حجم و مساحت — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)

حجم و مساحت (ریاضی تیزهوشان نهم)

در این فصل اندازه‌گیری فضا را کامل می‌کنی: حجم و مساحت کره را با استدلال به دست می‌آوری، چندوجهی‌ها را با رابطهٔ اویلر بررسی می‌کنی، می‌فهمی چرا فقط پنج چندوجهی منتظم وجود دارد و حجم جسم‌های دورانی را حساب می‌کنی.

کره

برای حجم نیم‌کره، آن را به لایه‌های هم‌ارتفاع ببر و هر لایه را بین یک استوانهٔ درونی و یک استوانهٔ بیرونی بگذار؛ با زیاد شدن لایه‌ها هر دو مجموع به $\frac23\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزدیک می‌شوند.

اگر شعاع دو برابر شود، حجم ۸ برابر و مساحت ۴ برابر می‌شود.

چندوجهی و رابطهٔ اویلر

چندوجهی جسمی است که با چندضلعی‌هایی (وجه‌ها) محدود شده است؛ ضلع‌ها یال و گوشه‌ها رأس هستند. برای هر چندوجهی محدب:

هر یال دو وجه را از هم جدا می‌کند؛ پس اگر مجموع ضلع‌های همهٔ وجه‌ها را بشماریم، هر یال دو بار شمرده شده است:

مثلاً هرمی با قاعدهٔ پنج‌ضلعی یک پنج‌ضلعی و پنج مثلث دارد و $E=\frac12(5+5\times3)=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $V=2+10-6=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر مجموع ضلع‌های همهٔ وجه‌ها فرد باشد، $E$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صحیح نمی‌شود و چنین چندوجهی‌ای وجود ندارد؛ مثلاً هفت وجه مثلثی ($E=\frac{21}2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

چندوجهی‌های منتظم

در چندوجهی منتظم وجه‌ها چندضلعی‌های منتظم همنهشت‌اند و در هر رأس تعداد وجه‌ها یکسان است. فقط پنج چندوجهی محدب منتظم وجود دارد:

چرا فقط پنج؟ مجموع زاویه‌های وجه‌ها در هر رأس باید کمتر از $360^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد. با مثلث ($60^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) سه، چهار یا پنج وجه در هر رأس ممکن است؛ با مربع ($90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و پنج‌ضلعی ($108^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) فقط سه وجه؛ و از شش‌ضلعی به بعد حتی سه وجه $360^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا بیشتر می‌شود.

حجم حاصل از دوران

مثلثی که حول یکی از ضلع‌هایش (یا یک خط دلخواه) بچرخد، دو مخروط با قاعدهٔ مشترک می‌سازد.

• مثلث قائم‌الزاویه با ضلع‌های ۱۲ و ۵ و وتر ۱۳ حول وتر: ارتفاع $h=\frac{60}{13}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $V=\frac13\pi h^2\cdot13=\frac{1200}{13}\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• مثلث با ضلع‌های ۱۳ و ۲۰ و ارتفاع ۱۲ حول ضلع سوم: $BH=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $HC=16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $V=\frac13\pi\cdot144\cdot21=1008\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• مثلث متساوی‌الاضلاع به ضلع $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حول یک ضلع: $V=\frac{\pi a^3}{4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قاعدهٔ پاپوس: حجم دوران یک شکل مسطح حول خطی که آن را قطع نمی‌کند برابر مساحت شکل ضرب در طول مسیری است که مرکز ثقل آن طی می‌کند:

برای مستطیل $\ell\times w$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که حول خطی موازی ضلع $\ell$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در فاصلهٔ $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بچرخد، همین نتیجه $V=\pi\ell\,w\,(w+2d)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را می‌دهد.

اشتباه‌های رایج