جبر و معادله — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)

جبر و معادله (ریاضی تیزهوشان هفتم)

جبر زبان کوتاه‌نویسی ریاضی است. به‌جای اینکه بگوییم «عددی را در ۳ ضرب کن و ۵ تا کم کن»، می‌نویسیم $3x-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دیگر مهم نیست $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چه عددی باشد. این فصل پنج مهارت می‌سازد: کشف الگو و نوشتن فرمول کلی آن، استفاده از متغیر، ساختن و ساده کردن عبارت جبری، حل معادله با روش ترازو، و تبدیل مسئلهٔ کلامی به معادله.

الگوی عددی و جملهٔ عمومی

در دنبالهٔ $1,3,5,7,9,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر عدد یک جمله است. اگر جملهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام را برحسب $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بنویسیم، جملهٔ عمومی را پیدا کرده‌ایم؛ این‌جا جملهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام برابر $2n-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

روش پیدا کردن جملهٔ عمومی:

1. تفاضل جمله‌های پشت سر هم را حساب کن.
2. اگر تفاضل ثابت $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بود، جملهٔ عمومی شکل $dn+c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد؛ $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با جایگذاری جملهٔ اول پیدا کن.
3. اگر خودِ تفاضل‌ها الگو داشتند (مثلاً $2,4,6,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، جمله‌ها از نوع $n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند.

مثال چوب‌کبریت: یک مکعب ۱۲ چوب‌کبریت می‌خواهد و هر مکعبی که کنارش بگذاریم، چون یک وجه مشترک دارد، ۸ چوب تازه لازم دارد؛ پس شکل $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام $12+8(n-1)=8n+4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چوب دارد. در شبکهٔ مربعی $n\times n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم $n+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خط افقی با $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چوب و همین تعداد خط عمودی داریم، پس $2n(n+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چوب لازم است. همیشه به‌جای حفظ کردن جواب، چرایی فرمول را از روی شکل توضیح بده.

چند الگوی متنوع از تمرین‌های فصل:

در الگوهای درهم‌تنیده، جمله‌های فرد و زوج را جدا بررسی کن؛ در الگوهایی که علامتشان تکرار می‌شود، اندازه و علامت را جدا پیدا کن و بعد کنار هم بگذار.

قانون پنهان در جدول‌ها: گاهی دو جدول داده می‌شود و باید قانونی پیدا کنی که عددهای جدول اول را به جدول دوم ببرد؛ مثلاً از زوج $(a,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $-ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b-a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای کشف قانون، چند ستون را کنار هم بنویس و حدست را روی همهٔ ستون‌ها امتحان کن؛ قانونی که فقط با یک ستون جور باشد قانون نیست.

هشدار مهم: از روی سه جمله نمی‌شود با قطعیت جملهٔ عمومی را گفت. دنبالهٔ $2,4,8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌تواند $2^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، اما با دنبالهٔ $2,4,8,14,22,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (تفاضل‌های $2,4,6,8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) هم جور است.

متغیر یا جانگهدار

متغیر حرفی است (معمولاً $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) که جای یک مقدار نامعلوم یا تغییرکننده می‌نشیند؛ مثل کاپیتانی که هنوز نمی‌داند چه کسی دروازه‌بان می‌شود و فقط جای خالی آن پست را روی کاغذ می‌گذارد.

• $3x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $3\times x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $xy$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $x\times y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• $x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $x\times x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و نباید آن را با $2x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اشتباه گرفت.
• ضریب عددی را اول می‌نویسیم و علامت ضرب را حذف می‌کنیم.

عبارت جبری و ساده کردن

جملهٔ جبری حاصل‌ضرب یک عدد در متغیرهاست، مثل $7x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $-4yz$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جمله‌هایی که قسمت متغیرشان یکسان است متشابهاند و فقط آن‌ها با هم جمع می‌شوند:

اما $3x+4y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دیگر ساده نمی‌شود.

خاصیت پخشی:

علامت منفیِ بیرون پرانتز علامت تک‌تک جمله‌های داخل را عوض می‌کند: $-3(2x-5)=-6x+15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. گاهی بعد از پخش کردن همه‌چیز حذف می‌شود: $8(a-2y)+4(4y-2a)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

یک کاربرد زیبا: خاصیت پخشی ثابت می‌کند چرا ضرب دو منفی مثبت است. از $(-2)\times(-6+6)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و پخش کردن آن نتیجه می‌گیریم $(-2)\times(-6)-12=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $(-2)\times(-6)=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

معماهای عددی با جبر

جبر نشان می‌دهد چرا بعضی «شعبده‌های عددی» همیشه جواب می‌دهند. اگر عددی را $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیری و دستورهای معما را روی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اجرا کنی، معمولاً $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از عبارت حذف می‌شود و یک عدد ثابت باقی می‌ماند. مثلاً اگر با سه رقم $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همهٔ شش عدد دو رقمی ممکن را بسازی، جمعشان همیشه $22(a+b+c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، چون هر رقم دو بار در جای ده‌ها و دو بار در جای یکان می‌آید.

مقدار عددی عبارت

به‌جای متغیر عدد بگذار و با ترتیب عمل‌ها حساب کن. برای عددهای منفی حتماً پرانتز بگذار: اگر $x=-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $x^2=(-3)^2=9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. فرمول‌های مساحت هم عبارت‌های جبری‌اند: $xy$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای مستطیل، $ah$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای متوازی‌الاضلاع، $\frac{ab}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای لوزی (با دو قطر) و $\frac12(a+b)h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای ذوزنقه.

معادله و روش ترازو

عبارت جبری علامت تساوی ندارد، اما معادله یک تساوی است که فقط برای بعضی مقدارها درست است؛ آن مقدار را جواب معادله می‌گوییم.

معادله مثل ترازوی متعادل است: هر کاری روی یک کفه می‌کنی، روی کفهٔ دیگر هم بکن.

1. جمله‌های متغیردار را یک طرف و عددها را طرف دیگر ببر.
2. با جمع یا تفریق، عدد ثابت را کنار بزن.
3. بر ضریب متغیر تقسیم کن.
4. جواب را در معادلهٔ اصلی بگذار و بررسی کن.$$2x+6=24\ \Rightarrow\ 2x=18\ \Rightarrow\ x=9$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

از متن به معادله

در مسئلهٔ کلامی: مجهول را نام‌گذاری کن، رابطه را از متن بنویس، معادله را حل کن و جواب را با متن مسئله بسنج. سه الگوی پرتکرار فصل:

• دو حالت متفاوت از یک مقدار: مثل جعبه‌هایی که با ۴۰ کتاب در هر جعبه چند کتاب اضافه می‌آید و با ۶۰ کتاب چند جعبه خالی می‌ماند؛ تعداد کتاب‌ها را از هر دو حالت بنویس و برابر بگذار.
• تعقیب: وقتی دو متحرک هم‌جهت حرکت می‌کنند، فاصله‌شان با سرعتِ تفاضل سرعت‌ها تغییر می‌کند.
• تقسیم به نسبت: برای تقسیم یک مقدار به نسبت $2:4:6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، کل را بر $2+4+6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تقسیم کن و در هر سهم ضرب کن.
• مقدارهای وابسته: وقتی چند نفر یا چند چیز به هم وابسته‌اند (مثلاً «علی هر روز ۵ سبد بیشتر از رضا می‌بافد»)، فقط یکی را متغیر بگیر و بقیه را برحسب همان بنویس. داشتن یک مجهول به‌جای چند مجهول، معادله را ساده نگه می‌دارد.
• دنبالهٔ ضربی: اگر جریمهٔ هر خطا سه برابر خطای قبل باشد، جریمه‌ها $x,\,3x,\,9x,\,27x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند و جمعشان $40x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

خواندن معنی یک فرمول

فصل روی معنی هر حرف در یک فرمول هم تأکید دارد. مثلاً اگر قیمت یک چادر $5d+s$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قیمت یک متر پارچه، $5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعداد متر پارچهٔ لازم و $s$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هزینهٔ دوخت است. با این نگاه می‌شود پرسید اگر پارچه گران شود کدام بخش قیمت بالا می‌رود، یا یک جملهٔ تازه (مثلاً هزینهٔ آستر یا تخفیف برای سفارش زیاد) را به فرمول اضافه کرد. این مهارت در فیزیک و علوم سال‌های بعد بارها لازم می‌شود.

معمای سن دخترها

فصل با یک معمای منطقی معروف تمام می‌شود که در آن حاصل‌ضرب سن سه دختر معلوم است ولی مجموع سن‌ها دو جواب ممکن دارد و یک سرنخ اضافه («دوقلو نداریم») جواب را یکتا می‌کند. روش حل، فهرست منظم همهٔ سه‌تایی‌هایی است که حاصل‌ضربشان عدد داده‌شده است و بعد حذف حالت‌ها با هر سرنخ.

اشتباه‌های رایج