Q: نسبت $84$ به $126$ را تا سادهترین حالت بنویسید.

$2:3$ — «$2:3$» درست است. بزرگترین مقسومعلیه مشترک $84$ و $126$ برابر $42$ است: $84=42\times2$ و $126=42\times3$، پس نسبت سادهشده $2:3$ میشود. «$3:2$» جای صورت و مخرج نسبت را عوض کرده است. «$14:21$» و «$4:6$» با تقسیم بر عاملی غیر از بزرگترین مقسومعلیهِ مشترک ($6$ و $21$) به دست آمدهاند و هنوز قابلِ سادهشدنِ بیشتر هستند. تلهٔ تستی: سادهسازیِ نسبت باید تا جایی ادامه یابد که صورت و مخرج دیگر مقسومعلیهِ مشترکی (بهجز ۱) نداشته باشند؛ توقفِ زودهنگام رایجترین خطاست.

Q: کدام نسبت با نسبت $18:24$ برابر است؟

$3:4$ — «$3:4$» درست است. با تقسیمِ هر دو طرفِ نسبت بر بزرگترین مقسومعلیهِ مشترکشان یعنی $6$، داریم $18\div6=3$ و $24\div6=4$. «$4:3$» جای صورت و مخرج را عوض کرده. «$9:16$» بجایِ تقسیم بر عددِ مشترک، هرکدام از اعداد را بهطور جداگانه و اشتباه تغییر داده. «$6:9$» سادهسازیِ ناقص با تقسیم بر $3$ بهجای $6$ است که خودش هنوز قابلِ سادهترشدن است. تلهٔ تستی: برایِ اطمینان از برابریِ دو نسبت، سادهترین راه بررسیِ ضربِ متقاطع است: $18\times4=72$ و $24\times3=72$؛ برابریِ این دو حاصلضرب تضمینِ درستیِ پاسخ است.

Q: در یک مجموعه رنگ گواش، رنگ آبی و زرد به نسبت $9:15$ در یک قوطیِ ترکیبی هستند. این نسبت به سادهترین شکل کدام است؟

$3:5$ — «$3:5$» درست است چون بزرگترین مقسومعلیهِ مشترکِ $9$ و $15$ برابر $3$ است و $9\div3=3$، $15\div3=5$. «$5:3$» ترتیبِ آبی و زرد را برعکس کرده است. «$1:2$» از یک تقریبِ نادرست (نه تقسیمِ واقعی بر مقسومعلیهِ مشترک) به دست آمده. «$3:6$» با تغییرِ اشتباهِ عددِ دوم ساخته شده و اصلاً با نسبتِ اصلی همارز نیست. تلهٔ تستی: نسبتِ سادهشده باید با ضربِ متقاطع دقیقاً با نسبتِ اصلی برابر بماند؛ فقط «شبیهبودنِ» اعداد کافی نیست.

Q: در ترکیبِ یک رنگِ سبز، آبی، زرد و سفید به نسبتِ $40:60:100$ با هم مخلوط میشوند. این نسبت در سادهترین حالت کدام است؟

$2:3:5$ — «$2:3:5$» درست است چون بزرگترین مقسومعلیهِ مشترکِ هر سه عددِ $40$، $60$ و $100$ برابر $20$ است: $40\div20=2$، $60\div20=3$، $100\div20=5$. «$4:6:10$» با تقسیم بر $10$ بهجای $20$ به دست آمده و هنوز قابلِ سادهشدن است. «$1:2:3$» و «$2:3:4$» با محاسبهٔ نادرستِ یکی از سه عدد ساخته شدهاند. تلهٔ تستی: در نسبتهایِ سهعضوی، بزرگترین مقسومعلیهِ مشترک باید بینِ **هر سه** عدد بهطورِ همزمان یافت شود، نه فقط بینِ دوتایِ اول.

Question 1

نسبت $84$ به $126$ را تا ساده‌ترین حالت بنویسید.

Accepted Answer

$2:3$ — «$2:3$» درست است. بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک $84$ و $126$ برابر $42$ است: $84=42	imes2$ و $126=42	imes3$، پس نسبت ساده‌شده $2:3$ می‌شود. «$3:2$» جای صورت و مخرج نسبت را عوض کرده است. «$14:21$» و «$4:6$» با تقسیم بر عاملی غیر از بزرگ‌ترین مقسوم‌علیهِ مشترک ($6$ و $21$) به دست آمده‌اند و هنوز قابلِ ساده‌شدنِ بیشتر هستند. تلهٔ تستی: ساده‌سازیِ نسبت باید تا جایی ادامه یابد که صورت و مخرج دیگر مقسوم‌علیهِ مشترکی (به‌جز ۱) نداشته باشند؛ توقفِ زودهنگام رایج‌ترین خطاست.

Question 2

طول و عرض یک بومِ نقاشی به نسبت $5:3$ است. اگر طول آن $65$ سانتی‌متر باشد، عرض آن چند سانتی‌متر است؟

Accepted Answer

$39$ — «$39$» درست است. چون $5$ واحد از نسبت برابر $65$ سانتی‌متر است، هر واحد برابر $65\div5=13$ سانتی‌متر می‌شود؛ پس عرض که $3$ واحد است برابر $3	imes13=39$ سانتی‌متر است. «$42$»، «$36$» و «$45$» از محاسبهٔ نادرستِ واحد (تقسیم یا ضربِ اشتباه) به دست می‌آیند و با نسبتِ داده‌شده سازگار نیستند. تلهٔ تستی: باید ابتدا ارزشِ «یک واحد» از نسبت را از رویِ عددِ داده‌شده پیدا کرد، نه مستقیماً یکی از اعدادِ نسبت را در طول ضرب کرد.

Question 3

در یک کارگاه سفال، خاک رس و آب به نسبت $7:2$ مخلوط می‌شوند. اگر $18$ کیلوگرم خاک رس داشته باشیم، چند کیلوگرم آب لازم است؟

Accepted Answer

$36/7$ کیلوگرم — «$36/7$ کیلوگرم» درست است. از تناسب $\dfrac{7}{2}=\dfrac{18}{x}$ داریم $7x=36$ پس $x=\dfrac{36}{7}$ کیلوگرم. «$63$ کیلوگرم» از ضربِ مستقیمِ $18	imes3.5$ با یک نسبتِ اشتباه به دست آمده است. «$9$ کیلوگرم» نصفِ عددِ خاک رس است بدونِ توجه به نسبتِ واقعی. «$14$ کیلوگرم» با دو برابر کردنِ $7$ (به‌جای تناسب) ساخته شده. تلهٔ تستی: در نسبت‌های غیرمقسوم‌علیه‌دار (مثل $7:2$ روی $18$)، پاسخ همیشه عددی صحیح نیست؛ نباید برایِ «گِرد شدنِ» جواب، عمداً عدد را تغییر داد.

Question 4

کدام نسبت با نسبت $18:24$ برابر است؟

Accepted Answer

$3:4$ — «$3:4$» درست است. با تقسیمِ هر دو طرفِ نسبت بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیهِ مشترکشان یعنی $6$، داریم $18\div6=3$ و $24\div6=4$. «$4:3$» جای صورت و مخرج را عوض کرده. «$9:16$» بجایِ تقسیم بر عددِ مشترک، هرکدام از اعداد را به‌طور جداگانه و اشتباه تغییر داده. «$6:9$» ساده‌سازیِ ناقص با تقسیم بر $3$ به‌جای $6$ است که خودش هنوز قابلِ ساده‌ترشدن است. تلهٔ تستی: برایِ اطمینان از برابریِ دو نسبت، ساده‌ترین راه بررسیِ ضربِ متقاطع است: $18	imes4=72$ و $24	imes3=72$؛ برابریِ این دو حاصل‌ضرب تضمینِ درستیِ پاسخ است.

Question 5

در یک مجموعه رنگ گواش، رنگ آبی و زرد به نسبت $9:15$ در یک قوطیِ ترکیبی هستند. این نسبت به ساده‌ترین شکل کدام است؟

Accepted Answer

$3:5$ — «$3:5$» درست است چون بزرگ‌ترین مقسوم‌علیهِ مشترکِ $9$ و $15$ برابر $3$ است و $9\div3=3$، $15\div3=5$. «$5:3$» ترتیبِ آبی و زرد را برعکس کرده است. «$1:2$» از یک تقریبِ نادرست (نه تقسیمِ واقعی بر مقسوم‌علیهِ مشترک) به دست آمده. «$3:6$» با تغییرِ اشتباهِ عددِ دوم ساخته شده و اصلاً با نسبتِ اصلی هم‌ارز نیست. تلهٔ تستی: نسبتِ ساده‌شده باید با ضربِ متقاطع دقیقاً با نسبتِ اصلی برابر بماند؛ فقط «شبیه‌بودنِ» اعداد کافی نیست.

Question 6

نسبتِ $0.75$ به $2$ را به‌صورت ساده‌ترین نسبتِ اعداد صحیح بنویسید.

Accepted Answer

$3:8$ — «$3:8$» درست است. با ضربِ هر دو طرف در $4$ داریم $0.75	imes4=3$ و $2	imes4=8$، پس نسبت $3:8$ می‌شود که دیگر قابلِ ساده‌شدن نیست. «$3:4$» با ضرب در عددِ اشتباه (مثلاً $4$ فقط رویِ یک طرف) به دست می‌آید. «$3:2$» با نادیده‌گرفتنِ رقمِ اعشاریِ $0.75$ و گرد کردنِ آن به $1$ ساخته شده. «$4:3$» هم ترتیب و هم مقدار را اشتباه گرفته. تلهٔ تستی: برایِ حذفِ اعشار در نسبت، باید هر دو طرف را در همان ضریبی ضرب کرد که مخرجِ اعشار را از بین می‌برد (اینجا $	imes4$)، نه فقط یک طرف را.

Question 7

اگر نسبتِ سنِ دو خواهر $4:7$ باشد و مجموعِ سنشان $44$ سال باشد، سنِ خواهرِ کوچک‌تر چند سال است؟

Accepted Answer

$16$ — «$16$» درست است. مجموعِ اجزایِ نسبت $4+7=11$ است، پس هر واحد برابر $44\div11=4$ سال است و سنِ خواهرِ کوچک‌تر (که $4$ واحد است) برابر $4	imes4=16$ سال می‌شود. «$28$» سنِ خواهرِ بزرگ‌تر است، نه کوچک‌تر. «$14$» با تقسیمِ نادرستِ $44$ بر عددی غیر از $11$ به دست آمده. «$18$» از یک محاسبهٔ نامتناسب و اشتباه ساخته شده. تلهٔ تستی: باید دقت کرد کدام عدد از نسبت به کدام فرد تعلق دارد؛ اشتباه‌گرفتنِ سهمِ کوچک‌تر با بزرگ‌تر رایج‌ترین خطایِ این نوع مسائل است.

Question 8

در یک دستهٔ ۴۵ نفرهٔ کارگاهِ خوشنویسی، نسبتِ هنرجویانِ نستعلیق به شکسته $4:5$ است. تعدادِ هنرجویانِ نستعلیق چند نفر است؟

Accepted Answer

$20$ — «$20$» درست است. مجموعِ اجزایِ نسبت $4+5=9$ است و هر واحد برابر $45\div9=5$ نفر می‌شود؛ پس هنرجویانِ نستعلیق ($4$ واحد) برابر $4	imes5=20$ نفرند. «$25$» تعدادِ هنرجویانِ شکسته است، نه نستعلیق. «$18$» و «$22$» از تقسیمِ نادرستِ $45$ بر عددی غیر از $9$ حاصل شده‌اند. تلهٔ تستی: در تقسیم به نسبت، ابتدا باید مجموعِ اجزایِ نسبت محاسبه شود و کلِ مقدار بر همان مجموع تقسیم گردد، نه بر یکی از اجزایِ نسبت.

Question 9

در ترکیبِ یک رنگِ سبز، آبی، زرد و سفید به نسبتِ $40:60:100$ با هم مخلوط می‌شوند. این نسبت در ساده‌ترین حالت کدام است؟

Accepted Answer

$2:3:5$ — «$2:3:5$» درست است چون بزرگ‌ترین مقسوم‌علیهِ مشترکِ هر سه عددِ $40$، $60$ و $100$ برابر $20$ است: $40\div20=2$، $60\div20=3$، $100\div20=5$. «$4:6:10$» با تقسیم بر $10$ به‌جای $20$ به دست آمده و هنوز قابلِ ساده‌شدن است. «$1:2:3$» و «$2:3:4$» با محاسبهٔ نادرستِ یکی از سه عدد ساخته شده‌اند. تلهٔ تستی: در نسبت‌هایِ سه‌عضوی، بزرگ‌ترین مقسوم‌علیهِ مشترک باید بینِ **هر سه** عدد به‌طورِ هم‌زمان یافت شود، نه فقط بینِ دوتایِ اول.

Question 10

اگر $a:b=3:4$ و $b:c=5:7$ باشد، نسبتِ $a:b:c$ کدام است؟

Accepted Answer

$15:20:28$ — «$15:20:28$» درست است. برایِ ترکیبِ دو نسبت، باید مقدارِ مشترک ($b$) در هر دو یکسان شود: $ب.م.م(4,5)=20$، پس $a:b=3:4=15:20$ و $b:c=5:7=20:28$؛ نتیجه $a:b:c=15:20:28$. «$3:4:7$» بدونِ هم‌مقیاس‌کردنِ $b$، دو نسبت را مستقیماً کنارِ هم گذاشته که غلط است. «$15:20:35$» مقدارِ $c$ را با ضریبِ نادرست محاسبه کرده. «$3:5:7$» عددِ وسط ($b$) را کاملاً نادیده گرفته. تلهٔ تستی: پیش از ترکیبِ دو نسبتِ دوتایی، باید عضوِ مشترک را با ک.م.م به یک عددِ یکسان در هر دو نسبت رساند؛ در غیرِ این صورت نسبتِ نهایی نادرست خواهد بود.

نسبت و تناسب (هنر)

خلاصه‌ی درسنامه

نسبت و تناسب (هنر)

نسبت و ساده‌کردن آن

خواص کلیدی نسبت

تناسب

تناسب مستقیم و معکوس

تقسیم به نسبت داده‌شده

نسبت طلایی

مقیاس و پرسپکتیو

تله‌های رایج

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین