عددهای صحیح — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)

عددهای صحیح (ریاضی تیزهوشان هفتم)

عددهای منفی در زندگی روزمره همه‌جا هستند: دمای زیر صفر، طبقهٔ زیرزمین، بدهی، اختلاف ساعت کشورها و تفاضل گل تیم‌ها. این فصل چهار مهارت می‌سازد: نشان دادن و مقایسهٔ عددها روی محور، جمع و تفریق بدون اشتباه علامت، ضرب و تقسیم عددهای علامت‌دار، و مدل‌سازی مسئله‌های واقعی.

از طبیعی تا صحیح

عددهای طبیعی $1,2,3,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند. با افزودن صفر به عددهای حسابی می‌رسیم و با افزودن قرینهٔ عددهای طبیعی، عددهای صحیح ساخته می‌شوند:

قرینهٔ عدد $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان $-a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ قرینهٔ صفر خود صفر است و قرینهٔ $-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود $5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

محور اعداد و مقایسه

روی محور، مثبت‌ها سمت راست صفر و منفی‌ها سمت چپ‌اند و هرچه به راست برویم عدد بزرگ‌تر می‌شود: $-7<-2<0<3<5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

• هر عدد مثبت از هر عدد منفی بزرگ‌تر است.
• بین دو عدد منفی، آن‌که از صفر دورتر است کوچک‌تر است: $-9<-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قدرمطلق

قدرمطلق هر عدد، فاصلهٔ آن تا صفر روی محور است و هرگز منفی نمی‌شود:

شمردن عددهای صحیح بین دو عدد: بین دو عدد صحیح $a<b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، با احتساب خود دو سر، $b-a+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد صحیح وجود دارد. مثلاً از $-6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعداد $13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد صحیح داریم.

جمع و تفریق

روی محور، جمع با عدد مثبت یعنی حرکت به راست و جمع با عدد منفی یعنی حرکت به چپ. مهم‌ترین قانون فصل این است که تفریق همان جمع با قرینه است:

حذف پرانتز: علامت منفیِ پیش از پرانتز، علامت همهٔ جمله‌های داخل را عوض می‌کند: $10-(4-7)=10-4+7=13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ترفند جمع‌های طولانی: مثبت‌ها را جدا و منفی‌ها را جدا جمع کن، بعد حاصل را از هم کم کن. در $-12+18-15-17+11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت‌ها $29$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و منفی‌ها $44$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شوند، پس جواب $-15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

پرگار روی محور

اگر نوک پرگار را روی عدد $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگذاری و دهانه‌اش $r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، دایره محور را در دو نقطهٔ $c-r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $c+r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطع می‌کند. مثلاً مرکز $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با شعاع $5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به نقطه‌های $-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسد. دهانهٔ پرگار بین دو نقطهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم همان فاصلهٔ آن‌هاست، یعنی $|A-B|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این ایده پل میان جمع و تفریق و مفهوم فاصله است.

الگوهای عددی با عددهای صحیح

• اضافه کردن یک عدد ثابت: از $-11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با گام $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $-11,\,-7,\,-3,\,1,\,5,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم.
• کم کردن یک عدد ثابت: از $5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با گام $-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $5,\,3,\,1,\,-1,\,-3,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم.
• جمع دو جملهٔ قبلی، مثل دنبالهٔ فیبوناچی: $-2,\,-4,\,-6,\,-10,\,-16,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

بیشترین و کمترین حاصل

وقتی باید بین چند عدد علامت جمع یا تفریق بگذاری تا حاصل بیشترین شود، عددهای منفی را تفریق کن (منفیِ منفی مثبت می‌شود) و مثبت‌ها را جمع کن. برای کمترین حاصل برعکس عمل کن: منفی‌ها را جمع و مثبت‌ها را تفریق کن.

جدول‌هایی با مجموع صفر

با عددهای طبیعی هیچ‌وقت جمع یک سطر صفر نمی‌شود، ولی با عددهای صحیح ممکن است، مثلاً $(-2,\,1,\,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در جدول‌هایی که مجموع همهٔ عددهایش صفر است، اگر بخواهیم جمع سطرها و ستون‌ها برابر باشد، آن مقدار مشترک هم باید صفر باشد. گاهی هم با دو شمارش متفاوت از جمع کل، به تناقض می‌رسیم و ثابت می‌شود که ساختن جدول ممکن نیست؛ مثلاً جدول مربعی که جمع هر سطرش $1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و جمع هر ستونش $-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد.

ضرب و تقسیم: قاعدهٔ علامت

چرا منفی در منفی مثبت می‌شود؟ به الگوی $3\times(-2)=-6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $2\times(-2)=-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $1\times(-2)=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $0\times(-2)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نگاه کن: هر بار عدد اول یکی کم می‌شود و جواب ۲ واحد بالا می‌رود. اگر الگو را ادامه دهی، $(-1)\times(-2)=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید.

در ضرب چند عدد، اگر تعداد عددهای منفی زوج باشد جواب مثبت و اگر فرد باشد جواب منفی است. ترتیب عمل‌ها هم مثل قبل است: پرانتز، ضرب و تقسیم از چپ، جمع و تفریق از چپ.

مدل‌سازی مسئله‌های واقعی

• آسانسور: طبقه‌های زیرزمین را منفی بگیر؛ بالا رفتن جمع و پایین آمدن تفریق است. فاصلهٔ دو طبقه برابر تفاضل آن‌هاست، مثلاً از طبقهٔ $40$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $-9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $40-(-9)=49$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طبقه.
• دما: تغییر دما یعنی «دمای دوم منهای دمای اول».
• سال‌های قبل از میلاد: آن‌ها را منفی بگیر و یادت باشد که سال صفر نداریم؛ برای فاصلهٔ یک سال قبل از میلاد تا یک سال بعد از میلاد باید یک واحد کم کرد.
• تفاضل گل: گل زده منهای گل خورده. چون هر گلی که یک تیم می‌زند تیم دیگر می‌خورد، مجموع تفاضل گل همهٔ تیم‌های یک لیگ همیشه صفر است.
• آزمون نمرهٔ منفی‌دار: پاسخ درست را مثبت و پاسخ غلط را منفی بشمار و جمع کن.

استدلال با زوج و فرد

اگر بین عددهای $1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی علامت‌های مثبت و منفی بگذاریم، آیا حاصل می‌تواند صفر شود؟ مجموع همهٔ آن‌ها $55$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و فرد است. منفی کردن هر عدد $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مجموع را $2k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد کم می‌کند که عددی زوج است؛ پس حاصل همیشه فرد می‌ماند و هرگز صفر نمی‌شود. این نوع استدلال در مسئله‌های المپیادی بسیار پرکاربرد است.

مثلث عددی علامت‌دار

در مثلثی که سطرهایش $-1,\,1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-1,\,2,\,-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-1,\,3,\,-3,\,1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و … هستند، مجموع عددهای هر سطر صفر است؛ دلیلش این است که هر سطر ضرایب بسط $(1-1)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

اشتباه‌های رایج