورش ساخته می‌شود.

حجم بیشتر یا ورقِ کمتر؟

دو قوطیِ چای را مقایسه کن: یکی مکعبی $10\times10\times10$ و دیگری استوانه‌ای با قطرِ ۱۰ و ارتفاعِ ۱۰ (با $\pi \approx 3$ ).

V_{\text{مکعب}} = 1000\ \text{cm}^3, \quad S_{\text{کل}} = 6 \times 100 = 600\ \text{cm}^2

V_{\text{استوانه}} = 3 \times 25 \times 10 = 750\ \text{cm}^3, \quad S_{\text{کل}} = 2\times3\times5\times15 = 450\ \text{cm}^2

پس قوطیِ مکعبی چایِ بیشتری جا می‌دهد، ولی قوطیِ استوانه‌ای ورقِ کمتری مصرف می‌کند.
🔑 در طراحیِ صنعتی هدف معمولاً کم‌کردنِ مصرفِ ورق برای حجمی مشخص است. کره کمترین مساحت را برای حجمِ ثابت دارد، ولی قوطیِ کروی روی قفسه نمی‌ایستد؛ در میانِ شکل‌هایی که می‌شود روی هم چید، استوانه معمولاً به ورقِ کمتری از مکعب‌مستطیل نیاز دارد — برای همین قوطیِ کنسرو و نوشابه و رنگ اغلب استوانه‌ای‌اند.

مکعب‌های رنگ‌شده

مکعبی $n \times n \times n$ را از بیرون رنگ کن و به مکعب‌های واحد ببُر:

موقعیت	وجه‌های رنگی	تعداد
گوشه‌ها	۳	$8$
وسطِ لبه‌ها	۲	$12(n-2)$
وسطِ وجه‌ها	۱	$6(n-2)^2$
کاملاً داخلی	۰	$(n-2)^3$

اشتباه‌های رایج

قاطی‌کردنِ شعاع و قطر. اگر قطر داده شده، $r = \frac{d}{2}$ .
استفاده از $\pi r^2$ به‌جای $2\pi r$ (یا برعکس) در مساحتِ جانبی.
فراموش‌کردنِ ضریبِ ۲ در مساحتِ کل؛ منشور دو قاعده دارد.
اضافه‌کردنِ قاعده وقتی لازم نیست، مثل رنگ‌کردنِ لولهٔ دو سر باز.
نوشتنِ واحدِ اشتباه: مساحت $\text{cm}^2$ و حجم $\text{cm}^3$ .
قاطی‌کردنِ ارتفاعِ مثلث با ارتفاعِ منشور.
شمردنِ فقط وجه‌های جانبیِ منشور و جا انداختنِ دو قاعده.
قاطی‌کردنِ یال و وجه: وجه یک سطح است و یال یک خط.
جدا دانستنِ مخروط از خانوادهٔ هرمی؛ مخروط هرمی با قاعدهٔ دایره است.
نام‌بردنِ فقط یک بخشِ حجم‌های ترکیبی.

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) منشورِ قائمی داریم که قاعده‌اش هشت‌ضلعی است. تعدادِ وجهِ جانبی، رأس و یالش چند است؟
با $n=8$ : وجهِ جانبی $=8$ ، رأس $=16$ ، یال $=24$ . وارسی با اویلر: کلِ وجه‌ها $8+2 = 10$ و $16-24+10 = 2$ ✓

۲) در یک منشور، مجموعِ تعدادِ یال‌ها و رأس‌ها ۴۵ است. قاعده چند ضلع دارد و چند وجه دارد؟
$3n + 2n = 45 \Rightarrow n = 9$ ؛ پس قاعده نه‌ضلعی است و کلِ وجه‌ها $9+2 = 11$ تاست. وارسی: $18-27+11 = 2$ ✓

۳) منشورِ مثلثی‌ای داریم که قاعده‌اش مثلثِ قائم‌الزاویه با ضلع‌های قائمهٔ ۶ و ۸ سانتی‌متر است و ارتفاعِ منشور ۱۲ سانتی‌متر است. حجمش چند است؟
مساحتِ قاعده: $S = \frac{6\times8}{2} = 24\ \text{cm}^2$ ؛ پس $V = 24 \times 12 = 288\ \text{cm}^3$ .

۴) شیرِ آبی در هر دقیقه ۲۵ لیتر آب در مخزنی خالی به ابعادِ $1 \times 1.5 \times 2$ متر می‌ریزد. در چند دقیقه پر می‌شود؟
$V = 1\times1.5\times2 = 3\ \text{m}^3 = 3000$ لیتر، پس $3000 \div 25 = 120$ دقیقه (۲ ساعت).

۵) از مکعب‌مستطیلی $10\times8\times6$ سانتی‌متر، حفره‌ای استوانه‌ای به شعاعِ ۲ سانتی‌متر به‌طورِ کامل و موازیِ ضلعِ ۱۰ سانتی‌متری سوراخ شده است. با $\pi \approx 3$ حجمِ باقی‌مانده چند است؟
حجمِ جعبه $= 10\times8\times6 = 480$ ؛ حجمِ حفره $= \pi r^2 h = 3\times4\times10 = 120$ ؛ پس باقی‌مانده $= 480-120 = 360\ \text{cm}^3$ .

۶) لوله‌ای فلزی و دو سر باز با قطرِ ۱۴ و طولِ ۵۰ سانتی‌متر را فقط از بیرون رنگ می‌کنیم. با $\pi \approx \frac{22}{7}$ مساحتِ رنگ‌خورده چند است؟
چون دو سر باز است فقط مساحتِ جانبی حساب می‌شود و $r = 7$ :

S = 2\pi r h = 2 \times \tfrac{22}{7} \times 7 \times 50 = 2200\ \text{cm}^2

۷) مساحتِ کلِ مکعب‌مستطیلی با عرضِ ۶ و ارتفاعِ ۴ سانتی‌متر برابر ۲۴۸ سانتی‌متر مربع است. طولش چند است؟

S_{\text{کل}} = 2(lw+lh+wh) = 2(6l+4l+24) = 20l+48 = 248 \Rightarrow l = 10

وارسی: $2(60+40+24) = 248$ ✓

۸) مکعبی به ضلعِ ۵ واحد از مکعب‌های واحد ساخته و رنگ شده، سپس دوباره باز می‌شود. چند مکعب دقیقاً ۲ وجهِ رنگی دارند و چند مکعب هیچ وجهِ رنگی ندارند؟
با $n=5$ : دووجهی‌ها $12(n-2) = 36$ تا و بی‌رنگ‌ها $(n-2)^3 = 27$ تا.

۹) از مقوایی مربعی به ضلعِ ۱۸ سانتی‌متر جعبه‌ای با بیشترین حجم می‌سازیم. اندازهٔ برش و حجمِ بیشینه چند است؟
$x = \frac{18}{6} = 3$ ؛ طول و عرض $= 18-6 = 12$ و ارتفاع $=3$ ، پس $V = 12\times12\times3 = 432\ \text{cm}^3$ . وارسی: با $x=2$ حجم $392$ و با $x=4$ حجم $400$ می‌شود — هر دو کمتر.

۱۰) هرمی داریم که قاعده‌اش پنج‌ضلعی است. تعدادِ وجه، رأس و یالش چند است؟
با $n=5$ : وجه $=n+1=6$ (پنج مثلثِ جانبی + یک قاعده)، رأس $=n+1=6$ (پنج رأسِ قاعده + رأسِ بالا) و یال $=2n=10$ . وارسی با اویلر: $6-10+6 = 2$ ✓

۱۱) استخری مکعب‌مستطیلی به طولِ ۵، عرضِ ۳ و عمقِ ۱٫۲ متر داریم. چند لیتر آب می‌گیرد؟
$V = 5\times3\times1.2 = 18\ \text{m}^3$ و چون هر متر مکعب ۱۰۰۰ لیتر است، $18000$ لیتر.

۱۲) قوطیِ استوانه‌ای با شعاعِ ۳ و ارتفاعِ ۱۰ سانتی‌متر را داخلِ کوچک‌ترین جعبهٔ مکعب‌مستطیلی که دورش را می‌گیرد می‌گذاریم. با $\pi \approx 3.14$ چند درصدِ حجمِ جعبه پر می‌شود؟
قطرِ استوانه ۶ است، پس $V_{\text{جعبه}} = 6\times6\times10 = 360\ \text{cm}^3$ و $V_{\text{استوانه}} = 3.14\times9\times10 = 282.6\ \text{cm}^3$ . درصدِ پرشدگی: $\frac{282.6}{360}\times100 = 78.5\%$ . این عدد تصادفی نیست؛ تقریباً برابرِ $\frac{\pi}{4}\times100$ است و برای هر استوانهٔ محاط در جعبهٔ هم‌اندازه تکرار می‌شود.

۱۳) مستطیلی $10\times4$ را یک‌بار حولِ ضلعِ ۱۰ و بارِ دیگر حولِ ضلعِ ۴ می‌چرخانیم. کدام حجمِ بیشتری دارد و چند برابر؟
حولِ ضلعِ ۱۰ ( $h=10$ ، $r=4$ ): $V_1 = 160\pi$ . حولِ ضلعِ ۴ ( $h=4$ ، $r=10$ ): $V_2 = 400\pi$ . پس چرخش حولِ ضلعِ کوچک‌تر — که شعاع را بزرگ می‌کند — حجمِ بیشتری می‌دهد و نسبتشان $\frac{400}{160} = 2.5$ است.

سطح و حجم (هفتم)

خلاصه‌ی درسنامه

سطح و حجم (هفتم)

حجم چیست؟

منشور و اجزایش

مقطع و نما

حجمِ منشور — یک فرمول برای همه

واحدها

حجم‌های ترکیبی

مساحتِ جانبی و کل

ساختنِ حجم با دورانِ یک سطح

جعبه ساختن از مقوا

حجم بیشتر یا ورقِ کمتر؟

مکعب‌های رنگ‌شده

اشتباه‌های رایج

نمونه سؤال‌های حل‌شده

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین