کدام عبارت زیر دربارهی اعداد اول نادرست است؟

عدد $1$ هم یک عدد اولِ کوچک است. — «عدد $1$ یک عدد اول است.» درست است (نادرست است) زیرا عدد $1$ فقط یک شمارنده دارد و اول نیست. بنابراین گزینهٔ صحیح (عبارت نادرست) همین است. «تنها عدد اول زوج، $2$ است.» رد میشود زیرا این عبارت درست است و نادرست نیست، پس نمیتواند پاسخ سؤال باشد. «اگر عددی اول باشد، دقیقاً دو شمارنده دارد.» رد میشود زیرا این عبارت نیز درست است و نادرست نیست. «هر عدد اول بزرگتر از $3$، فرد است.» رد میشود زیرا این عبارت نیز درست است و نادرست نیست. تلهٔ تستی این سؤال این است که بسیاری از دانشآموزان عدد $1$ را به اشتباه اول میدانند، در حالیکه عدد $1$ نه اول است و نه مرکب.

عدد $180$ را به اعداد اول تجزیه کنید. تعداد شمارندههای اول (عاملهای اول متمایز) آن چند تا است؟

$3$ — «$3$» درست است زیرا $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ و عاملهای اول متمایز $2$، $3$ و $5$ هستند که تعدادشان $3$ است. «$4$» رد میشود چون شمارش اشتباه انجام شده است. «$5$» رد میشود؛ برخی دانشآموزان تعداد عاملها را با تکرار میشمارند ($2,2,3,3,5$) که $5$ میشود، اما مفهوم «شمارندهی اول» یعنی هر عدد اول فقط یک بار شمرده میشود. «$6$» رد میشود چون هیچ مبنایی ندارد. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانشآموز ممکن است تعداد عاملهای اول را با تکرار (شامل توانها) بهجای تعداد متمایز آنها حساب کند و گزینهی $5$ را انتخاب نماید.

یک باغبان دو تکه طناب به طولهای $42$ متر و $56$ متر دارد. او میخواهد هر دو طناب را بدون هدررفت به قطعاتی مساوی و تا حد ممکن بزرگ ببرد. طول هر قطعه چند متر است؟

$14$ — «$14$» درست است زیرا $\text{ب.م.م}(42,56)=14$ و بزرگترین طول مشترک قطعات برابر $14$ متر خواهد بود. «$7$» رد میشود اگرچه شمارندهی مشترک است اما بزرگترین نیست. «$21$» رد میشود چون $21$ شمارندهی $42$ است ولی $56$ را کامل تقسیم نمیکند. «$28$» رد میشود چون $28$ شمارندهی $56$ است ولی $42$ را کامل تقسیم نمیکند. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانشآموز ممکن است بهجای محاسبهی ب.م.م، یکی از شمارندههای مشترک را انتخاب کند، مثلاً $7$ را، و توجه نکند که بزرگترین آن مد نظر است.

دو چراغ چشمکزن هر $18$ ثانیه و $24$ ثانیه یک بار روشن میشوند. اگر هر دو در یک لحظه روشن شده باشند، اولین بار پس از چند ثانیه دوباره همزمان روشن خواهند شد؟

$72$ — «$72$» درست است زیرا $\text{ک.م.م}(18,24)=72$ و اولین زمان مشترک مضرب $72$ ثانیه میباشد. «$48$» رد میشود چون $48$ مضرب $24$ است ولی مضرب $18$ نیست. «$60$» رد میشود؛ هرچند مضرب مشترک است اما کوچکترین نیست ($60$ مضرب $18$ نیست زیرا $18 \times 3 = 54$، $18 \times 4 = 72$). «$90$» رد میشود چون مضرب $18$ است ($18 \times 5 = 90$) ولی مضرب $24$ نیست. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانشآموز ممکن است بهجای ک.م.م، یکی از مضربهای مشترک را انتخاب کند و دقت نکند که کوچکترین آنها خواسته شده است.

کسر $$\dfrac{2^4 \times 3^3 \times 5}{2^2 \times 3^5 \times 7}$$ را تا حد امکان ساده کنید. حاصل کدام است؟

$\dfrac{2^2 \times 5}{3^2 \times 7}$ — «$\dfrac{2^2 \times 5}{3^2 \times 7}$» درست است. با سادهسازی: $$\frac{2^{4-2} \times 3^{3-5} \times 5}{7} = \frac{2^2 \times 3^{-2} \times 5}{7} = \frac{2^2 \times 5}{3^2 \times 7}$$ «$\dfrac{2^3 \times 5}{3^2 \times 7}$» رد میشود زیرا توان $2$ بهدرستی تفریق نشده است ($4-2=2$ نه $3$). «$\dfrac{2^2 \times 5}{3^3 \times 7}$» رد میشود زیرا توان $3$ اشتباهاً $3^3$ در نظر گرفته شده ($3-5 = -2$ یعنی $3^2$ در مخرج). «$\dfrac{2^2 \times 5}{3^2 \times 5}$» رد میشود زیرا عامل $5$ در مخرج بهاشتباه اضافه شده است. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانشآموز ممکن است در تفریق توانها (بهویژه زمانی که توان صورت کوچکتر از توان مخرج است) دچار اشتباه شود و توان را بهصورت جمع یا با علامت اشتباه بنویسد.

شمارنده ها و اعداد اول (هفتم) — نمونه سؤال و درسنامهٔ امتحانات

شمارنده‌ها و اعداد اول (هفتم)

شمارنده چیست؟

شمارندهٔ یک عدد، هر عددی است که آن عدد را بدون باقی‌مانده تقسیم کند.
مثلاً شمارنده‌های ۱۲ عبارت‌اند از $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ ، چون ۱۲ بر هرکدام از این‌ها بدون باقی‌مانده بخش می‌شود.

سه راه برای پیدا کردنشان: تقسیم (عدد را بر $1, 2, 3, \ldots$ تقسیم کن و هرجا باقی‌مانده صفر شد یادداشت کن)، ضرب (ببین چه جفت‌هایی ضرب شوند آن عدد می‌شوند: $12 = 1\times12 = 2\times6 = 3\times4$ )، و دسته‌بندی (۱۲ شیء را چندتا چندتا می‌شود شمرد).

قانون‌های پایه

عدد ۱ شمارندهٔ همهٔ عددهاست و همیشه کوچک‌ترین شمارنده است.
بزرگ‌ترین شمارندهٔ هر عدد، خودِ آن عدد است.
همهٔ شمارنده‌های یک عدد، کوچک‌تر یا مساویِ آن عددند.
هر عدد بزرگ‌تر از ۱ دست‌کم ۲ شمارنده دارد: ۱ و خودش.
اگر $a \times b = c$ باشد، هم $a$ و هم $b$ شمارندهٔ $c$ هستند.

خاصیت انتقالی: اگر $a$ شمارندهٔ $b$ باشد و $b$ شمارندهٔ $c$ ، آنگاه $a$ شمارندهٔ $c$ هم هست. مثلاً ۲ شمارندهٔ ۴ است و ۴ شمارندهٔ ۱۲، پس ۲ شمارندهٔ ۱۲ است.

🔑 شمارنده‌ها معمولاً جفت‌جفت می‌آیند ( $1$ با $12$ ، $2$ با $6$ ، $3$ با $4$ )، پس تعدادشان زوج است. استثنا مربع‌های کاملاند: در $9 = 3\times3$ عددِ ۳ با خودش جفت می‌شود، پس شمارنده‌های ۹ سه‌تا هستند: $\{1,3,9\}$ . اعداد $4, 9, 16, 25, \ldots$ تعدادِ فردِ شمارنده دارند.

عدد اول و عدد مرکب

عدد اول عددی است که دقیقاً ۲ شمارنده دارد: ۱ و خودش. مثل $7$ با شمارنده‌های $\{1,7\}$ .
عدد مرکب عددِ طبیعیِ بزرگ‌تر از ۱ است که اول نیست، یعنی جز ۱ و خودش شمارندهٔ دیگری هم دارد؛ مثل $4, 6, 8, 9, 12$ .
🔑 عدد ۱ نه اول است و نه مرکب — چون فقط یک شمارنده دارد، نه دو تا.
🔑 عدد ۲ تنها عدد اولِ زوج است؛ هر عدد زوجِ بزرگ‌تر از ۲ بر ۲ بخش‌پذیر است و شمارندهٔ سومی پیدا می‌کند.
🔑 معیارِ ساده: اگر بتوانی عدد را به‌صورت ضرب دو عددِ بزرگ‌تر از ۱ بنویسی، اول نیست.

اعداد اول کمتر از ۳۰ را حفظ کن:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

الک اراتوستن: عددهای ۱ تا ۳۰ را بنویس، ۱ را خط بزن، ۲ را نگه دار و همهٔ مضرب‌هایش را خط بزن، بعد ۳ و مضرب‌هایش، بعد ۵ و مضرب‌هایش؛ آنچه می‌ماند همه اول‌اند.

قاعده‌های بخش‌پذیری

بخش‌پذیر بر	شرط
$2$	رقمِ آخر زوج باشد
$3$	مجموع رقم‌ها بر ۳ بخش‌پذیر باشد
$5$	رقمِ آخر ۰ یا ۵ باشد
$10$	رقمِ آخر ۰ باشد

🔑 برای بخش‌پذیری بر ۱۵ باید عدد هم بر ۳ و هم بر ۵ بخش‌پذیر باشد. مثلاً $345$ بر ۵ بخش‌پذیر است و $3+4+5 = 12$ بر ۳ بخش‌پذیر است، پس بر ۱۵ بخش‌پذیر است؛ ولی $925$ با آنکه بر ۵ بخش‌پذیر است، چون $9+2+5=16$ بر ۳ بخش‌پذیر نیست، بر ۱۵ بخش‌پذیر نیست.

روش سریعِ تشخیص اول‌بودن: کافی است بخش‌پذیریِ عدد را فقط بر اعداد اولِ کوچک‌تر یا مساویِ $\sqrt{n}$ بررسی کنی.

زوج و فرد در یک نگاه: زوج+زوج و فرد+فرد هر دو زوج می‌شوند، ولی زوج+فرد فرد است. در ضرب، فقط فرد×فرد فرد می‌ماند و بقیهٔ حالت‌ها زوج‌اند.

چند نکتهٔ جالب دربارهٔ اعداد اول

اقلیدس ثابت کرد اعداد اول بی‌نهایتاند؛ همیشه می‌توان عدد اولِ بزرگ‌تری پیدا کرد.
حدس گلدباخ (۱۷۴۲): هر عدد زوجِ بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان جمعِ دو عدد اول نوشت — $4 = 2+2$ ، $8 = 3+5$ ، $10 = 3+7$ . این حدس تا امروز اثبات نشده و یکی از مشهورترین مسئله‌های حل‌نشدهٔ ریاضی است.
جمعِ دو عدد اول لزوماً اول نیست: $2+3 = 5$ اول است، ولی $3+5 = 8$ و $5+7 = 12$ مرکب‌اند.
حاصل‌ضربِ دو عدد اول هرگز اول نیست، چون آن دو خودشان شمارنده می‌شوند و عدد دست‌کم چهار شمارنده پیدا می‌کند.

شمارندهٔ اول و تجزیه

از میان شمارنده‌های یک عدد، آن‌هایی که خودشان اول‌اند شمارندهٔ اول نام دارند. شمارنده‌های ۱۲ عبارت‌اند از $\{1,2,3,4,6,12\}$ و شمارنده‌های اولِ آن فقط $\{2, 3\}$ هستند.
🔑 عدد ۱ هرگز شمارندهٔ اول نیست، چون خودش اول نیست.

شمارنده‌های اول مثل مصالحِ ساختمانیاند: بقیهٔ شمارنده‌ها از ترکیبِ آن‌ها ساخته می‌شوند. برای ۱۲: $4 = 2\times2$ ، $6 = 2\times3$ و $12 = 2\times2\times3$ .

تجزیه یعنی نوشتنِ عدد به‌صورتِ ضربِ عددهای اول. دو روش دارد:

نمودار درختی: عدد را مرحله‌به‌مرحله به دو عاملِ کوچک‌تر بشکن و هر شاخه‌ای که به عددِ اول رسید متوقفش کن.
جدول تقسیم: پیاپی بر کوچک‌ترین عددِ اولِ ممکن تقسیم کن تا به ۱ برسی. برای ۱۸۰: بر ۲ ← ۹۰، بر ۲ ← ۴۵، بر ۳ ← ۱۵، بر ۳ ← ۵، بر ۵ ← ۱.

ترتیبِ امتحان‌کردن: اول ۲ (اگر زوج است)، بعد ۳ (اگر مجموع رقم‌ها بر ۳ بخش‌پذیر است)، بعد ۵، بعد ۷.

نمایش توانی تجزیه را کوتاه می‌کند:

180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5

🔑 قضیهٔ اساسی حساب: هر عدد طبیعیِ بزرگ‌تر از ۱ فقط یک تجزیه به عوامل اول دارد. از هر مسیری که شروع کنی، به همان نتیجه می‌رسی — تجزیه مثل شناسنامهٔ عدد است. مثلاً چه ۳۶ را اول $4 \times 9$ بنویسی چه $2 \times 18$ ، در پایان به $2^2 \times 3^2$ می‌رسی.

همهٔ شمارنده‌ها از روی تجزیه

وقتی تجزیه را داری، هر شمارنده از انتخابِ «چند تا از هر عاملِ اول» ساخته می‌شود. برای $12 = 2^2 \times 3$ : از عاملِ ۲ می‌توان ۰، ۱ یا ۲ تا برداشت و از ۳ می‌توان ۰ یا ۱ تا؛ همهٔ ترکیب‌ها می‌شوند $\{1,2,4,3,6,12\}$ .
🔑 پس تعداد شمارنده‌ها = ضربِ «توانِ هر عاملِ اول به‌علاوهٔ یک». برای $n = 2^3\times3^2\times5$ : $(3+1)(2+1)(1+1) = 4\times3\times2 = 24$ شمارنده.

ساده کردنِ کسر با تجزیه

صورت و مخرج را تجزیه کن و عامل‌های اولِ مشترک را حذف کن:

\frac{28}{42} = \frac{2 \times 2 \times 7}{2 \times 3 \times 7} = \frac{2}{3}

اگر صورت و مخرج هیچ عاملِ اولِ مشترکی نداشته باشند، کسر دیگر ساده نمی‌شود.
🔑 تا آخر ساده کن؛ متوقف‌شدن در $\frac{12}{18} \to \frac{6}{9}$ کافی نیست، چون هنوز عاملِ مشترکِ ۳ دارند: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ .

کاربردِ جالب: اگر مساحتِ مستطیلی ۱۸ و طول و عرضش عددِ طبیعی باشند، حالت‌های ممکن دقیقاً همان جفت‌شمارنده‌های ۱۸ هستند: $(1,18)$ ، $(2,9)$ و $(3,6)$ .

ب.م.م — بزرگ‌ترین شمارندهٔ مشترک

ب.م.م دو عدد بزرگ‌ترین عددی است که هر دو را بدون باقی‌مانده تقسیم کند؛ آن را با $(a \text{ و } b)$ نشان می‌دهیم. نام دیگرش «بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک» است.

روش اول (برای عددهای کوچک): شمارنده‌های هر دو را بنویس و بزرگ‌ترین مشترک را بردار. شمارنده‌های ۱۸ برابر $\{1,2,3,6,9,18\}$ و شمارنده‌های ۲۴ برابر $\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$ هستند؛ مشترک‌ها $\{1,2,3,6\}$ و بزرگ‌ترینشان $6$ .

روش دوم (تجزیه): فقط عامل‌های اولِ مشترک را با کمترین توانشان ضرب کن.

18 = 2 \times 3^2 \qquad 24 = 2^3 \times 3 \qquad \Rightarrow \qquad \text{ب.م.م} = 2 \times 3 = 6

چرا کمترین؟ چون ب.م.م باید هر دو عدد را کامل تقسیم کند. اگر دو تا ۳ برداریم (یعنی ۹)، دیگر ۲۴ بر ۹ بخش‌پذیر نیست.

برای سه عدد همان کار را می‌کنی، ولی عاملی که در یکی از آن‌ها نباشد اصلاً برداشته نمی‌شود. مثلاً برای ۱۲ و ۳۶ و ۲۸: عاملِ ۲ در هر سه دست‌کم دو بار هست، ولی ۳ در ۲۸ نیست و ۷ فقط در ۲۸ است، پس ب.م.م $= 2\times2 = 4$ .

خواصِ ب.م.م:

ب.م.م همیشه از هر دو عدد کوچک‌تر یا مساوی است.
اگر یکی بر دیگری بخش‌پذیر باشد، ب.م.م همان عددِ کوچک‌تر است: $(36 \text{ و } 12) = 12$ .
اگر دو عدد هیچ عاملِ مشترکی جز ۱ نداشته باشند، ب.م.م آن‌ها ۱ است و می‌گوییم نسبت به هم اولاند. توجه کن که خودشان لازم نیست اول باشند: $8 = 2^3$ و $9 = 3^2$ هیچ‌کدام اول نیستند ولی $(8 \text{ و } 9) = 1$ .

🔑 در مسائلِ «بزرگ‌ترین اندازه‌ای که جا می‌شود»، جواب همیشه ب.م.م است. مثلاً برای پرکردنِ قابی $16 \times 12$ با کاشی‌های مربعیِ بی‌برش، ضلعِ کاشی باید شمارندهٔ هر دو بُعد باشد و بزرگ‌ترینش $(16 \text{ و } 12) = 4$ است، پس کاشیِ $4 \times 4$ .

ب.م.م و ساده کردنِ کسر در یک مرحله: برای $\frac{96}{144}$ داریم $96 = 2^5\times3$ و $144 = 2^4\times3^2$ ، پس ب.م.م $= 2^4\times3 = 48$ و یک‌باره: $\frac{96 \div 48}{144 \div 48} = \frac{2}{3}$ — به‌جای پنج مرحله ساده‌سازیِ پیاپی.

الگوریتم اقلیدس (برای عددهای بزرگ): $\text{ب.م.م}(a,b) = \text{ب.م.م}(b,\ \text{باقی‌ماندهٔ } a \div b)$ . مثلاً $48 = 2\times18 + 12$ ، سپس $18 = 1\times12 + 6$ ، سپس $12 = 2\times6 + 0$ ؛ باقی‌مانده صفر شد، پس ب.م.م برابر ۶ است.

ک.م.م — کوچک‌ترین مضرب مشترک

مضرب‌های یک عدد از ضربِ آن در عددهای طبیعی به دست می‌آیند: مضرب‌های ۳ برابرند با $3, 6, 9, 12, \ldots$

ویژگی	شمارنده	مضرب
رابطه با خودِ عدد	کوچک‌تر یا مساوی	بزرگ‌تر یا مساوی
تعداد	محدود	نامحدود
نمونه برای ۶	$1, 2, 3, 6$	$6, 12, 18, 24, \ldots$

مضرب و شمارنده دو رویِ یک سکه‌اند: از $6 \times 4 = 24$ می‌خوانیم «۲۴ مضربِ ۶ و ۴ است» و «۶ و ۴ شمارنده‌های ۲۴ هستند».

ک.م.م کوچک‌ترین عددی است که مضربِ هر دو عدد باشد و با $[a \text{ و } b]$ نشانش می‌دهیم.
روش تجزیه: همهٔ عامل‌های اولِ موجود را با بیشترین توانشان ضرب کن.

12 = 2^2 \times 3 \qquad 18 = 2 \times 3^2 \qquad \Rightarrow \qquad [12 \text{ و } 18] = 2^2 \times 3^2 = 36

چرا بیشترین؟ چون ک.م.م باید بر هر دو عدد بخش‌پذیر باشد؛ اگر یکی دو تا ۳ دارد، ک.م.م هم باید دست‌کم دو تا ۳ داشته باشد.

خواصِ ک.م.م:

ک.م.م همیشه از هر دو عدد بزرگ‌تر یا مساوی است.
اگر $a$ بر $b$ بخش‌پذیر باشد، $[a \text{ و } b] = a$ .
اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، ک.م.م برابرِ حاصل‌ضربشان است؛ مثلاً $[7 \text{ و } 11] = 77$ و $[8 \text{ و } 9] = 72$ .
بقیهٔ مضرب‌های مشترک، همگی مضرب‌های ک.م.م هستند.

🔑 در مسائلِ «چه وقت دوباره با هم...؟» جواب همیشه ک.م.م است — اتوبوس، زنگ، چراغِ چشمک‌زن. مثلاً اگر دو اتوبوس هر ۲۰ و هر ۳۰ دقیقه حرکت کنند، $[20 \text{ و } 30] = 60$ دقیقه بعد دوباره هم‌زمان می‌شوند.

کاربردِ اصلی: مخرجِ مشترکِ کسرها. بهترین مخرج مشترک همان ک.م.مِ مخرج‌هاست، چون کوچک‌ترین است و بعدش لازم نیست کسر را ساده کنی:

\frac{5}{6} + \frac{7}{9} = \frac{15}{18} + \frac{14}{18} = \frac{29}{18} \qquad (\,[6 \text{ و } 9] = 18\,)

🔑 ب.م.مِ دو عدد همیشه شمارندهٔ ک.م.مِ آن‌هاست. مثلاً $(12 \text{ و } 18) = 6$ و $[12 \text{ و } 18] = 36$ ، و $36 \div 6 = 6$ ✓

رابطهٔ طلایی

[a \text{ و } b] \times (a \text{ و } b) = a \times b

مثلاً برای ۱۲ و ۱۸: $36 \times 6 = 216$ و $12 \times 18 = 216$ ✓
🔑 این رابطه فقط برای دو عدد درست است، نه سه عدد.

	ب.م.م	ک.م.م
کدام عامل‌ها؟	فقط عامل‌های مشترک	همهٔ عامل‌ها
با چه توانی؟	کمترین	بیشترین
نتیجه	از هر دو عدد کوچک‌تر یا مساوی	از هر دو عدد بزرگ‌تر یا مساوی

یک کاربردِ دیگر: جعبه در کارتن

اگر بخواهی جعبه‌های $25\times12\times5$ را در کارتنی $50\times24\times30$ بچینی، هر بُعدِ کارتن را بر بُعدِ متناظرِ جعبه تقسیم می‌کنی: $\frac{50}{25}=2$ ، $\frac{24}{12}=2$ ، $\frac{30}{5}=6$ ؛ پس $2\times2\times6 = 24$ جعبه جا می‌شود. شرطش این است که هر بُعد کاملاً بخش‌پذیر باشد، وگرنه جعبه‌ها جا نمی‌گیرند.

اشتباه‌های رایج

اول شمردنِ عدد ۱ یا اول ندانستنِ عدد ۲.
نگاه‌کردن به رقمِ آخر برای بخش‌پذیری بر ۳؛ باید مجموعِ رقم‌ها را حساب کنی.
جا انداختنِ ۱ و خودِ عدد در فهرستِ شمارنده‌ها.
متوقف‌شدنِ تجزیه پیش از رسیدن به اعدادِ اول: نوشتنِ $36 = 4\times9$ کافی نیست؛ باید تا $2\times2\times3\times3$ ادامه بدهی.
نوشتنِ ۱ به‌عنوانِ شمارندهٔ اول.
برداشتنِ بیشترین توان در ب.م.م به‌جای کمترین.
وارد کردنِ عاملی که فقط در یکی از دو عدد هست در ب.م.م. برای ۲۸ و ۱۲، ب.م.م برابر ۴ است نه ۸۴.
حذفِ عاملِ غیرمشترک در ک.م.م. برای ۱۵ و ۲۰ باید ۳ و دو تا ۲ هم بیایند: ک.م.م $=60$ ، نه ۵.
جابه‌جا گرفتنِ ب.م.م و ک.م.م در مسائلِ کاربردی؛ «بزرگ‌ترین اندازه» یعنی ب.م.م و «دوباره هم‌زمان» یعنی ک.م.م.

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) شمارنده‌های ۲۴ را بنویس و بگو کدام‌ها اول‌اند.
شمارنده‌ها: $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$ ؛ از این هشت تا فقط ۲ و ۳ اول‌اند.

۲) از میان ۵۱، ۵۷، ۶۳ و ۶۷ کدام اول است؟
$51 = 3\times17$ ، $57 = 3\times19$ و $63 = 7\times9$ همه مرکب‌اند. برای ۶۷ چون $\sqrt{67} \approx 8.2$ است، فقط بخش‌پذیری بر ۲، ۳، ۵ و ۷ را چک می‌کنیم: فرد است، $6+7 = 13$ بر ۳ بخش‌پذیر نیست، به ۰ یا ۵ ختم نمی‌شود و بر ۷ هم بخش‌پذیر نیست. پس ۶۷ اول است.

۳) بدون امتحانِ همهٔ عددها نشان بده ۹۱ اول نیست.
$\sqrt{91} \approx 9.5$ ، پس فقط ۲، ۳، ۵ و ۷ را چک می‌کنیم. ۹۱ فرد است، $9+1 = 10$ بر ۳ بخش‌پذیر نیست، به ۰ یا ۵ ختم نمی‌شود، ولی $91 \div 7 = 13$ دقیق است. پس $91 = 7 \times 13$ و مرکب است.

۴) عدد ۴۸ را تجزیه کن و به‌صورت توانی بنویس.
$48 = 2\times24 = 2\times2\times12 = 2\times2\times2\times6 = 2\times2\times2\times2\times3$ ، یعنی $48 = 2^4 \times 3$ .

۵) کسرِ $\dfrac{2^3 \times 3^2 \times 5}{2^2 \times 3^3 \times 7}$ را ساده کن.
عاملِ ۲ با کمترین توان (یعنی $2^2$ ) حذف می‌شود و از صورت یک ۲ می‌ماند؛ عاملِ ۳ با $3^2$ حذف می‌شود و از مخرج یک ۳ می‌ماند؛ ۵ و ۷ مشترک نیستند و می‌مانند:

\frac{2^3 \times 3^2 \times 5}{2^2 \times 3^3 \times 7} = \frac{2 \times 5}{3 \times 7} = \frac{10}{21}

۶) معلمی می‌خواهد ۴۲ پسر و ۳۵ دختر را در گروه‌های هم‌اندازه بگذارد (هر گروه یا فقط پسر یا فقط دختر) و اندازهٔ گروه بیشترین مقدارِ ممکن باشد. هر گروه چند نفر و در کل چند گروه می‌شود؟
بیشترین اندازه همان ب.م.م است: $42 = 2\times3\times7$ و $35 = 5\times7$ ، پس ب.م.م $=7$ . هر گروه ۷ نفره است؛ $42\div7 = 6$ گروه پسر و $35\div7 = 5$ گروه دختر، یعنی در کل ۱۱ گروه.

۷) ب.م.مِ ۸۴ و $x$ برابر ۱۲ است و $x$ دورقمی است. $x$ چند مقدار می‌تواند داشته باشد؟
$84 = 2^2\times3\times7$ و $12 = 2^2\times3$ . پس $x$ باید مضربِ ۱۲ باشد ولی مضربِ ۷ نباشد (وگرنه ب.م.م بزرگ‌تر می‌شد). مضرب‌های دورقمیِ ۱۲ عبارت‌اند از $12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96$ ؛ عددِ ۸۴ خودش مضربِ ۷ است و حذف می‌شود. پس ۷ مقدار ممکن است.

۸) سه زنگ به‌ترتیب هر ۱۵، ۲۰ و ۲۵ دقیقه به صدا درمی‌آیند و ساعت ۸:۰۰ هر سه با هم زنگ زدند. دفعهٔ بعد کِی هم‌زمان می‌شوند؟
$15 = 3\times5$ ، $20 = 2^2\times5$ ، $25 = 5^2$ ؛ با بیشترین توان‌ها: $2^2 \times 3 \times 5^2 = 300$ دقیقه، یعنی ۵ ساعت. پس ساعت ۱۳:۰۰.

۹) کوچک‌ترین عددِ طبیعیِ بزرگ‌تر از ۹ را بیاب که بر ۴، ۶ و ۹ که تقسیم شود، باقی‌ماندهٔ ۱ بدهد.
اگر عدد را $N$ بنامیم، $N-1$ باید بر هر سه بخش‌پذیر باشد، یعنی مضربِ مشترکشان است و کوچک‌ترینش ک.م.م است: $[4, 6, 9] = 2^2\times3^2 = 36$ . پس $N = 37$ . بررسی: $37$ بر ۴، ۶ و ۹ باقی‌ماندهٔ ۱ می‌دهد ✓

۱۰) مجموعِ دو عدد اولِ متوالی ۳۶ است. اختلافشان چند است؟
جمعِ جفت‌های متوالی را می‌نویسیم: $2+3=5$ ، $3+5=8$ ، $5+7=12$ ، $7+11=18$ ، $11+13=24$ ، $13+17=30$ ، $17+19=36$ . پس دو عدد ۱۷ و ۱۹ هستند و اختلافشان $19-17 = 2$ .

۱۱) ب.م.مِ ۱۵ و ۲۸ چند است؟
$15 = 3\times5$ و $28 = 2^2\times7$ ؛ هیچ عاملِ اولِ مشترکی ندارند، پس ب.م.م $=1$ . یعنی این دو نسبت به هم اولاند، با اینکه خودشان اول نیستند.

۱۲) ب.م.مِ دو عدد ۸ و حاصل‌ضربشان ۳۸۴ است. ک.م.مِ آن‌ها چند است؟
از رابطهٔ طلایی: $\text{ک.م.م} \times 8 = 384$ ، پس ک.م.م $= 48$ .

شمارنده ها و اعداد اول (هفتم)

خلاصه‌ی درسنامه