پرش به محتوای اصلی

نسبت، تناسب و نسبت طلایی (هنر)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

نسبت و تناسب (هنر)

نسبت و ساده‌کردن آن

نسبت دو عدد aaادامهٔ فرمول را افقی ببین و bbادامهٔ فرمول را افقی ببین (با b≠0b \neq 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین) مقایسهٔ آن دو است و به‌صورت ab\frac{a}{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا a:ba : bادامهٔ فرمول را افقی ببین نوشته می‌شود؛ aaادامهٔ فرمول را افقی ببین را مقدم و bbادامهٔ فرمول را افقی ببین را تالی می‌نامند. نسبت بر خلاف تفاضل بدون واحد است، پس دو کمیت باید هم‌جنس و هم‌واحد باشند. وقتی می‌گوییم نسبت طول به عرض یک تابلو 3:23:2ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، یعنی به ازای هر 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین واحد طول، 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین واحد عرض داریم — فارغ از اینکه بوم کوچک باشد یا دیواری.

برای ساده‌کردن، هر دو طرف را بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک تقسیم می‌کنیم:

a:b=agcd⁡(a,b):bgcd⁡(a,b)a : b = \frac{a}{\gcd(a,b)} : \frac{b}{\gcd(a,b)}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اگر اعداد اعشاری یا کسری بودند، اول صحیحشان می‌کنیم: 1.2:0.8=12:8=3:21.2 : 0.8 = 12 : 8 = 3 : 2ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نسبت چندعضوی: برای ترکیب رنگ یا مصالح، نسبت را به شکل a:b:ca:b:cادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌نویسیم و بر ب.م.م هر سه تقسیم می‌کنیم. برای چسباندن a:ba:bادامهٔ فرمول را افقی ببین و b:cb:cادامهٔ فرمول را افقی ببین به یک نسبت سه‌تایی، عضو مشترک (bbادامهٔ فرمول را افقی ببین) باید در هر دو نسبت به یک عدد (ک.م.م) برسد.

خواص کلیدی نسبت

a:b=ka:kb(k≠0)a:b = ka:kb \qquad (k \neq 0)ادامهٔ فرمول را افقی ببیناگرab=cd=ef=kآنگاهa+c+eb+d+f=k\text{اگر} \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \quad \text{آنگاه} \quad \frac{a+c+e}{b+d+f} = kادامهٔ فرمول را افقی ببین

خاصیت دوم («جمع‌پذیری نسبت‌های مساوی») مستقیم‌ترین ابزار برای مسائلی است که چند نسبت مساوی و مجموعشان داده شده است.

تناسب

تناسب برابری دو نسبت است:

ab=cdیاa:b=c:d\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad \text{یا} \qquad a:b = c:dادامهٔ فرمول را افقی ببین

aaادامهٔ فرمول را افقی ببین و ddادامهٔ فرمول را افقی ببین را کناری‌ها (حدین) و bbادامهٔ فرمول را افقی ببین و ccادامهٔ فرمول را افقی ببین را وسطی‌ها (وسطین) می‌نامند. خاصیت اصلی:

ab=cd  ⟺  a×d=b×c\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \times d = b \times cادامهٔ فرمول را افقی ببین

«ضرب کناری‌ها = ضرب وسطی‌ها» سریع‌ترین ابزار حل تناسب تک‌مجهولی است و در مسائل درصد، مقیاس و سرعت تکرار می‌شود.

تناسب پیوسته: اگر a:b=b:ca:b = b:cادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، bbادامهٔ فرمول را افقی ببین را میانگین هندسی aaادامهٔ فرمول را افقی ببین و ccادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌گویند:

ab=bc⇒b2=ac⇒b=ac(a,c>0)\frac{a}{b} = \frac{b}{c} \Rightarrow b^2 = ac \Rightarrow b = \sqrt{ac} \quad (a,c > 0)ادامهٔ فرمول را افقی ببین

خواص تبدیل: اگر ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آنگاه

ba=dcac=bda+bb=c+dda−bb=c−dd\frac{b}{a} = \frac{d}{c} \qquad \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \qquad \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \qquad \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

دو مورد آخر (ترکیب و تفکیک) اجازه می‌دهند بدون یافتن خود مجهول‌ها جواب بدهید؛ مثلاً اگر xy=35\frac{x}{y} = \frac{3}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، مقدار x+yy\frac{x+y}{y}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر است با 3+55=85\frac{3+5}{5} = \frac{8}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

تناسب مستقیم و معکوس

دو کمیت متناسب مستقیماند هرگاه نسبتشان ثابت بماند:

yx=k⇔y=kx\frac{y}{x} = k \quad \Leftrightarrow \quad y = kxادامهٔ فرمول را افقی ببین

نمودار آن خط راستی گذرنده از مبدأ با شیب kkادامهٔ فرمول را افقی ببین است و رابطهٔ حل مسئله y1x1=y2x2\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. در تناسب مستقیم اگر یک کمیت nnادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر شود، دیگری هم دقیقاً nnادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر می‌شود.

دو کمیت متناسب معکوساند هرگاه حاصل‌ضربشان ثابت بماند:

x⋅y=k⇔y=kxx \cdot y = k \quad \Leftrightarrow \quad y = \frac{k}{x}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نمودار آن هذلولی است، نه خط راست، و رابطهٔ حل مسئله x1y1=x2y2x_1 y_1 = x_2 y_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

قاعدهٔ تشخیص: بپرسید «اگر یک کمیت بیشتر شود، دیگری بیشتر می‌شود یا کمتر؟» هم‌جهت → مستقیم، خلاف‌جهت → معکوس. مقدار رنگ ↔ تعداد بوم‌های رنگ‌شده و مقیاس نقشه ↔ فاصلهٔ روی کاغذ مستقیم‌اند؛ تعداد نقاش ↔ زمان تکمیل یک تابلو و سرعت ↔ زمان (با مسافت ثابت) معکوس‌اند. در جدول هم: تقسیم ستون‌ها ثابت باشد مستقیم است، حاصل‌ضرب ستون‌ها ثابت باشد معکوس.

تقسیم به نسبت داده‌شده

سهم هر جزء=عدد آن جزء در نسبتa+b+c×S\text{سهم هر جزء} = \frac{\text{عدد آن جزء در نسبت}}{a+b+c}\times Sادامهٔ فرمول را افقی ببین

در مسیر معکوس (یک سهم معلوم است و کل خواسته شده) اول ارزش «یک واحد سهم» را بیابید و سپس در مجموع اجزای نسبت ضرب کنید.

نسبت طلایی

پاره‌خط ABABادامهٔ فرمول را افقی ببین را در نقطهٔ CCادامهٔ فرمول را افقی ببین چنان تقسیم می‌کنیم که نسبت کل به قطعهٔ بزرگ‌تر برابر نسبت قطعهٔ بزرگ‌تر به کوچک‌تر شود:

ABAC=ACCB=φ\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{CB} = \varphiادامهٔ فرمول را افقی ببین

این همان تناسب پیوسته است و به معادلهٔ x2−x−1=0x^2 - x - 1 = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد:

φ=1+52≈1.618\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مستطیل طلایی مستطیلی است با LW=φ\frac{L}{W} = \varphiادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ اگر مربعی به ضلع برابر عرض از آن جدا کنید، مستطیل باقی‌مانده هم طلایی است — همان خاصیتی که زیربنای مارپیچ طلایی است. نسبت دو جملهٔ متوالی دنبالهٔ فیبوناچی (1,1,2,3,5,8,13,21,…1,1,2,3,5,8,13,21,\ldotsادامهٔ فرمول را افقی ببین) نیز به φ\varphiادامهٔ فرمول را افقی ببین میل می‌کند. در ترکیب‌بندی، تقسیم فضا به نسبت تقریبی 62:3862:38ادامهٔ فرمول را افقی ببین اغلب چشم‌نوازتر از تقسیم دقیقاً وسط (50:5050:50ادامهٔ فرمول را افقی ببین) دیده می‌شود.

مقیاس و پرسپکتیو

مقیاس=طول روی طرحطول واقعی\text{مقیاس} = \frac{\text{طول روی طرح}}{\text{طول واقعی}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مقیاس 1:n1:nادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی هر واحد روی نقشه یا ماکت معادل nnادامهٔ فرمول را افقی ببین واحد در واقعیت، و مقیاسی مثل 8:18:1ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی بزرگ‌نمایی. در پرسپکتیو، اندازهٔ ظاهری جسم با فاصله‌اش از بیننده نسبت معکوس دارد: فاصله دو برابر شود، اندازهٔ ظاهری روی صفحهٔ تصویر تقریباً نصف می‌شود.

تله‌های رایج

  • «AAادامهٔ فرمول را افقی ببین به نسبت 2:32:3ادامهٔ فرمول را افقی ببین با BBادامهٔ فرمول را افقی ببین است» یعنی AB=23\frac{A}{B} = \frac{2}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نه برعکس؛ ترتیب اعداد باید دقیقاً ترتیب نام‌بردن کمیت‌ها باشد.
  • پیش از نوشتن نسبت، هر دو کمیت را به یک واحد تبدیل کنید.
  • نسبت با تفاضل فرق دارد: سن 1010ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 1515ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت 2:32:3ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد، اما پس از 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین سال 15:20=3:415:20 = 3:4ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود؛ تفاضل ثابت می‌ماند، نسبت نه.

سؤال تستی

۱۰ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. نسبت 8484ادامهٔ فرمول را افقی ببین به 126126ادامهٔ فرمول را افقی ببین را تا ساده‌ترین حالت بنویسید.

  • 2:32:3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 3:23:2ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 14:2114:21ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 4:64:6ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«2:32:3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک 8484ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 126126ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 4242ادامهٔ فرمول را افقی ببین است: 84=42×284=42\times2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 126=42×3126=42\times3ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس نسبت ساده‌شده 2:32:3ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. «3:23:2ادامهٔ فرمول را افقی ببین» جای صورت و مخرج نسبت را عوض کرده است. «14:2114:21ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «4:64:6ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با تقسیم بر عاملی غیر از بزرگ‌ترین مقسوم‌علیهِ مشترک (66ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 2121ادامهٔ فرمول را افقی ببین) به دست آمده‌اند و هنوز قابلِ ساده‌شدنِ بیشتر هستند. تلهٔ تستی: ساده‌سازیِ نسبت باید تا جایی ادامه یابد که صورت و مخرج دیگر مقسوم‌علیهِ مشترکی (به‌جز ۱) نداشته باشند؛ توقفِ زودهنگام رایج‌ترین خطاست.

2. طول و عرض یک بومِ نقاشی به نسبت 5:35:3ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. اگر طول آن 6565ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر باشد، عرض آن چند سانتی‌متر است؟

  • 3939ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 4242ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 3636ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 4545ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«3939ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. چون 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین واحد از نسبت برابر 6565ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر است، هر واحد برابر 65÷5=1365\div5=13ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر می‌شود؛ پس عرض که 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین واحد است برابر 3×13=393\times13=39ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر است. «4242ادامهٔ فرمول را افقی ببین»، «3636ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «4545ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از محاسبهٔ نادرستِ واحد (تقسیم یا ضربِ اشتباه) به دست می‌آیند و با نسبتِ داده‌شده سازگار نیستند. تلهٔ تستی: باید ابتدا ارزشِ «یک واحد» از نسبت را از رویِ عددِ داده‌شده پیدا کرد، نه مستقیماً یکی از اعدادِ نسبت را در طول ضرب کرد.

3. در یک کارگاه سفال، خاک رس و آب به نسبت 7:27:2ادامهٔ فرمول را افقی ببین مخلوط می‌شوند. اگر 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلوگرم خاک رس داشته باشیم، چند کیلوگرم آب لازم است؟

  • 36/736/7ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلوگرم
  • 6363ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلوگرم
  • 99ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلوگرم
  • 1414ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلوگرم

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«36/736/7ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلوگرم» درست است. از تناسب 72=18x\dfrac{7}{2}=\dfrac{18}{x}ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم 7x=367x=36ادامهٔ فرمول را افقی ببین پس x=367x=\dfrac{36}{7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلوگرم. «6363ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلوگرم» از ضربِ مستقیمِ 18×3.518\times3.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین با یک نسبتِ اشتباه به دست آمده است. «99ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلوگرم» نصفِ عددِ خاک رس است بدونِ توجه به نسبتِ واقعی. «1414ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلوگرم» با دو برابر کردنِ 77ادامهٔ فرمول را افقی ببین (به‌جای تناسب) ساخته شده. تلهٔ تستی: در نسبت‌های غیرمقسوم‌علیه‌دار (مثل 7:27:2ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، پاسخ همیشه عددی صحیح نیست؛ نباید برایِ «گِرد شدنِ» جواب، عمداً عدد را تغییر داد.

4. کدام نسبت با نسبت 18:2418:24ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر است؟

  • 3:43:4ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 4:34:3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 9:169:16ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 6:96:9ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«3:43:4ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. با تقسیمِ هر دو طرفِ نسبت بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیهِ مشترکشان یعنی 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین، داریم 18÷6=318\div6=3ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 24÷6=424\div6=4ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «4:34:3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» جای صورت و مخرج را عوض کرده. «9:169:16ادامهٔ فرمول را افقی ببین» بجایِ تقسیم بر عددِ مشترک، هرکدام از اعداد را به‌طور جداگانه و اشتباه تغییر داده. «6:96:9ادامهٔ فرمول را افقی ببین» ساده‌سازیِ ناقص با تقسیم بر 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌جای 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که خودش هنوز قابلِ ساده‌ترشدن است. تلهٔ تستی: برایِ اطمینان از برابریِ دو نسبت، ساده‌ترین راه بررسیِ ضربِ متقاطع است: 18×4=7218\times4=72ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 24×3=7224\times3=72ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ برابریِ این دو حاصل‌ضرب تضمینِ درستیِ پاسخ است.

5. در یک مجموعه رنگ گواش، رنگ آبی و زرد به نسبت 9:159:15ادامهٔ فرمول را افقی ببین در یک قوطیِ ترکیبی هستند. این نسبت به ساده‌ترین شکل کدام است؟

  • 3:53:5ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 5:35:3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1:21:2ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 3:63:6ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«3:53:5ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است چون بزرگ‌ترین مقسوم‌علیهِ مشترکِ 99ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 1515ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و 9÷3=39\div3=3ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 15÷3=515\div3=5ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «5:35:3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» ترتیبِ آبی و زرد را برعکس کرده است. «1:21:2ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از یک تقریبِ نادرست (نه تقسیمِ واقعی بر مقسوم‌علیهِ مشترک) به دست آمده. «3:63:6ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با تغییرِ اشتباهِ عددِ دوم ساخته شده و اصلاً با نسبتِ اصلی هم‌ارز نیست. تلهٔ تستی: نسبتِ ساده‌شده باید با ضربِ متقاطع دقیقاً با نسبتِ اصلی برابر بماند؛ فقط «شبیه‌بودنِ» اعداد کافی نیست.

6. نسبتِ 0.750.75ادامهٔ فرمول را افقی ببین به 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین را به‌صورت ساده‌ترین نسبتِ اعداد صحیح بنویسید.

  • 3:83:8ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 3:43:4ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 3:23:2ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 4:34:3ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«3:83:8ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. با ضربِ هر دو طرف در 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم 0.75×4=30.75\times4=3ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 2×4=82\times4=8ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس نسبت 3:83:8ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود که دیگر قابلِ ساده‌شدن نیست. «3:43:4ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با ضرب در عددِ اشتباه (مثلاً 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط رویِ یک طرف) به دست می‌آید. «3:23:2ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با نادیده‌گرفتنِ رقمِ اعشاریِ 0.750.75ادامهٔ فرمول را افقی ببین و گرد کردنِ آن به 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین ساخته شده. «4:34:3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» هم ترتیب و هم مقدار را اشتباه گرفته. تلهٔ تستی: برایِ حذفِ اعشار در نسبت، باید هر دو طرف را در همان ضریبی ضرب کرد که مخرجِ اعشار را از بین می‌برد (اینجا ×4\times4ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، نه فقط یک طرف را.

7. اگر نسبتِ سنِ دو خواهر 4:74:7ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد و مجموعِ سنشان 4444ادامهٔ فرمول را افقی ببین سال باشد، سنِ خواهرِ کوچک‌تر چند سال است؟

  • 1616ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2828ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1414ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«1616ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. مجموعِ اجزایِ نسبت 4+7=114+7=11ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس هر واحد برابر 44÷11=444\div11=4ادامهٔ فرمول را افقی ببین سال است و سنِ خواهرِ کوچک‌تر (که 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین واحد است) برابر 4×4=164\times4=16ادامهٔ فرمول را افقی ببین سال می‌شود. «2828ادامهٔ فرمول را افقی ببین» سنِ خواهرِ بزرگ‌تر است، نه کوچک‌تر. «1414ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با تقسیمِ نادرستِ 4444ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر عددی غیر از 1111ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست آمده. «1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از یک محاسبهٔ نامتناسب و اشتباه ساخته شده. تلهٔ تستی: باید دقت کرد کدام عدد از نسبت به کدام فرد تعلق دارد؛ اشتباه‌گرفتنِ سهمِ کوچک‌تر با بزرگ‌تر رایج‌ترین خطایِ این نوع مسائل است.

8. در یک دستهٔ ۴۵ نفرهٔ کارگاهِ خوشنویسی، نسبتِ هنرجویانِ نستعلیق به شکسته 4:54:5ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. تعدادِ هنرجویانِ نستعلیق چند نفر است؟

  • 2020ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2525ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2222ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«2020ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. مجموعِ اجزایِ نسبت 4+5=94+5=9ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و هر واحد برابر 45÷9=545\div9=5ادامهٔ فرمول را افقی ببین نفر می‌شود؛ پس هنرجویانِ نستعلیق (44ادامهٔ فرمول را افقی ببین واحد) برابر 4×5=204\times5=20ادامهٔ فرمول را افقی ببین نفرند. «2525ادامهٔ فرمول را افقی ببین» تعدادِ هنرجویانِ شکسته است، نه نستعلیق. «1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «2222ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از تقسیمِ نادرستِ 4545ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر عددی غیر از 99ادامهٔ فرمول را افقی ببین حاصل شده‌اند. تلهٔ تستی: در تقسیم به نسبت، ابتدا باید مجموعِ اجزایِ نسبت محاسبه شود و کلِ مقدار بر همان مجموع تقسیم گردد، نه بر یکی از اجزایِ نسبت.

9. در ترکیبِ یک رنگِ سبز، آبی، زرد و سفید به نسبتِ 40:60:10040:60:100ادامهٔ فرمول را افقی ببین با هم مخلوط می‌شوند. این نسبت در ساده‌ترین حالت کدام است؟

  • 2:3:52:3:5ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 4:6:104:6:10ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1:2:31:2:3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2:3:42:3:4ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«2:3:52:3:5ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است چون بزرگ‌ترین مقسوم‌علیهِ مشترکِ هر سه عددِ 4040ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 6060ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 100100ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 2020ادامهٔ فرمول را افقی ببین است: 40÷20=240\div20=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 60÷20=360\div20=3ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 100÷20=5100\div20=5ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «4:6:104:6:10ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با تقسیم بر 1010ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌جای 2020ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست آمده و هنوز قابلِ ساده‌شدن است. «1:2:31:2:3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «2:3:42:3:4ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با محاسبهٔ نادرستِ یکی از سه عدد ساخته شده‌اند. تلهٔ تستی: در نسبت‌هایِ سه‌عضوی، بزرگ‌ترین مقسوم‌علیهِ مشترک باید بینِ **هر سه** عدد به‌طورِ هم‌زمان یافت شود، نه فقط بینِ دوتایِ اول.

10. اگر a:b=3:4a:b=3:4ادامهٔ فرمول را افقی ببین و b:c=5:7b:c=5:7ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، نسبتِ a:b:ca:b:cادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 15:20:2815:20:28ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 3:4:73:4:7ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 15:20:3515:20:35ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 3:5:73:5:7ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«15:20:2815:20:28ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. برایِ ترکیبِ دو نسبت، باید مقدارِ مشترک (bbادامهٔ فرمول را افقی ببین) در هر دو یکسان شود: ب.م.م(4,5)=20ب.م.م(4,5)=20ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس a:b=3:4=15:20a:b=3:4=15:20ادامهٔ فرمول را افقی ببین و b:c=5:7=20:28b:c=5:7=20:28ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ نتیجه a:b:c=15:20:28a:b:c=15:20:28ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «3:4:73:4:7ادامهٔ فرمول را افقی ببین» بدونِ هم‌مقیاس‌کردنِ bbادامهٔ فرمول را افقی ببین، دو نسبت را مستقیماً کنارِ هم گذاشته که غلط است. «15:20:3515:20:35ادامهٔ فرمول را افقی ببین» مقدارِ ccادامهٔ فرمول را افقی ببین را با ضریبِ نادرست محاسبه کرده. «3:5:73:5:7ادامهٔ فرمول را افقی ببین» عددِ وسط (bbادامهٔ فرمول را افقی ببین) را کاملاً نادیده گرفته. تلهٔ تستی: پیش از ترکیبِ دو نسبتِ دوتایی، باید عضوِ مشترک را با ک.م.م به یک عددِ یکسان در هر دو نسبت رساند؛ در غیرِ این صورت نسبتِ نهایی نادرست خواهد بود.

مباحث مرتبط

الگو، دنباله و مجموعه‌ها (هنر)توان گویا و عبارت‌های جبری (هنر)معادلهٔ درجهٔ دوم و نامعادله‌ها (هنر)اصل شمارش، جایگشت و ترکیب (هنر)میانگین، پراکندگی و احتمال (هنر)درصد، سود، زیان و تخفیف (هنر)نسبت‌های مثلثاتی و اتحادها (هنر)مکان هندسی، ترسیم و استدلال (هنر)قضیهٔ تالس و تشابه مثلث‌ها (هنر)چندضلعی‌ها، زاویه‌ها و مساحت (هنر)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان