مجموعه، الگو و دنباله (هنر)

مجموعه، الگو و دنباله (هنر)

از نقشِ کاشی تا فرمول

یک نوارِ کاشی‌کاری را تصور کنید که در آن هر گره، چند کاشیِ کوچک بیشتر از گرهِ قبلی دارد: ۵، ۸، ۱۱، ۱۴ و همین‌طور ادامه. چشمِ شما «ریتم» را می‌بیند؛ ریاضی همان ریتم را با یک جملهٔ کوتاه می‌نویسد. هر رشته از اعداد که پشتِ سرِ هم بیایند یک دنباله است و اعضای آن جملات دنباله‌اند: $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$.

اگر اختلافِ هر دو جملهٔ متوالی ثابت بماند، الگو خطی است:

در همان نوارِ کاشی، اختلاف همیشه $3$ است و جملهٔ عمومی $a_n = 3n + 2$ می‌شود. نکتهٔ زیبا این است که اگر نقطه‌های $(n, a_n)$ را روی صفحه بگذارید، همه روی خطِ $y = 3x + 2$ می‌نشینند: عددِ $3$ هم اختلافِ جملات است و هم شیبِ خط.

اگر اختلافِ جملات ثابت نبود، اختلافِ اختلاف‌ها را حساب کنید. ثابت‌شدن در مرتبهٔ دوم یعنی الگو درجهٔ ۲ است، در مرتبهٔ سوم یعنی درجهٔ ۳.

ریتمِ جمعی: دنبالهٔ حسابی

وقتی هر ضرب با فاصلهٔ ثابتِ $d$ از ضربِ قبلی می‌آید، دنباله حسابی است ($d$ را قدرنسبت می‌نامیم):

سه خاصیتی که بیشترین کاربرد را دارند:

• هر جمله میانگینِ دو همسایه‌اش است: $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$؛ پس اگر $a, b, c$ حسابی باشند، $2b = a + c$.
• $a_m - a_n = (m-n)d$
• اگر $m+n = p+q$ آنگاه $a_m + a_n = a_p + a_q$؛ به‌ویژه $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \ldots$

مجموعِ $n$ جملهٔ اول (همان ترفندِ گاوس: دنباله را وارونه زیرِ خودش بنویسید و جمع کنید):

سه رابطهٔ پرکاربرد که از همین می‌آید:

واسطه‌های حسابی: اگر بخواهید بینِ $a$ و $b$ تعداد $k$ عدد بگذارید تا فاصله‌ها یکنواخت شود:

مثلاً برای گذاشتنِ سه واسطه بینِ $18$ و $62$: $d = \frac{44}{4} = 11$ و دنباله می‌شود $18, 29, 40, 51, 62$.

ریتمِ ضربی: دنبالهٔ هندسی

اگر به‌جای «هر بار به‌اضافهٔ ثابت»، «هر بار ضرب‌در ثابت» داشته باشیم — مثلِ بزرگ‌شدنِ پیاپیِ یک نقش‌مایه با نسبتِ ثابت — دنباله هندسی است:

خاصیت‌های موازیِ حسابی: $a_n^2 = a_{n-1}\,a_{n+1}$ (پس در سه‌تاییِ هندسیِ $a,b,c$ داریم $b^2 = ac$)، و $\frac{a_m}{a_n} = r^{m-n}$. برای $k$ واسطهٔ هندسی بینِ دو عددِ مثبت: $r = \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{k+1}}$.

اگر $|r| < 1$ باشد، مجموعِ بی‌نهایت جمله عددِ متناهی می‌شود:

مجموعه‌ها، بازه‌ها و شمردنِ اعضا

دنباله‌ها از دلِ اعداد بیرون می‌آیند، پس خانوادهٔ اعداد را هم بشناسیم:

$\sqrt{n}$ وقتی گنگ است که $n$ مربعِ کامل نباشد. اعشاریِ متناهی یا متناوب گویاست؛ اعشاریِ نامتناهیِ نامتناوب گنگ است.

هر قطعه از محورِ اعداد یک بازه است: $[a,b]$ بسته، $(a,b)$ باز، $[a,b)$ و $(a,b]$ نیم‌باز. طولِ بازه همیشه $b-a$ است و به باز یا بسته بودنِ کران‌ها ربطی ندارد. چون $\pm\infty$ عدد نیست، همیشه با پرانتزِ باز نوشته می‌شود.

متمم نسبت به مرجعِ $U$ یعنی $A' = U - A$، و هنگامِ گرفتنِ متممِ یک بازه نوعِ کران‌ها برعکس می‌شود: متممِ $[a,b]$ برابر است با $(-\infty, a) \cup (b, +\infty)$. قوانینِ دمورگان:

و برای شمردنِ اعضا:

نمونه: در کلاسی ۲۵ نفره، ۱۵ نفر فوتبال و ۱۱ نفر بسکتبال بازی می‌کنند و ۵ نفر عضوِ هیچ تیمی نیستند. چند نفر در هر دو تیم‌اند؟
چون ۵ نفر بیرونند، $n(F \cup B) = 25 - 5 = 20$. پس $20 = 15 + 11 - n(F \cap B)$ و نتیجه $n(F \cap B) = 6$ نفر.

چند تلهٔ رایج

• دنباله‌ای که هم حسابی و هم هندسی باشد، ناچار ثابت است ($d=0$ و $r=1$).
• در مسئلهٔ «$k$ واسطه»، کلِ دنباله $k+2$ جمله دارد، چون خودِ $a$ و $b$ هم جزوِ آن‌اند.
• واسطهٔ حسابی یکتاست، ولی واسطهٔ هندسی می‌تواند دو مقدارِ $\pm\sqrt{ab}$ داشته باشد.
• در دنبالهٔ هندسی با $r<0$، جملات یک‌درمیان مثبت و منفی‌اند.