آمار و احتمال — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)

آمار و احتمال (ریاضی تیزهوشان هفتم)

هر روز با عددهای آماری روبه‌رو می‌شویم: نمودار سرعت، نتیجهٔ انتخابات، آمار فروش فیلم یا پیش‌بینی هوا. آمار به ما می‌گوید داده‌ها چه می‌گویند و کجا ممکن است گولمان بزنند؛ احتمال هم اندازهٔ شانس را با عدد می‌سنجد. در این فصل نمودارها را می‌خوانی و نقد می‌کنی، خطاهای میانگین و نتیجه‌گیری را می‌شناسی، احتمال را به‌صورت کسری بین ۰ و ۱ حساب می‌کنی و آن را با آزمایش تصادفی تجربه می‌کنی.

خواندن و نقد نمودار

هر نمودار را با این پرسش‌ها بسنج: محورها چه چیزی را نشان می‌دهند؟ واحد و مقیاس چیست؟ محور از کجا شروع شده؟ منبع داده کیست؟ نمودار ستونی‌ای که محورش از ۵۰ شروع شود، تفاوت ستون‌ها را بزرگ‌تر از واقعیت نشان می‌دهد.

خطاهای رایج در نتیجه‌گیری

• نمودار فقط نقطه‌های ثبت‌شده را می‌گوید. اگر سرعت یک خودرو فقط نزدیک هفت شهر ثبت شده باشد، نمی‌شود گفت «سرعت هیچ‌وقت از ۱۱۰ بیشتر نشده است»؛ بین شهرها هر اتفاقی ممکن است افتاده باشد.
• میانگین دو سرعت لحظه‌ای، میانگین سرعت مسیر نیست. میانگین سرعت یعنی کل مسافت تقسیم بر کل زمان.
• آمار بازی نتیجهٔ بازی را تعیین نمی‌کند. مالکیت بیشتر توپ لزوماً به گل بیشتر نمی‌رسد؛ آمار فقط احتمال برد را کم و زیاد می‌کند.
• فروش بیشتر یعنی محبوبیت بیشتر؟ نه لزوماً. برای مقایسهٔ دو فیلم از دو دورهٔ متفاوت، تعداد بلیت فروخته‌شده و نسبت تماشاگران به جمعیت معیار بهتری از مبلغ فروش است، چون قیمت بلیت و ارزش پول تغییر کرده است.
• برآورد از روی اندازه‌گیری‌های کم: اگر وزن کسی هفته‌ای یک بار ثبت شود، هر نتیجه‌ای دربارهٔ روزهای وسط هفته فقط یک برآورد است.

انتخاب نمودار: برای مقایسهٔ آرای هفت نامزد انتخاباتی، نمودار ستونی بهتر از دایره‌ای سه‌بعدی است، چون دسته‌ها زیادند، سهم‌های کوچک در دایره دیده نمی‌شوند و زاویهٔ دید اندازهٔ برش‌ها را تغییر می‌دهد. برای نشان دادن تغییر وزن در ۱۶ هفته هم نمودار خطی مناسب است، چون روند کاهش و افزایش را نشان می‌دهد.

درصد از کل: در نمودار دایره‌ای مجموع سهم‌ها ۱۰۰٪ است؛ پس اگر سهم همهٔ دسته‌ها به‌جز یکی معلوم باشد، سهم آن یکی با کم کردن از ۱۰۰ به دست می‌آید و تعداد افراد هر دسته از ضرب درصد در کل جمعیت.

احتمال

وقتی همهٔ نتیجه‌های یک آزمایش هم‌شانس‌اند:

• همیشه $0\le P(A)\le1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• احتمال صفر یعنی پیشامد غیرممکن و احتمال ۱ یعنی حتمی.
• احتمال رخ ندادن یک پیشامد: $1-P(A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• مجموع احتمال همهٔ نتیجه‌های ممکن برابر ۱ است.

نمونه: در پرتاب یک تاس، احتمال «عدد بزرگ‌تر از ۴» برابر $\frac26=\frac13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و احتمال «عدد اول» برابر $\frac36=\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. در کیسه‌ای که احتمال مهرهٔ سیاه $\frac38$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و سفید $\frac14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، احتمال آبی برابر $1-\frac38-\frac14=\frac38$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

جایگاه پیشامدها روی خط احتمال: سبز شدن گل بدون کاشتن بذر غیرممکن است؛ بارش برف در زمستان سیبری نزدیک به حتمی است؛ برنده شدن در یک قرعه‌کشی بزرگ نزدیک به صفر است؛ و دختر بودن فرزند یک مادر باردار حدود $\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

شمردن درست حالت‌ها

• نبرد دریایی: ناوها روی هم ۱۷ خانه از ۱۰۰ خانه را می‌گیرند، پس احتمال اصابت شلیک اول $\frac{17}{100}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اگر شلیک اول خطا برود، احتمال شلیک دوم $\frac{17}{99}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود؛ اما اگر شلیک اول به هدف خورده باشد و دومی را به خانهٔ همسایه بزنی، شانس بسیار بیشتر است.
• جوراب: اگر ۵ جفت جوراب داشته باشیم و دو لنگه را تصادفی برداریم، لنگهٔ اول هرچه باشد، از ۹ لنگهٔ باقی‌مانده فقط یکی جفت آن است؛ پس احتمال جفت شدن $\frac19$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. این «راه کوتاه» از شمردن همهٔ ۴۵ حالت سریع‌تر است.
• تاس دوازده‌وجهی با شمارنده‌های ۷۲: وجه‌ها $1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند؛ احتمال مضرب ۱۲ بودن $\frac4{12}=\frac13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. در چنین مسئله‌هایی ترکیب این فصل با فصل شمارنده‌ها دیده می‌شود.

احتمال و تجربه

اگر تاسی را بارها بیندازی، فراوانی نسبی (تعداد دفعه‌هایی که ۶ آمده تقسیم بر کل پرتاب‌ها) به احتمال نظری $\frac16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزدیک می‌شود. در ۶۰۰ پرتاب انتظار داریم حدود ۱۰۰ بار ۶ بیاید، اما نه دقیقاً ۱۰۰ بار. هرچه تعداد پرتاب‌ها بیشتر شود، این نسبت به $\frac16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزدیک‌تر می‌شود؛ به این واقعیت قانون اعداد بزرگ می‌گویند. با نرم‌افزارهایی مثل جئوجبرا می‌شود هزاران پرتاب را در چند ثانیه شبیه‌سازی کرد.

اشتباه‌های رایج