استدلال و اثبات در هندسه — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)

استدلال و اثبات در هندسه (ریاضی تیزهوشان نهم)

مسئله‌های هندسه را نمی‌شود با «حدس زدن از روی شکل» حل کرد؛ باید اثبات نوشت. در این فصل فرض و حکم و قضیه را می‌شناسی، یاد می‌گیری یک اثبات را مرحله‌به‌مرحله و با ذکر دلیل بنویسی، چند تکنیک استاندارد را می‌آموزی، استدلال‌های نادرست را پیدا می‌کنی و تعریف درست تشابه را می‌نویسی.

چرا هندسه؟

هندسه تمرین رشد ذهن است: از چند قاعدهٔ ساده نتیجه‌های پیچیده می‌گیریم، و همین مهارت در هر رشته‌ای (حتی هنر و معماری) به کار می‌آید. نکتهٔ اصلی این است که هیچ چیز را فقط به این دلیل که «شکل نشان می‌دهد» قبول نکنیم.

فرض، حکم و قضیه

هر مسئله فرض (آنچه می‌پذیریم) و حکم (آنچه باید ثابت شود) دارد. وقتی درستی حکم از فرض ثابت شود، آن را قضیه می‌گوییم. اصل گزاره‌ای است که بدون اثبات پذیرفته می‌شود.

قضیه‌های پرکاربرد:

• زاویه‌های متقابل به رأس برابرند؛ دو خط موازی و مورب: متناظر و متبادل مساوی، هم‌طرف مکمل (و عکس).
• مجموع زاویه‌های مثلث $180^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ زاویهٔ خارجی برابر جمع دو داخلی غیرمجاور است.
• همنهشتی: ض‌ز‌ض، ز‌ض‌ز، ض‌ض‌ض، ز‌ز‌ض و (در قائم‌الزاویه) وتر و یک ضلع.
• هر نقطه روی عمودمنصف از دو سر هم‌فاصله است و هر نقطه روی نیمساز از دو ضلع زاویه هم‌فاصله؛ هر دو عکس هم دارند.
• زاویه‌های پای ساق در مثلث متساوی‌الساقین برابرند (و عکس).
• فیثاغورس و عکسش؛ شعاع در نقطهٔ تماس بر مماس عمود است؛ زاویهٔ محاطی نصف کمان روبه‌روست.

قالب نوشتن اثبات

1. فرض و حکم را بنویس.
2. بپرس: «چه چیزی ثابت شود تا حکم نتیجه شود؟» (از آخر به اول فکر کن).
3. دو مثلث مناسب را مشخص کن و تساوی‌های لازم را با ذکر نام قضیه بنویس.
4. با «بقیهٔ اجزای متناظر» نتیجه بگیر.

نمونه: اگر $AB=CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و عمودمنصف‌های $AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $N$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم‌دیگر را قطع کنند، آنگاه $NA=ND$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $NB=NC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و با $AB=DC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثلث‌های $ABN$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $DCN$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به حالت ض‌ض‌ض همنهشت‌اند و زاویه‌های متناظر برابر می‌شوند.

تکنیک‌های استاندارد

• امتداد دادن میانه: میانهٔ $AM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به اندازهٔ خودش تا $N$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی امتداد بده. $\triangle ABM\cong\triangle NCM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (ض‌ز‌ض با زاویه‌های متقابل به رأس) و $ABNC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متوازی‌الاضلاع می‌شود؛ پس $AB=CN$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $AB\parallel CN$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر میانهٔ مثلثی نیمساز هم باشد، با همین امتداد نتیجه می‌شود $AB=AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• رسم خط موازی: در مثلثی که نیمسازهای $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همرس‌اند و $DE\parallel AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌گذرد، زاویه‌های متبادل $\angle DOA=\angle OAB=\angle OAD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را می‌دهند، پس $DA=DO$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و مشابه $EB=EO$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ و در نتیجه $DE=AD+BE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• ساختن نقطهٔ کمکی (مثلاً مثلث متساوی‌الاضلاع کمکی) و بعد استفاده از همنهشتی. مثلاً اگر روی ضلع‌های یک مثلث، سه مثلث متساوی‌الاضلاع بیرونی بسازیم، با دوران $60^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و حالت ض‌ز‌ض نشان می‌دهیم سه پاره‌خط واصل رأس‌ها به رأس‌های مقابل مساوی‌اند.
• امتداد ضلع: برای مربع $ABCD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اگر $AF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیمساز $\angle BAE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، نقطهٔ $G$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را روی امتداد $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $DG=BF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیر؛ $\triangle ABF\cong\triangle ADG$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و در نتیجه $AE=GE=DE+BF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

استدلال‌های نادرست

اشتباه معمولاً از یکی از این سه می‌آید: اعتماد به شکل خاص، ترتیب نادرست نقطه‌ها یا استفاده از حکم در اثبات (دور باطل).

• استدلال معروف «همهٔ مثلث‌ها متساوی‌الساق‌اند» از نیمساز یک زاویه و عمودمنصف ضلع مقابل استفاده می‌کند، ولی در شکل درست نقطهٔ برخورد بیرون مثلث می‌افتد و یکی از پاهای عمود روی امتداد ضلع قرار می‌گیرد؛ آنگاه به‌جای جمع، تفاضل طول‌ها پیش می‌آید و نتیجه نمی‌شود $AB=AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• ادعای «میانه همیشه نصف ضلع مقابل است» نادرست است؛ فقط میانهٔ وارد بر وتر در مثلث قائم‌الزاویه نصف وتر است.
• اگر برای ثابت کردن اینکه نقطه‌ای روی خط $BD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، از ابتدا فرض کنیم آن نقطه روی $BD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، چیزی را که باید ثابت می‌شد از قبل پذیرفته‌ایم.
• در همنهشتی، تناظر حروف مهم است: در $\triangle ABC\cong\triangle DEF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضلع و زاویهٔ نظیر فقط با ترتیب حروف مشخص می‌شود.

تشابه

دو چندضلعی متشابه‌اند اگر (۱) زاویه‌های متناظرشان دو به دو برابر و (۲) نسبت ضلع‌های متناظرشان ثابت باشد. هر دو شرط لازم است: دو مستطیل با ابعاد مختلف زاویه‌های برابر دارند ولی متشابه نیستند، و لوزی‌هایی با زاویه‌های متفاوت ضلع‌های متناسب دارند ولی متشابه نیستند.

کاغذ ایزو: نسبت طول به عرض برگ‌های A4 و A3 و A5 برابر $\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اگر مستطیلی را از وسط ضلع بلند نصف کنیم و دو نیمه با خود مستطیل متشابه باشند، $\frac LW=\frac{W}{L/2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و در نتیجه $L^2=2W^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac LW=\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود. به همین دلیل نصف کردن A4 برگ A5 را می‌دهد.

اقلیدس

اقلیدس حدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد در کتاب اصول هندسه را از چند تعریف و اصل بنا نهاد. در چهار کتاب نخست او هندسهٔ مسطحه، همنهشتی، قضیهٔ فیثاغورس، ساختن مربع هم‌مساحت یک مستطیل و چندضلعی‌های منتظم آمده است. شیوهٔ او، یعنی رفتن گام‌به‌گام از اصل‌ها و قضیه‌های قبلی به قضیه‌های تازه، همان است که در این فصل تمرین می‌کنی.

اشتباه‌های رایج