معادله ها و نامعادله ها (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برایِ درجهٔ دوم‌بودن باید $m\neq1$. دلتا: $\Delta=4(m+1)^2-4(m-1)(m+3)=4\left[(m^2+2m+1)-(m^2+2m-3)\right]=4(4)=16$، که همیشه مثبت است، پس ریشه‌ها همیشه حقیقی و متمایزند (مستقل از $m$). برایِ هم‌علامت‌بودنِ ریشه‌ها باید حاصل‌ضربشان مثبت باشد: $P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m+3}{m-1}>0$. این کسر وقتی مثبت است که صورت و مخرج هم‌علامت باشند: یا هر دو مثبت ($m>-3$ و $m>1$، یعنی $m>1$) یا هر دو منفی ($m<-3$ و $m<1$، یعنی $m<-3$). پس مجموعهٔ کاملِ پاسخ $m > 1$ یا $m < -3$ است. گزینه‌های دیگر یا فقط نیمی از این اجتماع را شامل می‌شوند یا یک استثنایِ بی‌دلیل (مثلِ $m\neq3$) به آن اضافه می‌کنند که از هیچ شرطی نتیجه نمی‌شود. تلهٔ تستی: نامساویِ کسریِ $\frac{m+3}{m-1}>0$ همیشه یک اجتماعِ *دو* بازه می‌دهد (هر دو مثبت یا هر دو منفی)؛ گزارش‌کردنِ فقط یکی از این دو بازه (اینجا فقط $m>1$) نیمی از پاسخِ صحیح را از قلم می‌اندازد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

طولِ رأس $x_v=-\dfrac{m}{2}$ و عرضِ رأس $y_v=c-\dfrac{b^2}{4a}=(m+1)-\dfrac{m^2}{4}$. چون رأس رویِ خطِ $y=x$ است، باید $y_v=x_v$: $(m+1)-\dfrac{m^2}{4}=-\dfrac{m}2$. با ضربِ دو طرف در $4$: $4(m+1)-m^2=-2m \implies 4m+4-m^2+2m=0 \implies -m^2+6m+4=0 \implies m^2-6m-4=0$. این یک معادلهٔ درجهٔ دوم بر حسبِ $m$ است؛ طبقِ رابطهٔ ویتا، مجموعِ دو ریشهٔ آن (یعنی دو مقدارِ ممکن برایِ $m$) برابرِ $6$ است. گزینه‌های دیگر از خطایِ محاسباتی در بسط یا از فراموش‌کردنِ ضربِ صحیحِ دو طرف در $4$ ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: وقتی شرطِ «رأس رویِ یک خط» به یک معادلهٔ درجهٔ دوم بر حسبِ پارامتر می‌انجامد، برایِ یافتنِ «مجموعِ مقادیرِ ممکن» نیازی به حلِ کاملِ معادله (با رادیکال) نیست؛ رابطهٔ ویتا ($-\frac{b}{a}$) مستقیماً این مجموع را می‌دهد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای اینکه عبارت درجه دوم با ضریب $x^2$ مثبت ($1>0$) همواره مثبت باشد، باید دلتای آن منفی باشد: $\Delta<0$. داریم $\Delta=[2(a-1)]^2-4(1)(a^2+a)=4(a-1)^2-4(a^2+a)=4\left[a^2-2a+1-a^2-a\right]=4(1-3a)$. شرط $\Delta<0$ می‌دهد: $4(1-3a)<0 \implies 1-3a<0 \implies 3a>1 \implies a>\frac13$. پس گزینهٔ $a > \frac{1}{3}$ صحیح است. گزینه‌های دیگر از خطایِ علامت هنگامِ تقسیمِ دو طرفِ نامساوی بر عددِ منفی، یا جای‌گذاریِ نادرستِ ضرایب در فرمولِ دلتا ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: وقتی دو طرفِ یک نامساوی در عددِ منفی ضرب یا بر آن تقسیم می‌شود، جهتِ نامساوی باید برعکس شود؛ فراموش‌کردنِ همین نکته در مرحلهٔ آخرِ حل، رایج‌ترین منشأِ خطا در این‌گونه مسائل است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای اینکه یک سهمی با ضریب $x^2$ مثبت همواره بالای محور $x$ باشد، باید $\Delta < 0$ باشد. $\Delta = (m-1)^2 - 4(1)(m+2) < 0 \implies m^2 - 2m + 1 - 4m - 8 < 0 \implies m^2 - 6m - 7 < 0 \implies (m-7)(m+1) < 0 \implies -1 < m < 7$. بنابراین پاسخِ صحیح $-1 < m < 7$ است. تلهٔ تستی: برایِ «همواره مثبت‌بودن» یک عبارتِ درجهٔ دوم با ضریبِ پیشرویِ مثبت، فقط شرطِ $\Delta<0$ کافی است؛ نیازی به بررسیِ جداگانهٔ علامتِ ضریبِ $x^2$ نیست چون همیشه $1$ (مثبت) است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای اینکه سهمی بر محور $x$ها مماس باشد، باید معادله $y=0$ ریشه مضاعف داشته باشد، یعنی $\Delta = 0$. $\Delta = (-2k)^2 - 4(1)(k^2+k-3) = 4k^2 - 4k^2 - 4k + 12 = 0 \implies -4k + 12 = 0 \implies k = 3$. بنابراین پاسخِ صحیح $3$ است. تلهٔ تستی: «مماس‌بودن بر محورِ $x$ها» دقیقاً همان $\Delta=0$ است (ریشهٔ مضاعف، سهمی فقط یک نقطه با محور مشترک دارد)؛ این را با $\Delta>0$ (قطع در دو نقطه) یا $\Delta<0$ (عدمِ برخورد) اشتباه نگیرید.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

حاصل‌ضرب ریشه‌ها برابر $P = \frac{c}{a} = a^2 - 4$ است. طبق فرض $P < 0 \implies a^2 < 4 \implies -2 < a < 2$. از طرفی چون حاصل‌ضرب ریشه‌ها منفی است، پس قطعاً دو ریشه حقیقی با علامت‌های مخالف (یکی مثبت و یکی منفی) وجود دارد. تلهٔ تستی: وقتی حاصل‌ضربِ ریشه‌ها ($\frac ca$) منفی باشد، دلتا خودکار مثبت می‌شود (چون $-4ac>0$ در این حالت)؛ پس نیازی به بررسیِ جداگانهٔ حقیقی‌بودنِ ریشه‌ها نیست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

مخرج کسر $x^2+1$ همواره مثبت است. پس علامت کسر فقط به علامت صورت بستگی دارد. صورت کسر $x^2-4$ بین دو ریشه خود یعنی در بازه $(-2, 2)$ منفی است. تلهٔ تستی: قبل از بررسیِ علامتِ کسر، باید مطمئن شد مخرج هرگز صفر نمی‌شود (اینجا $x^2+1$ همیشه مثبت است)؛ در غیرِ این صورت باید نقاطِ تعریف‌نشده هم در جدولِ علامت لحاظ شوند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای اینکه سهمی همواره زیر محور $x$ها باشد باید $a < 0$ و $\Delta < 0$ باشد. $\Delta = (-4)^2 - 4(a)(a) = 16 - 4a^2 < 0 \implies 4a^2 > 16 \implies a^2 > 4 \implies a > 2$ یا $a < -2$. با اشتراک با شرط $a < 0$، بازه نهایی $a < -2$ به دست می‌آید. تلهٔ تستی: قرارگرفتنِ «کاملاً زیرِ محورِ $x$ها» دو شرطِ هم‌زمان می‌خواهد ($a<0$ و $\Delta<0$)؛ اشتباهِ رایج این است که فقط یکی از این دو شرط بررسی شود و شرطِ اشتراکِ نهایی نادیده گرفته شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون $a\neq0$، نمودارِ $y=ax^2+bx+c$ یک سهمیِ واقعی است. برایِ اینکه این سهمی هرگز بالایِ محورِ $x$ها نرود، دو شرط لازم است: دهانه رو به پایین باشد ($a<0$)، و سهمی حداکثر مماسِ محور شود ($\Delta\le0$). اگر $\Delta>0$ باشد، سهمیِ روبه‌پایین بینِ دو ریشه‌اش مقادیرِ مثبت می‌گیرد و فرضِ سؤال نقض می‌شود. برعکس، هر تابعی که این دو شرط را داشته باشد به‌ازایِ هر $x$ نامثبت است، پس این شرط هم لازم است هم کافی. وارسیِ مستقل: $f(x)=-(x-1)^2$ با $a=-1<0$ و $\Delta=0$ همواره نامثبت است ✓؛ $f(x)=-x^2+1$ با $a=-1<0$ ولی $\Delta=4>0$ در $x=0$ مقدارِ $+1$ می‌دهد ✗. ردِ گزینه‌های دیگر: «$a<0$ و $\Delta<0$» کافی است اما لازم نیست (حالتِ مماس با $\Delta=0$ را کنار می‌گذارد)؛ «$a>0$ و $\Delta\le0$» دقیقاً شرطِ همیشه *نامنفی*بودن است؛ «$a<0$ و $\Delta\ge0$» حالتِ $\Delta>0$ را می‌پذیرد که تابع در بازه‌ای مثبت می‌شود. تلهٔ تستی: تفاوتِ نامساویِ اکید و غیراکید حیاتی است — «همواره نامثبت» یعنی تابع می‌تواند در رأس دقیقاً صفر شود، پس شرطِ درست $\Delta\le0$ است نه $\Delta<0$.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

نامعادله را ساده می‌کنیم: $\frac{1}{x} - 1 > 0 \implies \frac{1-x}{x} > 0$. ریشه‌های صورت و مخرج به ترتیب ۱ و ۰ هستند. با تعیین علامت مشخص می‌شود که کسر در بازه $(0, 1)$ مثبت است. بنابراین پاسخِ صحیح $0 < x < 1$ است. تلهٔ تستی: در نامعادلهٔ $\frac1x>1$، هرگز نباید دو طرف را در $x$ ضرب کرد بدونِ دانستنِ علامتِ آن؛ روشِ درست انتقالِ همه‌چیز به یک طرف و تشکیلِ یک کسرِ واحد است.