الگو، جبر و معادله (ریاضی هفتم)

جبر و معادله (هفتم)

الگوی عددی یعنی چه؟

وقتی دنباله‌ای مثل $2, 4, 6, 8, 10, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌بینی، می‌فهمی هر عدد ۲ تا از قبلی بزرگ‌تر است. این قانونِ پنهان همان الگوست.
چرا مهم است؟ چون با پیدا کردن الگو می‌توانی بدون شمردنِ یک‌به‌یک، جملهٔ صدم یا هزارم را مستقیم حساب کنی.

چند اصطلاح که در همهٔ این فصل به کار می‌آیند:

• متغیر: حرفی مثل $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که جای یک عدد ناشناخته یا عمومی می‌نشیند.
• تفاضل ثابت: عددی که هر بار به جملهٔ قبلی اضافه (یا از آن کم) می‌شود.
• جملهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام: فرمولی که با دادن شمارهٔ هر جمله، مقدارش را می‌دهد.

فرمول جملهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام در الگوی خطی

• $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی = تفاضل ثابت (همان مقداری که هر بار اضافه می‌شود)
• $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی = عدد ثابت که با گذاشتن $n=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیدا می‌شود

روش سه‌مرحله‌ای:
۱) تفاضل دو جملهٔ متوالی را حساب کن؛ همین $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
۲) در $cn+d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگذار $n=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و با جملهٔ اول برابر قرار بده تا $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست بیاید.
۳) فرمول را با جملهٔ دوم یا سوم تأیید کن.

نمونهٔ کامل: برای الگوی $3, 7, 11, 15, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $c = 7-3 = 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ سپس $4 \times 1 + d = 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس $d = -1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ یعنی جملهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام برابر $4n - 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. تأیید با جملهٔ سوم: $4 \times 3 - 1 = 11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓

راه سریع‌تر برای $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: یک قدم به عقب از جملهٔ اول برو. در $3, 7, 11, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $3 - 4 = -1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $d = -1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ بدون حل معادله.

الگو در شکل‌ها و چوب‌کبریت

در الگوهای شکلی هم اول تفاضل را پیدا می‌کنیم. مثلاً در الگوی مثلث‌های چوب‌کبریتی تعداد چوب‌ها $3, 5, 7, 9, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است: تفاضل ثابت $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و فرمول $2n+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
چرا ۲ نه ۳؟ چون هر مثلث تازه یک ضلع (یک چوب) را با مثلث قبلی مشترک دارد، پس فقط ۲ چوب جدید لازم است.
پس شکل بیستم $2 \times 20 + 1 = 41$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چوب و شکل دهم $2 \times 10 + 1 = 21$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چوب می‌خواهد.

الگوی غیرخطی — چطور تشخیص بدهیم؟

اگر تفاضل‌های مرحلهٔ اول ثابت نبودند، الگو خطی نیست. آنگاه تفاضلِ همان تفاضل‌ها را حساب کن؛ اگر آن ثابت شد، الگو درجه دوم است.
نمونهٔ کامل: در $2, 5, 10, 17, 26, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تفاضل‌ها $3, 5, 7, 9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند (ثابت نیستند)، ولی تفاضلِ آن‌ها $2, 2, 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — پس الگو درجه دوم است (در واقع $n^2+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ چک کن: $1^2+1=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $2^2+1=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).
در پایهٔ هفتم لازم نیست فرمولِ درجه دوم را بسازی؛ فقط باید تشخیص بدهی که الگو خطی نیست.

با دو جمله فقط یک تفاضل داری و ممکن است فریب بخوری؛ برای اطمینان از خطی‌بودن، دست‌کم سه جملهٔ متوالی لازم است.

از فرمول برگردیم به شمارهٔ جمله

گاهی برعکس می‌پرسند: یک عدد داده می‌شود و می‌خواهند بدانی چندمین جمله است. فرمول را برابرِ آن عدد قرار بده و معادله را حل کن.
نمونهٔ کامل: در الگوی $4, 7, 10, 13, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرمول $3n+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ عدد ۶۱ چندمین جمله است؟

پس ۶۱ جملهٔ بیستم است. الگو و معادله دو رویِ یک سکه‌اند.

الگوی کسری

همیشه الگو عددِ صحیح نیست. در $\dfrac{1}{1}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صورت همیشه ۱ است و مخرجِ هر جمله برابرِ شمارهٔ همان جمله، پس جملهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام برابر $\dfrac{1}{n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

چرا متغیر؟ زبانِ کوتاهِ قانون‌های ریاضی

متغیر به ما اجازه می‌دهد یک قانون را برای همهٔ عددها یک‌بار بنویسیم:

به‌جای نوشتنِ $P = a+a+a+a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌نویسیم $P = 4a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و همین یک فرمول برای مربعی با ضلع ۳، ۱۰ یا ۵۰۰ کار می‌کند. همین ایده در برنامه‌نویسی هم هست: وقتی می‌نویسیم total = 5*a + 3*b داریم دقیقاً یک عبارت جبری می‌سازیم.

نمودار عملیاتی (ماشین ورودی–خروجی)

نمودار عملیاتی یک «ماشین» است که عدد ورودی را می‌گیرد و طبق ترتیبِ عملیات، خروجی می‌دهد. مثلاً $x \xrightarrow{\times 2} \xrightarrow{-5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان عبارت $2x-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و برای $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خروجی $1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود.
ترتیب مهم است: «اول $\times 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بعد $+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» یعنی $2x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که برای $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود ۷؛ ولی «اول $+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بعد $\times 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» یعنی $2(x+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که می‌شود ۸. این دو یکی نیستند.

عبارت جبری، جمله و جملات متشابه

عبارت جبری یعنی هر ترکیبی از عددها، متغیرها و عملیات؛ مثل $4+q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $5z$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $3x-7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
جمله یعنی هر واحد مستقل در عبارت. در $3a - 8b + 6a + 6b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جمله‌ها عبارت‌اند از $3a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $-8b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $6a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $6b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
جملات متشابه آن‌هایی‌اند که متغیرشان (و توانشان) کاملاً یکی است — مثل $3a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $6a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جمله‌های ناهمگن مثل $3a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $8b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نمی‌شود با هم جمع کرد.

مثل «۳ سیب + ۲ گلابی» است؛ نمی‌شود گفت «۵ سیب‌گلابی». ولی $a + a = 2a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چون هر دو «سیب»اند.

نکتهٔ علامت ضرب: در جبر به‌جای $\times$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از نقطه یا پرانتز استفاده می‌کنیم تا با متغیر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اشتباه نشود:

ساده‌سازی عبارت جبری

فقط ضریب‌ها جمع می‌شوند؛ متغیر دست‌نخورده می‌ماند.

ترفند: در عبارت‌های طولانی اول همهٔ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییها را با یک رنگ، $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییها را با رنگ دیگر و عددهای خالص را جدا علامت بزن، بعد هر دسته را جمع کن:

ضریبِ ۱ نانوشته: $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در واقع همان $1a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس $a + 3a = (1+3)a = 4a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه $3a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

توزیع‌پذیری — ضرب در پرانتز

عددِ بیرون پرانتز باید در تک‌تک جمله‌های داخل ضرب شود: $3(2x+5y) = 6x + 15y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

چرا؟ با شکل هندسی روشن می‌شود: مستطیلی با ارتفاع $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و پهنای $2+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم؛ مساحتش هم $(2+3)a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و هم $2a+3a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $(2+3)a = 2a+3a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

منفیِ پشت پرانتز، علامتِ همهٔ جمله‌های داخل را عوض می‌کند: $-(3x-5y) = -3x + 5y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمونهٔ کامل: عبارت $4(2x-7) - (4x+8)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ساده کن.

عکسِ توزیع‌پذیری، عاملِ مشترک گرفتن است: $6x + 15y = 3(2x+5y)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. همین کار بعدها «فاکتورگیری» نام می‌گیرد.

تبدیل کلام به جبر

فرمول‌های پرکاربرد در زندگی واقعی همگی شکل $a+bn$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارند: تعرفهٔ تاکسی (هزینهٔ پایه + هزینهٔ هر کیلومتر)، قبض برق، یا هزینهٔ چاپ کارت ویزیت با پایهٔ ۳۰۰۰ تومان و ۱۰۰۰ تومان برای هر کارت: $3000 + 1000n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

محیط و مساحت با زبان جبر

در مثلث متساوی‌الساقین دو ساق متشابه‌اند و $2a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شوند، ولی قاعدهٔ $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با آن‌ها متشابه نیست و تنها می‌ماند.

نام و درجهٔ عبارت‌ها

عبارت جبری بعد از ساده‌سازی بر اساس تعداد جمله‌هایش نام می‌گیرد: تک‌جمله‌ای مثل $5x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، دوجمله‌ای مثل $3x-7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، چندجمله‌ای مثل $x^2+2x-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
هر جمله یک ضریب (عدد) و یک متغیر با توانش دارد؛ به توانِ متغیر «درجه» می‌گویند ($a = a^1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).
$a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متشابه نیستند، چون توانشان فرق دارد. پس $a + a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساده نمی‌شود — نه $a^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود و نه $2a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مقدار عددی یک عبارت جبری

اگر به‌جای متغیرِ یک عبارت، عدد مشخصی بگذاری و حساب کنی، عددی که به دست می‌آید مقدار عددی آن عبارت است.

سه مرحله: ۱) عدد را جایگزین متغیر کن. ۲) علامت ضرب را حتماً بنویس ($2n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $n=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود $2 \times 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه ۲۳). ۳) با رعایتِ ترتیب عملیات حساب کن.

ترتیب عملیات داخل پرانتز هم رعایت می‌شود. در $3(t + 27 \div s)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $t=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $s=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، اول $27 \div 3 = 9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و بعد $6+9=15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس جواب $3 \times 15 = 45$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — نه اینکه اول $6+27$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حساب کنی.

عددِ منفی را همیشه داخل پرانتز جایگذاری کن: برای $n=-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بنویس $2 \times (-5) - 7 = -17$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

عبارت کسری: صورت و مخرج را جدا حساب کن، بعد تقسیم کن. برای $\frac{4a-1}{1+2a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $a=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: صورت $8-1=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و مخرج $1+4=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\frac{7}{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اول ساده کن، بعد جایگذاری کن. برای $3(2x-3y) - 5(x-2y)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:
مستقیم: $3(4-9) - 5(2-6) = -15 + 20 = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
یا اول ساده کن: $6x - 9y - 5x + 10y = x+y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، بعد $2+3 = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. روش دوم خیلی سریع‌تر و کم‌خطاتر است، به‌ویژه اگر بخواهی عبارت را برای چند مقدار مختلف حساب کنی.

تلهٔ همیشگی: $(-a)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در برابر $-a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

پس $(-3)^2 = 9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $-3^2 = -9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
اگر پرانتز دور عددِ منفی باشد، توان روی کلِ عددِ منفی اثر می‌کند؛ اگر پرانتز نباشد، توان فقط روی خودِ عدد اثر می‌کند و منفی بیرون می‌ماند.

معادله

تساوی جبری رابطه‌ای است با متغیر، مثل $4n=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر این تساوی فقط برای بعضی عددها درست شود، به آن معادله می‌گویند و آن عددهای خاص جوابِ معادلهاند.
مثلاً در $6n+7=37$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مقدارهای $n=3,4,6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جواب نمی‌دهند و فقط $n=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تساوی را برقرار می‌کند.

اصل تساوی — قلبِ حل معادله

اگر روی دو طرف تساوی عملیاتِ یکسانی انجام دهیم، تساوی حفظ می‌شود. از $4=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اگر به هر دو طرف ۳ اضافه کنیم می‌شود $7=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ از $8=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اگر هر دو طرف را در ۳ ضرب کنیم می‌شود $24=24$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
معادله دقیقاً مثل یک ترازوی متعادل است: تا وقتی هر کاری با یک کفه می‌کنی، عیناً با کفهٔ دیگر هم بکنی، تعادل به هم نمی‌خورد.

از همین اصل، قانون انتقال می‌آید: وقتی جمله‌ای از یک طرف به طرف دیگر می‌رود، علامتش عوض می‌شود.

روش حل معادله

۱) معادلهٔ ساده: $2x - 1 = 7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← به هر دو طرف $+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $2x = 8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← تقسیم بر ۲: $x = 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. بررسی: $2\times4-1 = 7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓

۲) مجهول در هر دو طرف: $3x - 4 = x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← از هر دو طرف $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کم کن: $2x - 4 = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← $2x = 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← $x = 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. بررسی: $3\times2-4 = 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓

۳) معادلهٔ پرانتزدار: $5(x+2) = 40$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← اول پرانتز را باز کن: $5x + 10 = 40$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← $5x = 30$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← $x = 6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. بررسی: $5 \times 8 = 40$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓

۴) معادلهٔ کسری: بهترین کار این است که هر دو طرف را در مخرج مشترک ضرب کنی تا کسرها بروند. برای $\frac{x}{3} + 2 = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر دو طرف را در ۳ ضرب کن: $x + 6 = 15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $x = 9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. بررسی: $\frac{9}{3}+2 = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓

حل با «ماشین برعکس»: معادلهٔ $2x-5=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان ماشینِ $x \xrightarrow{\times 2} \xrightarrow{-5} 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ برعکس اجرایش کن: $1 \xrightarrow{+5} 6 \xrightarrow{\div 2} 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. همان کارِ انتقالِ جمله است، فقط با تصویر ذهنیِ دیگری.

روشِ حدس و آزمایش برای معادله‌های خیلی ساده جواب می‌دهد، ولی وقتی جواب اعشاری یا منفی باشد کار نمی‌کند؛ روش جبری همیشه مطمئن است.

مسئله‌های کلامی — روش چهار مرحله‌ای

۱) مجهول را انتخاب کن و بنویس «$x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی = چیست». ۲) معادله بساز. ۳) حل کن. ۴) جواب را در متنِ مسئله بررسی کن.

نمونهٔ کامل — باغبان: باغبانی ۱۰۰ گل داشت، در باغچه‌ای ۶ متر مربعی کاشت و ۴ گل اضافه آمد. در هر متر مربع چند گل کاشته است؟
$x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی = تعداد گل در هر متر مربع، پس $6x + 4 = 100 \Rightarrow 6x = 96 \Rightarrow x = 16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. بررسی: $6 \times 16 + 4 = 100$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓

نمونهٔ کامل — عددهای متوالی: دو عدد متوالی که جمعشان ۱۹ است کدام‌اند؟
اگر اولی $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، دومی $x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است: $x + (x+1) = 19 \Rightarrow 2x + 1 = 19 \Rightarrow x = 9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس ۹ و ۱۰.

نمونهٔ کامل — عددهای زوجِ متوالی: سه عدد زوجِ متوالی که جمعشان $-42$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است کدام‌اند؟
عددهای زوج (یا فرد) متوالی با هم ۲ فاصله دارند، پس $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $x+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $x+4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

عددها: $-16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $-14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $-12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. بررسی: جمعشان $-42$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓

جوابِ منفی لزوماً غلط نیست. فقط وقتی باید شک کنی که با متنِ مسئله جور درنیاید — مثلاً وقتی مجهول تعداد نفر یا سن باشد.

یک سؤالِ تشخیصیِ خوب

سه دنباله را ببین: $A: 3, 7, 11, 15, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B: 2, 5, 10, 17, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $C: 5, 9, 13, 17, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. آیا $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرمولِ یکسانی دارند؟ آیا $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خطی است؟
فرمولِ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: تفاضل ۴ و $d=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی $4n-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. فرمولِ $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: تفاضل ۴ و $d=+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی $4n+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس با اینکه تفاضلشان یکی است، فرمولشان یکی نیست و مثلاً جملهٔ دهمشان $39$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $41$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود. تفاضل‌های $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $3, 5, 7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و ثابت نیست، پس $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خطی نیست.
درسِ این سؤال: تفاضلِ یکسان به‌تنهایی فرمولِ یکسان نمی‌سازد؛ $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را هم باید حساب کنی.

اشتباه‌های رایج

• جمع کردن جمله‌های ناهمگن: $3a + 5b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $8ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمی‌شود؛ همین‌طور می‌ماند. و $2x + 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم $5x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمی‌شود.
• توزیع ناقص: $3(2x+5y)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $6x+5y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست؛ درستش $6x+15y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• فراموش‌کردنِ منفیِ پشتِ پرانتز: $-(3x-5y) = -3x+5y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه $-3x-5y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• عوض‌نکردنِ علامت هنگام انتقال: از $2x-3=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه $2x = 7+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $7-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• باز نکردنِ درستِ پرانتز در معادله: $5(x+2)=40$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $5x+10=40$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه $5x+2=40$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• ترکیب‌نکردنِ جمله‌های متشابه پیش از حل: در $3x - x - 4 = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اول $3x-x=2x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کن، بعد حل: $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• نوشتنِ عددهای زوج/فردِ متوالی به‌صورت $x, x+1, x+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌جای $x, x+2, x+4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• بررسی‌نکردنِ جواب. همیشه جواب را در معادلهٔ اصلی بگذار؛ یک دقیقه وقت می‌برد و جلوی از دست دادن نمره را می‌گیرد.
• گرفتنِ تفاضل از جمله‌های غیرمتوالی در الگویابی؛ همیشه دو جملهٔ پشت‌سرهم.

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) در الگوی $7, 11, 15, 19, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرمولِ جملهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام و جملهٔ پانزدهم را بیاب.
تفاضل ثابت $11-7=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ با $n=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $4+d=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس $d=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ فرمول $4n+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جملهٔ پانزدهم: $4 \times 15 + 3 = 63$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. تأیید با جملهٔ دوم: $4\times2+3 = 11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓

۲) در الگوی $2, 6, 10, 14, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کدام جمله برابر ۹۸ است؟
تفاضل $c=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و با $n=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $4+d=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس $d=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و فرمول $4n-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حالا معادله می‌سازیم: $4n-2=98 \Rightarrow 4n=100 \Rightarrow n=25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس ۹۸ جملهٔ بیست‌وپنجم است.

۳) عبارت $4(3x-2)+5x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ساده کن.

۴) مستطیلی داریم که طولش ۳ واحد بیشتر از دو برابرِ عرض است. اگر عرض را $w$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بنامیم، محیط را بر حسب $w$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بنویس و ساده کن.
طول $=2w+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و عرض $=w$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $P = 2(w) + 2(2w+3) = 2w + 4w + 6 = 6w+6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۵) اگر $3(x+2y)-y+7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای هر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $3x+ky+7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر باشد، $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چند است؟
سمت چپ را ساده می‌کنیم: $3x+6y-y+7 = 3x+5y+7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای اینکه دو عبارت برای همهٔ مقدارها برابر باشند، ضریبِ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید یکی باشد، پس $k=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۶) عبارت $\dfrac{2a+3}{a-5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به ازای $a=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حساب کن.

۷) عبارت $2(x-3y)^2 - x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به ازای $x=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حساب کن.
اول داخل پرانتز: $4 - 3\times1 = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ بعد توان: $1^2 = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ بعد بقیه: $2 \times 1 - 4 = -2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۸) معادلهٔ $\dfrac{x}{4} - 1 = \dfrac{x}{6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حل کن.
مخرج مشترکِ ۴ و ۶ برابر ۱۲ است؛ هر دو طرف را در ۱۲ ضرب می‌کنیم: $3x - 12 = 2x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $x = 12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. بررسی: $\frac{12}{4}-1 = 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac{12}{6} = 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓

۹) در الگوی قابِ مربعی، شکل $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام یک قابِ مربعی به ضلع $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است که فقط مربع‌های حاشیه‌اش رنگی‌اند. در شکل بیستم چند مربعِ رنگی و چند مربعِ سفید داریم؟
از شمارشِ حالت‌های کوچک: $n=2 \to 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $n=3 \to 8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $n=4 \to 12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ تفاضل ثابت ۴ است و با $n=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $8+d=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس $d=-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و فرمولِ مربع‌های رنگی $4n-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود. برای $n=20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $4\times20-4 = 76$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مربعِ رنگی. کلِ مربع‌ها $20^2 = 400$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس مربع‌های سفید $400-76 = 324$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا هستند. راهِ دوم برای همین جواب: ناحیهٔ داخلی خودش مربعی به ضلع $n-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، یعنی $18^2 = 324$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓ تطبیقِ دو روش، بهترین راهِ اطمینان در جلسهٔ امتحان است.

۱۰) آیا $3(2x-1)-2(x-4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای هر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $4x+5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر است؟
با ساده‌سازی: $6x-3-2x+8 = 4x+5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس بله همیشه برابرند. تأیید با جایگذاری: برای $x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر دو $5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شوند و برای $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر دو $13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
همین ترفند را برای چک‌کردنِ هر ساده‌سازی به کار ببر: یک عدد دلخواه بگذار؛ اگر قبل و بعدِ ساده‌سازی مقدار یکی بود، جوابت درست است.

۱۱) مجموع سنِ سارا و برادرش ۲۸ سال است. ۴ سال پیش، سنِ سارا سه برابرِ سنِ برادرش بود. سنِ فعلیِ هرکدام چند است؟
فرض کن سنِ فعلیِ برادر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد؛ پس سنِ سارا $28-x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. رابطهٔ «۴ سال پیش»:

پس برادر ۹ ساله و سارا $28-9=19$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساله است. بررسی: ۴ سال پیش سارا ۱۵ و برادرش ۵ ساله بوده و $15 = 3\times5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓