معادلهٔ درجهٔ دوم و نامعادله‌ها (هنر)

معادله ها و نامعادله ها (هنر)

اول شکل را ببینیم: سهمی

قوسِ آبِ فواره، خطِ نرمِ یک طاق، مسیرِ توپی که در هوا می‌رود — همهٔ این‌ها یک منحنیِ واحدند: سهمی. نمودارِ هر رابطه به شکلِ

یک سهمی است. علامتِ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جهتِ دهانه را می‌گوید ($a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رو به بالا، $a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رو به پایین) و اندازهٔ $|a|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باریکی‌اش را: هرچه $|a|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌تر، سهمی تندتر و باریک‌تر.

هر سهمی یک نقطهٔ برگشت دارد، رأس:

خطِ عمودیِ $x = -\frac{b}{2a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محورِ تقارن است؛ هر دو نقطه‌ای که از این محور فاصلهٔ برابر داشته باشند، ارتفاعِ ($y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) یکسان دارند. با تکمیلِ مربع می‌توان هر سهمی را به فرمِ رأسی نوشت که در آن $(h,k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان رأس است:

نمونه: رأسِ $y = -2x^2+4x-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کجاست؟
$h = -\frac{4}{2(-2)} = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و با جایگذاری $k = -2+4-3 = -1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پس $y = -2(x-1)^2 - 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و رأس $(1,-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. چون $a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، این رأس بیشینهٔ تابع است.

برای رسم: رأس را بگیرید، محورِ تقارن را بکشید، عرض از مبدأ ($x=0 \Rightarrow y=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و محلِ برخورد با محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (ریشه‌ها) را پیدا کنید، و چند نقطهٔ قرینه اضافه کنید.

ساختنِ معادلهٔ سهمی از روی داده‌ها: اگر رأس و یک نقطه را داشته باشید در فرمِ رأسی جای بگذارید؛ اگر دو صفرِ $x_1, x_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و یک نقطه را داشته باشید از $y = a(x-x_1)(x-x_2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شروع کنید.

دلتا: پلِ بینِ شکل و جواب

جایی که سهمی محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را قطع می‌کند، همان ریشه‌های معادلهٔ $ax^2+bx+c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. پس $\Delta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم‌زمان دو چیز را می‌گوید:

چهار راهِ حلِ معادلهٔ درجهٔ دوم

۱. تجزیه. بر پایهٔ این که $AB = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $A=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $B=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای $x^2+px+q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو عدد بیابید که مجموعشان $p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و حاصل‌ضربشان $q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد.

نمونه: $x^2-2x-3 = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حل کنید.
دو عددی که مجموعشان $-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و حاصل‌ضربشان $-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد: $-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $(x-3)(x+1)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $x=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. آزمایش: $9-6-3=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $1+2-3=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. ✓

وقتی ضریبِ $x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ یک نیست، از گروه‌بندی استفاده کنید: در $2x^2+5x+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، حاصل‌ضربِ $a\cdot c = 6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دو عددِ $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مجموعشان $5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس $2x^2+2x+3x+3 = (2x+3)(x+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۲. ریشه‌گیری برای فرمِ $(x-h)^2 = k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

اگر $k<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد جوابِ حقیقی وجود ندارد.

۳. تکمیلِ مربع. هستهٔ کار این است که به $x^2+px$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مقدارِ $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه کنیم تا مربعِ کامل شود. مثلاً $x^2-6x+4=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود $x^2-6x+9 = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $(x-3)^2 = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x = 3 \pm \sqrt5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۴. فرمولِ کلی که خودش از تکمیلِ مربع روی حالتِ عمومی به دست می‌آید.

روابطِ ویتا — میان‌بُرِ کنکوری

اگر $x_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ریشه‌های $ax^2+bx+c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشند:

و برعکس، برای ساختنِ معادله از روی ریشه‌ها: $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثلاً معادله‌ای با ریشه‌های $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود $x^2+2x-15=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

چند نتیجهٔ پرکاربرد:

تشخیصِ علامتِ ریشه‌ها بدونِ حل: با فرضِ $\Delta>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، اگر $x_1x_2 < 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ریشه‌ها مخالف‌العلامت‌اند؛ اگر $x_1x_2>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم‌علامت‌اند و آنگاه علامتِ مجموع تعیین می‌کند هر دو مثبت‌اند یا هر دو منفی.

چهار نکتهٔ سریع: اگر $c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یکی از ریشه‌ها حتماً صفر است. اگر $b=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با ریشه‌گیری حل کنید. اگر $a+b+c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آنگاه $x=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ریشه است، و اگر $a-b+c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آنگاه $x=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ریشه است. مثلاً در $3x^2-5x+2=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چون $3-5+2=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس $x=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ریشه است و ریشهٔ دیگر از $x_1x_2=\frac23$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ $\frac23$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود.

تعیینِ علامت: کجا مثبت، کجا منفی

درجهٔ اول $ax+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: در سمتِ راستِ ریشهٔ $x_0 = -\frac{b}{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم‌علامتِ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و در سمتِ چپ مخالفِ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

درجهٔ دوم: قاعدهٔ انگشتی این است که بینِ دو ریشه، علامت مخالفِ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و بیرونِ آن‌ها موافقِ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر $\Delta = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، عبارت جز در خودِ ریشه همه‌جا موافقِ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، و اگر $\Delta<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد در تمامِ $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی موافقِ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و هرگز صفر نمی‌شود.

نمونه: علامتِ $2x^2-x-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را تعیین کنید.
$\Delta = 1+24 = 25 > 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ریشه‌ها $x_1 = -1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $x_2 = \frac32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون $a=2>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، عبارت برای $x<-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x>\frac32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت، بینِ $-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی، و در خودِ ریشه‌ها صفر است.

حاصل‌ضرب و کسر: ریشهٔ هر عامل را جدا بیابید، همه را روی محور مرتب کنید و در هر ناحیه علامت‌ها را در هم ضرب کنید. تنها تفاوتِ کسر این است که ریشهٔ مخرج، نقطهٔ تعریف‌نشده است نه صفر.

در ریشه‌ای که با تکرارِ فرد ظاهر شده، علامت تغییر می‌کند؛ در تکرارِ زوج، علامت تغییر نمی‌کند.

نامعادله‌ها

قاعدهٔ اصلی یکی است: جمعِ عدد به دو طرف بی‌خطر است، ضربِ عددِ مثبت هم؛ اما ضرب یا تقسیم بر عددِ منفی جهتِ نامساوی را برعکس می‌کند.

• خطی: $5x-1 \geq 3x-7 \Rightarrow 2x \geq -6 \Rightarrow x \geq -3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی $[-3, +\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• دوگانه: هر سه طرف را با هم تغییر دهید. از $-2 < 3x-1 \leq 8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم به $-\frac13 < x \leq 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• درجهٔ دوم: جدولِ تعیینِ علامت را بخوانید. مثلاً جوابِ $2x^2-x-3 \geq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر است با $(-\infty,-1] \cup [\frac32, +\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• کسری: هرگز دو طرف را در مخرج ضرب نکنید (چون علامتش نامعلوم است). اول همه‌چیز را به فرمِ $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ببرید و بعد جدول بکشید. ریشهٔ صورت (در حالتِ $\geq$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) داخلِ جواب می‌آید ولی ریشهٔ مخرج هرگز.

شرطِ همواره مثبت بودن — پرسشی که خیلی تکرار می‌شود:

نمونه: به ازای چه مقادیرِ $m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عبارتِ $x^2+mx+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همواره مثبت است؟
ضریبِ $x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت است، پس فقط کافی است $\Delta<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد: $m^2-4<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $-2<m<2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قدرِ مطلق = فاصله

$|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی فاصلهٔ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از مبدأ، و $|a-b|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی فاصلهٔ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی محور. با همین یک تصویر، دو قاعدهٔ اصلی بدیهی می‌شوند (برای $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی):

پس $|x-3| \leq 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی «نقاطی که فاصله‌شان از $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حداکثر $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است»، یعنی بازهٔ $[1,5]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. و $|2x-1| > 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود $(-\infty,-2) \cup (3,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

برعکسش هم ساده است: هر بازهٔ $[a,b]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را می‌توان به شکلِ $|x-m| \leq r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نوشت که $m = \frac{a+b}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مرکز و $r = \frac{b-a}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شعاعِ آن است؛ مثلاً $[1,9]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود $|x-5| \leq 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دو دامِ همیشگی

• در نامعادلهٔ کسری، از $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه گرفتن که $f(x) \geq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی غلط است؛ جدولِ تعیینِ علامت جایگزین ندارد.
• در قدرِ مطلقِ تودرتو مثلِ $\bigl||x-2|-3\bigr| < 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، اول $u = |x-2|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگذارید تا به $2 < u < 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برسید و بعد همان را باز کنید.