عبارت‌های گویا — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)

عبارت‌های گویا (ریاضی تیزهوشان نهم)

همان‌طور که کسر از تقسیم دو عدد صحیح می‌آید، عبارت گویا از تقسیم دو چندجمله‌ای می‌آید. در این فصل عبارت‌های گویا را همراه با شرط دامنه ساده می‌کنی، چندجمله‌ای‌ها را بر هم تقسیم می‌کنی و با قضیهٔ باقی‌مانده بخش‌پذیری را بررسی می‌کنی.

چندجمله‌ای‌ها شبیه عددهای صحیح‌اند

جمع و تفریق و ضرب چندجمله‌ای‌ها باز هم چندجمله‌ای می‌دهد، ولی تقسیم همیشه تمام نمی‌شود و باقی‌مانده دارد، درست مثل $17=5\times3+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. رابطهٔ تقسیم:

ساده کردن با شرط دامنه

عبارت گویا $\frac{P(x)}{Q(x)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط برای مقدارهایی تعریف می‌شود که $Q(x)\ne0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای ساده کردن، صورت و مخرج را تجزیه کن و عامل مشترک را حذف کن:

شرط‌ها را از مخرج اصلی می‌نویسیم، نه فقط عامل حذف‌شده. اگر شرط $x\ne2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ننویسی، تساوی در $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی غلط است: سمت چپ تعریف نشده ولی سمت راست $\frac14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

فقط عامل‌های ضربی حذف می‌شوند، نه جمله‌های جمع: $\frac{x+2}{x}\ne1+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ولی $\frac{x^2+2x}{x}=x+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست است چون $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از هر دو جمله فاکتور گرفته می‌شود.

تقسیم چندجمله‌ای

مثل تقسیم عددی: جملهٔ اول مقسوم را بر جملهٔ اول مقسوم‌علیه تقسیم کن، نتیجه را در مقسوم‌علیه ضرب کن، از مقسوم کم کن و تکرار کن تا درجهٔ باقی‌مانده از درجهٔ مقسوم‌علیه کمتر شود. مثلاً

درجهٔ خارج‌قسمت برابر $\deg P-\deg D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ درجهٔ ۷ بر درجهٔ ۳ خارج‌قسمت درجهٔ ۴ می‌دهد. باقی‌ماندهٔ تقسیم بر درجهٔ ۳ هرگز درجهٔ ۳ یا بیشتر نمی‌شود.

قضیهٔ باقی‌مانده

باقی‌ماندهٔ تقسیم $P(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر $x-a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $P(a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اثبات: $P(x)=(x-a)Q(x)+R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که $R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ثابت است (درجه‌اش از ۱ کمتر است)؛ با $x=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $P(a)=R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قضیهٔ عامل: $x-a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عامل $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است اگر و فقط اگر $P(a)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثلاً باقی‌ماندهٔ $x^5+20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر $x-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $2^5+20=52$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، بدون هیچ تقسیمی. دقت کن که باقی‌ماندهٔ تقسیم بر $x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $P(-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $P(1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

بخش‌پذیری بر درجهٔ ۲: چون $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، بخش‌پذیری $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر آن یعنی $P(2)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $P(-1)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای پیدا کردن دو پارامتر، دو معادله از دو ریشه بنویس.

اشتباه‌های رایج