پرش به محتوای اصلی

هندسه و استدلال — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

هندسه و استدلال (ریاضی تیزهوشان هفتم)

هندسه فقط شکل کشیدن نیست؛ استدلال کردن است. یعنی از چند چیز معلوم (فرض) با گام‌های منطقی به یک نتیجه (حکم) برسیم، طوری که هر ادعا دلیل داشته باشد. این فصل چهار بخش دارد: استدلال دربارهٔ پاره‌خط‌ها، روابط زاویه‌ها، همنهشتی با تبدیل‌های هندسی، و تقسیم شکل‌ها به بخش‌های همنهشت.

پاره‌خط‌ها و جمع طول‌ها

پاره‌خط بخشی از خط راست بین دو نقطه است. اگر روی یک خط nnادامهٔ فرمول را افقی ببین نقطه داشته باشیم، چون هر دو نقطه یک پاره‌خط می‌سازند، تعداد پاره‌خط‌ها برابر است با:

n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

برای ۵ نقطه 1010ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برای ۶ نقطه 1515ادامهٔ فرمول را افقی ببین پاره‌خط داریم.

ساده‌ترین ابزار استدلال این است: اگر BBادامهٔ فرمول را افقی ببین بین AAادامهٔ فرمول را افقی ببین و CCادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، AC=AB+BCAC=AB+BCادامهٔ فرمول را افقی ببین. همچنین اگر به دو طول مساوی مقدار مساوی اضافه یا از آن‌ها کم کنیم، نتیجه مساوی می‌ماند.

نمونهٔ استدلال: چهار نقطهٔ P,Q,R,SP,Q,R,Sادامهٔ فرمول را افقی ببین به همین ترتیب روی خط‌اند و PQ=RSPQ=RSادامهٔ فرمول را افقی ببین. چون PR=PQ+QRPR=PQ+QRادامهٔ فرمول را افقی ببین و QS=QR+RSQS=QR+RSادامهٔ فرمول را افقی ببین و پاره‌خط QRQRادامهٔ فرمول را افقی ببین در هر دو مشترک است، نتیجه می‌گیریم PR=QSPR=QSادامهٔ فرمول را افقی ببین. این استدلال به عددهای خاص وابسته نیست و برای هر اندازه‌ای درست است. یک مثال عددی اثبات نیست؛ استدلال کلی اثبات است.

نکتهٔ کلیدی: پیش از نوشتن رابطه، ترتیب نقطه‌ها را از متن مسئله مشخص کن و شکل را بکش. جملهٔ «CCادامهٔ فرمول را افقی ببین بین AAادامهٔ فرمول را افقی ببین و DDادامهٔ فرمول را افقی ببین است» ترتیب را عوض می‌کند و همان طول‌ها در ترتیب‌های مختلف، عبارت‌های جبری متفاوتی مثل x−2yx-2yادامهٔ فرمول را افقی ببین یا x+2yx+2yادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهند.

نامساوی مثلث: سه پاره‌خط فقط وقتی مثلث می‌سازند که مجموع هر دو ضلع از ضلع سوم بیشتر باشد. مثلاً با محیط 77ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ضلع‌های صحیح، فقط (1,3,3)(1,3,3)ادامهٔ فرمول را افقی ببین و (2,2,3)(2,2,3)ادامهٔ فرمول را افقی ببین ممکن‌اند.

روابط زاویه‌ها

اصطلاح تعریف رابطه
متمم دو زاویه با مجموع 90∘90^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین متمم xxادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 90−x90-xادامهٔ فرمول را افقی ببین
مکمل دو زاویه با مجموع 180∘180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین مکمل xxادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 180−x180-xادامهٔ فرمول را افقی ببین
متقابل به رأس زاویه‌های روبه‌روی هم در برخورد دو خط مساوی‌اند
نیمساز نیم‌خطی که زاویه را نصف می‌کند هر قسمت θ2\frac{\theta}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

حقیقت‌های پایه:

  • مجموع زاویه‌های دور یک نقطه 360∘360^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین و روی یک خط راست 180∘180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
  • مجموع زاویه‌های داخلی مثلث 180∘180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین و چهارضلعی 360∘360^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
  • زاویهٔ خارجی مثلث برابر مجموع دو زاویهٔ داخلیِ غیرمجاور آن است.

چرا متقابل به رأس‌ها مساوی‌اند؟ اگر دو خط زاویه‌های a,b,ca,b,cادامهٔ فرمول را افقی ببین را پشت سر هم بسازند، a+b=180∘a+b=180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین و b+c=180∘b+c=180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ پس a=ca=cادامهٔ فرمول را افقی ببین.

چرا زاویهٔ خارجی برابر جمع دو داخلی دیگر است؟ زاویهٔ خارجی در CCادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 180−C180-Cادامهٔ فرمول را افقی ببین است و از A+B+C=180A+B+C=180ادامهٔ فرمول را افقی ببین نتیجه می‌شود 180−C=A+B180-C=A+Bادامهٔ فرمول را افقی ببین.

یک نتیجهٔ جالب: اختلاف مکمل و متمم هر زاویهٔ حاده همیشه 90∘90^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین است، چون (180−x)−(90−x)=90(180-x)-(90-x)=90ادامهٔ فرمول را افقی ببین. همچنین نیمسازهای دو زاویهٔ مکملِ مجاور همیشه بر هم عمودند، چون مجموع نصف‌هایشان 1802=90\frac{180}{2}=90ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود.

الگوی مسئله‌های جبری زاویه: وقتی زاویه‌ها با عبارت‌هایی مثل 3x−153x-15ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 2x+52x+5ادامهٔ فرمول را افقی ببین داده می‌شوند، رابطهٔ هندسی (مساوی بودن متقابل به رأس‌ها، مجموع 180180ادامهٔ فرمول را افقی ببین در مثلث، زاویهٔ خارجی) را به معادله تبدیل کن و xxادامهٔ فرمول را افقی ببین را پیدا کن. در مسئله‌هایی که نیمساز دارند، دو قسمت مساوی را xxادامهٔ فرمول را افقی ببین و xxادامهٔ فرمول را افقی ببین بنام؛ معمولاً به‌جای خود xxادامهٔ فرمول را افقی ببین و yyادامهٔ فرمول را افقی ببین، فقط x+yx+yادامهٔ فرمول را افقی ببین لازم است.

بازتاب نور و بیلیارد: وقتی توپ یا نور به دیواره می‌خورد، زاویهٔ برخورد با زاویهٔ بازگشت برابر است. این قانون همراه با مجموع زاویه‌های مثلث، مسیر توپ را محاسبه‌پذیر می‌کند.

همنهشتی

دو شکل همنهشت‌اند وقتی با یک تبدیل صلب (انتقال، دوران، بازتاب یا ترکیبی از آن‌ها) کاملاً بر هم منطبق شوند. در این حالت هر ضلع و هر زاویه با ضلع و زاویهٔ متناظرش برابر است.

در نماد △ABC≅△DEF\triangle ABC\cong\triangle DEFادامهٔ فرمول را افقی ببین، ترتیب حروف تناظر را نشان می‌دهد: AAادامهٔ فرمول را افقی ببین با DDادامهٔ فرمول را افقی ببین، BBادامهٔ فرمول را افقی ببین با EEادامهٔ فرمول را افقی ببین و CCادامهٔ فرمول را افقی ببین با FFادامهٔ فرمول را افقی ببین.

حالت همنهشتی مثلث شرط
ض ض ض سه ضلع نظیر برابر
ض ز ض دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها برابر
ز ض ز دو زاویه و ضلع بین آن‌ها برابر

سه زاویهٔ برابر برای همنهشتی کافی نیست؛ چنین مثلث‌هایی فقط متشابه‌اند.

نام‌گذاری چندضلعی: رأس‌ها را به ترتیب پیمایش می‌نویسیم. ABCDABCDادامهٔ فرمول را افقی ببین و BCDABCDAادامهٔ فرمول را افقی ببین و DCBADCBAادامهٔ فرمول را افقی ببین یک شکل‌اند (از رأس دیگری شروع شده یا برعکس پیموده شده)، ولی ACBDACBDادامهٔ فرمول را افقی ببین شکل دیگری است. برای مقایسه، فهرست ضلع‌ها را بنویس.

تشخیص نوع تبدیل روی شبکه: اگر شکل آینه‌ای شده بازتاب است، اگر چرخیده دوران است و اگر فقط جابه‌جا شده انتقال است. محور بازتاب یا مرکز دوران را با رسم عمودمنصف نقطه‌های متناظر پیدا کن. معمولاً چند جواب وجود دارد.

یک نمونهٔ کامل: در متوازی‌الاضلاع ABCDABCDادامهٔ فرمول را افقی ببین اگر قطر BDBDادامهٔ فرمول را افقی ببین را بکشیم، دو مثلث ABDABDادامهٔ فرمول را افقی ببین و CDBCDBادامهٔ فرمول را افقی ببین به حالت ض ض ض همنهشت‌اند (AB=CDAB=CDادامهٔ فرمول را افقی ببین و AD=CBAD=CBادامهٔ فرمول را افقی ببین و BDBDادامهٔ فرمول را افقی ببین مشترک). از همین همنهشتی نتیجه می‌شود زاویه‌های روبه‌روی متوازی‌الاضلاع برابرند. این همان کاری است که همنهشتی در هندسه انجام می‌دهد: از برابری چند جزء، برابری جزءهای دیگر را ثابت می‌کند.

در چهارضلعی‌ای مثل IRANIRANادامهٔ فرمول را افقی ببین اگر دو مثلث IRAIRAادامهٔ فرمول را افقی ببین و INAINAادامهٔ فرمول را افقی ببین همنهشت باشند، تناظر رأس‌ها تعیین می‌کند کدام تبدیل یکی را روی دیگری می‌برد: اگر IR=INIR=INادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، بازتاب نسبت به خط IAIAادامهٔ فرمول را افقی ببین است و اگر IR=ANIR=ANادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، نیم‌دور حول وسط IAIAادامهٔ فرمول را افقی ببین.

چندخانه‌ای‌ها

شکلی که از چسباندن مربع‌های واحد ضلع به ضلع ساخته شود چندخانه‌ای است. دو مربعی که فقط در یک رأس به هم می‌رسند چندخانه‌ای نمی‌سازند. اگر شکل‌های چرخیده و آینه‌ای را یکی بگیریم:

تعداد خانه ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶
شکل‌های غیرهمنهشت ۱ ۱ ۲ ۵ ۱۲ ۳۵

چهارخانه‌ای‌ها همان شکل‌های بازی تتریس‌اند. روش مطمئن ساختن پنج‌خانه‌ای‌ها این است که به هر چهارخانه‌ای یک مربع در همهٔ جاهای ممکن اضافه کنی و تکراری‌ها را کنار بگذاری.

تقسیم شکل به تکه‌های همنهشت

اول مساحت کل را بشمار و بر تعداد تکه‌ها تقسیم کن تا مساحت هر تکه معلوم شود. تقسیم را از گوشه‌ای شروع کن که کمترین انتخاب را دارد. برای تقسیم با یک برش به دو تکهٔ همنهشت، برش باید از مرکز تقارن بگذرد (تبدیل: دوران 180∘180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین) یا روی محور تقارن باشد (تبدیل: بازتاب).

اشتباه‌های رایج

اشتباه درست
یک مثال عددی یک اثبات است. اثبات باید برای همهٔ حالت‌ها معتبر باشد.
زاویه‌های مجاور مساوی‌اند. متقابل به رأسها مساوی‌اند.
ترتیب حروف در نماد همنهشتی مهم نیست. ترتیب حروف تناظر را نشان می‌دهد.
سه زاویهٔ برابر یعنی همنهشتی. فقط تشابه؛ همنهشتی ثابت نمی‌شود.

سؤال تستی

۵ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. با ۵ نقطهٔ متمایز روی یک خط، چند پاره‌خطِ با دو سرِ این نقطه‌ها ساخته می‌شود؟

  • ۱۵
  • ۱۰
  • ۵
  • ۲۰

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«۱۰» درست است، چون هر پاره‌خط با یک زوج نقطه ساخته می‌شود؛ 5×4÷2=105\times 4\div 2=10ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «۵» با رابطهٔ زاویه‌ها یا طول‌های داده‌شده سازگار نیست. «۲۰» یکی از بخش‌های شکل را جا می‌اندازد. «۱۵» نتیجهٔ شرط‌های مسئله نیست. تلهٔ تستی: ترتیب نقطه‌ها و تناظر رأس‌ها را پیش از محاسبه مشخص کن. گزینهٔ درست «۱۰» است.

2. مکمل زاویهٔ ۶۸ درجه چند درجه است؟

  • ۱۱۲
  • ۲۲
  • ۶۸
  • ۱۲۲

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«۱۱۲» درست است، چون مکمل و زاویهٔ داده‌شده جمعاً ۱۸۰ درجه‌اند. «۲۲» با رابطهٔ زاویه‌ها یا طول‌های داده‌شده سازگار نیست. «۶۸» یکی از بخش‌های شکل را جا می‌اندازد. «۱۲۲» نتیجهٔ شرط‌های مسئله نیست. تلهٔ تستی: ترتیب نقطه‌ها و تناظر رأس‌ها را پیش از محاسبه مشخص کن. گزینهٔ درست «۱۱۲» است.

3. دهانه‌ای ۳۷° باز است؛ چند درجه باید به آن افزوده شود تا یک زاویهٔ قائمه ساخته شود؟

  • ۵۳
  • ۱۴۳
  • ۳۷
  • ۶۳

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«۵۳» درست است، چون 90−37=5390-37=53ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «۱۴۳» با رابطهٔ زاویه‌ها یا طول‌های داده‌شده سازگار نیست. «۳۷» یکی از بخش‌های شکل را جا می‌اندازد. «۶۳» نتیجهٔ شرط‌های مسئله نیست. تلهٔ تستی: ترتیب نقطه‌ها و تناظر رأس‌ها را پیش از محاسبه مشخص کن. گزینهٔ درست «۵۳» است.

4. در تقاطع دو خط، یکی از ناحیه‌های زاویه‌ای ۷۴ درجه است. اندازهٔ ناحیهٔ روبه‌رو چقدر است؟

  • ۹۰
  • ۱۴۸
  • ۷۴
  • ۱۰۶

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«۷۴» درست است، چون زاویه‌های متقابل به رأس برابرند. «۱۰۶» با رابطهٔ زاویه‌ها یا طول‌های داده‌شده سازگار نیست. «۹۰» یکی از بخش‌های شکل را جا می‌اندازد. «۱۴۸» نتیجهٔ شرط‌های مسئله نیست. تلهٔ تستی: ترتیب نقطه‌ها و تناظر رأس‌ها را پیش از محاسبه مشخص کن. گزینهٔ درست «۷۴» است.

5. دو زاویهٔ مجاور روی یک خط راست‌اند. اگر یکی ۱۲۵ درجه باشد، دیگری چند است؟

  • ۵۵
  • ۱۲۵
  • ۴۵
  • ۲۳۵

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«۵۵» درست است، چون مجموع روی خط راست ۱۸۰ است؛ 180−125=55180-125=55ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «۱۲۵» با رابطهٔ زاویه‌ها یا طول‌های داده‌شده سازگار نیست. «۴۵» یکی از بخش‌های شکل را جا می‌اندازد. «۲۳۵» نتیجهٔ شرط‌های مسئله نیست. تلهٔ تستی: ترتیب نقطه‌ها و تناظر رأس‌ها را پیش از محاسبه مشخص کن. گزینهٔ درست «۵۵» است.

نمونه سؤال تشریحی

۳ سؤال امتحانی با پاسخ نمونه — برای دیدن بزن

۱. ثابت کنید زاویه‌های متقابل به رأس با هم برابرند.

پاسخ نمونه

فرض کنید دو خط یکدیگر را قطع کرده‌اند و زاویه‌های aaادامهٔ فرمول را افقی ببین و bbادامهٔ فرمول را افقی ببین و ccادامهٔ فرمول را افقی ببین به ترتیب کنار هم قرار دارند؛ aaادامهٔ فرمول را افقی ببین و ccادامهٔ فرمول را افقی ببین متقابل به رأس‌اند.

  • aaادامهٔ فرمول را افقی ببین و bbادامهٔ فرمول را افقی ببین روی یک خط راست‌اند، پس a+b=180∘a+b=180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • bbادامهٔ فرمول را افقی ببین و ccادامهٔ فرمول را افقی ببین هم روی یک خط راست‌اند، پس b+c=180∘b+c=180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین.

از این دو تساوی نتیجه می‌شود a+b=b+ca+b=b+cادامهٔ فرمول را افقی ببین و با کم کردن bbادامهٔ فرمول را افقی ببین از دو طرف، a=ca=cادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۲. در مثلث ABCABCادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ AAادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 50∘50^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین است و نیمسازهای زاویه‌های BBادامهٔ فرمول را افقی ببین و CCادامهٔ فرمول را افقی ببین در نقطهٔ DDادامهٔ فرمول را افقی ببین همدیگر را قطع می‌کنند. اندازهٔ زاویهٔ BDCBDCادامهٔ فرمول را افقی ببین را به دست آورید.

پاسخ نمونه

مجموع زاویه‌های مثلث 180∘180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس B^+C^=180−50=130∘\hat B+\hat C=180-50=130^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نیمسازها هر زاویه را نصف می‌کنند؛ بنابراین در مثلث BDCBDCادامهٔ فرمول را افقی ببین مجموع دو زاویهٔ کنار BBادامهٔ فرمول را افقی ببین و CCادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر است با:

B^2+C^2=1302=65∘\frac{\hat B}{2}+\frac{\hat C}{2}=\frac{130}{2}=65^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین

در نتیجه:

∠BDC=180−65=115∘\angle BDC=180-65=115^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین

۳. سه زاویهٔ یک مثلث چنین‌اند: زاویهٔ اول ۲۵ درجه بیشتر از زاویهٔ دوم و زاویهٔ سوم ۹ درجه کمتر از دو برابر زاویهٔ دوم است. اندازهٔ هر سه زاویه را پیدا کنید.

پاسخ نمونه

زاویهٔ دوم را aaادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌گیریم؛ زاویهٔ اول a+25a+25ادامهٔ فرمول را افقی ببین و زاویهٔ سوم 2a−92a-9ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. مجموع زاویه‌های مثلث 180∘180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین است:

(a+25)+a+(2a−9)=180 ⇒ 4a+16=180 ⇒ a=41(a+25)+a+(2a-9)=180\ \Rightarrow\ 4a+16=180\ \Rightarrow\ a=41ادامهٔ فرمول را افقی ببین

زاویه‌ها: 66∘66^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین و 41∘41^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین و 73∘73^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین. بررسی: 66+41+73=18066+41+73=180ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مباحث مرتبط

ترتیب انجام عملیات — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)راهبردهای حل مسئله — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)عددهای صحیح — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)جبر و معادله — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)شمارنده‌ها و اعداد اول — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)سطح و حجم — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)توان و جذر — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)بردار و مختصات — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)آمار و احتمال — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)عددهای صحیح (ریاضی هفتم)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان