خط و معادله‌های خطی — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)

خط و معادله‌های خطی (ریاضی تیزهوشان نهم)

خط ساده‌ترین منحنی است و پایهٔ بسیاری از مدل‌های واقعی. در این فصل معادلهٔ خط را به سه شکل می‌نویسی، شیب را به کار می‌بری و مجموعهٔ نقاط با شرط قدرمطلقی را رسم می‌کنی.

شیب و سه شکل معادله

شیب خطی که از $(x_1,y_1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(x_2,y_2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌گذرد:

از دو نقطهٔ $(1,3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(2,5)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شیب $\frac{5-3}{2-1}=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود و $y-3=2(x-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $y=2x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

هر شکل محدودیتی دارد: $y=ax+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خط‌های قائم ($x=h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) را نمی‌پوشاند؛ $\frac xa+\frac yb=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خط‌های گذرنده از مبدأ یا موازی محورها را نمی‌پوشاند؛ ولی شکل کلی $ax+by+c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همهٔ خط‌ها را در بر می‌گیرد.

• دو خط موازی‌اند اگر شیب‌هایشان برابر باشد.
• دو خط عمود‌اند اگر $mm'=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• خط افقی شیب صفر و خط قائم شیب تعریف‌نشده دارد.

مجموعهٔ نقاط با یک شرط

برای رسم مجموعهٔ $x+|y|=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $x\ge0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حالت‌بندی علامت $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را انجام بده: برای $y\ge0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی معادله $x+y=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و برای $y<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی معادله $x-y=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ نتیجه دو پاره‌خط است که در $(2,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به هم می‌رسند. مجموعهٔ $|x|+|y|=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک مربع (لوزی) با رأس‌های $(\pm2,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(0,\pm2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

نقاطی با فاصلهٔ ثابت از یک نقطه روی یک دایره قرار دارند، نه یک خط. با مثلث قائم‌الزاویه‌ای به ضلع‌های $|x-2|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $|y-3|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و وتر ۴ به دست می‌آید:

و $|x|=|y|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو خط $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y=-x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

چندجمله‌ای از روی مقدارها

چندجمله‌ای درجهٔ ۱ با دو مقدار و درجهٔ ۲ با سه مقدار مشخص می‌شود. اگر $P(1)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $P(2)=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $P(3)=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، چون ۱ ریشه است، $P(x)=(x-1)(ax+b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و از دو شرط دیگر $a=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و در نتیجه $P(x)=(x-1)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مسئله‌های کلامی

در یک آزمون ۴۰ سؤالی که هر پاسخ درست ۵ نمره دارد و هر پاسخ نادرست ۱ نمرهٔ منفی، اگر نمرهٔ کل ۲ باشد و $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سؤال درست پاسخ داده شده باشد:

در مسئلهٔ شمع، شیب نمودار طول $-\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

پارادوکس ۶۴ و ۶۵

با بریدن یک مربع $8\times8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و جابه‌جا کردن قطعه‌ها، ظاهراً مستطیل $5\times13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساخته می‌شود؛ ولی مساحت‌ها ۶۴ و ۶۵ هستند. راز کار در شیب‌هاست: $\frac38=0.375$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $\frac25=0.4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر نیست، پس قطعه‌ها دقیقاً روی یک قطر منطبق نیستند و یک متوازی‌الاضلاع بسیار باریک با مساحت ۱ خالی می‌ماند.

اشتباه‌های رایج