جبر و معادله (هفتم)

جبر و معادله (هفتم)

الگوی عددی یعنی چه؟

وقتی دنباله‌ای مثل $2, 4, 6, 8, 10, \ldots$ می‌بینی، می‌فهمی هر عدد ۲ تا از قبلی بزرگ‌تر است. این قانونِ پنهان همان الگوست.
چرا مهم است؟ چون با پیدا کردن الگو می‌توانی بدون شمردنِ یک‌به‌یک، جملهٔ صدم یا هزارم را مستقیم حساب کنی.

چند اصطلاح که در همهٔ این فصل به کار می‌آیند:

• متغیر: حرفی مثل $n$، $a$ یا $x$ که جای یک عدد ناشناخته یا عمومی می‌نشیند.
• تفاضل ثابت: عددی که هر بار به جملهٔ قبلی اضافه (یا از آن کم) می‌شود.
• جملهٔ $n$ام: فرمولی که با دادن شمارهٔ هر جمله، مقدارش را می‌دهد.

فرمول جملهٔ $n$ام در الگوی خطی

• $c$ = تفاضل ثابت (همان مقداری که هر بار اضافه می‌شود)
• $d$ = عدد ثابت که با گذاشتن $n=1$ پیدا می‌شود

روش سه‌مرحله‌ای:
۱) تفاضل دو جملهٔ متوالی را حساب کن؛ همین $c$ است.
۲) در $cn+d$ بگذار $n=1$ و با جملهٔ اول برابر قرار بده تا $d$ به دست بیاید.
۳) فرمول را با جملهٔ دوم یا سوم تأیید کن.

نمونهٔ کامل: برای الگوی $3, 7, 11, 15, \ldots$ داریم $c = 7-3 = 4$؛ سپس $4 \times 1 + d = 3$ پس $d = -1$؛ یعنی جملهٔ $n$ام برابر $4n - 1$ است. تأیید با جملهٔ سوم: $4 \times 3 - 1 = 11$ ✓

🔑 راه سریع‌تر برای $d$: یک قدم به عقب از جملهٔ اول برو. در $3, 7, 11, \ldots$ داریم $3 - 4 = -1$، پس $d = -1$؛ بدون حل معادله.

الگو در شکل‌ها و چوب‌کبریت

در الگوهای شکلی هم اول تفاضل را پیدا می‌کنیم. مثلاً در الگوی مثلث‌های چوب‌کبریتی تعداد چوب‌ها $3, 5, 7, 9, \ldots$ است: تفاضل ثابت $2$ و فرمول $2n+1$.
چرا ۲ نه ۳؟ چون هر مثلث تازه یک ضلع (یک چوب) را با مثلث قبلی مشترک دارد، پس فقط ۲ چوب جدید لازم است.
پس شکل بیستم $2 \times 20 + 1 = 41$ چوب و شکل دهم $2 \times 10 + 1 = 21$ چوب می‌خواهد.

الگوی غیرخطی — چطور تشخیص بدهیم؟

اگر تفاضل‌های مرحلهٔ اول ثابت نبودند، الگو خطی نیست. آنگاه تفاضلِ همان تفاضل‌ها را حساب کن؛ اگر آن ثابت شد، الگو درجه دوم است.
نمونهٔ کامل: در $2, 5, 10, 17, 26, \ldots$ تفاضل‌ها $3, 5, 7, 9$ هستند (ثابت نیستند)، ولی تفاضلِ آن‌ها $2, 2, 2$ است — پس الگو درجه دوم است (در واقع $n^2+1$؛ چک کن: $1^2+1=2$، $2^2+1=5$).
🔑 در پایهٔ هفتم لازم نیست فرمولِ درجه دوم را بسازی؛ فقط باید تشخیص بدهی که الگو خطی نیست.

🔑 با دو جمله فقط یک تفاضل داری و ممکن است فریب بخوری؛ برای اطمینان از خطی‌بودن، دست‌کم سه جملهٔ متوالی لازم است.

از فرمول برگردیم به شمارهٔ جمله

گاهی برعکس می‌پرسند: یک عدد داده می‌شود و می‌خواهند بدانی چندمین جمله است. فرمول را برابرِ آن عدد قرار بده و معادله را حل کن.
نمونهٔ کامل: در الگوی $4, 7, 10, 13, \ldots$ فرمول $3n+1$ است؛ عدد ۶۱ چندمین جمله است؟

پس ۶۱ جملهٔ بیستم است. الگو و معادله دو رویِ یک سکه‌اند.

الگوی کسری

همیشه الگو عددِ صحیح نیست. در $\dfrac{1}{1}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \ldots$ صورت همیشه ۱ است و مخرجِ هر جمله برابرِ شمارهٔ همان جمله، پس جملهٔ $n$ام برابر $\dfrac{1}{n}$ است.

چرا متغیر؟ زبانِ کوتاهِ قانون‌های ریاضی

متغیر به ما اجازه می‌دهد یک قانون را برای همهٔ عددها یک‌بار بنویسیم:

به‌جای نوشتنِ $P = a+a+a+a$ می‌نویسیم $P = 4a$ و همین یک فرمول برای مربعی با ضلع ۳، ۱۰ یا ۵۰۰ کار می‌کند. همین ایده در برنامه‌نویسی هم هست: وقتی می‌نویسیم total = 5*a + 3*b داریم دقیقاً یک عبارت جبری می‌سازیم.

نمودار عملیاتی (ماشین ورودی–خروجی)

نمودار عملیاتی یک «ماشین» است که عدد ورودی را می‌گیرد و طبق ترتیبِ عملیات، خروجی می‌دهد. مثلاً $x \xrightarrow{\times 2} \xrightarrow{-5}$ همان عبارت $2x-5$ است و برای $x=3$ خروجی $1$ می‌شود.
🔑 ترتیب مهم است: «اول $\times 2$ بعد $+1$» یعنی $2x+1$ که برای $x=3$ می‌شود ۷؛ ولی «اول $+1$ بعد $\times 2$» یعنی $2(x+1)$ که می‌شود ۸. این دو یکی نیستند.

عبارت جبری، جمله و جملات متشابه

عبارت جبری یعنی هر ترکیبی از عددها، متغیرها و عملیات؛ مثل $4+q$، $5z$، $3x-7$.
جمله یعنی هر واحد مستقل در عبارت. در $3a - 8b + 6a + 6b$ جمله‌ها عبارت‌اند از $3a$، $-8b$، $6a$، $6b$.
جملات متشابه آن‌هایی‌اند که متغیرشان (و توانشان) کاملاً یکی است — مثل $3a$ و $6a$. جمله‌های ناهمگن مثل $3a$ و $8b$ را نمی‌شود با هم جمع کرد.

🔑 مثل «۳ سیب + ۲ گلابی» است؛ نمی‌شود گفت «۵ سیب‌گلابی». ولی $a + a = 2a$ چون هر دو «سیب»اند.

نکتهٔ علامت ضرب: در جبر به‌جای $\times$ از نقطه یا پرانتز استفاده می‌کنیم تا با متغیر $x$ اشتباه نشود:

ساده‌سازی عبارت جبری

فقط ضریب‌ها جمع می‌شوند؛ متغیر دست‌نخورده می‌ماند.

🔑 ترفند: در عبارت‌های طولانی اول همهٔ $x$ها را با یک رنگ، $y$ها را با رنگ دیگر و عددهای خالص را جدا علامت بزن، بعد هر دسته را جمع کن:

🔑 ضریبِ ۱ نانوشته: $a$ در واقع همان $1a$ است، پس $a + 3a = (1+3)a = 4a$، نه $3a$.

توزیع‌پذیری — ضرب در پرانتز

عددِ بیرون پرانتز باید در تک‌تک جمله‌های داخل ضرب شود: $3(2x+5y) = 6x + 15y$.

چرا؟ با شکل هندسی روشن می‌شود: مستطیلی با ارتفاع $a$ و پهنای $2+3$ داریم؛ مساحتش هم $(2+3)a$ است و هم $2a+3a$. پس $(2+3)a = 2a+3a$.

🔑 منفیِ پشت پرانتز، علامتِ همهٔ جمله‌های داخل را عوض می‌کند: $-(3x-5y) = -3x + 5y$.

نمونهٔ کامل: عبارت $4(2x-7) - (4x+8)$ را ساده کن.

عکسِ توزیع‌پذیری، عاملِ مشترک گرفتن است: $6x + 15y = 3(2x+5y)$. همین کار بعدها «فاکتورگیری» نام می‌گیرد.

تبدیل کلام به جبر

فرمول‌های پرکاربرد در زندگی واقعی همگی شکل $a+bn$ دارند: تعرفهٔ تاکسی (هزینهٔ پایه + هزینهٔ هر کیلومتر)، قبض برق، یا هزینهٔ چاپ کارت ویزیت با پایهٔ ۳۰۰۰ تومان و ۱۰۰۰ تومان برای هر کارت: $3000 + 1000n$.

محیط و مساحت با زبان جبر

در مثلث متساوی‌الساقین دو ساق متشابه‌اند و $2a$ می‌شوند، ولی قاعدهٔ $b$ با آن‌ها متشابه نیست و تنها می‌ماند.

نام و درجهٔ عبارت‌ها

عبارت جبری بعد از ساده‌سازی بر اساس تعداد جمله‌هایش نام می‌گیرد: تک‌جمله‌ای مثل $5x$، دوجمله‌ای مثل $3x-7$، چندجمله‌ای مثل $x^2+2x-5$.
هر جمله یک ضریب (عدد) و یک متغیر با توانش دارد؛ به توانِ متغیر «درجه» می‌گویند ($a = a^1$).
🔑 $a$ و $a^2$ متشابه نیستند، چون توانشان فرق دارد. پس $a + a^2$ ساده نمی‌شود — نه $a^3$ می‌شود و نه $2a^2$.

مقدار عددی یک عبارت جبری

اگر به‌جای متغیرِ یک عبارت، عدد مشخصی بگذاری و حساب کنی، عددی که به دست می‌آید مقدار عددی آن عبارت است.

سه مرحله: ۱) عدد را جایگزین متغیر کن. ۲) علامت ضرب را حتماً بنویس ($2n$ برای $n=3$ می‌شود $2 \times 3$، نه ۲۳). ۳) با رعایتِ ترتیب عملیات حساب کن.

🔑 ترتیب عملیات داخل پرانتز هم رعایت می‌شود. در $3(t + 27 \div s)$ با $t=6$ و $s=3$، اول $27 \div 3 = 9$ و بعد $6+9=15$، پس جواب $3 \times 15 = 45$ است — نه اینکه اول $6+27$ را حساب کنی.

🔑 عددِ منفی را همیشه داخل پرانتز جایگذاری کن: برای $n=-5$ بنویس $2 \times (-5) - 7 = -17$.

عبارت کسری: صورت و مخرج را جدا حساب کن، بعد تقسیم کن. برای $\frac{4a-1}{1+2a}$ با $a=2$: صورت $8-1=7$ و مخرج $1+4=5$، پس $\frac{7}{5}$.

اول ساده کن، بعد جایگذاری کن. برای $3(2x-3y) - 5(x-2y)$ با $x=2$ و $y=3$:
مستقیم: $3(4-9) - 5(2-6) = -15 + 20 = 5$.
یا اول ساده کن: $6x - 9y - 5x + 10y = x+y$، بعد $2+3 = 5$. روش دوم خیلی سریع‌تر و کم‌خطاتر است، به‌ویژه اگر بخواهی عبارت را برای چند مقدار مختلف حساب کنی.

تلهٔ همیشگی: $(-a)^2$ در برابر $-a^2$

پس $(-3)^2 = 9$ ولی $-3^2 = -9$.
🔑 اگر پرانتز دور عددِ منفی باشد، توان روی کلِ عددِ منفی اثر می‌کند؛ اگر پرانتز نباشد، توان فقط روی خودِ عدد اثر می‌کند و منفی بیرون می‌ماند.

معادله

تساوی جبری رابطه‌ای است با متغیر، مثل $4n=12$. اگر این تساوی فقط برای بعضی عددها درست شود، به آن معادله می‌گویند و آن عددهای خاص جوابِ معادلهاند.
مثلاً در $6n+7=37$، مقدارهای $n=3,4,6$ جواب نمی‌دهند و فقط $n=5$ تساوی را برقرار می‌کند.

اصل تساوی — قلبِ حل معادله

اگر روی دو طرف تساوی عملیاتِ یکسانی انجام دهیم، تساوی حفظ می‌شود. از $4=4$ اگر به هر دو طرف ۳ اضافه کنیم می‌شود $7=7$؛ از $8=8$ اگر هر دو طرف را در ۳ ضرب کنیم می‌شود $24=24$.
🔑 معادله دقیقاً مثل یک ترازوی متعادل است: تا وقتی هر کاری با یک کفه می‌کنی، عیناً با کفهٔ دیگر هم بکنی، تعادل به هم نمی‌خورد.

از همین اصل، قانون انتقال می‌آید: وقتی جمله‌ای از یک طرف به طرف دیگر می‌رود، علامتش عوض می‌شود.

روش حل معادله

۱) معادلهٔ ساده: $2x - 1 = 7$ ← به هر دو طرف $+1$: $2x = 8$ ← تقسیم بر ۲: $x = 4$. بررسی: $2\times4-1 = 7$ ✓

۲) مجهول در هر دو طرف: $3x - 4 = x$ ← از هر دو طرف $x$ کم کن: $2x - 4 = 0$ ← $2x = 4$ ← $x = 2$. بررسی: $3\times2-4 = 2$ ✓

۳) معادلهٔ پرانتزدار: $5(x+2) = 40$ ← اول پرانتز را باز کن: $5x + 10 = 40$ ← $5x = 30$ ← $x = 6$. بررسی: $5 \times 8 = 40$ ✓

۴) معادلهٔ کسری: بهترین کار این است که هر دو طرف را در مخرج مشترک ضرب کنی تا کسرها بروند. برای $\frac{x}{3} + 2 = 5$ هر دو طرف را در ۳ ضرب کن: $x + 6 = 15$، پس $x = 9$. بررسی: $\frac{9}{3}+2 = 5$ ✓

🔑 حل با «ماشین برعکس»: معادلهٔ $2x-5=1$ همان ماشینِ $x \xrightarrow{\times 2} \xrightarrow{-5} 1$ است؛ برعکس اجرایش کن: $1 \xrightarrow{+5} 6 \xrightarrow{\div 2} 3$، پس $x=3$. همان کارِ انتقالِ جمله است، فقط با تصویر ذهنیِ دیگری.

🔑 روشِ حدس و آزمایش برای معادله‌های خیلی ساده جواب می‌دهد، ولی وقتی جواب اعشاری یا منفی باشد کار نمی‌کند؛ روش جبری همیشه مطمئن است.

مسئله‌های کلامی — روش چهار مرحله‌ای

۱) مجهول را انتخاب کن و بنویس «$x$ = چیست». ۲) معادله بساز. ۳) حل کن. ۴) جواب را در متنِ مسئله بررسی کن.

نمونهٔ کامل — باغبان: باغبانی ۱۰۰ گل داشت، در باغچه‌ای ۶ متر مربعی کاشت و ۴ گل اضافه آمد. در هر متر مربع چند گل کاشته است؟
$x$ = تعداد گل در هر متر مربع، پس $6x + 4 = 100 \Rightarrow 6x = 96 \Rightarrow x = 16$. بررسی: $6 \times 16 + 4 = 100$ ✓

نمونهٔ کامل — عددهای متوالی: دو عدد متوالی که جمعشان ۱۹ است کدام‌اند؟
اگر اولی $x$ باشد، دومی $x+1$ است: $x + (x+1) = 19 \Rightarrow 2x + 1 = 19 \Rightarrow x = 9$. پس ۹ و ۱۰.

نمونهٔ کامل — عددهای زوجِ متوالی: سه عدد زوجِ متوالی که جمعشان $-42$ است کدام‌اند؟
عددهای زوج (یا فرد) متوالی با هم ۲ فاصله دارند، پس $x$، $x+2$، $x+4$:

عددها: $-16$، $-14$، $-12$. بررسی: جمعشان $-42$ ✓

🔑 جوابِ منفی لزوماً غلط نیست. فقط وقتی باید شک کنی که با متنِ مسئله جور درنیاید — مثلاً وقتی مجهول تعداد نفر یا سن باشد.

یک سؤالِ تشخیصیِ خوب

سه دنباله را ببین: $A: 3, 7, 11, 15, \ldots$ و $B: 2, 5, 10, 17, \ldots$ و $C: 5, 9, 13, 17, \ldots$. آیا $A$ و $C$ فرمولِ یکسانی دارند؟ آیا $B$ خطی است؟
فرمولِ $A$: تفاضل ۴ و $d=-1$، یعنی $4n-1$. فرمولِ $C$: تفاضل ۴ و $d=+1$، یعنی $4n+1$. پس با اینکه تفاضلشان یکی است، فرمولشان یکی نیست و مثلاً جملهٔ دهمشان $39$ و $41$ می‌شود. تفاضل‌های $B$ برابر $3, 5, 7$ است و ثابت نیست، پس $B$ خطی نیست.
🔑 درسِ این سؤال: تفاضلِ یکسان به‌تنهایی فرمولِ یکسان نمی‌سازد؛ $d$ را هم باید حساب کنی.

اشتباه‌های رایج

• جمع کردن جمله‌های ناهمگن: $3a + 5b$ برابر $8ab$ نمی‌شود؛ همین‌طور می‌ماند. و $2x + 3$ هم $5x$ نمی‌شود.
• توزیع ناقص: $3(2x+5y)$ برابر $6x+5y$ نیست؛ درستش $6x+15y$ است.
• فراموش‌کردنِ منفیِ پشتِ پرانتز: $-(3x-5y) = -3x+5y$، نه $-3x-5y$.
• عوض‌نکردنِ علامت هنگام انتقال: از $2x-3=7$ نتیجه $2x = 7+3$ است، نه $7-3$.
• باز نکردنِ درستِ پرانتز در معادله: $5(x+2)=40$ یعنی $5x+10=40$، نه $5x+2=40$.
• ترکیب‌نکردنِ جمله‌های متشابه پیش از حل: در $3x - x - 4 = 0$ اول $3x-x=2x$ کن، بعد حل: $x=2$.
• نوشتنِ عددهای زوج/فردِ متوالی به‌صورت $x, x+1, x+2$ به‌جای $x, x+2, x+4$.
• بررسی‌نکردنِ جواب. همیشه جواب را در معادلهٔ اصلی بگذار؛ یک دقیقه وقت می‌برد و جلوی از دست دادن نمره را می‌گیرد.
• گرفتنِ تفاضل از جمله‌های غیرمتوالی در الگویابی؛ همیشه دو جملهٔ پشت‌سرهم.

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) در الگوی $7, 11, 15, 19, \ldots$ فرمولِ جملهٔ $n$ام و جملهٔ پانزدهم را بیاب.
تفاضل ثابت $11-7=4$؛ با $n=1$: $4+d=7$ پس $d=3$؛ فرمول $4n+3$. جملهٔ پانزدهم: $4 \times 15 + 3 = 63$. تأیید با جملهٔ دوم: $4\times2+3 = 11$ ✓

۲) در الگوی $2, 6, 10, 14, \ldots$ کدام جمله برابر ۹۸ است؟
تفاضل $c=4$ و با $n=1$: $4+d=2$ پس $d=-2$ و فرمول $4n-2$. حالا معادله می‌سازیم: $4n-2=98 \Rightarrow 4n=100 \Rightarrow n=25$. پس ۹۸ جملهٔ بیست‌وپنجم است.

۳) عبارت $4(3x-2)+5x-1$ را ساده کن.

۴) مستطیلی داریم که طولش ۳ واحد بیشتر از دو برابرِ عرض است. اگر عرض را $w$ بنامیم، محیط را بر حسب $w$ بنویس و ساده کن.
طول $=2w+3$ و عرض $=w$، پس $P = 2(w) + 2(2w+3) = 2w + 4w + 6 = 6w+6$.

۵) اگر $3(x+2y)-y+7$ برای هر $x$ و $y$ با $3x+ky+7$ برابر باشد، $k$ چند است؟
سمت چپ را ساده می‌کنیم: $3x+6y-y+7 = 3x+5y+7$. برای اینکه دو عبارت برای همهٔ مقدارها برابر باشند، ضریبِ $y$ باید یکی باشد، پس $k=5$.

۶) عبارت $\dfrac{2a+3}{a-5}$ را به ازای $a=1$ حساب کن.

۷) عبارت $2(x-3y)^2 - x$ را به ازای $x=4$ و $y=1$ حساب کن.
اول داخل پرانتز: $4 - 3\times1 = 1$؛ بعد توان: $1^2 = 1$؛ بعد بقیه: $2 \times 1 - 4 = -2$.

۸) معادلهٔ $\dfrac{x}{4} - 1 = \dfrac{x}{6}$ را حل کن.
مخرج مشترکِ ۴ و ۶ برابر ۱۲ است؛ هر دو طرف را در ۱۲ ضرب می‌کنیم: $3x - 12 = 2x$، پس $x = 12$. بررسی: $\frac{12}{4}-1 = 2$ و $\frac{12}{6} = 2$ ✓

۹) در الگوی قابِ مربعی، شکل $n$ام یک قابِ مربعی به ضلع $n$ است که فقط مربع‌های حاشیه‌اش رنگی‌اند. در شکل بیستم چند مربعِ رنگی و چند مربعِ سفید داریم؟
از شمارشِ حالت‌های کوچک: $n=2 \to 4$، $n=3 \to 8$، $n=4 \to 12$؛ تفاضل ثابت ۴ است و با $n=2$: $8+d=4$ پس $d=-4$ و فرمولِ مربع‌های رنگی $4n-4$ می‌شود. برای $n=20$: $4\times20-4 = 76$ مربعِ رنگی. کلِ مربع‌ها $20^2 = 400$ است، پس مربع‌های سفید $400-76 = 324$ تا هستند. راهِ دوم برای همین جواب: ناحیهٔ داخلی خودش مربعی به ضلع $n-2$ است، یعنی $18^2 = 324$ ✓ تطبیقِ دو روش، بهترین راهِ اطمینان در جلسهٔ امتحان است.

۱۰) آیا $3(2x-1)-2(x-4)$ برای هر $x$ با $4x+5$ برابر است؟
با ساده‌سازی: $6x-3-2x+8 = 4x+5$، پس بله همیشه برابرند. تأیید با جایگذاری: برای $x=0$ هر دو $5$ می‌شوند و برای $x=2$ هر دو $13$.
🔑 همین ترفند را برای چک‌کردنِ هر ساده‌سازی به کار ببر: یک عدد دلخواه بگذار؛ اگر قبل و بعدِ ساده‌سازی مقدار یکی بود، جوابت درست است.

۱۱) مجموع سنِ سارا و برادرش ۲۸ سال است. ۴ سال پیش، سنِ سارا سه برابرِ سنِ برادرش بود. سنِ فعلیِ هرکدام چند است؟
فرض کن سنِ فعلیِ برادر $x$ باشد؛ پس سنِ سارا $28-x$ است. رابطهٔ «۴ سال پیش»:

پس برادر ۹ ساله و سارا $28-9=19$ ساله است. بررسی: ۴ سال پیش سارا ۱۵ و برادرش ۵ ساله بوده و $15 = 3\times5$ ✓