عبارت‌های جبری — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)

عبارت‌های جبری (ریاضی تیزهوشان نهم)

جبر زبان توصیف الگو و حل مسئله است. در این فصل از عبارت‌های ساده به چندجمله‌ای‌ها می‌رسی: درجه و ریشه را می‌شناسی، اتحادها را ثابت و به کار می‌بری، عبارت را به روش‌های گوناگون تجزیه می‌کنی، نامعادله حل می‌کنی و با تاریخچهٔ نمادگذاری جبری آشنا می‌شوی.

چندجمله‌ای

• تک‌جمله‌ای $ax^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صحیح نامنفی است و چندجمله‌ای مجموع تک‌جمله‌ای‌هاست؛ درجه بزرگ‌ترین توان است. درجهٔ $x^2y^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $2+3=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و هر عدد ثابت ناصفر (مثل $9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $\sqrt[3]5+\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) درجهٔ صفر دارد؛ فقط چندجمله‌ای صفر درجه ندارد.
• $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ریشهٔ $P(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است اگر $P(a)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چندجمله‌ای درجهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حداکثر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ریشهٔ حقیقی دارد. مثلاً $x(x-1)(x-2)(x-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً چهار ریشهٔ $0,1,2,3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد.
• ساختن چندجمله‌ای با ریشهٔ داده‌شده: برای ریشه‌های $1,2,-2,-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حاصل‌ضرب $(x^2-1)(x^2-4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بساز. اگر ریشه $3+\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، از $(x-3)^2=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌شود $x^2-6x+7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اتحاد

اتحاد تساوی‌ای است که برای هر مقدار متغیر درست باشد؛ معادله فقط برای بعضی مقدارها درست است.

دقت کن که اتحاد بودن با تجزیه بودن فرق دارد: $x^2+x+1=x(x+1)+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اتحاد است، ولی سمت راست حاصل‌جمع است نه حاصل‌ضرب، پس تجزیه نیست.

تجزیه

چهار روش:

1. فاکتورگیری: $x^4+2x^3+3x^2=x^2(x^2+2x+3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
2. دسته‌بندی: $c^3+2c^2-3c-6=c^2(c+2)-3(c+2)=(c+2)(c^2-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $xy-x-y+1=(x-1)(y-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
3. اتحاد: $4b^2-49c^2=(2b-7c)(2b+7c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
4. مربع‌سازی و اتحاد مزدوج: $x^4+3x^2+4=(x^2+2)^2-x^2=(x^2+x+2)(x^2-x+2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

«تجزیه نمی‌شود» را باید ثابت کرد. اگر $x^4+3x^2+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به شکل $(x^2+1)^2+x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی جمع دو مربع بنویسیم، ممکن است تصور کنیم تجزیه نمی‌شود؛ ولی استدلال ناقص است، چون فقط یک راه را امتحان کرده‌ایم:

پس با ضریب گنگ تجزیه می‌شود.

مربع کامل: $4x^2+36x+P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وقتی مربع کامل است که $P=81$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، چون $4x^2+36x+81=(2x+9)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای عبارت‌هایی مثل $a^2-ab+b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مربع‌سازی نامنفی بودن را نشان می‌دهد:

و فقط وقتی صفر است که $a=b=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد.

نامعادله

• جمع و تفریق یک مقدار از دو طرف جهت را عوض نمی‌کند.
• ضرب یا تقسیم دو طرف در عدد مثبت جهت را حفظ می‌کند، ولی در عدد منفی جهت را برعکس می‌کند.
• جواب معمولاً بازه است: $x<7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $(-\infty,7)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال: $3x+2>2x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جواب $x>-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد و $-2x+1<5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌دهد $x>-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (چون بر منفی تقسیم شده است). برای دو نامعادلهٔ همزمان، اشتراک جواب‌ها را بگیر. دو نامعادله را می‌شود با هم جمع کرد، اما تفریق دو نامعادله مجاز نیست.

تاریخچهٔ نمادگذاری

جبر از لفظی (نوشتن با کلمات، مثل پاچولی در ۱۴۹۴) به نمادین تحول یافت و نمادها راه‌حل‌ها را کوتاه‌تر کردند.

اشتباه‌های رایج