مجموعهٔ A=a,b,a,a,b مفروض است. درستی یا نادرستی هر یک را با دلیل بنویسید: الف) a A ب) a∈ A ج) b∈ A.

الف) درست است. زیرمجموعه بودن یعنی هر عضو a عضو A باشد؛ تنها عضو a همان a است و a∈ A. ب) درست است. خودِ مجموعهٔ a در فهرست اعضای A آمده است. ج) نادرست است. در فهرست اعضای A مجموعهٔ b وجود ندارد؛ فقط b، a و a,b هستند.

در یک بازی، ۸۱۱ نفر لباس یکچشمی، ۷۵۲ نفر لباس مار و ۴۱۸ نفر لباس ماهی پوشیدهاند. ۵۷۰ نفر یکچشمی و مار، ۳۴۸ نفر یکچشمی و ماهی، ۳۵۶ نفر مار و ماهی و ۲۹۷ نفر هر سه را پوشیدهاند. تعداد افرادی که حداقل یک لباس پوشیدهاند چقدر است؟

از اصل شمول و عدم شمول برای سه مجموعه استفاده میکنیم: اول اندازهٔ هر مجموعه را جمع میکنیم، بعد اشتراکهای دوتایی را کم میکنیم (چون دو بار شمرده شدهاند) و در آخر اشتراک سهتایی را اضافه میکنیم (چون بیش از حد کم شده است): 811+752+418-570-348-356+297=1004 پس ۱۰۰۴ نفر حداقل یک لباس پوشیدهاند.

تماشاچی میگوید «یکی از دو فرزند من پسر است». احتمال اینکه فرزند دیگرش دختر باشد چقدر است؟ چرا ۱/۲ نیست؟

برای دو فرزند، چهار حالت همشانس داریم: PP، PD، DP و DD (حرف اول بزرگتر و حرف دوم کوچکتر). شرط «حداقل یکی پسر است» حالت DD را حذف میکند و فضای نمونه میشود PP,PD,DP که سه حالت همشانس دارد. در دو تا از این سه حالت (PD و DP) فرزند دیگر دختر است؛ پس P= 23 عدد 12 برای گزارهٔ دیگری درست است: اگر معلوم بود «فرزند بزرگتر پسر است»، فضای نمونه PP,PD میشد و احتمال 12 بود.

مجموعهٔ A=1،2،…،2 چند عضو دارد؟

۲ — «۲» درست است، چون عددهای ۱ تا ۲ در مجموع ۲ عضو متمایزند. «۳» اجتماع و اشتراک را جابهجا میگیرد. «۱» عضوهای مشترک را دوباره میشمارد. «۴» تعریف مجموعه را رعایت نمیکند. تلهٔ تستی: تعداد اعضا را با بزرگترین عضو یکی میگیری. گزینهٔ درست «۲» است.

از ۱ تا ۳ را در مجموعهای بدون تکرار مینویسیم؛ تعداد اعضا؟

۳ — «۳» درست است، چون عددهای ۱ تا ۳ در مجموع ۳ عضو متمایزند. «۴» اجتماع و اشتراک را جابهجا میگیرد. «۲» عضوهای مشترک را دوباره میشمارد. «۶» تعریف مجموعه را رعایت نمیکند. تلهٔ تستی: تعداد اعضا را با بزرگترین عضو یکی میگیری. گزینهٔ درست «۳» است.

اگر A شامل همهٔ اعداد طبیعی ۱ تا ۴ باشد، n(A) چیست؟

۴ — «۴» درست است، چون عددهای ۱ تا ۴ در مجموع ۴ عضو متمایزند. «۵» اجتماع و اشتراک را جابهجا میگیرد. «۳» عضوهای مشترک را دوباره میشمارد. «۸» تعریف مجموعه را رعایت نمیکند. تلهٔ تستی: تعداد اعضا را با بزرگترین عضو یکی میگیری. گزینهٔ درست «۴» است.

کاردینالیتهٔ مجموعهٔ ۱،۲،…،۵ را پیدا کن.

۵ — «۵» درست است، چون عددهای ۱ تا ۵ در مجموع ۵ عضو متمایزند. «۶» اجتماع و اشتراک را جابهجا میگیرد. «۴» عضوهای مشترک را دوباره میشمارد. «۱۰» تعریف مجموعه را رعایت نمیکند. تلهٔ تستی: تعداد اعضا را با بزرگترین عضو یکی میگیری. گزینهٔ درست «۵» است.

تعداد عضوهای مجموعهٔ اعداد صحیح از ۱ تا ۶ چند است؟

۶ — «۶» درست است، چون عددهای ۱ تا ۶ در مجموع ۶ عضو متمایزند. «۷» اجتماع و اشتراک را جابهجا میگیرد. «۵» عضوهای مشترک را دوباره میشمارد. «۱۲» تعریف مجموعه را رعایت نمیکند. تلهٔ تستی: تعداد اعضا را با بزرگترین عضو یکی میگیری. گزینهٔ درست «۶» است.

مجموعه‌ها — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)

مجموعه‌ها (ریاضی تیزهوشان نهم)

مجموعه‌ها زبان مشترک ریاضیات‌اند: اعداد، شکل‌ها، احتمال و حتی گروه‌های شبکهٔ اجتماعی. در این فصل مجموعه و زیرمجموعه را دقیق می‌فهمی، مجموعه‌ها را با نمادهای ریاضی می‌نویسی، اجتماع و اشتراک و تفاضل را با نمودار ون و جبر مجموعه‌ها به کار می‌بری، با افراز آشنا می‌شوی و بدون شمردن، تعداد اعضا را مقایسه می‌کنی. در پایان با فضای نمونه در احتمال کار می‌کنی.

یک درس از گفتگوی ابتدای فصل

گروه مجازی یک کلاس برای مدتی فعال بود و معلم ریاضی هم عضو بود؛ اما وقتی بحث دربارهٔ تاریخ ارقام هندی-عربی به شوخی و تمسخر کشید، دانش‌آموزان بی‌آنکه خودشان بدانند معلم را کنار گذاشتند. هر گروه قانونی دارد و بخشی از فکر کردن این است که فرق «اندیشیدن» و «همراهی گروهی» را بدانی.

مجموعه و عضو

مجموعه گردایه‌ای از چیزهای متمایز است که دقیق تعریف شده باشد. $a\in A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عضو $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و $n(A)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعداد اعضای $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را نشان می‌دهد. مجموعهٔ بدون عضو را تهی می‌نامیم و با $\varnothing$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $\{\,\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌نویسیم. دقت کن $\{\varnothing\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\{0\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هر دو یک عضو دارند و تهی نیستند. «اعداد اول بین ۲۴ و ۲۸» مجموعه‌ای کاملاً تعریف‌شده است که عضو ندارد.

زیرمجموعه

$A\subseteq B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی هر عضو $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عضو $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. $A=B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی $A\subseteq B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $B\subseteq A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مجموعهٔ تهی زیرمجموعهٔ هر مجموعه است و مجموعهٔ $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببینعضوی دقیقاً $2^n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زیرمجموعه دارد.

عضو با زیرمجموعه فرق دارد. برای $A=\{a,b,\{a\},\{a,b\}\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم $\{a\}\subseteq A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین درست است (چون $a\in A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و هم $\{a\}\in A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین درست است، اما $\{b\}\in A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نادرست است، چون $\{b\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در فهرست اعضا نیست.

زنجیر و پادزنجیر: زنجیر دنباله‌ای از زیرمجموعه‌هاست که هر کدام زیرمجموعهٔ بعدی باشد. پادزنجیر مجموعه‌ای از زیرمجموعه‌هاست که هیچ دوتایی از آن‌ها زیرمجموعهٔ هم نباشد؛ بزرگ‌ترین پادزنجیر روی مجموعهٔ ۵عضوی همهٔ زیرمجموعه‌های دوعضوی است، یعنی $\binom52=10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عضو.

نمایش با نمادهای ریاضی

قالب $\{\,\text{expression}\mid\text{conditions}\,\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی «همهٔ مقدارهای عبارت وقتی شرط‌ها برقرارند». مثال‌ها:

$\{2x-1\mid x\in\mathbb Z\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مجموعهٔ همهٔ عددهای فرد است.
$\{x^2+1\mid x\in\mathbb N\}=\{2,5,10,17,26,\dots\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\{x^2-3\mid -4<x<4,\ x\in\mathbb Z\}=\{-3,-2,1,6\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مجموعهٔ $\{ax+b\mid x\in\mathbb Z\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط به $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و باقی‌مانده‌ی $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بستگی دارد؛ پس $\{4x+2\}=\{4x+6\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ولی $\{2x\}\ne\{4x\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. معادله‌هایی مثل $x^2+1=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $\mathbb R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $5x+2=5-2x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $\mathbb Z$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جواب ندارند و مجموعه‌ای تهی می‌دهند.

اجتماع، اشتراک، تفاضل

$A\cup B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اعضای حداقل یکی از دو مجموعه، $A\cap B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اعضای مشترک و $A-B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اعضایی از $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که در $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیستند. اگر $A\cap B=\varnothing$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، دو مجموعه مجزا هستند.

n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)

برای سه مجموعه (اصل شمول و عدم شمول):

n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)

قانون‌های توزیع‌پذیری و دمورگان هم برقرارند: $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $A-(B\cup C)=(A-B)\cap(A-C)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نمونه: در مسئلهٔ موجودات عجیب‌الخلقه، با ۸۱۱ یک‌چشم، ۷۵۲ ماری، ۴۱۸ ماهی‌وار و اشتراک‌های دوتایی ۵۷۰ و ۳۴۸ و ۳۵۶ و اشتراک هر سه ۲۹۷، تعداد کل

811+752+418-570-348-356+297=1004

است. عددهای «فقط یک نوع» را هم از همین رابطه به دست می‌آوریم.

جمع و ضرب دونه‌به‌دونه

برای دو مجموعهٔ عددی، $A\oplus B=\{a+b\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $A\otimes B=\{ab\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همهٔ جمع‌ها و ضرب‌ها را می‌سازند و هر عضو تکراری یک بار شمرده می‌شود. اگر $n(A)=3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $n(B)=5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، $n(A\oplus B)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حداکثر ۱۵ و حداقل $3+5-1=7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

افراز

افراز یک مجموعه، تقسیم آن به قطعه‌های ناتهی و مجزاست که اجتماعشان کل مجموعه می‌شود. $\{1,2\},\{2,3\},\{4,5\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین افراز $\{1,\dots,5\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیست چون ۲ دو بار آمده؛ و $\{1,2\},\{3,5\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم افراز $\{1,\dots,5\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیست چون ۴ در هیچ قطعه‌ای نیست. تعداد افرازهای مجموعه‌های ۱ تا ۶ عضوی به ترتیب ۱، ۲، ۵، ۱۵، ۵۲ و ۲۰۳ است (عددهای بل).

شمارش مجموعه‌ها با شرط

اگر $A\cup X=\{1,2\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $A\cap X=A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، $A\subseteq X$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $X=\{1,2\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌تواند هر زیرمجموعهٔ $\{1,2\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، یعنی ۴ حالت.
اگر $A\cup B=\{5,7,1,2,6,c\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $A=\{4,5,a\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $B=\{1,b,5,7\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، عدد ۴ باید در اجتماع باشد؛ پس $c=4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\{a,b\}=\{2,6\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $a+b+c=12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
سه عدد طبیعی متمایز با حاصل‌ضرب $1394=2\times17\times41$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را می‌توان به چهار شکل نوشت: $\{1,2,697\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\{1,17,82\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\{1,34,41\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\{2,17,41\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
اگر $B=\{5k\mid k\in A\}\subseteq A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مجموعهٔ عددهای دورقمی باشد، $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $5k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هر دو باید دورقمی باشند؛ پس $k\in\{10,\dots,19\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $n(B)=10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

طرح فانو: هفت زیرمجموعهٔ سه‌عضوی $\{1,2,4\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\{2,3,5\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\{3,4,6\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\{4,5,7\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\{5,6,1\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\{6,7,2\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\{7,1,3\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در نظر بگیر: هر ۲۱ زیرمجموعهٔ دوعضوی $\{1,\dots,7\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقاً یک بار در آن‌ها دیده می‌شود و هر عدد در ۳ مجموعه است.

شمردن بدون شمردن

دو مجموعه هم‌تعدادند اگر بتوان بین اعضایشان تناظر یک‌به‌یک ساخت: هر عضو یکی دقیقاً با یک عضو دیگری جفت شود. با اصل ضرب مجموعه‌های مختلفی با تعداد برابر پیدا می‌کنیم: عددهای چهاررقمی با ارقام ۴ یا ۶، رنگ‌آمیزی جدول $2\times2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با دو رنگ و نتیجهٔ چهار پرتاب سکه همه $2^4=16$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت دارند.

یک تناظر خوب: قطرهای یک شش‌ضلعی $\frac{6\times3}{2}=9$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تاست، و پاره‌خط‌های بین هر دو رأس ۱۵ تا، یعنی ۶ ضلع بیشتر.

مجموعه و احتمال

فضای نمونه $S$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مجموعهٔ همهٔ نتیجه‌های هم‌شانس است و برای پیشامد $A\subseteq S$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}

دو سکه ۴ حالت دارند؛ و چهار پرتاب سکه ۱۶ حالت.

مسئلهٔ دو فرزند

تماشاچی می‌گوید «یکی از فرزندانم پسر است». برای خانوادهٔ دو فرزندی، فضای نمونهٔ اولیه $\{PP,PD,DP,DD\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است (پسر و دختر). با شرط «حداقل یکی پسر است» حالت $DD$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حذف می‌شود و فضای نمونه $\{PP,PD,DP\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سه حالت می‌شود. پس احتمال اینکه فرزند دیگر دختر باشد $\frac23$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، نه $\frac12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اگر او می‌گفت «فرزند بزرگ‌ترم پسر است»، فضای نمونه $\{PP,PD\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بود و احتمال $\frac12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شد. دو گزارهٔ متفاوت، دو فضای نمونهٔ متفاوت می‌سازند.

اشتباه‌های رایج

اشتباه	درست
$\{a\}=a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\{a\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مجموعه است و $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک عضو.
$\varnothing=\{\varnothing\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\{\varnothing\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک عضو دارد.
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	باید $n(A\cap B)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را کم کنی.
«یکی پسر است» یعنی فرزند اول پسر است.	دو گزارهٔ متفاوت‌اند.
$A\cup X=A\Rightarrow X=A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	فقط $X\subseteq A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین لازم است.