پرش به محتوای اصلی

توان گویا و عبارت‌های جبری (هنر)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

توان های گویا و عبارت های جبری (هنر)

وقتی می‌خواهیم «نصفِ یک بزرگ‌نمایی» را بنویسیم

کاغذِ A4 را که از وسط تا کنید، A5 می‌شود و نسبتِ ضلع‌ها عوض نمی‌شود؛ رازش عددِ 2\sqrt{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. در موسیقی هم فاصلهٔ هر نیم‌پرده ضربِ بسامد در 21/122^{1/12}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. هر جا بخواهیم یک بزرگ‌نمایی را به قدم‌های مساوی بشکنیم، به توانِ گویا می‌رسیم.

منطقش ساده است: می‌خواهیم قاعدهٔ ضربِ توان‌ها سرِ جایش بماند، پس

a12×a12=a12+12=aa^{\frac12} \times a^{\frac12} = a^{\frac12 + \frac12} = aادامهٔ فرمول را افقی ببین

یعنی a1/2a^{1/2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان عددی است که در خودش ضرب شود aaادامهٔ فرمول را افقی ببین بدهد. به‌طورِ کلی برای a>0a>0ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

a1n=anamn=amn=(an)m\boxed{a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}} \qquad\qquad \boxed{a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m}ادامهٔ فرمول را افقی ببینa−mn=1amna^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چند نمونهٔ کوتاه: 82/3=(83)2=48^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 163/4=23=816^{3/4} = 2^3 = 8ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 125−2/3=152=125125^{-2/3} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

همهٔ قوانینِ آشنایِ توان برای نماهایِ گویا هم برقرارند (با a,b>0a,b>0ادامهٔ فرمول را افقی ببین):

aras=ar+s,aras=ar−s,(ar)s=ars,(ab)r=arbra^r a^s = a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, \qquad (a^r)^s = a^{rs}, \qquad (ab)^r = a^r b^rادامهٔ فرمول را افقی ببین

ریشهٔ nnادامهٔ فرمول را افقی ببینام: کِی هست، چندتاست

bbادامهٔ فرمول را افقی ببین ریشهٔ nnادامهٔ فرمول را افقی ببینامِ aaادامهٔ فرمول را افقی ببین است هرگاه bn=ab^n = aادامهٔ فرمول را افقی ببین. جدولِ وجود و تعداد را همیشه یادتان باشد:

شرط تعداد ریشهٔ حقیقی نمونه
a>0a>0ادامهٔ فرمول را افقی ببین و nnادامهٔ فرمول را افقی ببین زوج دو تا: ±an\pm\sqrt[n]{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین 164=±2\sqrt[4]{16} = \pm 2ادامهٔ فرمول را افقی ببین
a>0a>0ادامهٔ فرمول را افقی ببین و nnادامهٔ فرمول را افقی ببین فرد یکی، مثبت 83=2\sqrt[3]{8} = 2ادامهٔ فرمول را افقی ببین
a<0a<0ادامهٔ فرمول را افقی ببین و nnادامهٔ فرمول را افقی ببین زوج هیچ −164\sqrt[4]{-16}ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعریف نشده
a<0a<0ادامهٔ فرمول را افقی ببین و nnادامهٔ فرمول را افقی ببین فرد یکی، منفی −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2ادامهٔ فرمول را افقی ببین

قرارداد نماد: وقتی an\sqrt[n]{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین با nnادامهٔ فرمول را افقی ببین زوج می‌نویسیم، منظورمان فقط ریشهٔ نامنفی است؛ 6254=5\sqrt[4]{625} = 5ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و اگر هر دو را بخواهیم صریحاً ±\pmادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌گذاریم.

قوانینِ کار با ریشه (برای nnادامهٔ فرمول را افقی ببین زوج شرطِ نامنفی‌بودن لازم است):

an bn=abn,anbn=abn,anm=amn\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}, \qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}, \qquad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

و مهم‌ترین قضیهٔ این بخش:

ann={∣a∣n زوجan فرد\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} |a| & n \text{ زوج} \\ a & n \text{ فرد} \end{cases}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پس x2=x\sqrt{x^2} = xادامهٔ فرمول را افقی ببین غلط است؛ درستش x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. دو خطای همسایه‌اش هم: a+b≠a+b\sqrt{a+b} \neq \sqrt a + \sqrt bادامهٔ فرمول را افقی ببین و a2+b2≠a+b\sqrt{a^2+b^2} \neq a+bادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مقایسهٔ ریشه‌ها با مخرجِ مشترکِ نما انجام می‌شود. مثلاً برای مقایسهٔ 53\sqrt[3]{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 74\sqrt[4]{7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین: هر دو را به فرجهٔ ۱۲ می‌بریم، 62512\sqrt[12]{625}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 34312\sqrt[12]{343}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و چون 625>343625 > 343ادامهٔ فرمول را افقی ببین پس 53>74\sqrt[3]{5} > \sqrt[4]{7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

ساده‌سازی هم با جدا کردنِ توانِ کاملِ داخلِ رادیکال: 75=53\sqrt{75} = 5\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 543=323\sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 484=234\sqrt[4]{48} = 2\sqrt[4]{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. و کسرِ نما را همیشه ساده کنید: a46=a2/3=a23\sqrt[6]{a^4} = a^{2/3} = \sqrt[3]{a^2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

صعودی یا نزولی؟ برای a>1a>1ادامهٔ فرمول را افقی ببین از r<sr<sادامهٔ فرمول را افقی ببین نتیجه می‌گیریم ar<asa^r < a^sادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ ولی برای 0<a<10<a<1ادامهٔ فرمول را افقی ببین رابطه برعکس می‌شود.

اتحادها: جعبه‌ابزارِ بازنویسی

(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)(a−b)=a2−b2(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab, \qquad (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bcادامهٔ فرمول را افقی ببین(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3\boxed{(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3}ادامهٔ فرمول را افقی ببینa3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\boxed{a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)} \qquad \boxed{a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

در عاملِ دومِ مکعب‌ها ضریبِ ababادامهٔ فرمول را افقی ببین برابرِ ∓1\mp 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، نه ∓2\mp 2ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ پس آن عبارت اتحادِ مربع نیست. این پرتکرارترین اشتباهِ این بخش است.

نمونه‌های تجزیه: 8x3−27=(2x−3)(4x2+6x+9)8x^3 - 27 = (2x-3)(4x^2+6x+9)ادامهٔ فرمول را افقی ببین و x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)ادامهٔ فرمول را افقی ببین و x6−1=(x−1)(x2+x+1)(x+1)(x2−x+1)x^6 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

همین اتحادها محاسبهٔ ذهنی را هم سریع می‌کنند: 1052=(100+5)2=11025105^2 = (100+5)^2 = 11025ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 99×101=1002−1=999999 \times 101 = 100^2 - 1 = 9999ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

کسرهایِ جبری و گویا کردنِ مخرج

عبارتِ P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط جایی معنا دارد که Q(x)≠0Q(x) \neq 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین. برای ساده‌سازی، صورت و مخرج را تجزیه کنید و عاملِ مشترک را بردارید — با ذکرِ شرط:

x2−4x−2=(x−2)(x+2)x−2=x+2(x≠2)\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \qquad (x \neq 2)ادامهٔ فرمول را افقی ببین

گویا کردنِ مخرج یعنی بردنِ رادیکال از مخرج به صورت. سه حالت دارد:

۱. رادیکالِ تکی: در خودِ رادیکال ضرب کنید — 23=233\frac{2}{\sqrt3} = \frac{2\sqrt3}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۲. مخرجِ دوجمله‌ای: در مزدوج ضرب کنید، چون (a+b)(a−b)=a−b(\sqrt a + \sqrt b)(\sqrt a - \sqrt b) = a - bادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نمونه: مخرجِ 23+5\dfrac{2}{\sqrt3+\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را گویا کنید.
صورت و مخرج را در 3−5\sqrt3-\sqrt5ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضرب می‌کنیم: 2(3−5)3−5=2(3−5)−2=5−3\dfrac{2(\sqrt3-\sqrt5)}{3-5} = \dfrac{2(\sqrt3-\sqrt5)}{-2} = \sqrt5-\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۳. ریشهٔ سوم: از اتحادِ مکعب کمک بگیرید، چون (a3−b3)(a23+ab3+b23)=a−b(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}) = a-bادامهٔ فرمول را افقی ببین. مثلاً 123−1=43+23+1\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}-1} = \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مثلثِ خیام: ضریب‌ها را نشمارید، بخوانید

ضریب‌های بسطِ (a+b)n(a+b)^nادامهٔ فرمول را افقی ببین همان سطرهای مثلثِ خیام‌اند و هر عدد جمعِ دو عددِ بالای خودش است:

1  /  1 1  /  1 2 1  /  1 3 3 1  /  1 4 6 4 11 \;/\; 1\,1 \;/\; 1\,2\,1 \;/\; 1\,3\,3\,1 \;/\; 1\,4\,6\,4\,1ادامهٔ فرمول را افقی ببین(nk)=n!k! (n−k)!,(nk)=(n−1k−1)+(n−1k),(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}, \qquad \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}, \qquad (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^kادامهٔ فرمول را افقی ببین

تعمیمِ تجزیهٔ مکعب‌ها هم مفید است: an−bna^n - b^nادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه بر a−ba-bادامهٔ فرمول را افقی ببین بخش‌پذیر است، و an+bna^n + b^nادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط وقتی nnادامهٔ فرمول را افقی ببین فرد باشد بر a+ba+bادامهٔ فرمول را افقی ببین بخش‌پذیر است؛ برای nnادامهٔ فرمول را افقی ببین زوج در اعداد حقیقی تجزیه نمی‌شود.

شرطِ تعریف — نکتهٔ آخر

  • برای f(x)n\sqrt[n]{f(x)}ادامهٔ فرمول را افقی ببین با nnادامهٔ فرمول را افقی ببین زوج: f(x)≥0f(x) \geq 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • برای f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)}ادامهٔ فرمول را افقی ببین: فقط g(x)≠0g(x) \neq 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • برای f(x)g(x)\dfrac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}ادامهٔ فرمول را افقی ببین: هر دو شرط با هم.

سؤال تستی

۱۰ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. اگر 23<k<332^3<k<3^3ادامهٔ فرمول را افقی ببین، کدام نتیجه درست است؟

  • 2<k3<32<\sqrt[3]{k}<3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2<k2<32<\sqrt[2]{k}<3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2<k4<32<\sqrt[4]{k}<3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 8<k3<278<\sqrt[3]{k}<27ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

تابع ریشهٔ سوم صعودی است. از 8<k<278<k<27ادامهٔ فرمول را افقی ببین نتیجه می‌گیریم «2<k3<32<\sqrt[3]{k}<3ادامهٔ فرمول را افقی ببین». سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|ادامهٔ فرمول را افقی ببین) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

2. اگر x=253x=\sqrt[3]{25}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، کدام گزاره صحیح است؟

  • xxادامهٔ فرمول را افقی ببین عددی گویاست
  • 2<x<32<x<3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 3<x<43<x<4ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1<x<21<x<2ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«2<x<32<x<3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. چون 23=8<25<27=332^3=8<25<27=3^3ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس 2<253<32<\sqrt[3]{25}<3ادامهٔ فرمول را افقی ببین. این عدد نیز گنگ است. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|ادامهٔ فرمول را افقی ببین) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

3. اگر x=23−1x=\sqrt[3]{2}-1ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مقدار 1x\dfrac{1}{x}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 1−231-\sqrt[3]{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 23+1\sqrt[3]{2}+1ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 43+23+1\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 43−23+1\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«43+23+1\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. برای گویا کردن مخرج از اتحاد تفاضل مکعب استفاده می‌کنیم: 123−1=43+23+12−1\dfrac1{\sqrt[3]{2}-1}=\dfrac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{2-1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|ادامهٔ فرمول را افقی ببین) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

4. اگر a3−b3=56a^3-b^3=56ادامهٔ فرمول را افقی ببین و a−b=2a-b=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مقدار a2+ab+b2a^2+ab+b^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر است با

  • 3030ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 5454ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1414ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2828ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از اتحاد a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم 56=2(a2+ab+b2)56=2(a^2+ab+b^2)ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ پس مقدار خواسته‌شده «2828ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است. سایرِ گزینه‌ها از فراموش‌کردنِ یکی از جمله‌هایِ اتحادِ به‌کاررفته ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در محاسبهٔ عباراتی مانندِ a2+b2a^2+b^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا a3+b3a^3+b^3ادامهٔ فرمول را افقی ببین از رویِ مجموع و حاصل‌ضرب، باید از اتحادهایِ (a+b)2−2ab(a+b)^2-2abادامهٔ فرمول را افقی ببین یا (a+b)3−3ab(a+b)(a+b)^3-3ab(a+b)ادامهٔ فرمول را افقی ببین استفاده کرد، نه جمعِ سادهٔ مربع‌ها یا مکعب‌ها.

5. اگر a3+b3=80a^3+b^3=80ادامهٔ فرمول را افقی ببین و a+b=4a+b=4ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مقدار a2−ab+b2a^2-ab+b^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 2020ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2424ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1616ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از اتحاد مجموع مکعب‌ها: 80=(a+b)(a2−ab+b2)=4(a2−ab+b2)80=(a+b)(a^2-ab+b^2)=4(a^2-ab+b^2)ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس مقدار برابر «2020ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است. سایرِ گزینه‌ها از فراموش‌کردنِ یکی از جمله‌هایِ اتحادِ به‌کاررفته ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در محاسبهٔ عباراتی مانندِ a2+b2a^2+b^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا a3+b3a^3+b^3ادامهٔ فرمول را افقی ببین از رویِ مجموع و حاصل‌ضرب، باید از اتحادهایِ (a+b)2−2ab(a+b)^2-2abادامهٔ فرمول را افقی ببین یا (a+b)3−3ab(a+b)(a+b)^3-3ab(a+b)ادامهٔ فرمول را افقی ببین استفاده کرد، نه جمعِ سادهٔ مربع‌ها یا مکعب‌ها.

6. عبارت x2+1x−3\dfrac{x^2+1}{x-3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین در کدام مقدار تعریف نشده است؟

  • x=1x=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • x=3x=3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • x=−3x=-3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • x=0x=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در عبارت گویا فقط باید مخرج صفر نشود. چون x−3=0x-3=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین در «x=3x=3ادامهٔ فرمول را افقی ببین»، عبارت در آن نقطه تعریف‌نشده است. سایرِ گزینه‌ها یکی از دو شرطِ لازم (رادیکال یا مخرج) را ناقص یا نادرست بیان می‌کنند. تلهٔ تستی: ریشهٔ زوجِ یک عددِ منفی در مجموعهٔ اعدادِ حقیقی هرگز تعریف نمی‌شود؛ این را با ریشهٔ فردِ عددِ منفی (که کاملاً تعریف‌شده و منفی است) اشتباه نگیرید.

7. دامنهٔ عبارت x−2x2−9\dfrac{\sqrt{x-2}}{x^2-9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • x≥2x\ge2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و x≠9x\ne9ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • x>2x>2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و x≠±3x\ne\pm3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • x≥2x\ge2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و x≠±3x\ne\pm3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • x≥2x\ge2ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«x≥2x\ge2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و x≠±3x\ne\pm3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. گام‌به‌گام: برای تعریف باید هم‌زمان x−2≥0x-2\ge0ادامهٔ فرمول را افقی ببین (شرطِ رادیکالِ زوج) یعنی x≥2x\ge2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و x2−9≠0x^2-9\ne0ادامهٔ فرمول را افقی ببین (شرطِ مخرج) یعنی x≠3x\ne3ادامهٔ فرمول را افقی ببین و x≠−3x\ne-3ادامهٔ فرمول را افقی ببین برقرار باشد. وارسیِ مستقل (بررسیِ مرزها): در x=2x=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم 04−9=0−5=0\dfrac{\sqrt0}{4-9}=\dfrac{0}{-5}=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین که کاملاً تعریف‌شده است، پس x=2x=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین باید در دامنه بماند؛ در x=3x=3ادامهٔ فرمول را افقی ببین مخرج صفر می‌شود ✓. ردِ گزینه‌ها: «x≥2x\ge2ادامهٔ فرمول را افقی ببین» به‌تنهایی شرطِ مخرج را نادیده می‌گیرد و x=3x=3ادامهٔ فرمول را افقی ببین را مجاز می‌شمارد؛ «x≥2x\ge2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و x≠9x\ne9ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نقطهٔ اشتباهی را حذف می‌کند (ریشه‌های مخرج ±3\pm3ادامهٔ فرمول را افقی ببین است نه 99ادامهٔ فرمول را افقی ببین)؛ «x>2x>2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و x≠±3x\ne\pm3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» به‌اشتباه x=2x=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین را هم کنار می‌گذارد، در حالی که آنجا مخرج برابرِ −5-5ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ناصفر است. تلهٔ تستی: شرطِ رادیکالِ زوج و شرطِ مخرج دو شرطِ مستقل‌اند که باید جداگانه نوشته و سپس با هم ترکیب شوند؛ مرزِ بازهٔ رادیکال (x=2x=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین) فقط وقتی حذف می‌شود که خودش مخرج را صفر کند — اینجا نمی‌کند.

8. کدام گزینه نادرست است؟

  • (ar)s=ars(a^r)^s=a^{rs}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • (ab)r=arbr\left(\dfrac ab\right)^r=\dfrac{a^r}{b^r}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • aras=ar+sa^ra^s=a^{r+s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • (a+b)r=ar+br(a+b)^r=a^r+b^rادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«(a+b)r=ar+br(a+b)^r=a^r+b^rادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. سه قانون اول از قوانین توان‌های گویا هستند. اما در حالت کلی (a+b)r(a+b)^rادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر ar+bra^r+b^rادامهٔ فرمول را افقی ببین نیست. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|ادامهٔ فرمول را افقی ببین) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

9. اگر a=53a=\sqrt[3]{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و b=74b=\sqrt[4]{7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، کدام رابطه درست است؟

  • a>ba>bادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • a<ba<bادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • قابل مقایسه نیستند
  • a=ba=bادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با مخرج مشترک گرفتن توان‌ها: a=5412=62512a=\sqrt[12]{5^4}=\sqrt[12]{625}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و b=7312=34312b=\sqrt[12]{7^3}=\sqrt[12]{343}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. چون 625>343625>343ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس «a>ba>bادامهٔ فرمول را افقی ببین». سایرِ گزینه‌ها از جهتِ نادرستِ نامساوی یا محاسبهٔ نادرستِ اندیسِ ریشهٔ مشترک ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در مقایسهٔ توان‌های گویا، جهتِ نامساوی به بازهٔ پایه بستگی دارد؛ برایِ پایهٔ بزرگ‌تر از 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم‌سو با توان و برایِ پایهٔ بینِ صفر و 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین برعکسِ توان است — همیشه هر دو عبارت را با یک اندیسِ ریشهٔ مشترک بازنویسی کنید تا مقایسه مستقیم شود.

10. کدام گزینه بهترین تقریب برای 253\sqrt[3]{25}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؟

  • 2.502.50ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2.922.92ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 3.083.08ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2.122.12ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

می‌دانیم 2.93=24.389<252.9^3=24.389<25ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 2.923≈24.897<252.92^3\approx24.897<25ادامهٔ فرمول را افقی ببین و به 2525ادامهٔ فرمول را افقی ببین نزدیک است، پس تقریب مناسب «2.922.92ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|ادامهٔ فرمول را افقی ببین) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

مباحث مرتبط

الگو، دنباله و مجموعه‌ها (هنر)معادلهٔ درجهٔ دوم و نامعادله‌ها (هنر)اصل شمارش، جایگشت و ترکیب (هنر)میانگین، پراکندگی و احتمال (هنر)نسبت، تناسب و نسبت طلایی (هنر)درصد، سود، زیان و تخفیف (هنر)نسبت‌های مثلثاتی و اتحادها (هنر)مکان هندسی، ترسیم و استدلال (هنر)قضیهٔ تالس و تشابه مثلث‌ها (هنر)چندضلعی‌ها، زاویه‌ها و مساحت (هنر)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان