پرش به محتوای اصلی

شمارنده‌ها، ب.م.م و ک.م.م (ریاضی هفتم)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

شمارنده‌ها و اعداد اول (هفتم)

شمارنده چیست؟

شمارندهٔ یک عدد، هر عددی است که آن عدد را بدون باقی‌مانده تقسیم کند.
مثلاً شمارنده‌های ۱۲ عبارت‌اند از {1,2,3,4,6,12}\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، چون ۱۲ بر هرکدام از این‌ها بدون باقی‌مانده بخش می‌شود.

سه راه برای پیدا کردنشان: تقسیم (عدد را بر 1,2,3,…1, 2, 3, \ldotsادامهٔ فرمول را افقی ببین تقسیم کن و هرجا باقی‌مانده صفر شد یادداشت کن)، ضرب (ببین چه جفت‌هایی ضرب شوند آن عدد می‌شوند: 12=1×12=2×6=3×412 = 1\times12 = 2\times6 = 3\times4ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، و دسته‌بندی (۱۲ شیء را چندتا چندتا می‌شود شمرد).

قانون‌های پایه

  • عدد ۱ شمارندهٔ همهٔ عددهاست و همیشه کوچک‌ترین شمارنده است.
  • بزرگ‌ترین شمارندهٔ هر عدد، خودِ آن عدد است.
  • همهٔ شمارنده‌های یک عدد، کوچک‌تر یا مساویِ آن عددند.
  • هر عدد بزرگ‌تر از ۱ دست‌کم ۲ شمارنده دارد: ۱ و خودش.
  • اگر a×b=ca \times b = cادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، هم aaادامهٔ فرمول را افقی ببین و هم bbادامهٔ فرمول را افقی ببین شمارندهٔ ccادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند.

خاصیت انتقالی: اگر aaادامهٔ فرمول را افقی ببین شمارندهٔ bbادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد و bbادامهٔ فرمول را افقی ببین شمارندهٔ ccادامهٔ فرمول را افقی ببین، آنگاه aaادامهٔ فرمول را افقی ببین شمارندهٔ ccادامهٔ فرمول را افقی ببین هم هست. مثلاً ۲ شمارندهٔ ۴ است و ۴ شمارندهٔ ۱۲، پس ۲ شمارندهٔ ۱۲ است.

شمارنده‌ها معمولاً جفت‌جفت می‌آیند (11ادامهٔ فرمول را افقی ببین با 1212ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین با 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین با 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، پس تعدادشان زوج است. استثنا مربع‌های کاملاند: در 9=3×39 = 3\times3ادامهٔ فرمول را افقی ببین عددِ ۳ با خودش جفت می‌شود، پس شمارنده‌های ۹ سه‌تا هستند: {1,3,9}\{1,3,9\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اعداد 4,9,16,25,…4, 9, 16, 25, \ldotsادامهٔ فرمول را افقی ببین تعدادِ فردِ شمارنده دارند.

عدد اول و عدد مرکب

عدد اول عددی است که دقیقاً ۲ شمارنده دارد: ۱ و خودش. مثل 77ادامهٔ فرمول را افقی ببین با شمارنده‌های {1,7}\{1,7\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
عدد مرکب عددِ طبیعیِ بزرگ‌تر از ۱ است که اول نیست، یعنی جز ۱ و خودش شمارندهٔ دیگری هم دارد؛ مثل 4,6,8,9,124, 6, 8, 9, 12ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
عدد ۱ نه اول است و نه مرکب — چون فقط یک شمارنده دارد، نه دو تا.
عدد ۲ تنها عدد اولِ زوج است؛ هر عدد زوجِ بزرگ‌تر از ۲ بر ۲ بخش‌پذیر است و شمارندهٔ سومی پیدا می‌کند.
معیارِ ساده: اگر بتوانی عدد را به‌صورت ضرب دو عددِ بزرگ‌تر از ۱ بنویسی، اول نیست.

اعداد اول کمتر از ۳۰ را حفظ کن:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,292, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29ادامهٔ فرمول را افقی ببین

الک اراتوستن: عددهای ۱ تا ۳۰ را بنویس، ۱ را خط بزن، ۲ را نگه دار و همهٔ مضرب‌هایش را خط بزن، بعد ۳ و مضرب‌هایش، بعد ۵ و مضرب‌هایش؛ آنچه می‌ماند همه اول‌اند.

قاعده‌های بخش‌پذیری

بخش‌پذیر بر شرط
22ادامهٔ فرمول را افقی ببین رقمِ آخر زوج باشد
33ادامهٔ فرمول را افقی ببین مجموع رقم‌ها بر ۳ بخش‌پذیر باشد
55ادامهٔ فرمول را افقی ببین رقمِ آخر ۰ یا ۵ باشد
1010ادامهٔ فرمول را افقی ببین رقمِ آخر ۰ باشد

برای بخش‌پذیری بر ۱۵ باید عدد هم بر ۳ و هم بر ۵ بخش‌پذیر باشد. مثلاً 345345ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر ۵ بخش‌پذیر است و 3+4+5=123+4+5 = 12ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر ۳ بخش‌پذیر است، پس بر ۱۵ بخش‌پذیر است؛ ولی 925925ادامهٔ فرمول را افقی ببین با آنکه بر ۵ بخش‌پذیر است، چون 9+2+5=169+2+5=16ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر ۳ بخش‌پذیر نیست، بر ۱۵ بخش‌پذیر نیست.

روش سریعِ تشخیص اول‌بودن: کافی است بخش‌پذیریِ عدد را فقط بر اعداد اولِ کوچک‌تر یا مساویِ n\sqrt{n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین بررسی کنی.

زوج و فرد در یک نگاه: زوج+زوج و فرد+فرد هر دو زوج می‌شوند، ولی زوج+فرد فرد است. در ضرب، فقط فرد×فرد فرد می‌ماند و بقیهٔ حالت‌ها زوج‌اند.

چند نکتهٔ جالب دربارهٔ اعداد اول

  • اقلیدس ثابت کرد اعداد اول بی‌نهایتاند؛ همیشه می‌توان عدد اولِ بزرگ‌تری پیدا کرد.
  • حدس گلدباخ (۱۷۴۲): هر عدد زوجِ بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان جمعِ دو عدد اول نوشت — 4=2+24 = 2+2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 8=3+58 = 3+5ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 10=3+710 = 3+7ادامهٔ فرمول را افقی ببین. این حدس تا امروز اثبات نشده و یکی از مشهورترین مسئله‌های حل‌نشدهٔ ریاضی است.
  • جمعِ دو عدد اول لزوماً اول نیست: 2+3=52+3 = 5ادامهٔ فرمول را افقی ببین اول است، ولی 3+5=83+5 = 8ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 5+7=125+7 = 12ادامهٔ فرمول را افقی ببین مرکب‌اند.
  • حاصل‌ضربِ دو عدد اول هرگز اول نیست، چون آن دو خودشان شمارنده می‌شوند و عدد دست‌کم چهار شمارنده پیدا می‌کند.

شمارندهٔ اول و تجزیه

از میان شمارنده‌های یک عدد، آن‌هایی که خودشان اول‌اند شمارندهٔ اول نام دارند. شمارنده‌های ۱۲ عبارت‌اند از {1,2,3,4,6,12}\{1,2,3,4,6,12\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شمارنده‌های اولِ آن فقط {2,3}\{2, 3\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند.
عدد ۱ هرگز شمارندهٔ اول نیست، چون خودش اول نیست.

شمارنده‌های اول مثل مصالحِ ساختمانیاند: بقیهٔ شمارنده‌ها از ترکیبِ آن‌ها ساخته می‌شوند. برای ۱۲: 4=2×24 = 2\times2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 6=2×36 = 2\times3ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 12=2×2×312 = 2\times2\times3ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

تجزیه یعنی نوشتنِ عدد به‌صورتِ ضربِ عددهای اول. دو روش دارد:

  • نمودار درختی: عدد را مرحله‌به‌مرحله به دو عاملِ کوچک‌تر بشکن و هر شاخه‌ای که به عددِ اول رسید متوقفش کن.
  • جدول تقسیم: پیاپی بر کوچک‌ترین عددِ اولِ ممکن تقسیم کن تا به ۱ برسی. برای ۱۸۰: بر ۲ ← ۹۰، بر ۲ ← ۴۵، بر ۳ ← ۱۵، بر ۳ ← ۵، بر ۵ ← ۱.

ترتیبِ امتحان‌کردن: اول ۲ (اگر زوج است)، بعد ۳ (اگر مجموع رقم‌ها بر ۳ بخش‌پذیر است)، بعد ۵، بعد ۷.

نمایش توانی تجزیه را کوتاه می‌کند:

180=2×2×3×3×5=22×32×5180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5ادامهٔ فرمول را افقی ببین

قضیهٔ اساسی حساب: هر عدد طبیعیِ بزرگ‌تر از ۱ فقط یک تجزیه به عوامل اول دارد. از هر مسیری که شروع کنی، به همان نتیجه می‌رسی — تجزیه مثل شناسنامهٔ عدد است. مثلاً چه ۳۶ را اول 4×94 \times 9ادامهٔ فرمول را افقی ببین بنویسی چه 2×182 \times 18ادامهٔ فرمول را افقی ببین، در پایان به 22×322^2 \times 3^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسی.

همهٔ شمارنده‌ها از روی تجزیه

وقتی تجزیه را داری، هر شمارنده از انتخابِ «چند تا از هر عاملِ اول» ساخته می‌شود. برای 12=22×312 = 2^2 \times 3ادامهٔ فرمول را افقی ببین: از عاملِ ۲ می‌توان ۰، ۱ یا ۲ تا برداشت و از ۳ می‌توان ۰ یا ۱ تا؛ همهٔ ترکیب‌ها می‌شوند {1,2,4,3,6,12}\{1,2,4,3,6,12\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
پس تعداد شمارنده‌ها = ضربِ «توانِ هر عاملِ اول به‌علاوهٔ یک». برای n=23×32×5n = 2^3\times3^2\times5ادامهٔ فرمول را افقی ببین: (3+1)(2+1)(1+1)=4×3×2=24(3+1)(2+1)(1+1) = 4\times3\times2 = 24ادامهٔ فرمول را افقی ببین شمارنده.

ساده کردنِ کسر با تجزیه

صورت و مخرج را تجزیه کن و عامل‌های اولِ مشترک را حذف کن:

2842=2×2×72×3×7=23\frac{28}{42} = \frac{2 \times 2 \times 7}{2 \times 3 \times 7} = \frac{2}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اگر صورت و مخرج هیچ عاملِ اولِ مشترکی نداشته باشند، کسر دیگر ساده نمی‌شود.
تا آخر ساده کن؛ متوقف‌شدن در 1218→69\frac{12}{18} \to \frac{6}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کافی نیست، چون هنوز عاملِ مشترکِ ۳ دارند: 1218=23\frac{12}{18} = \frac{2}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

کاربردِ جالب: اگر مساحتِ مستطیلی ۱۸ و طول و عرضش عددِ طبیعی باشند، حالت‌های ممکن دقیقاً همان جفت‌شمارنده‌های ۱۸ هستند: (1,18)(1,18)ادامهٔ فرمول را افقی ببین، (2,9)(2,9)ادامهٔ فرمول را افقی ببین و (3,6)(3,6)ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

ب.م.م — بزرگ‌ترین شمارندهٔ مشترک

ب.م.م دو عدد بزرگ‌ترین عددی است که هر دو را بدون باقی‌مانده تقسیم کند؛ آن را با (a و b)(a \text{ و } b)ادامهٔ فرمول را افقی ببین نشان می‌دهیم. نام دیگرش «بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک» است.

روش اول (برای عددهای کوچک): شمارنده‌های هر دو را بنویس و بزرگ‌ترین مشترک را بردار. شمارنده‌های ۱۸ برابر {1,2,3,6,9,18}\{1,2,3,6,9,18\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شمارنده‌های ۲۴ برابر {1,2,3,4,6,8,12,24}\{1,2,3,4,6,8,12,24\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند؛ مشترک‌ها {1,2,3,6}\{1,2,3,6\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و بزرگ‌ترینشان 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

روش دوم (تجزیه): فقط عامل‌های اولِ مشترک را با کمترین توانشان ضرب کن.

18=2×3224=23×3⇒ب.م.م=2×3=618 = 2 \times 3^2 \qquad 24 = 2^3 \times 3 \qquad \Rightarrow \qquad \text{ب.م.م} = 2 \times 3 = 6ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چرا کمترین؟ چون ب.م.م باید هر دو عدد را کامل تقسیم کند. اگر دو تا ۳ برداریم (یعنی ۹)، دیگر ۲۴ بر ۹ بخش‌پذیر نیست.

برای سه عدد همان کار را می‌کنی، ولی عاملی که در یکی از آن‌ها نباشد اصلاً برداشته نمی‌شود. مثلاً برای ۱۲ و ۳۶ و ۲۸: عاملِ ۲ در هر سه دست‌کم دو بار هست، ولی ۳ در ۲۸ نیست و ۷ فقط در ۲۸ است، پس ب.م.م =2×2=4= 2\times2 = 4ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

خواصِ ب.م.م:

  • ب.م.م همیشه از هر دو عدد کوچک‌تر یا مساوی است.
  • اگر یکی بر دیگری بخش‌پذیر باشد، ب.م.م همان عددِ کوچک‌تر است: (36 و 12)=12(36 \text{ و } 12) = 12ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • اگر دو عدد هیچ عاملِ مشترکی جز ۱ نداشته باشند، ب.م.م آن‌ها ۱ است و می‌گوییم نسبت به هم اولاند. توجه کن که خودشان لازم نیست اول باشند: 8=238 = 2^3ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 9=329 = 3^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین هیچ‌کدام اول نیستند ولی (8 و 9)=1(8 \text{ و } 9) = 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

در مسائلِ «بزرگ‌ترین اندازه‌ای که جا می‌شود»، جواب همیشه ب.م.م است. مثلاً برای پرکردنِ قابی 16×1216 \times 12ادامهٔ فرمول را افقی ببین با کاشی‌های مربعیِ بی‌برش، ضلعِ کاشی باید شمارندهٔ هر دو بُعد باشد و بزرگ‌ترینش (16 و 12)=4(16 \text{ و } 12) = 4ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس کاشیِ 4×44 \times 4ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

ب.م.م و ساده کردنِ کسر در یک مرحله: برای 96144\frac{96}{144}ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم 96=25×396 = 2^5\times3ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 144=24×32144 = 2^4\times3^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس ب.م.م =24×3=48= 2^4\times3 = 48ادامهٔ فرمول را افقی ببین و یک‌باره: 96÷48144÷48=23\frac{96 \div 48}{144 \div 48} = \frac{2}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین — به‌جای پنج مرحله ساده‌سازیِ پیاپی.

الگوریتم اقلیدس (برای عددهای بزرگ): ب.م.م(a,b)=ب.م.م(b, باقی‌ماندهٔ a÷b)\text{ب.م.م}(a,b) = \text{ب.م.م}(b,\ \text{باقی‌ماندهٔ } a \div b)ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مثلاً 48=2×18+1248 = 2\times18 + 12ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سپس 18=1×12+618 = 1\times12 + 6ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سپس 12=2×6+012 = 2\times6 + 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ باقی‌مانده صفر شد، پس ب.م.م برابر ۶ است.

ک.م.م — کوچک‌ترین مضرب مشترک

مضرب‌های یک عدد از ضربِ آن در عددهای طبیعی به دست می‌آیند: مضرب‌های ۳ برابرند با 3,6,9,12,…3, 6, 9, 12, \ldotsادامهٔ فرمول را افقی ببین

ویژگی شمارنده مضرب
رابطه با خودِ عدد کوچک‌تر یا مساوی بزرگ‌تر یا مساوی
تعداد محدود نامحدود
نمونه برای ۶ 1,2,3,61, 2, 3, 6ادامهٔ فرمول را افقی ببین 6,12,18,24,…6, 12, 18, 24, \ldotsادامهٔ فرمول را افقی ببین

مضرب و شمارنده دو رویِ یک سکه‌اند: از 6×4=246 \times 4 = 24ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌خوانیم «۲۴ مضربِ ۶ و ۴ است» و «۶ و ۴ شمارنده‌های ۲۴ هستند».

ک.م.م کوچک‌ترین عددی است که مضربِ هر دو عدد باشد و با [a و b][a \text{ و } b]ادامهٔ فرمول را افقی ببین نشانش می‌دهیم.
روش تجزیه: همهٔ عامل‌های اولِ موجود را با بیشترین توانشان ضرب کن.

12=22×318=2×32⇒[12 و 18]=22×32=3612 = 2^2 \times 3 \qquad 18 = 2 \times 3^2 \qquad \Rightarrow \qquad [12 \text{ و } 18] = 2^2 \times 3^2 = 36ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چرا بیشترین؟ چون ک.م.م باید بر هر دو عدد بخش‌پذیر باشد؛ اگر یکی دو تا ۳ دارد، ک.م.م هم باید دست‌کم دو تا ۳ داشته باشد.

خواصِ ک.م.م:

  • ک.م.م همیشه از هر دو عدد بزرگ‌تر یا مساوی است.
  • اگر aaادامهٔ فرمول را افقی ببین بر bbادامهٔ فرمول را افقی ببین بخش‌پذیر باشد، [a و b]=a[a \text{ و } b] = aادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، ک.م.م برابرِ حاصل‌ضربشان است؛ مثلاً [7 و 11]=77[7 \text{ و } 11] = 77ادامهٔ فرمول را افقی ببین و [8 و 9]=72[8 \text{ و } 9] = 72ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • بقیهٔ مضرب‌های مشترک، همگی مضرب‌های ک.م.م هستند.

در مسائلِ «چه وقت دوباره با هم...؟» جواب همیشه ک.م.م است — اتوبوس، زنگ، چراغِ چشمک‌زن. مثلاً اگر دو اتوبوس هر ۲۰ و هر ۳۰ دقیقه حرکت کنند، [20 و 30]=60[20 \text{ و } 30] = 60ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقه بعد دوباره هم‌زمان می‌شوند.

کاربردِ اصلی: مخرجِ مشترکِ کسرها. بهترین مخرج مشترک همان ک.م.مِ مخرج‌هاست، چون کوچک‌ترین است و بعدش لازم نیست کسر را ساده کنی:

56+79=1518+1418=2918( [6 و 9]=18 )\frac{5}{6} + \frac{7}{9} = \frac{15}{18} + \frac{14}{18} = \frac{29}{18} \qquad (\,[6 \text{ و } 9] = 18\,)ادامهٔ فرمول را افقی ببین

ب.م.مِ دو عدد همیشه شمارندهٔ ک.م.مِ آن‌هاست. مثلاً (12 و 18)=6(12 \text{ و } 18) = 6ادامهٔ فرمول را افقی ببین و [12 و 18]=36[12 \text{ و } 18] = 36ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و 36÷6=636 \div 6 = 6ادامهٔ فرمول را افقی ببین ✓

رابطهٔ طلایی

[a و b]×(a و b)=a×b[a \text{ و } b] \times (a \text{ و } b) = a \times bادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثلاً برای ۱۲ و ۱۸: 36×6=21636 \times 6 = 216ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 12×18=21612 \times 18 = 216ادامهٔ فرمول را افقی ببین ✓
این رابطه فقط برای دو عدد درست است، نه سه عدد.

ب.م.م ک.م.م
کدام عامل‌ها؟ فقط عامل‌های مشترک همهٔ عامل‌ها
با چه توانی؟ کمترین بیشترین
نتیجه از هر دو عدد کوچک‌تر یا مساوی از هر دو عدد بزرگ‌تر یا مساوی

یک کاربردِ دیگر: جعبه در کارتن

اگر بخواهی جعبه‌های 25×12×525\times12\times5ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در کارتنی 50×24×3050\times24\times30ادامهٔ فرمول را افقی ببین بچینی، هر بُعدِ کارتن را بر بُعدِ متناظرِ جعبه تقسیم می‌کنی: 5025=2\frac{50}{25}=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 2412=2\frac{24}{12}=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 305=6\frac{30}{5}=6ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ پس 2×2×6=242\times2\times6 = 24ادامهٔ فرمول را افقی ببین جعبه جا می‌شود. شرطش این است که هر بُعد کاملاً بخش‌پذیر باشد، وگرنه جعبه‌ها جا نمی‌گیرند.

اشتباه‌های رایج

  • اول شمردنِ عدد ۱ یا اول ندانستنِ عدد ۲.
  • نگاه‌کردن به رقمِ آخر برای بخش‌پذیری بر ۳؛ باید مجموعِ رقم‌ها را حساب کنی.
  • جا انداختنِ ۱ و خودِ عدد در فهرستِ شمارنده‌ها.
  • متوقف‌شدنِ تجزیه پیش از رسیدن به اعدادِ اول: نوشتنِ 36=4×936 = 4\times9ادامهٔ فرمول را افقی ببین کافی نیست؛ باید تا 2×2×3×32\times2\times3\times3ادامهٔ فرمول را افقی ببین ادامه بدهی.
  • نوشتنِ ۱ به‌عنوانِ شمارندهٔ اول.
  • برداشتنِ بیشترین توان در ب.م.م به‌جای کمترین.
  • وارد کردنِ عاملی که فقط در یکی از دو عدد هست در ب.م.م. برای ۲۸ و ۱۲، ب.م.م برابر ۴ است نه ۸۴.
  • حذفِ عاملِ غیرمشترک در ک.م.م. برای ۱۵ و ۲۰ باید ۳ و دو تا ۲ هم بیایند: ک.م.م =60=60ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نه ۵.
  • جابه‌جا گرفتنِ ب.م.م و ک.م.م در مسائلِ کاربردی؛ «بزرگ‌ترین اندازه» یعنی ب.م.م و «دوباره هم‌زمان» یعنی ک.م.م.

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) شمارنده‌های ۲۴ را بنویس و بگو کدام‌ها اول‌اند.
شمارنده‌ها: {1,2,3,4,6,8,12,24}\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ از این هشت تا فقط ۲ و ۳ اول‌اند.

۲) از میان ۵۱، ۵۷، ۶۳ و ۶۷ کدام اول است؟
51=3×1751 = 3\times17ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 57=3×1957 = 3\times19ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 63=7×963 = 7\times9ادامهٔ فرمول را افقی ببین همه مرکب‌اند. برای ۶۷ چون 67≈8.2\sqrt{67} \approx 8.2ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، فقط بخش‌پذیری بر ۲، ۳، ۵ و ۷ را چک می‌کنیم: فرد است، 6+7=136+7 = 13ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر ۳ بخش‌پذیر نیست، به ۰ یا ۵ ختم نمی‌شود و بر ۷ هم بخش‌پذیر نیست. پس ۶۷ اول است.

۳) بدون امتحانِ همهٔ عددها نشان بده ۹۱ اول نیست.
91≈9.5\sqrt{91} \approx 9.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس فقط ۲، ۳، ۵ و ۷ را چک می‌کنیم. ۹۱ فرد است، 9+1=109+1 = 10ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر ۳ بخش‌پذیر نیست، به ۰ یا ۵ ختم نمی‌شود، ولی 91÷7=1391 \div 7 = 13ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیق است. پس 91=7×1391 = 7 \times 13ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مرکب است.

۴) عدد ۴۸ را تجزیه کن و به‌صورت توانی بنویس.
48=2×24=2×2×12=2×2×2×6=2×2×2×2×348 = 2\times24 = 2\times2\times12 = 2\times2\times2\times6 = 2\times2\times2\times2\times3ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی 48=24×348 = 2^4 \times 3ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۵) کسرِ 23×32×522×33×7\dfrac{2^3 \times 3^2 \times 5}{2^2 \times 3^3 \times 7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را ساده کن.
عاملِ ۲ با کمترین توان (یعنی 222^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین) حذف می‌شود و از صورت یک ۲ می‌ماند؛ عاملِ ۳ با 323^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین حذف می‌شود و از مخرج یک ۳ می‌ماند؛ ۵ و ۷ مشترک نیستند و می‌مانند:

23×32×522×33×7=2×53×7=1021\frac{2^3 \times 3^2 \times 5}{2^2 \times 3^3 \times 7} = \frac{2 \times 5}{3 \times 7} = \frac{10}{21}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

۶) معلمی می‌خواهد ۴۲ پسر و ۳۵ دختر را در گروه‌های هم‌اندازه بگذارد (هر گروه یا فقط پسر یا فقط دختر) و اندازهٔ گروه بیشترین مقدارِ ممکن باشد. هر گروه چند نفر و در کل چند گروه می‌شود؟
بیشترین اندازه همان ب.م.م است: 42=2×3×742 = 2\times3\times7ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 35=5×735 = 5\times7ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس ب.م.م =7=7ادامهٔ فرمول را افقی ببین. هر گروه ۷ نفره است؛ 42÷7=642\div7 = 6ادامهٔ فرمول را افقی ببین گروه پسر و 35÷7=535\div7 = 5ادامهٔ فرمول را افقی ببین گروه دختر، یعنی در کل ۱۱ گروه.

۷) ب.م.مِ ۸۴ و xxادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر ۱۲ است و xxادامهٔ فرمول را افقی ببین دورقمی است. xxادامهٔ فرمول را افقی ببین چند مقدار می‌تواند داشته باشد؟
84=22×3×784 = 2^2\times3\times7ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 12=22×312 = 2^2\times3ادامهٔ فرمول را افقی ببین. پس xxادامهٔ فرمول را افقی ببین باید مضربِ ۱۲ باشد ولی مضربِ ۷ نباشد (وگرنه ب.م.م بزرگ‌تر می‌شد). مضرب‌های دورقمیِ ۱۲ عبارت‌اند از 12,24,36,48,60,72,84,9612, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ عددِ ۸۴ خودش مضربِ ۷ است و حذف می‌شود. پس ۷ مقدار ممکن است.

۸) سه زنگ به‌ترتیب هر ۱۵، ۲۰ و ۲۵ دقیقه به صدا درمی‌آیند و ساعت ۸:۰۰ هر سه با هم زنگ زدند. دفعهٔ بعد کِی هم‌زمان می‌شوند؟
15=3×515 = 3\times5ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 20=22×520 = 2^2\times5ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 25=5225 = 5^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ با بیشترین توان‌ها: 22×3×52=3002^2 \times 3 \times 5^2 = 300ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقه، یعنی ۵ ساعت. پس ساعت ۱۳:۰۰.

۹) کوچک‌ترین عددِ طبیعیِ بزرگ‌تر از ۹ را بیاب که بر ۴، ۶ و ۹ که تقسیم شود، باقی‌ماندهٔ ۱ بدهد.
اگر عدد را NNادامهٔ فرمول را افقی ببین بنامیم، N−1N-1ادامهٔ فرمول را افقی ببین باید بر هر سه بخش‌پذیر باشد، یعنی مضربِ مشترکشان است و کوچک‌ترینش ک.م.م است: [4,6,9]=22×32=36[4, 6, 9] = 2^2\times3^2 = 36ادامهٔ فرمول را افقی ببین. پس N=37N = 37ادامهٔ فرمول را افقی ببین. بررسی: 3737ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر ۴، ۶ و ۹ باقی‌ماندهٔ ۱ می‌دهد ✓

۱۰) مجموعِ دو عدد اولِ متوالی ۳۶ است. اختلافشان چند است؟
جمعِ جفت‌های متوالی را می‌نویسیم: 2+3=52+3=5ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 3+5=83+5=8ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 5+7=125+7=12ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 7+11=187+11=18ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 11+13=2411+13=24ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 13+17=3013+17=30ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 17+19=3617+19=36ادامهٔ فرمول را افقی ببین. پس دو عدد ۱۷ و ۱۹ هستند و اختلافشان 19−17=219-17 = 2ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۱۱) ب.م.مِ ۱۵ و ۲۸ چند است؟
15=3×515 = 3\times5ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 28=22×728 = 2^2\times7ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ هیچ عاملِ اولِ مشترکی ندارند، پس ب.م.م =1=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین. یعنی این دو نسبت به هم اولاند، با اینکه خودشان اول نیستند.

۱۲) ب.م.مِ دو عدد ۸ و حاصل‌ضربشان ۳۸۴ است. ک.م.مِ آن‌ها چند است؟
از رابطهٔ طلایی: ک.م.م×8=384\text{ک.م.م} \times 8 = 384ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس ک.م.م =48= 48ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

سؤال تستی

۵ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. کدام عبارت زیر درباره‌ی اعداد اول نادرست است؟

  • تنها عدد اولِ زوج در بینِ همهٔ اعداد، 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
  • هر عدد اولِ بزرگ‌تر از 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین، عددی فرد است.
  • اگر عددی اول باشد، دقیقاً دو شمارنده دارد.
  • عدد 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم یک عدد اولِ کوچک است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«عدد 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک عدد اول است.» درست است (نادرست است) زیرا عدد 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط یک شمارنده دارد و اول نیست. بنابراین گزینهٔ صحیح (عبارت نادرست) همین است. «تنها عدد اول زوج، 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.» رد می‌شود زیرا این عبارت درست است و نادرست نیست، پس نمی‌تواند پاسخ سؤال باشد. «اگر عددی اول باشد، دقیقاً دو شمارنده دارد.» رد می‌شود زیرا این عبارت نیز درست است و نادرست نیست. «هر عدد اول بزرگ‌تر از 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین، فرد است.» رد می‌شود زیرا این عبارت نیز درست است و نادرست نیست. تلهٔ تستی این سؤال این است که بسیاری از دانش‌آموزان عدد 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین را به اشتباه اول می‌دانند، در حالی‌که عدد 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین نه اول است و نه مرکب.

2. عدد 180180ادامهٔ فرمول را افقی ببین را به اعداد اول تجزیه کنید. تعداد شمارنده‌های اول (عامل‌های اول متمایز) آن چند تا است؟

  • 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«33ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است زیرا 180=22×32×5180 = 2^2 \times 3^2 \times 5ادامهٔ فرمول را افقی ببین و عامل‌های اول متمایز 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند که تعدادشان 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. «44ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون شمارش اشتباه انجام شده است. «55ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود؛ برخی دانش‌آموزان تعداد عامل‌ها را با تکرار می‌شمارند (2,2,3,3,52,2,3,3,5ادامهٔ فرمول را افقی ببین) که 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود، اما مفهوم «شمارنده‌ی اول» یعنی هر عدد اول فقط یک بار شمرده می‌شود. «66ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون هیچ مبنایی ندارد. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز ممکن است تعداد عامل‌های اول را با تکرار (شامل توان‌ها) به‌جای تعداد متمایز آن‌ها حساب کند و گزینه‌ی 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین را انتخاب نماید.

3. یک باغبان دو تکه طناب به طول‌های 4242ادامهٔ فرمول را افقی ببین متر و 5656ادامهٔ فرمول را افقی ببین متر دارد. او می‌خواهد هر دو طناب را بدون هدررفت به قطعاتی مساوی و تا حد ممکن بزرگ ببرد. طول هر قطعه چند متر است؟

  • 2828ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 77ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1414ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2121ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«1414ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است زیرا ب.م.م(42,56)=14\text{ب.م.م}(42,56)=14ادامهٔ فرمول را افقی ببین و بزرگ‌ترین طول مشترک قطعات برابر 1414ادامهٔ فرمول را افقی ببین متر خواهد بود. «77ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود اگرچه شمارنده‌ی مشترک است اما بزرگ‌ترین نیست. «2121ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون 2121ادامهٔ فرمول را افقی ببین شمارنده‌ی 4242ادامهٔ فرمول را افقی ببین است ولی 5656ادامهٔ فرمول را افقی ببین را کامل تقسیم نمی‌کند. «2828ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون 2828ادامهٔ فرمول را افقی ببین شمارنده‌ی 5656ادامهٔ فرمول را افقی ببین است ولی 4242ادامهٔ فرمول را افقی ببین را کامل تقسیم نمی‌کند. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز ممکن است به‌جای محاسبه‌ی ب.م.م، یکی از شمارنده‌های مشترک را انتخاب کند، مثلاً 77ادامهٔ فرمول را افقی ببین را، و توجه نکند که بزرگ‌ترین آن مد نظر است.

4. دو چراغ چشمک‌زن هر 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثانیه و 2424ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثانیه یک بار روشن می‌شوند. اگر هر دو در یک لحظه روشن شده باشند، اولین بار پس از چند ثانیه دوباره همزمان روشن خواهند شد؟

  • 4848ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 6060ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 7272ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 9090ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«7272ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است زیرا ک.م.م(18,24)=72\text{ک.م.م}(18,24)=72ادامهٔ فرمول را افقی ببین و اولین زمان مشترک مضرب 7272ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثانیه می‌باشد. «4848ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون 4848ادامهٔ فرمول را افقی ببین مضرب 2424ادامهٔ فرمول را افقی ببین است ولی مضرب 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیست. «6060ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود؛ هرچند مضرب مشترک است اما کوچک‌ترین نیست (6060ادامهٔ فرمول را افقی ببین مضرب 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیست زیرا 18×3=5418 \times 3 = 54ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 18×4=7218 \times 4 = 72ادامهٔ فرمول را افقی ببین). «9090ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون مضرب 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین است (18×5=9018 \times 5 = 90ادامهٔ فرمول را افقی ببین) ولی مضرب 2424ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیست. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز ممکن است به‌جای ک.م.م، یکی از مضرب‌های مشترک را انتخاب کند و دقت نکند که کوچک‌ترین آن‌ها خواسته شده است.

5. کسر 24×33×522×35×7\dfrac{2^4 \times 3^3 \times 5}{2^2 \times 3^5 \times 7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را تا حد امکان ساده کنید. حاصل کدام است؟

  • 22×532×7\dfrac{2^2 \times 5}{3^2 \times 7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 23×532×7\dfrac{2^3 \times 5}{3^2 \times 7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 22×533×7\dfrac{2^2 \times 5}{3^3 \times 7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 22×532×5\dfrac{2^2 \times 5}{3^2 \times 5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«22×532×7\dfrac{2^2 \times 5}{3^2 \times 7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. با ساده‌سازی: 24−2×33−5×57=22×3−2×57=22×532×7\frac{2^{4-2} \times 3^{3-5} \times 5}{7} = \frac{2^2 \times 3^{-2} \times 5}{7} = \frac{2^2 \times 5}{3^2 \times 7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین «23×532×7\dfrac{2^3 \times 5}{3^2 \times 7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود زیرا توان 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌درستی تفریق نشده است (4−2=24-2=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین نه 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین). «22×533×7\dfrac{2^2 \times 5}{3^3 \times 7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود زیرا توان 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین اشتباهاً 333^3ادامهٔ فرمول را افقی ببین در نظر گرفته شده (3−5=−23-5 = -2ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی 323^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین در مخرج). «22×532×5\dfrac{2^2 \times 5}{3^2 \times 5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود زیرا عامل 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین در مخرج به‌اشتباه اضافه شده است. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز ممکن است در تفریق توان‌ها (به‌ویژه زمانی که توان صورت کوچک‌تر از توان مخرج است) دچار اشتباه شود و توان را به‌صورت جمع یا با علامت اشتباه بنویسد.

نمونه سؤال تشریحی

۳ سؤال امتحانی با پاسخ نمونه — برای دیدن بزن

۱. الف) فهرست شمارنده‌های مثبت 18 را بنویسید. ب) تعدادشان را مشخص کنید و توضیح دهید چرا شمارنده‌ها را می‌توان به جفت‌های حاصل‌ضرب دسته کرد.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) شمارنده‌ها ۱،۲،۳،۶،۹ و۱۸ هستند. ب) جفت‌های حاصل‌ضرب ۱×۱۸،۲×۹ و۳×۶ عدد ۱۸ می‌سازند؛ پس شش شمارنده داریم. هر شمارنده d با جفت n/d همراه است.
کجا بخوانم: در «چطور شمارنده‌ها را پیدا کنیم؟»
نکته مهم: شمارنده‌ها را می‌توان با جفت‌کردن عامل‌های ضربی پیدا کرد.

۲. الف) عدد 91 اول است یا مرکب؟ ب) با یک تجزیهٔ مناسب تصمیم بگیرید و توضیح دهید چرا آزمون یک عامل برای رد اول بودن کافی است. دلیل کافی بودنِ یک عامل را از تعریف عدد اول نتیجه بگیرید.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) 91=7×1391=7\times13ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس مرکب است. ب) ۷ و۱۳ هر دو شمارنده‌ای غیر از ۱ و خود عددند؛ وجود حتی یک تجزیهٔ غیربدیهی شرط «فقط دو شمارنده» را رد می‌کند.
کجا بخوانم: در «تعریف عدد اول»
نکته مهم: برای اثبات مرکب بودن، یافتن یک عامل غیر بدیهی کافی است.

۳. الف) عدد 97 را با آزمون بخش‌پذیری اول یا مرکب تعیین کنید. ب) تا کدام عددهای اول کافی است بررسی کنید و دلیل را با ریشهٔ 97 توضیح دهید. استدلال کنید چرا بررسی فراتر از ریشه لازم نیست.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) چون 97<10\sqrt{97}<10ادامهٔ فرمول را افقی ببین، کافی است ۲،۳،۵ و۷ را بیازماییم. ۹۷ بر هیچ‌یک بخش‌پذیر نیست، پس اول است. ب) هر عدد مرکب عامل اولی حداکثر برابر ریشهٔ دوم دارد؛ در غیر این صورت دو عامل هر دو از ریشه بزرگ‌تر می‌شدند و حاصل از ۹۷ بیشتر بود.
کجا بخوانم: در «روش سریع تشخیص اول بودن»
نکته مهم: آزمون اول بودن فقط تا بزرگ‌ترین عدد اولِ حداکثر ریشه لازم است.

مباحث مرتبط

عددهای صحیح (ریاضی هفتم)الگو، جبر و معادله (ریاضی هفتم)هندسه و استدلال (ریاضی هفتم)سطح و حجم منشور (ریاضی هفتم)توان و جذر (ریاضی هفتم)بردار و مختصات (ریاضی هفتم)آمار، نمودار و احتمال (ریاضی هفتم)راهبردهای حل مسئله (ریاضی هفتم)ترتیب انجام عملیات — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)راهبردهای حل مسئله — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان