راهبردهای حل مسئله — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)

راهبردهای حل مسئله (ریاضی تیزهوشان هفتم)

مسئله‌های واقعی فرمول آماده ندارند. این فصل به‌جای حفظ کردن راه‌حل‌ها، راهبرد یاد می‌دهد: روش‌هایی برای فکر کردن که روی دسته‌ای بزرگ از مسئله‌ها جواب می‌دهند. ایدهٔ اصلی گفتگوی ابتدای فصل این است که نمی‌شود همهٔ راه‌حل‌ها را حفظ کرد، اما می‌شود فکر کردن را تمرین کرد؛ هر مسئله ریتمی دارد و وقتی ریتمش را پیدا کنی، کلید حل را یافته‌ای.

هفت راهبرد اصلی

حدس و آزمایش: مسئلهٔ سر و پا

در قفسی ۵۰ سر و ۱۴۰ پا از مرغ و خرگوش هست. فرض کن همه مرغ‌اند: ۱۰۰ پا داریم و ۴۰ پا کم است. هر بار که یک مرغ را خرگوش کنی، ۲ پا اضافه می‌شود؛ پس $40\div2=20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خرگوش و $30$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مرغ. همیشه جواب را بررسی کن: $30\times2+20\times4=140$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

همین مسئله را با جبر هم می‌شود حل کرد ($x+y=50$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2x+4y=140$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، و با یک ترفند زیبا: اگر هر حیوان دو پایش را بلند کند، ۷۰ پا روی زمین می‌ماند که از ۵۰ حیوان، ۲۰ تای اضافه‌اش مال خرگوش‌هاست.

جدول و فهرست منظم: نوشتن عدد به صورت جمع

عدد ۴ را به چهار شکل می‌توان به صورت جمع عددهای طبیعی نوشت: $1+1+1+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $1+1+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $1+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (جابه‌جا کردن جمع‌شونده‌ها حالت تازه نمی‌سازد). برای اینکه هیچ حالتی جا نیفتد و هیچ حالتی دو بار شمرده نشود، قانون نوشتن بگذار: جمع‌شونده‌ها را همیشه از کوچک به بزرگ بنویس و حالت‌ها را بر اساس بزرگ‌ترین جمع‌شونده دسته‌بندی کن. با همین روش عدد ۵ شش حالت و عدد ۶ ده حالت دارد. فهرست منظم یعنی هر حالت جای مشخصی در فهرست داشته باشد.

معادله‌سازی ساده: وقتی دو شرط داریم

بعضی مسئله‌ها دو جمله دربارهٔ یک مقدار نامعلوم می‌گویند. مثلاً «اگر روی هر نیمکت یک کودک بنشیند یک نفر سرپا می‌ماند، و اگر دو نفر بنشینند یک نیمکت خالی می‌ماند». تعداد نیمکت‌ها را $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیر و تعداد کودکان را از هر دو جمله بنویس: $c+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2(c-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برابر گذاشتن این دو عبارت مسئله را حل می‌کند. همین الگو در مسئلهٔ پرنده‌های روی دو سیم برق هم تکرار می‌شود: مقدار اولیه را $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیر، جابه‌جایی‌ها را مرحله‌به‌مرحله اعمال کن و شرط پایانی را به معادله تبدیل کن.

بخش‌پذیری و باقی‌مانده

در مسئله‌ای مثل «پسته‌ها به شش نفر مساوی تقسیم نمی‌شود، اما با خریدن ۸ پستهٔ دیگر می‌شود»، کافی است بدانی $8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر $6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باقی‌ماندهٔ یکسان دارند؛ پس خریدن ۲ پسته هم همان کار را می‌کند. فکر کردن با باقی‌مانده به‌جای خود عدد، خیلی از مسئله‌ها را کوتاه می‌کند.

رسم شکل و نقشه

در مسئلهٔ رباتی که روی کاشی تیره ۹۰ درجه به چپ می‌چرخد، بدون کشیدن نقشه و شماره‌گذاری سطر و ستون نمی‌شود مسیر را دنبال کرد. یک نکتهٔ کلیدی: اگر ربات فقط به چپ بچرخد، برای چرخیدن به راست باید سه بار به چپ بچرخد. شماره‌گذاری خانه‌ها با (ستون، سطر) استدلال را دقیق و قابل بررسی می‌کند.

الگویابی: شکل‌های نقطه‌ای و اعداد مثلثی

در الگوهای نقطه‌ای، اول چند شکل اول را بشمار، بعد قانون را برای شکل $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام بنویس:

• شکل‌های مستطیلی $1\times2,\ 2\times3,\ 3\times4,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ⟵ شکل $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام: $n(n+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطه.
• شکل‌های مثلثی $1,\ 3,\ 6,\ 10,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ⟵ شکل $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام:$$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

دو مثلث کنار هم یک مستطیل می‌سازند و دلیل این فرمول همین است. ایدهٔ گاوس هم همین را نشان می‌دهد: عددها را دو به دو از دو سر جفت کن تا همهٔ جفت‌ها جمع یکسانی بدهند.

نمونهٔ دیگری از الگویابی، دنبالهٔ بگو و ببین است: $1,\ 11,\ 21,\ 1211,\ 111221,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که در آن هر جمله «توصیف» جملهٔ قبلی است.

شمارش زوج‌ها

وقتی هر دو عضو از $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عضو باید یک بار با هم جفت شوند (بازی‌های یک لیگ، خط‌های هوایی بین شهرها، پاره‌خط‌های بین نقطه‌ها):

اگر بازی رفت و برگشت باشد، تعداد دو برابر می‌شود: $n(n-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

از آخر به اول: کسری از باقی‌مانده

در مسئله‌هایی مثل «نصف کتاب را خواند، بعد نصف باقی‌مانده را، بعد…»، کسرِ باقی‌مانده را مرحله‌به‌مرحله در هم ضرب کن. مثلاً اگر $\frac25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زمینی شخم بخورد و $\frac34$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باقی‌مانده کاشته شود، کسرِ باقی‌مانده بعد از هر مرحله $\frac35$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و سپس $\frac14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آن است. نکتهٔ کلیدی: «کسری از باقی‌مانده» با «کسری از کل» فرق دارد.

لانهٔ کبوتر: با بدترین حالت فکر کن

اگر بخواهی مطمئن شوی که چیزی حتماً اتفاق می‌افتد، بدترین حالت ممکن را تصور کن. مثلاً برای اینکه از میان مهره‌هایی با سه رنگ حتماً ۱۰ مهرهٔ هم‌رنگ داشته باشی، فرض کن از هر رنگ ۹ تا برداشته‌ای؛ مهرهٔ بعدی هر رنگی باشد، یکی از رنگ‌ها را به ۱۰ می‌رساند.

نکته‌های پرتکرار فصل

• تیر و فاصله: $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تیر کنار جاده $n-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فاصله می‌سازد؛ اشتباه گرفتن این دو، رایج‌ترین خطای این نوع مسئله‌هاست.
• کوچک‌ترین مضرب مشترک در مسئله‌های ساختن مکعب از آجر به کار می‌آید: ضلع مکعب باید بر همهٔ ابعاد آجر بخش‌پذیر باشد.
• درصد افزایش همیشه نسبت به مقدار اولیه حساب می‌شود:$$\text{increase}\,\%=\frac{\text{new}-\text{old}}{\text{old}}\times100$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

دنبالهٔ بوق‌ها: وقتی هر جمله به همهٔ قبلی‌ها بسته است

در مسئلهٔ رانندگانی که هر کدام به اندازهٔ مجموع بوق‌های همهٔ نفرات قبلی بوق می‌زنند، بعد از جملهٔ سوم هر جمله دو برابر جملهٔ قبلی می‌شود؛ چون مجموع قبلی‌ها با جملهٔ قبلی برابر است. کشف این رابطه یک دنبالهٔ پیچیده را به یک دنبالهٔ ساده تبدیل می‌کند. اگر یکی از جمله‌ها نامعلوم باشد، آن را $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیر و همهٔ جمله‌ها را برحسب $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بنویس.

مسئله‌های پروژه‌ای

فصل چند مسئلهٔ باز هم دارد: شمردن مربع‌هایی که از هم‌پوشانی چند مربع ساخته می‌شوند (که به اعداد مثلثی می‌رسد)، شمردن حالت‌های قرار گرفتن دایره‌هایی که همدیگر را قطع نمی‌کنند، مثلث خیام–پاسکال که هر عددش جمع دو عدد بالایی است، مربع لاتین با شکل‌ها و رنگ‌ها، و رنگ‌آمیزی کمینهٔ یک جدول. حل کامل همهٔ ۲۸ مسئلهٔ فصل در درسنامهٔ اصلی آمده است.

اشتباه‌های رایج