قضیهٔ تالس و تشابه مثلث‌ها (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) طبقِ عکسِ قضیهٔ تالس، $DE\parallel BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اگر و فقط اگر $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد. این‌جا $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac34=0.75$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac67\approx0.857$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ چون این دو نسبت با هم برابر نیستند، $DE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی موازیِ $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست؛ دقیقاً «$DE \nparallel BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی». (ب) گزینهٔ «$DE \parallel BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» عکسِ پاسخِ درست است (نقضِ مستقیمِ محاسبه)؛ گزینه‌های «فقط اگر $AD=AE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «فقط اگر $DB=EC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» شرط‌هایی نامرتبط‌اند که هیچ‌کدام معیارِ واقعیِ موازی‌بودن (که همان برابریِ دو نسبت است) را بیان نمی‌کنند. (ج) تلهٔ تستی: نزدیک‌بودنِ عددیِ $0.75$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $0.857$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ممکن است القا کند که «تقریباً برابرند، پس موازی است» — اما در هندسه هیچ تقریبی وجود ندارد؛ دو نسبت باید دقیقاً برابر باشند، نه صرفاً نزدیک.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) بگذارید $k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثلث را به چهار تکه می‌شکنیم و مساحتِ هر تکه را با $S=S_{ABC}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌سنجیم: • $\triangle ADE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: چون $DE\parallel BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، این مثلث با $ABC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متشابه است با نسبتِ $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $S_{ADE}=k^2S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. • $\triangle BDF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: چون $DF\parallel AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، این مثلث با $BAC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متشابه است با نسبتِ $\dfrac{BD}{BA}=1-k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $S_{BDF}=(1-k)^2S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (و از همین تشابه $BF=(1-k)BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی $F$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به نسبتِ $1-k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از سمتِ $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرار می‌گیرد — نه به نسبتِ $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). • $\triangle CEF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: با $\dfrac{CE}{CA}=1-k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\dfrac{CF}{CB}=k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و زاویهٔ مشترکِ $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $S_{CEF}=k(1-k)S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $S_{DEF}=S-k^2S-(1-k)^2S-k(1-k)S=S\left[1-k^2-(1-2k+k^2)-(k-k^2)\right]=S\,(k-k^2)=k(1-k)\,S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. با $k=\dfrac13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $k(1-k)=\dfrac13\times\dfrac23=\frac{2}{9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ دقیقاً «$\frac{2}{9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی». وارسیِ مستقلِ مختصاتی: $A(0,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $B(1,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $C(0,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیرید (که $S=\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). آنگاه $D(k,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $E(0,k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (تقاطعِ خطِ گذرنده از $D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی موازیِ $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و $F(k,1-k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (تقاطعِ خطِ قائمِ گذرنده از $D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، موازیِ $AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، با $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). مساحتِ $DEF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با فرمولِ دترمینان برابرِ $\frac12k(1-k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و تقسیمش بر $S=\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً $k(1-k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهد ✓ (ب) «$\frac19$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» همان $k^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، یعنی مساحتِ $ADE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌تنهایی. «$\frac13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» خودِ $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است (نسبتِ طولی، نه مساحتی) و «$\frac49$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» برابرِ $(1-k)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی مساحتِ $BDF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ هیچ‌کدام مساحتِ $DEF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست. (ج) تلهٔ تستی: مساحتِ $DEF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با مساحتِ $ADE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (که $k^2S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است) اشتباه نگیرید — این دو مثلثِ متفاوت‌اند. ضمناً تابعِ $k(1-k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $k=\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بیشینه می‌شود و در دو سرِ بازه به صفر میل می‌کند، در حالی‌که $k^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رفتارِ کاملاً متفاوتی دارد؛ همین تفاوتِ رفتار، بهترین راهِ تشخیصِ خطاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) خطِ کمکی: از $D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خطی موازیِ $BE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رسم می‌کنیم که $AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را در $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطع کند. گامِ ۱ — در مثلثِ $BEC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وسطِ $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و $DM\parallel BE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس طبقِ قضیهٔ تالس $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وسطِ $EC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود، یعنی $EM=MC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون $AE:EC=1:2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، اگر $AC=3t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیریم: $AE=t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $EC=2t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $EM=MC=t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. نتیجه: $AE=EM=t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی $E$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وسطِ $AM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. گامِ ۲ — در مثلثِ $ADM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $EF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (که همان امتدادِ $BE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است) موازیِ $DM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و $E$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وسطِ $AM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پس طبقِ قضیهٔ تالس $F$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وسطِ $AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. گامِ ۳ — محاسبهٔ مساحت: چون $F$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وسطِ $AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، $\dfrac{S_{ABF}}{S_{ABD}}=\dfrac{AF}{AD}=\dfrac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (دو مثلث ارتفاعِ مشترک از $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارند). و چون $D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وسطِ $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $\dfrac{S_{ABF}}{S_{ABC}}=\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ دقیقاً «$\frac{1}{4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی». وارسیِ مستقلِ مختصاتی: $A(0,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $B(1,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $C(0,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیرید. آنگاه $D\left(\frac12,\frac12\right)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $E\left(0,\frac13\right)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. خطِ $AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و خطِ $BE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌صورتِ $(1-t,\frac t3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پارامتری می‌شود؛ از $\frac t3=1-t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌شود $t=\frac34$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $F\left(\frac14,\frac14\right)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مساحتِ $ABF=\frac12\times1\times\frac14=\frac18$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و مساحتِ $ABC=\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نسبت $=\frac14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓ (و راستی‌آزمایی: $F$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وسطِ $AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، چون $\frac14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نصفِ $\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است ✓). (ب) «$\frac13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نسبتِ مربوط به مرکزِ ثقل است، یعنی حالتی که **هر دو** خط میانه باشند؛ این‌جا $BE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی میانه نیست. «$\frac15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$\frac25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از فرضِ نادرستِ $AF:FD=1:4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $2:3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌آیند، در حالی‌که محاسبه نشان می‌دهد $F$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً وسطِ $AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. (ج) تلهٔ تستی: دیدنِ «$D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وسطِ $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» ذهن را به سمتِ مرکزِ ثقل و نسبتِ آشنایِ $\frac13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌برد؛ اما مرکزِ ثقل وقتی ساخته می‌شود که هر دو پاره‌خط میانه باشند. با $AE:EC=1:2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (به‌جایِ $1:1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) آن نسبت دیگر معتبر نیست و باید از نو محاسبه کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) نوکِ میله دقیقاً بالای ساختمان را می‌پوشاند، یعنی چشمِ ناظر، نوکِ میله و بالایِ ساختمان روی **یک خطِ راست** (خطِ دید) قرارند. اگر از چشم خطِ افقی رسم کنیم، دو مثلثِ قائم‌الزاویه ساخته می‌شود که زاویهٔ رأسِ مشترکشان (در چشم) یکی است و هر دو قائمه دارند، پس به حالتِ ز-ز متشابه‌اند: مثلثِ کوچک: ساقِ افقی $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ساقِ قائم $2.5-1.6=0.9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (بالاآمدگیِ نوکِ میله نسبت به خطِ چشم). مثلثِ بزرگ: ساقِ افقی $20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ساقِ قائم $H-1.6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. از تناسب: $\dfrac{H-1.6}{20}=\dfrac{0.9}{4}=0.225\Rightarrow H-1.6=4.5\Rightarrow H=6.1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ دقیقاً «$6.1\,\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی». وارسیِ مستقل (معادلهٔ خط): چشم را در مبدأ $(0,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگذارید و زمین را در ارتفاعِ $-1.6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. نوکِ میله در $(4,\,0.9)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس شیبِ خطِ دید $\frac{0.9}{4}=0.225$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و معادله‌اش $y=0.225x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در $x=20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $y=4.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ ارتفاع نسبت به زمین $=4.5+1.6=6.1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓ (ب) اگر کسی قدِ چشم را کم نکند و مستقیم $\frac{H}{20}=\frac{2.5}{4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بنویسد به $H=12.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسد که اصلاً در گزینه‌ها نیست. «$5.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از کم‌کردنِ نادرستِ $0.6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌جایِ $1.6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، «$6.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از گردکردنِ $0.225$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $0.245$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و «$7.0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از افزودنِ کلِ $2.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌جایِ $1.6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساخته شده‌اند؛ هیچ‌کدام با تناسبِ درست جور درنمی‌آید. (ج) تلهٔ تستی: مقایسه باید بینِ «اختلافِ ارتفاع نسبت به خطِ چشم» انجام شود، نه ارتفاعِ کامل از زمین. نکتهٔ کلیدی این است که این‌جا موازی‌بودنِ پرتوهای خورشید مطرح نیست (آن مالِ مسائلِ سایه است) — این‌جا یک خطِ دیدِ واحد داریم که از چشم می‌گذرد و تشابه از همان می‌آید.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) مساحتِ $\triangle ABC=\dfrac12\times6\times8=24$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. نسبتِ مساحتِ $BDE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $ABC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\dfrac{6}{24}=\dfrac14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون $DE\parallel AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (با $D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $E$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، مثلثِ $BDE\sim BAC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با نسبتِ تشابهِ $k=\sqrt{\dfrac14}=\dfrac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پس $BD=k\times BA=\dfrac12\times6=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ دقیقاً «$3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی». (ب) گزینه‌های دیگر از فراموشیِ جذرگرفتن از نسبتِ مساحت (و استفادهٔ مستقیمِ $\frac14\times6=1.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-گونه، یا اعدادِ نزدیک) ساخته شده‌اند. (ج) تلهٔ تستی: نسبتِ مساحتِ دو مثلثِ متشابه برابرِ **مجذورِ** نسبتِ تشابه است؛ برایِ رسیدن از نسبتِ مساحت ($\frac14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) به نسبتِ طول ($BD/BA$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، حتماً باید جذر گرفت — فراموشیِ این جذرگیری رایج‌ترین خطا در این سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) طبقِ قضیهٔ نیمسازِ داخلی، $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac35$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ با $BC=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $BD=4.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $DC=7.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون $DE\parallel AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $E$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، طبقِ قضیهٔ تالس در مثلثِ $ABC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (با رأسِ $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی): $\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{DE}{AB}\Rightarrow\dfrac{7.5}{12}=\dfrac{DE}{6}\Rightarrow DE=6\times\dfrac{7.5}{12}=3.75$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ دقیقاً «$3.75$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی». (ب) گزینه‌های دیگر از خطا در محاسبهٔ $BD,DC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از قضیهٔ نیمساز یا از استفادهٔ نادرستِ نسبتِ $BD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌جایِ $DC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در قضیهٔ تالس ساخته شده‌اند. (ج) تلهٔ تستی: این سؤال دو ابزارِ متفاوت را زنجیره‌ای ترکیب می‌کند — اول قضیهٔ نیمساز برایِ یافتنِ $DC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، سپس قضیهٔ تالس برایِ یافتنِ $DE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نسبتِ تالس باید با $DC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (ضلعِ مجاورِ رأسِ $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که $E$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به آن نزدیک‌تر است) نوشته شود، نه با $BD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) برایِ مماسِ مشترکِ خارجیِ دو دایره، طولِ پاره‌خطِ واصلِ دو نقطهٔ تماس از رابطهٔ $\ell=\sqrt{d^2-(r_2-r_1)^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌دست می‌آید (با رسمِ خطی از $O_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی موازیِ $l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $O_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مثلثِ قائم‌الزاویه‌ای با وترِ $d=O_1O_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و یک ساقِ $r_2-r_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساخته می‌شود که ساقِ دیگرش دقیقاً $\ell$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است). با $d=13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $r_2-r_1=9-4=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\ell=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ دقیقاً «$\sqrt{144}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» (که برابرِ $12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است). (ب) گزینه‌های دیگر از استفادهٔ نادرستِ مجموعِ شعاع‌ها ($9+4=13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، به‌جایِ تفاضل) یا از خطای محاسباتی در تفریقِ مربع‌ها ساخته شده‌اند. (ج) تلهٔ تستی: برایِ مماسِ مشترکِ **خارجی** باید از تفاضلِ شعاع‌ها استفاده کرد ($r_2-r_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، نه مجموعشان؛ فرمولِ مجموعِ شعاع‌ها مخصوصِ مماسِ مشترکِ **داخلی** است — خلطِ این دو حالت رایج‌ترین اشتباه است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) با نسبتِ تشابهِ $k=\dfrac{AB}{DE}=\dfrac32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نسبتِ مساحت $\dfrac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=k^2=\dfrac94$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. با $S_{ABC}+S_{DEF}=52$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $S_{ABC}=\dfrac94S_{DEF}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\dfrac94S_{DEF}+S_{DEF}=52\Rightarrow\dfrac{13}{4}S_{DEF}=52\Rightarrow S_{DEF}=16\Rightarrow S_{ABC}=36$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ دقیقاً «$36$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی». (ب) گزینهٔ «$27$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از استفادهٔ نادرستِ $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌جایِ $k^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌آید؛ «$40$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$45$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از تقسیمِ نادرستِ $52$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساخته شده‌اند. (ج) تلهٔ تستی: محیطِ $24$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در این سؤال کاملاً بی‌ربط و برایِ منحرف‌کردن آمده — نسبتِ اضلاع ($\frac32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) که مستقیم داده شده، همراهِ مجموعِ مساحت، برایِ حلِ کاملِ سؤال کافی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) این دایره دایرهٔ محاطیِ مثلث نیست (که هر سه ضلع را لمس می‌کند)، بلکه فقط بر دو ضلعِ زاویهٔ قائمه ($AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) مماس است و مرکزش $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی وترِ $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرار دارد. با تقسیمِ مثلث به دو مثلثِ $AOB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $AOC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (که هر دو ارتفاعشان نسبت به $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ $r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است): $S_{ABC}=\frac12r\cdot AB+\frac12r\cdot AC=\frac12r(AB+AC)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. از طرفی $S_{ABC}=\frac12\times3\times4=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $\frac12r(3+4)=6\Rightarrow r=\dfrac{12}{7}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ دقیقاً «$\frac{12}{7}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی». (ب) گزینه‌های دیگر از خطای محاسباتی در تقسیمِ $12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر عددی غیر از $7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساخته شده‌اند. (ج) تلهٔ تستی: این شعاع را با شعاعِ دایرهٔ محاطیِ مثلث ($r=\frac{AB+AC-BC}{2}=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برایِ این مثلثِ خاص) اشتباه نگیرید — آن دایره هر سه ضلع را لمس می‌کند، این دایره فقط دو ضلعِ زاویهٔ قائمه را.