سطح و حجم — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)

سطح و حجم (ریاضی تیزهوشان هفتم)

دنیای اطراف ما سه‌بعدی است: جعبه، قوطی، ساختمان و آب داخل استخر. این فصل تصور فضایی را با برش زدن و ساختن شکل‌ها تقویت می‌کند و بعد سراغ مقطع، حجم و مساحت منشورها و استوانه‌ها، جسم دورانی و مسئله‌های واقعی هزینه و ظرف می‌رود.

اصطلاحات پایه

رابطهٔ اویلر برای هر چندوجهی محدب: اگر $V$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعداد رأس‌ها، $E$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعداد یال‌ها و $F$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعداد وجه‌ها باشد،

برای مکعب $8-12+6=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، برای چهاروجهی $4-6+4=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و برای منشور پنج‌ضلعی $10-15+7=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ریاضیات سیب‌زمینی

با یک سیب‌زمینی و چاقو می‌شود شکل فضایی ساخت؛ هر برش تخت یک وجه می‌سازد. برای مکعب دست‌کم ۶ برش لازم است، چون مکعب ۶ وجه دارد. جسمی که دقیقاً ۴ وجه داشته باشد ناچار همهٔ وجه‌هایش مثلث‌اند و چهاروجهی است. با شش خلال‌دندان هم‌اندازه می‌شود یک چهاروجهی منتظم ساخت: سه خلال یک مثلث می‌سازند و سه خلال دیگر رأس چهارم را به رأس‌های مثلث وصل می‌کنند.

غلتاندن مکعب

اگر $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی غلتاندن به راست و چپ و $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی غلتاندن به جلو و عقب باشد:

• $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عکس هم‌اند و $ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مکعب را به حالت اول برمی‌گرداند.
• چهار بار پشت سر هم یک دستور، مکعب را به حالت اولیه برمی‌گرداند.
• ترتیب مهم است: $ac$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $ca$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی معمولاً به دو وضعیت متفاوت می‌رسند.
• یک مکعب ۲۴ وضعیت دارد: ۶ انتخاب برای وجه بالا و ۴ چرخش دور آن.

برای پیدا کردن دستوری که یک وضعیت را به وضعیت دیگر می‌برد، از وضعیت مقصد به عقب برگرد و دستورها را معکوس کن.

مقطع

مقطع شکلی است که از برش یک جسم با صفحه ساخته می‌شود. نکتهٔ کلیدی این است که هر وجه جسم حداکثر یک ضلع از مقطع را می‌سازد.

• مکعب ۶ وجه دارد، پس مقطعش می‌تواند ۳، ۴، ۵ یا ۶ ضلعی باشد و هرگز هفت‌ضلعی نمی‌شود. برای مقطع مثلثی یک گوشه را ببر و برای شش‌ضلعی منتظم، صفحه‌ای عمود بر قطر مکعب که از مرکز بگذرد.
• چهاروجهی ۴ وجه دارد، پس مقطعش فقط ۳ یا ۴ ضلعی است؛ این چهارضلعی حتی می‌تواند مربع باشد.

چهاروجهی منتظم داخل مکعب: چهار رأس یک‌درمیانِ یک مکعب، رأس‌های یک چهاروجهی منتظم‌اند و یال‌های آن قطرهای وجه‌های مکعب هستند.

شهود فضایی

• گسترده مکعب: شش مربع به‌هم‌چسبیده که با تا کردن مکعب می‌سازند؛ ۱۱ گستردهٔ متفاوت وجود دارد. در یک ردیف از گسترده، دو وجهی که دقیقاً یک وجه بینشان است، روبه‌روی هم قرار می‌گیرند.
• تاس: مجموع نقطه‌های وجه‌های روبه‌رو ۷ است؛ پس بیشترین مجموع سه وجه هم‌رأس $6+5+4=15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• شمارش با اصل شمول و عدم شمول: از یک گوشهٔ مکعب $5\times5\times5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سه وجه دیده می‌شود؛ مکعب‌های دیده‌شده برابر است با $3\times25-3\times5+1=61$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، چون مکعب‌های روی یال‌های مشترک دو بار و مکعب گوشه سه بار شمرده شده‌اند.
• رنگ‌آمیزی: برای رنگ کردن ۲۷ مکعب یک مکعب $3\times3\times3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طوری که مکعب‌های دارای رأس مشترک هم‌رنگ نباشند، دست‌کم ۸ رنگ لازم است، چون هر بلوک $2\times2\times2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هشت مکعبِ دوبه‌دو هم‌رأس دارد.

حجم منشور و استوانه

یکاها: $1\ \text{L}=1000\ \text{cm}^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $1\ \text{m}^3=1000\ \text{L}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ هر لیتر آب حدود یک کیلوگرم است.

اثر تغییر ابعاد: اگر ابعاد در $p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب شوند، حجم در $pqr$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب می‌شود. دو برابر شدن ضلع مکعب حجم را $8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر و مساحت را $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر می‌کند؛ دو برابر شدن شعاع استوانه حجم را $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر می‌کند.

مقایسهٔ قیمت ظرف‌ها: ظرفی که ارتفاعش دو برابر ولی شعاعش نصف است، فقط نصف حجم ظرف دیگر را دارد؛ پس برای مقایسهٔ قیمت باید قیمت به‌ازای واحد حجم را حساب کرد، نه به ظاهر ظرف اعتماد کرد.

حجم با جابه‌جایی آب: حجم جسمی که در آب فرو می‌رود برابر حجم آبی است که بالا می‌آید: مساحت کف ظرف ضرب در ارتفاعِ بالا آمدن آب.

مسئلهٔ چاه و هزینه: فصل یک مسئلهٔ واقعی چندمرحله‌ای دارد: هزینهٔ حفر چاهی که قیمت هر ده متر آن نسبت به ده متر قبلی بیشتر می‌شود، حجم خاکی که از چاهی استوانه‌ای بیرون می‌آید، و اینکه خاکِ بیرون‌آمده حجم بیشتری از جای خالی‌اش دارد. برای چنین مسئله‌هایی هر مرحله را جدا بنویس، یکاها را یکسان کن (همه را به متر ببر) و تعداد نوبت‌های حمل را به عدد صحیحِ بالاتر گرد کن، چون نیم نوبت حمل وجود ندارد.

مساحت جانبی و کل

• مساحت جانبی منشور قائم برابر محیط قاعده ضرب در ارتفاع است: $S_L=P\,h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• مساحت کل برابر مساحت جانبی به‌علاوهٔ دو قاعده است: $S=P\,h+2A_{\text{base}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• برای استوانه: $S_L=2\pi rh$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $S=2\pi rh+2\pi r^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

جسم دورانی

وقتی یک شکل تخت حول خطی می‌چرخد، جسم دورانی ساخته می‌شود. مستطیلی که حول یکی از ضلع‌هایش بچرخد استوانه می‌سازد. اگر محور به فاصلهٔ $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از نزدیک‌ترین ضلع مستطیلی به عرض $w$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ارتفاع $h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، جسم یک استوانهٔ توخالی است:

هرچه محور از شکل دورتر باشد، حجم بیشتر می‌شود. مثلاً مستطیلی $3\times4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که حول ضلع ۴ بچرخد، استوانه‌ای با حجم $36\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌سازد؛ اگر محور به فاصلهٔ ۱ از آن ضلع باشد حجم $60\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و اگر به فاصلهٔ ۳ باشد $108\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود. قضیهٔ پاپوس همین نتیجه‌ها را کوتاه‌تر می‌دهد: حجم برابر مساحت شکل ضرب در طول مسیری است که مرکز شکل دور محور طی می‌کند.

مساحت با چسباندن مکعب‌ها: اگر یک مکعب واحد را روی یک مکعب بزرگ بچسبانی، مساحت کل فقط به اندازهٔ چهار وجه جانبیِ مکعب کوچک زیاد می‌شود، چون وجه بالای مکعب کوچک جای همان قسمتی را می‌گیرد که پوشانده است. از ۸ مکعب همسان سه مکعب‌مستطیل متفاوت ساخته می‌شود و شکل «مکعبی‌تر» کمترین مساحت کل را دارد.

پله‌ها، روبیک و مکعب‌های پنهان

• در یک مکعب روبیک $3\times3\times3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ۸ مکعب سه وجه رنگی، ۱۲ مکعب دو وجه رنگی، ۶ مکعب یک وجه رنگی و ۱ مکعب هیچ وجه رنگی ندارد.
• تعداد مکعب‌های پنهان (بی‌وجه رنگی) در یک مکعب‌مستطیل $d\times e\times f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $(d-2)(e-2)(f-2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• بیشترین حجم جسم پله‌ای با $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پله که سه نمایش پله‌ای است، برابر $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

استدلال رنگی: آیا پنج چهارخانه‌ای مختلف مستطیل $5\times4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را می‌پوشانند؟ با رنگ‌آمیزی شطرنجی، مستطیل ۱۰ خانهٔ سیاه و ۱۰ خانهٔ سفید دارد، ولی چهارخانه‌ای $T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سه خانه از یک رنگ می‌پوشاند؛ پس پوشاندن ممکن نیست.

اشتباه‌های رایج