ترتیب انجام عملیات — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)

سرآغاز ریاضی تیزهوشان هفتم

این فصل کوتاه سه چیز به تو می‌دهد: قرارداد ترتیب انجام عمل‌ها، یک بازی فکری به اسم مثلث همرنگ، و آشنایی با جایزهٔ فیلدز.

چرا به قرارداد نیاز داریم؟

عبارت $2+3\times4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اگر اول جمع شود $20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود و اگر اول ضرب شود $14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای اینکه همه به یک جواب برسند، این ترتیب را رعایت می‌کنیم:

1. پرانتزها، از درونی‌ترین؛
2. ضرب و تقسیم؛
3. جمع و تفریق.

ضرب و تقسیم هم‌ارزش‌اند و جمع و تفریق هم. عمل‌های هم‌ارزش را از چپ به راست انجام بده:

دو نکتهٔ کلیدی

• عددی که به پرانتز چسبیده یعنی ضرب: $2(3+4)=2\times7=14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• خط کسری مثل یک جفت پرانتز است: صورت و مخرج را جدا حساب کن، بعد تقسیم کن.

پرانتز تو در تو

وقتی چند پرانتز داخل هم هستند، از درونی‌ترین شروع کن و در هر مرحله فقط یک تغییر بده:

پرانتزگذاری برای ساختن تساوی

با جابه‌جا گذاشتن پرانتز می‌شود مقدار یک عبارت را عوض کرد. مثلاً $5+3\times4-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بدون پرانتز $15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، ولی $(5+3)\times4-2=30$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $5+3\times(4-2)=11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود. روش کار این است که عدد هدف را با عددهای عبارت مقایسه کنی و ببینی کدام بخش باید «بسته‌بندی» شود. پازل‌های شش‌ضلعی و جدول‌های عددیِ فصل همین مهارت را با مسیرهای پیچیده‌تر می‌سنجند.

یک نکتهٔ ظریف: اگر عبارتی فقط جمع و ضرب داشته باشد، خواندنش از آخر به اول همان مقدار را می‌دهد، چون این دو عمل جابه‌جایی‌پذیرند؛ با تفریق یا تقسیم این اتفاق معمولاً نمی‌افتد.

بازی مثلث همرنگ

شش نقطه داریم و دو بازیکن با دو رنگ، نوبتی دو نقطه را به هم وصل می‌کنند. هر کس اول با رنگ خودش مثلث بسازد می‌بازد. بین شش نقطه $15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پاره‌خط ممکن است.

سؤال اصلی فصل: آیا این بازی می‌تواند مساوی شود؟ جواب نه است و دلیلش به اصل لانهٔ کبوتر برمی‌گردد: از هر نقطه پنج پاره‌خط بیرون می‌آید و فقط دو رنگ داریم، پس دست‌کم سه‌تا هم‌رنگ‌اند. استدلال کامل و راهبرد برد در درسنامهٔ اصلی آمده است.

نوبل و فیلدز

آلفرد نوبل با ثروتی که از اختراع دینامیت به دست آورد، جایزه‌هایی سالانه برای فیزیک، شیمی، پزشکی، ادبیات و صلح بنا گذاشت؛ اما ریاضیات در این فهرست نیست. داستان‌هایی دربارهٔ علتش گفته‌اند که مورخان بیشترشان را شایعه می‌دانند؛ توضیح محتمل‌تر این است که نوبل به اختراع‌های کاربردی فکر می‌کرد.

ریاضی‌دانان از سال ۱۹۰۰ تقریباً هر چهار سال در کنگرهٔ جهانی ریاضی‌دانان گرد هم می‌آیند. در کنگرهٔ ۱۹۲۴ تصمیم گرفتند مدالی برای دستاوردهای ریاضی بدهند و با حمایت مالی جان فیلدز نخستین مدال‌ها در ۱۹۳۶ اهدا شد.

ریاضی‌دان ایرانی مریم میرزاخانی که خودش دانش‌آموز مدارس استعدادهای درخشان بود، در ۲۰۱۴ نخستین زن برندهٔ مدال فیلدز شد.

اشتباه رایج