پرش به محتوای اصلی

توان و ریشه — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

توان و ریشه (ریاضی تیزهوشان نهم)

در پایهٔ هشتم با توان طبیعی و جذر آشنا شدی. این فصل دو گام جلوتر می‌رود: توان صحیح (منفی و صفر)، نماد علمی برای عددهای خیلی بزرگ و خیلی کوچک، ریشهٔ nnادامهٔ فرمول را افقی ببینام و ساده کردن رادیکال با توجه به قدرمطلق، جمع رادیکال‌ها و گویا کردن مخرج.

توان صحیح

برای a≠0a\ne0ادامهٔ فرمول را افقی ببین و nnادامهٔ فرمول را افقی ببین طبیعی:

a0=1,a−n=1ana^{0}=1,\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

از اینجا نتیجه می‌شود (ab)−n=(ba)n\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^{n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ یعنی کسر را وارونه کن و توان را مثبت بگیر. مثلاً (25)−3=1258\left(\frac25\right)^{-3}=\frac{125}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. قاعده‌های توان برای هر نمای صحیحی برقرارند:

aman=am+n,aman=am−n,(am)n=amn,(ab)n=anbna^ma^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad (ab)^n=a^nb^nادامهٔ فرمول را افقی ببین

ترفند مهم: عامل توان‌دار را از صورت به مخرج (یا برعکس) ببر و علامت توان را عوض کن: 3−45−1=534=581\frac{3^{-4}}{5^{-1}}=\frac5{3^4}=\frac5{81}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. به همین ترتیب 2a−1b−2a−3b−2=2a2\frac{2a^{-1}b^{-2}}{a^{-3}b^{-2}}=2a^{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مرتب‌سازی با توان منفی:

(−14)−1=−4, (−12)−1=−2, (−43)−3=−2764, (−32)−2=49\left(-\tfrac14\right)^{-1}=-4,\ \left(-\tfrac12\right)^{-1}=-2,\ \left(-\tfrac43\right)^{-3}=-\tfrac{27}{64},\ \left(-\tfrac32\right)^{-2}=\tfrac49ادامهٔ فرمول را افقی ببین

و ترتیب از کوچک به بزرگ −4<−2<−2764<49-4<-2<-\frac{27}{64}<\frac49ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

چرا 000^0ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعریف نشده است؟ قاعدهٔ a0=1a^0=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین ایجاب می‌کند 00=10^0=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین، اما قاعدهٔ 0n=00^n=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای n>0n>0ادامهٔ فرمول را افقی ببین ایجاب می‌کند 00=00^0=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین. این دو با هم تناقض دارند.

معادلهٔ توانی: برای 15323=(52)x×3y\frac{15^3}{2^3}=\left(\frac52\right)^x\times3^yادامهٔ فرمول را افقی ببین همهٔ پایه‌ها را به عامل‌های اول ببر: 33⋅5323=(52)3⋅33\frac{3^3\cdot5^3}{2^3}=\left(\frac52\right)^3\cdot3^3ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نتیجه می‌شود x=y=3x=y=3ادامهٔ فرمول را افقی ببین. برای ab=28⋅36a^b=2^8\cdot3^6ادامهٔ فرمول را افقی ببین نمای bbادامهٔ فرمول را افقی ببین باید ب.م.م نماها یعنی ۲ را بشمارد، پس b∈{1,2}b\in\{1,2\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نماد علمی

عدد به شکل a×10na\times10^nادامهٔ فرمول را افقی ببین با 1≤a<101\le a<10ادامهٔ فرمول را افقی ببین و nnادامهٔ فرمول را افقی ببین صحیح نوشته می‌شود. 12×10512\times10^5ادامهٔ فرمول را افقی ببین نماد علمی نیست؛ شکل درستش 1.2×1061.2\times10^6ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. 0.999×10−80.999\times10^{-8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم نماد علمی نیست و باید 9.99×10−99.99\times10^{-9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین نوشته شود. یک سال نوری حدود 9.46×10129.46\times10^{12}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلومتر است و جرم یک مولکول اکسیژن حدود 5.3×10−235.3\times10^{-23}ادامهٔ فرمول را افقی ببین گرم. برای ضرب: (a×10m)(b×10n)=ab×10m+n(a\times10^m)(b\times10^n)=ab\times10^{m+n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و بعد نتیجه را دوباره به نماد علمی ببر.

ریشه‌گیری و قدرمطلق

برای هر عدد حقیقی xxادامهٔ فرمول را افقی ببین:

x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|ادامهٔ فرمول را افقی ببین

دو عدد xxادامهٔ فرمول را افقی ببین و −x-xادامهٔ فرمول را افقی ببین ریشه‌های دوم x2x^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند، ولی نماد x2\sqrt{x^2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه جذر نامنفی است.

ریشهٔ nnادامهٔ فرمول را افقی ببینام: an=b\sqrt[n]{a}=bادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی bn=ab^n=aادامهٔ فرمول را افقی ببین. برای nnادامهٔ فرمول را افقی ببین فرد، ریشه برای هر aaادامهٔ فرمول را افقی ببین یکتاست (−83=−2\sqrt[3]{-8}=-2ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و xnn=x\sqrt[n]{x^n}=xادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ برای nnادامهٔ فرمول را افقی ببین زوج فقط a≥0a\ge0ادامهٔ فرمول را افقی ببین ریشه دارد و xnn=∣x∣\sqrt[n]{x^n}=|x|ادامهٔ فرمول را افقی ببین. قاعده‌ها:

abn=anbn,anm=amn,amn=(an)m\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\sqrt[n]b,\qquad \sqrt[m]{\sqrt[n]a}=\sqrt[mn]a,\qquad \sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]a\right)^mادامهٔ فرمول را افقی ببین

ساده کردن: 75a3x=25⋅3⋅a2⋅ax=5∣a∣3ax\sqrt{75a^3x}=\sqrt{25\cdot3\cdot a^2\cdot ax}=5|a|\sqrt{3ax}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اگر بدانیم a≥0a\ge0ادامهٔ فرمول را افقی ببین، قدرمطلق حذف می‌شود. باید همیشه ببینیم علامت عبارت داخل قدرمطلق معلوم است یا نه. مثلاً (π−10)2=∣π−10∣=10−π\sqrt{(\pi-10)^2}=|\pi-10|=10-\piادامهٔ فرمول را افقی ببین.

پیدا کردن ارقام اعشاری ریشه (روش ابراهیم)

برای ریشهٔ سوم ۱۰ مکعب عددهای نزدیک را حساب کن: 2.13=9.261<10<2.23=10.6482.1^3=9.261<10<2.2^3=10.648ادامهٔ فرمول را افقی ببین پس رقم اول اعشار ۱ است؛ بعد 2.153=9.938<10<2.163=10.0782.15^3=9.938<10<2.16^3=10.078ادامهٔ فرمول را افقی ببین پس رقم دوم ۵ است. نتیجه 103≈2.15…\sqrt[3]{10}\approx2.15\ldotsادامهٔ فرمول را افقی ببین. روی ریشهٔ سوم ۹، چون 2.03=8<9<2.13=9.2612.0^3=8<9<2.1^3=9.261ادامهٔ فرمول را افقی ببین، رقم اول اعشار صفر است. این روش بدون ماشین‌حساب هر رقم را یکی‌یکی می‌دهد.

جمع و تفریق رادیکال‌ها

فقط رادیکال‌های همنوع (فرجه و زیرجذر یکسان) را مثل جمله‌های متشابه جمع می‌کنیم: 35+25=553\sqrt5+2\sqrt5=5\sqrt5ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اول زیر رادیکال را ساده کن: 50+18−2=52+32−2=72\sqrt{50}+\sqrt{18}-\sqrt2=5\sqrt2+3\sqrt2-\sqrt2=7\sqrt2ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

گویا کردن مخرج

1a=aa,1a+b=a−ba−b,1a3=a23a\frac{1}{\sqrt a}=\frac{\sqrt a}{a},\qquad \frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b},\qquad \frac1{\sqrt[3]{a}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}}{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

برای مخرجی با دو جمله، در مزدوج ضرب کن، نه در خود مخرج: 23+1=2(3−1)3−1=3−1\frac{2}{\sqrt3+1}=\frac{2(\sqrt3-1)}{3-1}=\sqrt3-1ادامهٔ فرمول را افقی ببین. همیشه ببین آیا ساده کردن ریشه اول کار را کوتاه‌تر می‌کند: 244=22=2\frac{2}{\sqrt[4]{4}}=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مسئلهٔ دیوفانتی

مجموعه‌ای از اعداد را دیوفانتی می‌گوییم اگر حاصل‌ضرب هر دو عضو متمایزش به‌علاوهٔ ۱ مربع کامل باشد. مثلاً {3,5,16}\{3,5,16\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین چنین است، چون 3⋅5+1=423\cdot5+1=4^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 3⋅16+1=723\cdot16+1=7^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 5⋅16+1=925\cdot16+1=9^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و فرما چهارتایی {1,3,8,120}\{1,3,8,120\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را ساخت. این از مسئله‌های باز و زیبای نظریهٔ اعداد است.

اشتباه‌های رایج

اشتباه درست
a−n=−ana^{-n}=-a^nادامهٔ فرمول را افقی ببین a−n=1ana^{-n}=\frac1{a^n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
x2=x\sqrt{x^2}=xادامهٔ فرمول را افقی ببین $\sqrt{x^2}=
(a+b)−1=a−1+b−1(a+b)^{-1}=a^{-1}+b^{-1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (a+b)−1=1a+b(a+b)^{-1}=\frac1{a+b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
12×10512\times10^5ادامهٔ فرمول را افقی ببین نماد علمی است. باید 1≤a<101\le a<10ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد.

سؤال تستی

۵ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. مقدار ۲ به توان منفی ۲ را به کسر مثبت بنویس.

  • −۴
  • 1/21/2ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1/41/4ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • ۴

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«1/41/4ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون 2−2=1/22=1/42^{-2}=1/2^{2}=1/4ادامهٔ فرمول را افقی ببین «۴» توان یا ریشه را نادرست ساده می‌کند. «−۴» علامت/قدر مطلق را جا می‌اندازد. «1/21/2ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با محاسبهٔ دقیق سازگار نیست. تلهٔ تستی: منفیِ نما را علامت منفی عدد می‌گیری. گزینهٔ درست «1/41/4ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است.

2. توان منفی 3−33^{-}3ادامهٔ فرمول را افقی ببین چه عددی می‌دهد؟

  • 1/271/27ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • ۲۷
  • −۲۷
  • 1/91/9ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«1/271/27ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون 3−3=1/33=1/273^{-3}=1/3^{3}=1/27ادامهٔ فرمول را افقی ببین «۲۷» توان یا ریشه را نادرست ساده می‌کند. «−۲۷» علامت/قدر مطلق را جا می‌اندازد. «1/91/9ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با محاسبهٔ دقیق سازگار نیست. تلهٔ تستی: منفیِ نما را علامت منفی عدد می‌گیری. گزینهٔ درست «1/271/27ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است.

3. معکوسِ 444^{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را به صورت یک کسر ساده ثبت کن.

  • 1/2561/256ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • ۲۵۶
  • −۲۵۶
  • 1/641/64ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«1/2561/256ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون 4−4=1/44=1/2564^{-4}=1/4^{4}=1/256ادامهٔ فرمول را افقی ببین «۲۵۶» توان یا ریشه را نادرست ساده می‌کند. «−۲۵۶» علامت/قدر مطلق را جا می‌اندازد. «1/641/64ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با محاسبهٔ دقیق سازگار نیست. تلهٔ تستی: منفیِ نما را علامت منفی عدد می‌گیری. گزینهٔ درست «1/2561/256ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است.

4. با قاعدهٔ توان منفی، 5−55^{-5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را ساده کن.

  • 1/6251/625ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1/31251/3125ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • ۳۱۲۵
  • −۳۱۲۵

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«1/31251/3125ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون 5−5=1/55=1/31255^{-5}=1/5^{5}=1/3125ادامهٔ فرمول را افقی ببین «۳۱۲۵» توان یا ریشه را نادرست ساده می‌کند. «−۳۱۲۵» علامت/قدر مطلق را جا می‌اندازد. «1/6251/625ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با محاسبهٔ دقیق سازگار نیست. تلهٔ تستی: منفیِ نما را علامت منفی عدد می‌گیری. گزینهٔ درست «1/31251/3125ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است.

5. حاصلِ 6−66^{-6}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را به صورت کسر مثبت بنویس.

  • −۴۶۶۵۶
  • 1/77761/7776ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1/466561/46656ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • ۴۶۶۵۶

پاسخنامه‌ی تحلیلی

6−6=1/66=1/466566^{-6}=1/6^6=1/46656ادامهٔ فرمول را افقی ببین. وارسی: 66×(1/46656)=16^6\times(1/46656)=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین. گزینه‌های دیگر یا توان را مثبت می‌گیرند یا یک توان را کم می‌کنند. تلهٔ تستی: توان منفی پایه را معکوس می‌کند.

نمونه سؤال تشریحی

۳ سؤال امتحانی با پاسخ نمونه — برای دیدن بزن

۱. عبارت 2a−1b−2a−3b−2\frac{2a^{-1}b^{-2}}{a^{-3}b^{-2}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را با فرض a,b≠0a,b\ne0ادامهٔ فرمول را افقی ببین ساده کنید و بدون توان منفی بنویسید.

پاسخ نمونه

عامل‌های مشابه را با قاعدهٔ aman=am−n\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین ساده می‌کنیم:

2a−1b−2a−3b−2=2⋅a−1−(−3)⋅b−2−(−2)=2a2b0\frac{2a^{-1}b^{-2}}{a^{-3}b^{-2}}=2\cdot a^{-1-(-3)}\cdot b^{-2-(-2)}=2a^{2}b^{0}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چون b0=1b^0=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین، جواب برابر است با

2a22a^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین

۲. نشان دهید (π−10)2≠π−10\sqrt{(\pi-10)^2}\ne\pi-10ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مقدار درست آن را بنویسید. سپس دلیل کلی x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|ادامهٔ فرمول را افقی ببین را توضیح دهید.

پاسخ نمونه

عدد π−10\pi-10ادامهٔ فرمول را افقی ببین منفی است (π≈3.14\pi\approx3.14ادامهٔ فرمول را افقی ببین). جذر یک عدد همیشه نامنفی است؛ پس (π−10)2\sqrt{(\pi-10)^2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین نمی‌تواند منفی باشد و برابر π−10\pi-10ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیست. مقدار درست:

(π−10)2=∣π−10∣=10−π\sqrt{(\pi-10)^2}=|\pi-10|=10-\piادامهٔ فرمول را افقی ببین

دلیل کلی: دو عدد xxادامهٔ فرمول را افقی ببین و −x-xادامهٔ فرمول را افقی ببین هر دو مربعشان x2x^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، اما x2\sqrt{x^2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌طور قرارداد همان ریشهٔ نامنفی است. اگر x≥0x\ge0ادامهٔ فرمول را افقی ببین این ریشه xxادامهٔ فرمول را افقی ببین و اگر x<0x<0ادامهٔ فرمول را افقی ببین این ریشه −x-xادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ یعنی همان ∣x∣|x|ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۳. رقم اول و دوم اعشار 103\sqrt[3]{10}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بدون ماشین‌حساب پیدا کنید.

پاسخ نمونه

مکعب‌های نزدیک را حساب می‌کنیم. چون

2.13=9.261<10<2.23=10.6482.1^3=9.261<10<2.2^3=10.648ادامهٔ فرمول را افقی ببین

ریشهٔ سوم ۱۰ بین ۲٫۱ و ۲٫۲ است و رقم اول اعشار ۱ است. برای رقم دوم:

2.153=9.938<10<2.163=10.0782.15^3=9.938<10<2.16^3=10.078ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پس ریشه بین ۲٫۱۵ و ۲٫۱۶ است و رقم دوم اعشار ۵ است. نتیجه: 103≈2.15…\sqrt[3]{10}\approx2.15\ldotsادامهٔ فرمول را افقی ببین

مباحث مرتبط

مجموعه‌ها — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)عددهای حقیقی — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)استدلال و اثبات در هندسه — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)عبارت‌های جبری — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)خط و معادله‌های خطی — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)عبارت‌های گویا — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)حجم و مساحت — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)مجموعه‌ها و احتمال (ریاضی نهم)عددهای حقیقی و قدر مطلق (ریاضی نهم)استدلال و اثبات در هندسه (ریاضی نهم)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان