پرش به محتوای اصلی

عددهای حقیقی — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

عددهای حقیقی (ریاضی تیزهوشان نهم)

عددهای گویا (کسرها) همه‌جا هستند، اما 2\sqrt2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و π\piادامهٔ فرمول را افقی ببین گویا نیستند. در این فصل بین دو عدد گویا عدد گویای دیگر پیدا می‌کنی، اعشار متناوب را به کسر تبدیل می‌کنی، با عددهای گنگ آشنا می‌شوی و قدرمطلق را به کار می‌بری.

بین دو عدد گویا

بین هر دو عدد گویا بی‌نهایت عدد گویا هست. یک راه ساختن آن‌ها «کسر میانی» است: اگر a,b,c,da,b,c,dادامهٔ فرمول را افقی ببین مثبت باشند و ab<cd\frac ab<\frac cdادامهٔ فرمول را افقی ببین، آنگاه

ab<a+cb+d<cd\frac ab<\frac{a+c}{b+d}<\frac cdادامهٔ فرمول را افقی ببین

اثبات با ضرب ضربدری: ab<a+cb+d\frac ab<\frac{a+c}{b+d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی a(b+d)<b(a+c)a(b+d)<b(a+c)ادامهٔ فرمول را افقی ببین و این معادل ad<bcad<bcادامهٔ فرمول را افقی ببین است که همان فرض است. تعبیر ملموس: مخلوط دو لیوان آب‌نمک غلظتی بین دو غلظت اولیه دارد. شرط مثبت بودن چهار عدد لازم است.

چند نتیجه:

  • کوچک‌ترین عدد گویای مثبت وجود ندارد، چون نصف هر عدد مثبت از آن کوچک‌تر است.
  • بین 12\frac12ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 13\frac13ادامهٔ فرمول را افقی ببین حتی یک میلیون عدد گویا پیدا می‌شود، مثلاً 13+k6 000 000\frac13+\frac{k}{6\,000\,000}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای k=1,…,106k=1,\dots,10^6ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نمایش اعشاری و تبدیل به کسر

هر عدد گویا اعشار متناهی یا متناوب دارد و برعکس. تعداد رقم‌های تکرارشونده طول دورهٔ گردش است؛ مثلاً در 0.27‾0.\overline{27}ادامهٔ فرمول را افقی ببین طول دوره ۲ است.

تبدیل اعشار متناوب به کسر: عدد را به‌گونه‌ای در توان‌های ۱۰ ضرب کن که قسمت متناوب یکسان شود و بعد تفریق کن. برای a=0.72‾a=0.\overline{72}ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

100a−a=72 ⇒ 99a=72 ⇒ a=7299=811100a-a=72\ \Rightarrow\ 99a=72\ \Rightarrow\ a=\frac{72}{99}=\frac8{11}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

برای اعداد پیچیده‌تر: a=1.3257‾a=1.32\overline{57}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در ۱۰٬۰۰۰ و ۱۰۰ ضرب می‌کنیم تا قسمت متناوب در هر دو یکی شود:

10000a−100a=13257−132=13125 ⇒ a=131259900=17513210000a-100a=13257-132=13125\ \Rightarrow\ a=\frac{13125}{9900}=\frac{175}{132}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

قاعدهٔ کلی: به تعداد ارقام دوره رقم ۹ و به تعداد ارقام غیرتکراری بعد از ممیز رقم ۰ در مخرج می‌گذاریم. چند نمونه: 0.7‾=790.\overline7=\frac79ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 12.23‾=12119912.\overline{23}=\frac{1211}{99}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 0.43‾=43−490=13300.4\overline3=\frac{43-4}{90}=\frac{13}{30}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. همچنین 0.9‾=99=10.\overline9=\frac99=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

طول دورهٔ گردش چند کسر: 111\frac1{11}ادامهٔ فرمول را افقی ببین دورهٔ ۲، 17\frac17ادامهٔ فرمول را افقی ببین دورهٔ ۶ (0.142857‾0.\overline{142857}ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، 2037\frac{20}{37}ادامهٔ فرمول را افقی ببین دورهٔ ۳ و 117\frac1{17}ادامهٔ فرمول را افقی ببین دورهٔ ۱۶ دارد. کسرهای 27,37,…,67\frac27,\frac37,\dots,\frac67ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان شش رقم 142857142857ادامهٔ فرمول را افقی ببین را با جابه‌جایی دوری دارند.

عددهای حقیقی و گنگ

مجموعهٔ عددهای حقیقی از گویاها و گنگ‌ها ساخته شده است. عدد گنگ اعشار نامتناهی و نامتناوب دارد، مثل 2\sqrt2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و π\piادامهٔ فرمول را افقی ببین و 0.1011001110…0.1011001110\ldotsادامهٔ فرمول را افقی ببین. هر اعشار نامتناهی گنگ نیست؛ اگر متناوب باشد گویاست.

تقریب گنگ‌ها با گویا: گویاها در میان حقیقی‌ها «چگال»اند، یعنی هر گنگ را با دقت دلخواه می‌شود با کسری تقریب زد.

  • π=3.14159265…\pi=3.14159265\ldotsادامهٔ فرمول را افقی ببین را خوارزمی و دیگران با 227=3.142857\frac{22}{7}=3.142857ادامهٔ فرمول را افقی ببین تقریب زده‌اند که خطایش حدود 0.001260.00126ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. تقریب 355113=3.14159292\frac{355}{113}=3.14159292ادامهٔ فرمول را افقی ببین خطایی حدود 2.7×10−72.7\times10^{-7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد که بسیار دقیق‌تر است.

افراز مجموعه‌های بی‌شمار

مجموعه‌های بی‌شمار را هم می‌شود افراز کرد: R\mathbb Rادامهٔ فرمول را افقی ببین به گویاها و گنگ‌ها، N\mathbb Nادامهٔ فرمول را افقی ببین به زوج‌ها {2x}\{2x\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و فردها {2x−1}\{2x-1\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یا به سه دسته بر اساس باقی‌مانده بر ۳.

قدرمطلق

∣x∣={xx≥0−xx<0|x|=\begin{cases}x&x\ge0\\-x&x<0\end{cases}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

و x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|ادامهٔ فرمول را افقی ببین. ∣a−b∣|a-b|ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصلهٔ aaادامهٔ فرمول را افقی ببین و bbادامهٔ فرمول را افقی ببین روی محور است. برای حذف قدرمطلق، علامت داخل آن را تعیین کن: ∣2−3∣=2−3|2-\sqrt3|=2-\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین چون 3<2\sqrt3<2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و ∣1−3∣=3−1|1-\sqrt3|=\sqrt3-1ادامهٔ فرمول را افقی ببین. همچنین ∣3−π∣+∣π−4∣=(π−3)+(4−π)=1|3-\pi|+|\pi-4|=(\pi-3)+(4-\pi)=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

اشتباه‌های رایج

اشتباه درست
0.9‾≠10.\overline9\ne1ادامهٔ فرمول را افقی ببین 0.9‾=10.\overline9=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین
هر اعشار نامتناهی گنگ است. اگر متناوب باشد گویاست.
x2=x\sqrt{x^2}=xادامهٔ فرمول را افقی ببین $\sqrt{x^2}=
$ a+b
بین دو عدد گویا عدد گویای دیگری نیست. بی‌نهایت عدد گویا هست.

سؤال تستی

۵ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. کسر 6/86/8ادامهٔ فرمول را افقی ببین را ساده کن.

  • 3/43/4ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 7/87/8ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2/32/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 17/2017/20ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«3/43/4ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون صورت و مخرج بر ب.م.م تقسیم می‌شوند؛ 6/8=3/46/8=3/4ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «7/87/8ادامهٔ فرمول را افقی ببین» صورت و مخرج را با هم جابه‌جا می‌کند. «2/32/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» علامت یا قدرمطلق را نادرست می‌گیرد. «17/2017/20ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با مقایسهٔ دقیق سازگار نیست. تلهٔ تستی: فقط مخرج را بر عامل مشترک تقسیم می‌کنی. گزینهٔ درست «3/43/4ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است.

2. صورت و مخرجِ 10/1510/15ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک تقسیم کن؛ کسر ساده؟

  • 5/85/8ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 23/3023/30ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2/32/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 11/1511/15ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«2/32/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون صورت و مخرج بر ب.م.م تقسیم می‌شوند؛ 10/15=2/310/15=2/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «11/1511/15ادامهٔ فرمول را افقی ببین» صورت و مخرج را با هم جابه‌جا می‌کند. «5/85/8ادامهٔ فرمول را افقی ببین» علامت یا قدرمطلق را نادرست می‌گیرد. «23/3023/30ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با مقایسهٔ دقیق سازگار نیست. تلهٔ تستی: فقط مخرج را بر عامل مشترک تقسیم می‌کنی. گزینهٔ درست «2/32/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است.

3. کسر هم‌ارزِ ساده‌شدهٔ 14/2114/21ادامهٔ فرمول را افقی ببین چیست؟

  • 5/75/7ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 7/117/11ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 23/3023/30ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2/32/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«2/32/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون صورت و مخرج بر ب.م.م تقسیم می‌شوند؛ 14/21=2/314/21=2/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «5/75/7ادامهٔ فرمول را افقی ببین» صورت و مخرج را با هم جابه‌جا می‌کند. «7/117/11ادامهٔ فرمول را افقی ببین» علامت یا قدرمطلق را نادرست می‌گیرد. «23/3023/30ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با مقایسهٔ دقیق سازگار نیست. تلهٔ تستی: فقط مخرج را بر عامل مشترک تقسیم می‌کنی. گزینهٔ درست «2/32/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است.

4. عدد گویا 18/2418/24ادامهٔ فرمول را افقی ببین را به ساده‌ترین صورت بنویس.

  • 17/2017/20ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 3/43/4ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 19/2419/24ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 18/2518/25ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«3/43/4ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون صورت و مخرج بر ب.م.م تقسیم می‌شوند؛ 18/24=3/418/24=3/4ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «19/2419/24ادامهٔ فرمول را افقی ببین» صورت و مخرج را با هم جابه‌جا می‌کند. «18/2518/25ادامهٔ فرمول را افقی ببین» علامت یا قدرمطلق را نادرست می‌گیرد. «17/2017/20ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با مقایسهٔ دقیق سازگار نیست. تلهٔ تستی: فقط مخرج را بر عامل مشترک تقسیم می‌کنی. گزینهٔ درست «3/43/4ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است.

5. ب.م.مِ صورت و مخرج 20/3020/30ادامهٔ فرمول را افقی ببین را حذف کن.

  • 23/3023/30ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2/32/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 7/107/10ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 20/3120/31ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«2/32/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون صورت و مخرج بر ب.م.م تقسیم می‌شوند؛ 20/30=2/320/30=2/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «7/107/10ادامهٔ فرمول را افقی ببین» صورت و مخرج را با هم جابه‌جا می‌کند. «20/3120/31ادامهٔ فرمول را افقی ببین» علامت یا قدرمطلق را نادرست می‌گیرد. «23/3023/30ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با مقایسهٔ دقیق سازگار نیست. تلهٔ تستی: فقط مخرج را بر عامل مشترک تقسیم می‌کنی. گزینهٔ درست «2/32/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است.

نمونه سؤال تشریحی

۳ سؤال امتحانی با پاسخ نمونه — برای دیدن بزن

۱. اعشار متناوب 0.72‾0.\overline{72}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را به کسر ساده‌نشدنی تبدیل کنید و روش را توضیح دهید.

پاسخ نمونه

فرض می‌کنیم a=0.72‾=0.727272…a=0.\overline{72}=0.727272\ldotsادامهٔ فرمول را افقی ببین. دورهٔ تکرار دو رقمی است؛ پس aaادامهٔ فرمول را افقی ببین را در 100100ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضرب می‌کنیم تا قسمت اعشاری یکسان بماند:

100a=72.727272…100a=72.727272\ldotsادامهٔ فرمول را افقی ببین

با تفریق aaادامهٔ فرمول را افقی ببین:

100a−a=72 ⇒ 99a=72 ⇒ a=7299100a-a=72\ \Rightarrow\ 99a=72\ \Rightarrow\ a=\frac{72}{99}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

با تقسیم صورت و مخرج بر ۹ کسر ساده‌نشدنی به دست می‌آید: a=811a=\frac{8}{11}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۲. اگر ab<cd\frac ab<\frac cdادامهٔ فرمول را افقی ببین و هر چهار عدد مثبت باشند، ثابت کنید ab<a+cb+d<cd\frac ab<\frac{a+c}{b+d}<\frac cdادامهٔ فرمول را افقی ببین.

پاسخ نمونه

چون b,d>0b,d>0ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌توان ضرب ضربدری کرد. از ab<cd\frac ab<\frac cdادامهٔ فرمول را افقی ببین نتیجه می‌شود ad<bcad<bcادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نابرابری اول: ab<a+cb+d\frac ab<\frac{a+c}{b+d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین معادل a(b+d)<b(a+c)a(b+d)<b(a+c)ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، یعنی ab+ad<ab+bcab+ad<ab+bcادامهٔ فرمول را افقی ببین و در نتیجه ad<bcad<bcادامهٔ فرمول را افقی ببین که برقرار است.

نابرابری دوم: a+cb+d<cd\frac{a+c}{b+d}<\frac cdادامهٔ فرمول را افقی ببین معادل d(a+c)<c(b+d)d(a+c)<c(b+d)ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، یعنی ad+cd<bc+cdad+cd<bc+cdادامهٔ فرمول را افقی ببین و باز هم ad<bcad<bcادامهٔ فرمول را افقی ببین.

پس هر دو نابرابری درست‌اند.

۳. عبارت‌های ∣2−3∣|2-\sqrt3|ادامهٔ فرمول را افقی ببین و (2−3)2\sqrt{(\sqrt2-\sqrt3)^2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بدون قدرمطلق و رادیکال بنویسید و دلیل علامت‌ها را توضیح دهید.

پاسخ نمونه

چون 3≈1.73<2\sqrt3\approx1.73<2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، عبارت داخل قدرمطلق مثبت است و علامتش عوض نمی‌شود:

∣2−3∣=2−3|2-\sqrt3|=2-\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین

برای عبارت دوم از x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|ادامهٔ فرمول را افقی ببین استفاده می‌کنیم:

(2−3)2=∣2−3∣\sqrt{(\sqrt2-\sqrt3)^2}=|\sqrt2-\sqrt3|ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چون 2<3\sqrt2<\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین، داخل قدرمطلق منفی است و باید قرینه شود:

∣2−3∣=3−2|\sqrt2-\sqrt3|=\sqrt3-\sqrt2ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مباحث مرتبط

مجموعه‌ها — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)استدلال و اثبات در هندسه — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)توان و ریشه — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)عبارت‌های جبری — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)خط و معادله‌های خطی — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)عبارت‌های گویا — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)حجم و مساحت — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)مجموعه‌ها و احتمال (ریاضی نهم)عددهای حقیقی و قدر مطلق (ریاضی نهم)استدلال و اثبات در هندسه (ریاضی نهم)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان