Q: اگر $2^3<k<3^3$، کدام نتیجه درست است؟

$2<\sqrt[3]{k}<3$ — تابع ریشهٔ سوم صعودی است. از $8<k<27$ نتیجه میگیریم «$2<\sqrt[3]{k}<3$». سایرِ گزینهها از نادیدهگرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی میشوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریفنشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، $\sqrt{x^2}=|x|$) را با محاسبات سادهانگارانه اشتباه نگیرید.

Q: اگر $x=\sqrt[3]{25}$، کدام گزاره صحیح است؟

$2<x<3$ — «$2<x<3$» درست است. چون $2^3=8<25<27=3^3$، پس $2<\sqrt[3]{25}<3$. این عدد نیز گنگ است. سایرِ گزینهها از نادیدهگرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی میشوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریفنشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، $\sqrt{x^2}=|x|$) را با محاسبات سادهانگارانه اشتباه نگیرید.

Q: اگر $x=\sqrt[3]{2}-1$، مقدار $\dfrac{1}{x}$ کدام است؟

$\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$ — «$\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$» درست است. برای گویا کردن مخرج از اتحاد تفاضل مکعب استفاده میکنیم: $\dfrac1{\sqrt[3]{2}-1}=\dfrac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{2-1}$. سایرِ گزینهها از نادیدهگرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی میشوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریفنشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، $\sqrt{x^2}=|x|$) را با محاسبات سادهانگارانه اشتباه نگیرید.

Q: اگر $a^3-b^3=56$ و $a-b=2$، مقدار $a^2+ab+b^2$ برابر است با

$28$ — از اتحاد $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ داریم $56=2(a^2+ab+b^2)$؛ پس مقدار خواستهشده «$28$» است. سایرِ گزینهها از فراموشکردنِ یکی از جملههایِ اتحادِ بهکاررفته ناشی میشوند. تلهٔ تستی: در محاسبهٔ عباراتی مانندِ $a^2+b^2$ یا $a^3+b^3$ از رویِ مجموع و حاصلضرب، باید از اتحادهایِ $(a+b)^2-2ab$ یا $(a+b)^3-3ab(a+b)$ استفاده کرد، نه جمعِ سادهٔ مربعها یا مکعبها.

Q: اگر $a^3+b^3=80$ و $a+b=4$، مقدار $a^2-ab+b^2$ کدام است؟

$20$ — از اتحاد مجموع مکعبها: $80=(a+b)(a^2-ab+b^2)=4(a^2-ab+b^2)$، پس مقدار برابر «$20$» است. سایرِ گزینهها از فراموشکردنِ یکی از جملههایِ اتحادِ بهکاررفته ناشی میشوند. تلهٔ تستی: در محاسبهٔ عباراتی مانندِ $a^2+b^2$ یا $a^3+b^3$ از رویِ مجموع و حاصلضرب، باید از اتحادهایِ $(a+b)^2-2ab$ یا $(a+b)^3-3ab(a+b)$ استفاده کرد، نه جمعِ سادهٔ مربعها یا مکعبها.

Q: عبارت $\dfrac{x^2+1}{x-3}$ در کدام مقدار تعریف نشده است؟

$x=3$ — در عبارت گویا فقط باید مخرج صفر نشود. چون $x-3=0$ در «$x=3$»، عبارت در آن نقطه تعریفنشده است. سایرِ گزینهها یکی از دو شرطِ لازم (رادیکال یا مخرج) را ناقص یا نادرست بیان میکنند. تلهٔ تستی: ریشهٔ زوجِ یک عددِ منفی در مجموعهٔ اعدادِ حقیقی هرگز تعریف نمیشود؛ این را با ریشهٔ فردِ عددِ منفی (که کاملاً تعریفشده و منفی است) اشتباه نگیرید.

Q: دامنهٔ عبارت $\dfrac{\sqrt{x-2}}{x^2-9}$ کدام است؟

$x\ge2$ و $x\ne\pm3$ — «$x\ge2$ و $x\ne\pm3$» درست است. گامبهگام: برای تعریف باید همزمان $x-2\ge0$ (شرطِ رادیکالِ زوج) یعنی $x\ge2$، و $x^2-9\ne0$ (شرطِ مخرج) یعنی $x\ne3$ و $x\ne-3$ برقرار باشد. وارسیِ مستقل (بررسیِ مرزها): در $x=2$ داریم $\dfrac{\sqrt0}{4-9}=\dfrac{0}{-5}=0$ که کاملاً تعریفشده است، پس $x=2$ باید در دامنه بماند؛ در $x=3$ مخرج صفر میشود ✓. ردِ گزینهها: «$x\ge2$» بهتنهایی شرطِ مخرج را نادیده میگیرد و $x=3$ را مجاز میشمارد؛ «$x\ge2$ و $x\ne9$» نقطهٔ اشتباهی را حذف میکند (ریشههای مخرج $\pm3$ است نه $9$)؛ «$x>2$ و $x\ne\pm3$» بهاشتباه $x=2$ را هم کنار میگذارد، در حالی که آنجا مخرج برابرِ $-5$ و ناصفر است. تلهٔ تستی: شرطِ رادیکالِ زوج و شرطِ مخرج دو شرطِ مستقلاند که باید جداگانه نوشته و سپس با هم ترکیب شوند؛ مرزِ بازهٔ رادیکال ($x=2$) فقط وقتی حذف میشود که خودش مخرج را صفر کند — اینجا نمیکند.

Q: اگر $a=\sqrt[3]{5}$ و $b=\sqrt[4]{7}$، کدام رابطه درست است؟

$a>b$ — با مخرج مشترک گرفتن توانها: $a=\sqrt[12]{5^4}=\sqrt[12]{625}$ و $b=\sqrt[12]{7^3}=\sqrt[12]{343}$. چون $625>343$، پس «$a>b$». سایرِ گزینهها از جهتِ نادرستِ نامساوی یا محاسبهٔ نادرستِ اندیسِ ریشهٔ مشترک ناشی میشوند. تلهٔ تستی: در مقایسهٔ توانهای گویا، جهتِ نامساوی به بازهٔ پایه بستگی دارد؛ برایِ پایهٔ بزرگتر از $1$ همسو با توان و برایِ پایهٔ بینِ صفر و $1$ برعکسِ توان است — همیشه هر دو عبارت را با یک اندیسِ ریشهٔ مشترک بازنویسی کنید تا مقایسه مستقیم شود.

Q: کدام گزینه بهترین تقریب برای $\sqrt[3]{25}$ است؟

$2.92$ — میدانیم $2.9^3=24.389<25$ و $2.92^3\approx24.897<25$ و به $25$ نزدیک است، پس تقریب مناسب «$2.92$» است. سایرِ گزینهها از نادیدهگرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی میشوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریفنشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، $\sqrt{x^2}=|x|$) را با محاسبات سادهانگارانه اشتباه نگیرید.

Question 1

اگر $2^3<k<3^3$، کدام نتیجه درست است؟

Accepted Answer

$2<\sqrt[3]{k}<3$ — تابع ریشهٔ سوم صعودی است. از $8<k<27$ نتیجه می‌گیریم «$2<\sqrt[3]{k}<3$». سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، $\sqrt{x^2}=|x|$) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

Question 2

اگر $x=\sqrt[3]{25}$، کدام گزاره صحیح است؟

Accepted Answer

$2<x<3$ — «$2<x<3$» درست است. چون $2^3=8<25<27=3^3$، پس $2<\sqrt[3]{25}<3$. این عدد نیز گنگ است. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، $\sqrt{x^2}=|x|$) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

Question 3

اگر $x=\sqrt[3]{2}-1$، مقدار $\dfrac{1}{x}$ کدام است؟

Accepted Answer

$\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$ — «$\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$» درست است. برای گویا کردن مخرج از اتحاد تفاضل مکعب استفاده می‌کنیم: $\dfrac1{\sqrt[3]{2}-1}=\dfrac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{2-1}$. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، $\sqrt{x^2}=|x|$) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

Question 4

اگر $a^3-b^3=56$ و $a-b=2$، مقدار $a^2+ab+b^2$ برابر است با

Accepted Answer

$28$ — از اتحاد $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ داریم $56=2(a^2+ab+b^2)$؛ پس مقدار خواسته‌شده «$28$» است. سایرِ گزینه‌ها از فراموش‌کردنِ یکی از جمله‌هایِ اتحادِ به‌کاررفته ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در محاسبهٔ عباراتی مانندِ $a^2+b^2$ یا $a^3+b^3$ از رویِ مجموع و حاصل‌ضرب، باید از اتحادهایِ $(a+b)^2-2ab$ یا $(a+b)^3-3ab(a+b)$ استفاده کرد، نه جمعِ سادهٔ مربع‌ها یا مکعب‌ها.

Question 5

اگر $a^3+b^3=80$ و $a+b=4$، مقدار $a^2-ab+b^2$ کدام است؟

Accepted Answer

$20$ — از اتحاد مجموع مکعب‌ها: $80=(a+b)(a^2-ab+b^2)=4(a^2-ab+b^2)$، پس مقدار برابر «$20$» است. سایرِ گزینه‌ها از فراموش‌کردنِ یکی از جمله‌هایِ اتحادِ به‌کاررفته ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در محاسبهٔ عباراتی مانندِ $a^2+b^2$ یا $a^3+b^3$ از رویِ مجموع و حاصل‌ضرب، باید از اتحادهایِ $(a+b)^2-2ab$ یا $(a+b)^3-3ab(a+b)$ استفاده کرد، نه جمعِ سادهٔ مربع‌ها یا مکعب‌ها.

Question 6

عبارت $\dfrac{x^2+1}{x-3}$ در کدام مقدار تعریف نشده است؟

Accepted Answer

$x=3$ — در عبارت گویا فقط باید مخرج صفر نشود. چون $x-3=0$ در «$x=3$»، عبارت در آن نقطه تعریف‌نشده است. سایرِ گزینه‌ها یکی از دو شرطِ لازم (رادیکال یا مخرج) را ناقص یا نادرست بیان می‌کنند. تلهٔ تستی: ریشهٔ زوجِ یک عددِ منفی در مجموعهٔ اعدادِ حقیقی هرگز تعریف نمی‌شود؛ این را با ریشهٔ فردِ عددِ منفی (که کاملاً تعریف‌شده و منفی است) اشتباه نگیرید.

Question 7

دامنهٔ عبارت $\dfrac{\sqrt{x-2}}{x^2-9}$ کدام است؟

Accepted Answer

$x\ge2$ و $x
e\pm3$ — «$x\ge2$ و $x
e\pm3$» درست است.
گام‌به‌گام: برای تعریف باید هم‌زمان $x-2\ge0$ (شرطِ رادیکالِ زوج) یعنی $x\ge2$، و $x^2-9
e0$ (شرطِ مخرج) یعنی $x
e3$ و $x
e-3$ برقرار باشد.
وارسیِ مستقل (بررسیِ مرزها): در $x=2$ داریم $\dfrac{\sqrt0}{4-9}=\dfrac{0}{-5}=0$ که کاملاً تعریف‌شده است، پس $x=2$ باید در دامنه بماند؛ در $x=3$ مخرج صفر می‌شود ✓.
ردِ گزینه‌ها: «$x\ge2$» به‌تنهایی شرطِ مخرج را نادیده می‌گیرد و $x=3$ را مجاز می‌شمارد؛ «$x\ge2$ و $x
e9$» نقطهٔ اشتباهی را حذف می‌کند (ریشه‌های مخرج $\pm3$ است نه $9$)؛ «$x>2$ و $x
e\pm3$» به‌اشتباه $x=2$ را هم کنار می‌گذارد، در حالی که آنجا مخرج برابرِ $-5$ و ناصفر است.
تلهٔ تستی: شرطِ رادیکالِ زوج و شرطِ مخرج دو شرطِ مستقل‌اند که باید جداگانه نوشته و سپس با هم ترکیب شوند؛ مرزِ بازهٔ رادیکال ($x=2$) فقط وقتی حذف می‌شود که خودش مخرج را صفر کند — اینجا نمی‌کند.

Question 8

کدام گزینه نادرست است؟

Accepted Answer

$(a+b)^r=a^r+b^r$ — «$(a+b)^r=a^r+b^r$» درست است. سه قانون اول از قوانین توان‌های گویا هستند. اما در حالت کلی $(a+b)^r$ برابر $a^r+b^r$ نیست. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، $\sqrt{x^2}=|x|$) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

Question 9

اگر $a=\sqrt[3]{5}$ و $b=\sqrt[4]{7}$، کدام رابطه درست است؟

Accepted Answer

$a>b$ — با مخرج مشترک گرفتن توان‌ها: $a=\sqrt[12]{5^4}=\sqrt[12]{625}$ و $b=\sqrt[12]{7^3}=\sqrt[12]{343}$. چون $625>343$، پس «$a>b$». سایرِ گزینه‌ها از جهتِ نادرستِ نامساوی یا محاسبهٔ نادرستِ اندیسِ ریشهٔ مشترک ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در مقایسهٔ توان‌های گویا، جهتِ نامساوی به بازهٔ پایه بستگی دارد؛ برایِ پایهٔ بزرگ‌تر از $1$ هم‌سو با توان و برایِ پایهٔ بینِ صفر و $1$ برعکسِ توان است — همیشه هر دو عبارت را با یک اندیسِ ریشهٔ مشترک بازنویسی کنید تا مقایسه مستقیم شود.

Question 10

کدام گزینه بهترین تقریب برای $\sqrt[3]{25}$ است؟

Accepted Answer

$2.92$ — می‌دانیم $2.9^3=24.389<25$ و $2.92^3\approx24.897<25$ و به $25$ نزدیک است، پس تقریب مناسب «$2.92$» است. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، $\sqrt{x^2}=|x|$) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

شرط	تعداد ریشهٔ حقیقی	نمونه
$a>0$ و $n$ زوج	دو تا: $\pm\sqrt[n]{a}$	$\sqrt[4]{16} = \pm 2$
$a>0$ و $n$ فرد	یکی، مثبت	$\sqrt[3]{8} = 2$
$a<0$ و $n$ زوج	هیچ	$\sqrt[4]{-16}$ تعریف نشده
$a<0$ و $n$ فرد	یکی، منفی	$\sqrt[3]{-8} = -2$

توان های گویا و عبارت های جبری (هنر)

خلاصه‌ی درسنامه