بردار و مختصات — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)

بردار و مختصات (ریاضی تیزهوشان هفتم)

برای رساندن یک ربات، یک کشتی در بازی یا یک نقطه روی نقشه به جایی دقیق، باید مکان و جابه‌جایی را با عدد بنویسیم. این فصل دستگاه مختصات را مرور می‌کند، حرکت ربات را با دستورهای ساده و ترکیبی دنبال می‌کند، بردار انتقال را معرفی می‌کند و تبدیل‌های هندسی را روی مختصات اجرا می‌کند.

صفحهٔ مختصات

دو محور عمود بر هم داریم: محور طول‌ها (افقی، $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و محور عرض‌ها (عمودی، $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) که در مبدأ به هم می‌رسند. هر نقطه با یک زوج مرتب نوشته می‌شود؛ اول طول و بعد عرض:

نقطه‌ای که روی یکی از محورها باشد ($x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $y=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) در هیچ ناحیه‌ای نیست. اگر $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی باشند، نقطه‌های $\begin{bmatrix}a\\2\end{bmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\begin{bmatrix}b\\3\end{bmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\begin{bmatrix}c\\4\end{bmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همه در ناحیهٔ دوم‌اند، پس مثلثی که می‌سازند هم در ناحیهٔ دوم است.

نبرد دریایی: این بازی تمرین خواندن مختصات دوتایی است. یک راهبرد خوب این است که شلیک‌های اول را شطرنجی (یک خانه در میان) بزنی، چون کوچک‌ترین ناو دو خانه دارد؛ و وقتی به هدف خوردی، چهار خانهٔ همسایه را امتحان کنی تا جهت ناو معلوم شود.

دستورهای حرکت ربات

در داستان ربات «روپاد»، چهار دستور ساده داریم:

دستور ترکیبی از چند دستور پشت سر هم ساخته و از چپ به راست خوانده می‌شود. برای تکرار از ضریب استفاده می‌کنیم: $(20S)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی بیست بار $S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حتی می‌شود به یک دستور ترکیبی اسم داد، مثلاً $x=WN(5S)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و بعد از آن اسم در دستورهای دیگر استفاده کرد؛ درست مثل متغیر در جبر.

ساده کردن دستور: همهٔ حرکت‌های شرقی و غربی را با هم و همهٔ حرکت‌های شمالی و جنوبی را با هم حساب کن. مثلاً $(5E)WWW(4E)(5E)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در جهت افقی $5-3+4+5=11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد به شرق است. دو دستور فقط وقتی هم‌اثرند که جابه‌جایی کل آن‌ها در هر دو جهت برابر باشد.

بردار انتقال

اثر کلی یک دستور فقط به مجموع جابه‌جایی‌ها بستگی دارد، نه به مسیر. بردار انتقال از $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی این است:

یعنی مقصد منهای مبدأ.

ویژگی‌ها:

1. بردار یک دستور ترکیبی، جمع بردارهای دستورهای سازندهٔ آن است.
2. ترتیب دستورهای ساده در بردار کل اثری ندارد: $NEE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $ENE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $EEN$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همه بردار $\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارند.
3. بردار به نقطهٔ شروع بستگی ندارد و همیشه: نقطهٔ پایان = نقطهٔ شروع + بردار.

تکرار یک دستور: اگر دستور $E(2N)E(3S)EN$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در هر دور ربات را $\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جابه‌جا کند، صد بار تکرار آن ربات را $\begin{bmatrix}300\\0\end{bmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جابه‌جا می‌کند. برای پیدا کردن جهت حرکت در گام سیصدم یک دستور تکراری، طول یک دور را بشمار و از باقی‌ماندهٔ تقسیم استفاده کن.

برعکس کردن بردار: اگر بدانی ربات کجا ایستاده و چه دستوری اجرا کرده، نقطهٔ شروع برابر است با نقطهٔ پایان منهای بردار کل. اگر ربات باید به نقطهٔ شروع برگردد، بردار کل باید صفر باشد. همین ایده در مسئلهٔ دو رباتی که هنگام رسیدن هم‌زمان به یک نقطه برخورد می‌کنند هم به کار می‌آید.

تبدیل‌های هندسی روی مختصات

همهٔ این تبدیل‌ها طول‌ها و زاویه‌ها را حفظ می‌کنند؛ پس تصویر هر شکل با خود آن همنهشت است.

دوران حول نقطه‌ای غیر از مبدأ: برای چرخاندن نقطهٔ $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حول $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، بردار $\overrightarrow{AP}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با قاعدهٔ جدول بچرخان و نتیجه را به $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه کن. خود $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در دوران ثابت می‌ماند.

ترکیب تبدیل‌ها و ترتیب آن‌ها

• انتقال‌ها جابه‌جایی‌پذیرند: دو انتقال پشت سر هم با یک انتقال (با جمع دو بردار) برابرند و ترتیبشان مهم نیست.
• قرینه نسبت به محور طول‌ها و بعد نسبت به محور عرض‌ها، همان قرینه نسبت به مبدأ است و ترتیب این دو هم مهم نیست.
• اما ترکیب «جابه‌جا کردن $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» با یک بازتاب، بسته به ترتیب، دو دوران متفاوت ($90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساعتگرد یا پادساعتگرد) می‌دهد. پس ترتیب بازتاب‌ها و دوران‌ها مهم است.

همنهشتی با مختصات

برای اینکه بفهمی دو شکل روی صفحهٔ مختصات همنهشت‌اند، طول ضلع‌های متناظر را (با شمردن خانه‌ها یا قضیهٔ فیثاغورس) مقایسه کن. اگر جهت ضلع‌ها فرق دارد، یک دوران یا بازتاب لازم است و بعد یک انتقال شکل‌ها را منطبق می‌کند. برای پیدا کردن نقطهٔ $D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طوری که مثلث $ABD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $ABC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همنهشت باشد، غیر از خود $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سه جواب دیگر هست: بازتاب $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نسبت به خط $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، بازتاب آن نسبت به عمودمنصف $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و قرینهٔ آن نسبت به وسط $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اشتباه‌های رایج