توان و جذر — ریاضی تیزهوشان هفتم (استعداد درخشان)

توان و جذر (ریاضی تیزهوشان هفتم)

وقتی یک عدد را چند بار در خودش ضرب می‌کنیم، به‌جای نوشتن ضرب طولانی از توان استفاده می‌کنیم و جذر عمل برعکس توان دوم است. در این فصل مفهوم توان را از الگوهای هندسی و شمارشی می‌سازی، عبارت‌های توان‌دار را محاسبه، ساده و مقایسه می‌کنی، توان را در تجزیهٔ اعداد و ب.م.م و ک.م.م به کار می‌بری و جذر را تقریب می‌زنی.

تعریف توان

به $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پایه و به $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نما می‌گوییم. حالت‌های ویژه: $a^1=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و برای هر $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی غیرصفر، $a^0=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

هشدار پرانتز: $(-3)^4=81$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $-3^4=-81$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ در $-3^4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پایه فقط $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و علامت منفی بیرون توان می‌ماند. همچنین $-3^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(-3)^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر دو $-243$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شوند، چون نما فرد است.

توان در الگوها

• در مثلثی که ردیف‌هایش $1,3,5,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثلث کوچک دارند، شکل $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام $n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثلث دارد، چون مجموع $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد فرد اول برابر $n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• در مسئلهٔ مدرسه‌ای با ۳ پایه، هر پایه ۳ کلاس، هر کلاس ۳ ردیف، هر ردیف ۳ نیمکت و هر نیمکت ۳ نفر، تعداد دانش‌آموزان $3^5=243$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. توان، شمارش «درخت‌مانند» را کوتاه می‌کند.
• تا زدن کاغذ: با هر تا، ضخامت دو برابر و مساحت نصف می‌شود؛ بعد از ۸ تا، ضخامت ۲۵۶ برابر می‌شود. به همین دلیل در عمل نمی‌شود کاغذ را بیش از حدود هفت بار تا کرد.
• باکتری‌هایی که هر ثانیه دو برابر می‌شوند: اگر ظرف بعد از ۶۰ ثانیه پر شود، نیمه‌پر بودنش در ثانیهٔ ۵۹ است، نه ۳۰.

قاعده‌های توان

جمع و تفریق قاعدهٔ ساده ندارند. فقط وقتی توان‌ها کاملاً یکسان‌اند می‌شود فاکتور گرفت:

اما $2^3+3^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $5^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست.

ترتیب عمل‌ها: پرانتز، سپس توان، سپس ضرب و تقسیم، و در آخر جمع و تفریق.

مقایسهٔ توان‌ها بدون محاسبهٔ کامل

سه ترفند اصلی:

1. یکی کردن نما: $2^{30}=(2^3)^{10}=8^{10}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $3^{20}=(3^2)^{10}=9^{10}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پس $3^{20}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌تر است.
2. یکی کردن پایه: $5^{21}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $8\times5^{20}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با نوشتن $5^{21}=5\times5^{20}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مقایسه کن.
3. تقسیم بر عامل مشترک: اگر همهٔ عددها مضرب $3^{16}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشند، بر آن تقسیم کن تا عددهای کوچکی مثل $81$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $72$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $125$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بمانند.

برای کسرهای کوچک‌تر از یک، هرچه نما بزرگ‌تر شود، حاصل کوچک‌تر می‌شود؛ و بین $\left(\frac15\right)^{10}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\left(\frac35\right)^{10}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پایهٔ بزرگ‌تر حاصل بزرگ‌تری می‌دهد.

نوشتن با یک توان: در $2\times2^2\times2^3\times\cdots\times2^{10}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نماها جمع می‌شوند: $1+2+\dots+10=55$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس حاصل $2^{55}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. نمایش توانی عددهای بزرگ (مثل $10^{21}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا تعداد بیت‌های یک ترابایت، $2^{43}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) کوتاه‌تر و کم‌خطاتر از نوشتن همهٔ رقم‌هاست.

محاسبهٔ عبارت‌های توان‌دار

در هر عبارت، اول همهٔ توان‌ها را حساب کن، بعد سراغ ضرب و تقسیم و در آخر جمع و تفریق برو. چند نمونهٔ پرخطا:

• $0^7\times7^0-4^0=0\times1-1=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ صفر به هر توان مثبتی صفر است، ولی هر عدد غیرصفر به توان صفر برابر ۱ است.
• $8-3^4-(4\times5)^2=8-81-400=-473$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پرانتز $(4\times5)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیش از توان حساب می‌شود.
• $(-1)^{20}=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $-1^{100}=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• $1\div2\times2\times2=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (از چپ به راست) ولی $1\div2^3=\frac18$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

توان و علامت در دنباله‌ها

توان‌های $-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یکی در میان $1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شوند، پس برای ساختن دنباله‌هایی با علامت متناوب از آن استفاده می‌کنیم:

• $-1,\,1,\,-1,\,1,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جملهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام: $(-1)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
• $1,\,-4,\,9,\,-16,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جملهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام: $(-1)^{n+1}n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
• $0,\,5,\,8,\,17,\,24,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جملهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام: $n^2+(-1)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

توان در مسئله‌های هندسی

اگر مساحت مستطیلی $5^{1393}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و طولش پنج برابر عرضش باشد، از $5w^2=5^{1393}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌گیریم $w^2=5^{1392}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $w=5^{696}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و طول $5^{697}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. محیط را هم می‌شود با فاکتور گرفتن ساده کرد: $2(5^{696}+5^{697})=12\times5^{696}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی محیط ۱۲ برابر عرض است. چنین مسئله‌هایی نشان می‌دهند که با قاعده‌های توان، عددهای بسیار بزرگ را بدون محاسبهٔ رقم‌به‌رقم می‌شود مهار کرد.

توان در تجزیه، ب.م.م و ک.م.م

اگر عددها را با توان‌های اول بنویسیم:

• ب.م.م: هر عامل اولِ مشترک با کمترین نما؛
• ک.م.م: هر عامل اول با بیشترین نما.

مثلاً برای $360=2^3\times3^2\times5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $420=2^2\times3\times5\times7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ب.م.م برابر $2^2\times3\times5=60$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ک.م.م برابر $2^3\times3^2\times5\times7=2520$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

آزمون شمارنده بودن: $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شمارندهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است اگر توان هر عدد اول در $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از توان همان عدد در $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بیشتر نباشد و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عامل اولی نداشته باشد که در $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست. مثلاً $10000=2^4\times5^4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شمارندهٔ $18!$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست، چون $18!$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط $5^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد.

تعداد شمارنده‌ها: برای $2^4\times3^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $(4+1)(2+1)=15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

حاصل‌ضرب همهٔ شمارنده‌ها: شمارنده‌های ۷۲ را می‌شود دو به دو جفت کرد طوری که حاصل‌ضرب هر جفت ۷۲ باشد؛ چون ۱۲ شمارنده داریم، حاصل‌ضرب همه $72^6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

عددهایی با دقیقاً سه شمارنده: چنین عددی حتماً مربع یک عدد اول است، مثل $49=7^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که شمارنده‌هایش $1,7,49$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

مربع جادویی ضربی: در مربعی که حاصل‌ضرب هر سطر و ستون یکسان است، اگر همهٔ عددها از عامل‌های ۲ و ۵ ساخته شوند، نماهای ۲ و نماهای ۵ هر کدام یک مربع جادویی معمولی (جمعی) می‌سازند؛ یعنی مسئلهٔ ضرب به مسئلهٔ جمع تبدیل می‌شود.

جذر

جذر عدد نامنفی $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، عددی نامنفی است که مربعش $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد. عدد منفی جذر ندارد و $\sqrt{16}=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $\pm4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

جذر عددهای توان‌دار: وقتی همهٔ نماها زوج‌اند، جذر یعنی نصف کردن نماها: $\sqrt{2^{10}\times3^6}=2^5\times3^3=864$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حاصل‌ضرب‌های طولانی را هم اول تجزیه کن: $\sqrt{15\times35\times21}=3\times5\times7=105$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

جذر کوچک‌تر یا بزرگ‌تر از خود عدد؟ برای عددهای بزرگ‌تر از ۱، جذر کوچک‌تر است؛ برای عددهای بین ۰ و ۱، جذر بزرگ‌تر است ($\sqrt{\frac14}=\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ و جذر ۰ و ۱ با خودشان برابر است.

حاصل‌ضرب تلسکوپی زیر رادیکال: در $\sqrt{\frac23\times\frac34\times\frac45\times\cdots\times\frac{71}{72}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر صورت با مخرج کسر قبلی ساده می‌شود و فقط $\frac{2}{72}=\frac1{36}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باقی می‌ماند؛ پس جواب $\frac16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. پیش از حساب کردن، همیشه دنبال ساده‌سازی بگرد.

مسئلهٔ رقم‌ها: جذر یک عدد سه‌رقمی حداکثر ۳۱ است، پس هرگز سه‌رقمی نمی‌شود. چنین استدلال‌هایی دربارهٔ «تعداد رقم‌ها» کمک می‌کند بدون محاسبه، حالت‌های ناممکن را کنار بگذاری.

تقریب زدن جذر: عدد را بین دو مربع کامل پیدا کن و بعد با آزمایش دقیق‌تر کن. $\sqrt{78}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بین $8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و به $9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزدیک‌تر است؛ چون $8.8^2=77.44$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، جذر حدود $8.83$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. برای شمردن عددهای طبیعی‌ای که جذرشان بین ۵ و ۹ است، کافی است عددهای بین $25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $81$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بشماری.

اشتباه‌های رایج