میانگین، پراکندگی و احتمال (هنر)

آمار و احتمال (هنر)

دو کلاس با یک میانگین، اما دو داستان

فرض کنید نمره‌های کلاسِ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ ۸، ۹، ۱۰، ۱۱، ۱۲ و نمره‌های کلاسِ $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ ۰، ۵، ۱۰، ۱۵، ۲۰ باشد. هر دو کلاس میانگینِ $10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارند و میانهٔ هر دو هم $10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — ولی هر کسی با یک نگاه می‌فهمد این دو کلاس اصلاً شبیهِ هم نیستند. آمارِ توصیفی دقیقاً برای همین ساخته شده: یک عدد برای گفتنِ اینکه داده‌ها کجا جمع شده‌اند و یک عدد برای اینکه چقدر پخش‌اند.

معیارهای مرکز

میانگین مثلِ مرکزِ ثقلِ داده‌هاست. دو رفتارش را حفظ کنید: اگر به همهٔ داده‌ها عددِ ثابتِ $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه شود میانگین هم $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد جابه‌جا می‌شود ($\overline{x+c} = \bar{x}+c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، و اگر همه در $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب شوند میانگین هم در $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب می‌شود.

میانه داده‌ای است که دقیقاً وسط می‌ایستد: داده‌ها را مرتب کنید؛ اگر تعدادشان فرد بود همان دادهٔ وسطی، و اگر زوج بود میانگینِ دو دادهٔ وسطی.

کِی کدام؟ میانگین به دادهٔ دورافتاده حساس است و میانه نیست. اگر در نمره‌های ۵، ۱۷، ۱۸، ۱۸، ۱۹، ۲۰ آن $5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نبود، میانگین خیلی بالاتر می‌رفت — ولی میانه همچنان $18$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌ماند. هرجا یک دادهٔ پرت داستان را خراب می‌کند، میانه گزارشِ صادق‌تری است.

معیارهای پراکندگی

ساده‌ترین‌شان دامنه است، $R = x_{\max} - x_{\min}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، که در مثالِ بالا برای کلاسِ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و برای کلاسِ $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ $20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. عیبش این است که فقط دو داده را می‌بیند و بقیه را نادیده می‌گیرد.

واریانس میانگینِ مجذورِ فاصله‌ها از میانگین است:

برای کلاسِ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\sigma^2 = \frac{4+1+0+1+4}{5} = 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و برای کلاسِ $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\sigma^2 = \frac{100+25+0+25+100}{5} = 50$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $\sigma_A = \sqrt2 \approx 1.41$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $\sigma_B = 5\sqrt2 \approx 7.07$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — همان تفاوتی که چشم دیده بود، حالا عدد شد.

فرمولِ کوتاه‌ترِ واریانس که در محاسبه سریع‌تر است:

رفتارِ این شاخص‌ها زیرِ تغییرِ داده‌ها — پرتکرارترین سؤالِ این فصل:

منطقش ساده است: جابه‌جا کردنِ همهٔ داده‌ها فاصله‌هایشان را عوض نمی‌کند، پس پراکندگی دست‌نخورده می‌ماند. دو نکتهٔ جانبی: واریانس هرگز منفی نمی‌شود و فقط وقتی صفر است که همهٔ داده‌ها برابر باشند؛ و مجموعِ انحراف‌ها از میانگین همیشه صفر است، یعنی $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ضریبِ تغییرات: پراکندگیِ نسبی

این معیار برای مقایسهٔ دو مجموعه با مقیاس‌های متفاوت است.

نمونه: دو نوزاد با جرم‌های $1.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کیلوگرم، و دو بزرگسال با جرم‌های $80$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $81$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کیلوگرم. انحرافِ معیارِ هر دو گروه $0.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کیلوگرم است، ولی $CV$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نوزادان $\frac{0.5}{2} = 25\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و $CV$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگسالان $\frac{0.5}{80.5} \approx 0.62\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. یعنی اختلافِ خامِ یکسان، در مقیاسِ کوچک بسیار معنادارتر است.

توجه کنید که $CV$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط برای داده‌های مثبت معنا دارد.

چارک‌ها

چارک‌ها داده‌های مرتب‌شده را به چهار بخشِ برابر می‌شکنند: $Q_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان میانه است، $Q_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی میانهٔ داده‌های قبل از میانه و $Q_3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی میانهٔ داده‌های بعد از آن.

نمونه: برای داده‌های مرتبِ $10, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 23, 25, 27, 31, 32, 34, 41, 43$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی میانه دادهٔ هشتم یعنی $Q_2 = 19$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. شش دادهٔ قبل از آن ($10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $18$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) میانه‌شان $\frac{14+15}{2} = 14.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود، پس $Q_1 = 14.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ و شش دادهٔ بعدی $Q_3 = \frac{27+31}{2} = 29$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهند.

از همین‌جا دامنهٔ میان‌چارکی $IQR = Q_3 - Q_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساخته می‌شود که پراکندگیِ ۵۰٪ میانی را می‌سنجد و به داده‌های پرت حساس نیست. دادهٔ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دورافتاده شمرده می‌شود اگر $x < Q_1 - 1.5\,IQR$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $x > Q_3 + 1.5\,IQR$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در همین خانواده، دهک‌ها به ۱۰ بخش و صدک‌ها به ۱۰۰ بخش تقسیم می‌کنند، با روابطِ $Q_2 = D_5 = P_{50}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $Q_1 = P_{25}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $Q_3 = P_{75}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

احتمال: وقتی خبرِ تازه فضا را تنگ می‌کند

پایه‌ها را مرور کنیم: فضای نمونه ($S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) مجموعهٔ همهٔ نتایجِ ممکن است و هر زیرمجموعه‌اش یک پیشامد.

دو پیشامد ناسازگارند اگر $A \cap B = \emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ آن‌وقت احتمالِ اجتماع فقط جمعِ دو احتمال است.

حالا فرض کنید در قرعه‌کشیِ اعدادِ ۱ تا ۲۰ شمارهٔ ۸ مالِ شماست. احتمالِ بردتان $\frac{1}{20}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — اما اگر به شما بگویند «عددِ برنده یک‌رقمی است»، احتمال به $\frac19$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌پرد. اطلاعِ تازه فضای نمونه را کوچک می‌کند، و این هستهٔ احتمالِ شرطی است:

از همین رابطه، قانونِ ضرب بیرون می‌آید که برای محاسبهٔ اشتراک بسیار به‌کار می‌آید:

نمونه: رانندهٔ یک مسابقه با احتمالِ $P(A) = 0.8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دچارِ نقصِ فنی نمی‌شود، و احتمالِ اینکه هم نقصِ فنی نداشته باشد و هم به خطِ پایان برسد $0.7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. احتمالِ رسیدن به خطِ پایان به شرطِ نداشتنِ نقصِ فنی چقدر است؟
$P(B|A) = \frac{0.7}{0.8} = 0.875$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

چهار نکته که مرتب سؤال می‌شود: $P(A|B) + P(A'|B) = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $P(A|B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی لزوماً برابرِ $P(B|A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست؛ اگر $A \subset B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آنگاه $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ و اگر $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ناسازگار باشند $P(A|B) = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

استقلال

دو پیشامد مستقلاند اگر دانستنِ یکی احتمالِ دیگری را عوض نکند، یعنی $P(A|B) = P(A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. معیارِ عملی و متقارنش این است:

اگر این تساوی برقرار نباشد، دو پیشامد وابستهاند. نکته اینجاست که شهود اغلب اشتباه می‌کند و باید محاسبه کرد.

نمونه: دو تاس می‌اندازیم ($n(S)=36$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیشامدِ «تاسِ اول $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بیاید» است با $P(B) = \frac16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیشامدِ «مجموع $=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» باشد، $P(A) = \frac{6}{36} = \frac16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $A \cap B = \{(2,5)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $P(A\cap B) = \frac{1}{36}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ چون $\frac16 \times \frac16 = \frac{1}{36}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، این دو مستقلاند. اما اگر $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیشامدِ «مجموع $=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» باشد، $P(A) = \frac{4}{36} = \frac19$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و باز $P(A \cap B) = \frac{1}{36}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ حال آنکه $\frac19 \times \frac16 = \frac{1}{54}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس این‌بار وابستهاند.

ناسازگار با مستقل یکی نیست! دو پیشامدِ ناسازگار با احتمالِ غیرصفر هرگز مستقل نیستند، چون $P(A\cap B) = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $P(A)P(B) \neq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اگر $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مستقل باشند، $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $B'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $B'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم مستقل‌اند. دو قالبِ پرکاربردِ پایانی هم برای پیشامدهای مستقل: