چندضلعی‌ها، زاویه‌ها و مساحت (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست است: مثلث‌بندیِ کاملِ هر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-ضلعیِ محدب (با قطرهایِ غیرمتقاطع، به‌طوری‌که چندضلعی به مثلث‌هایِ کوچک‌تر تقسیم شود) دقیقاً به $n-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر نیاز دارد و این حداکثرِ تعدادِ قطرهایِ غیرمتقاطعِ قابلِ‌رسم است. برایِ $n=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $12-3=9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. رد گزینه‌های غلط: «$10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی»، «$11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» با فرمولِ $n-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سازگار نیستند و معمولاً از خلطِ این مفهوم با تعدادِ کلِ قطرهایِ چندضلعی ($\frac{n(n-3)}{2}=54$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برایِ $n=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) یا با تعدادِ اضلاع ($n=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: «حداکثرِ قطرهایِ غیرمتقاطع» ($n-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) با «تعدادِ کلِ قطرها» ($\frac{n(n-3)}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) دو مفهومِ کاملاً متفاوت‌اند؛ افزودنِ هر قطرِ اضافه به مجموعهٔ غیرمتقاطع، ناچار با یکی از قطرهایِ موجود تقاطع پیدا می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست است: نیمسازِ زاویهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضلعِ $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را در نقطهٔ $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطع می‌کند. چون $AB\parallel DC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\angle DPA=\angle PAB=\frac{\hat A}{2}=\angle DAP$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پس مثلثِ $DAP$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متساوی‌الساقین است و $DP=DA$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. به‌طورِ مشابه از نیمسازِ $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $CP=CB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، $DP+PC=DC=AB=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ و چون $DA=BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (اضلاعِ مقابلِ متوازی‌الاضلاع)، هر دو پاره‌خط برابرِ $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییاند: $BC+BC=12\Rightarrow BC=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. رد گزینه‌های غلط: «$8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی»، «$9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» با رابطهٔ $2\times BC=DC=AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سازگار نیستند و معمولاً از فرضِ نادرستِ برابریِ $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا نصفِ اشتباهِ محیط ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: کلیدِ حل این است که نیمسازِ هر زاویه با ضلعِ موازیِ روبه‌رو، همیشه یک مثلثِ متساوی‌الساقین می‌سازد (به‌خاطرِ برابریِ زاویهٔ نیمسازشده با زاویهٔ متناوب)؛ بدونِ دیدنِ این الگو، سؤال نیازمندِ مثلثاتِ پیچیده به‌نظر می‌رسد، درحالی‌که فقط با تشخیصِ دو مثلثِ متساوی‌الساقین حل می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $17.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست است: با فرمولِ گاوس (بندِ کفش) برایِ رأس‌هایِ $(0,0)،(6,0)،(5,8)،(1,6)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $S=\frac12|0\times0-6\times0+6\times8-5\times0+5\times6-1\times8+1\times0-0\times6|=\frac12|0+48+22+0|=35$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. طبقِ قضیهٔ وارینیون، مساحتِ متوازی‌الاضلاعِ حاصل از وسط‌هایِ اضلاع همیشه دقیقاً نصفِ مساحتِ چهارضلعیِ اصلی است: $35/2=17.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. رد گزینه‌های غلط: «$35$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» مساحتِ چهارضلعیِ اصلی است، نه وارینیون (فراموشیِ تقسیم بر $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). «$70$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از دوبرابر‌کردنِ اشتباهِ مساحتِ اصلی ناشی می‌شود. «$8.75$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از تقسیمِ اشتباهِ مساحتِ اصلی بر $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌جایِ $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌دست می‌آید. تلهٔ تستی: نسبتِ مساحتِ وارینیون به مساحتِ اصلی همیشه دقیقاً $\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — این یک نسبتِ ثابت و مستقل از شکلِ چهارضلعی است؛ فراموش‌کردنِ اعمالِ این نسبت بعد از محاسبهٔ درستِ مساحتِ اصلی، رایج‌ترین خطاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا «$11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $21$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است: از ساق $13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ارتفاع $12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نیمِ اختلافِ قاعده‌ها $\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس اختلافِ قاعده‌ها $10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برایِ ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین رابطهٔ $\text{قطر}^2=(\text{خطِ میانی})^2+h^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برقرار است: $20^2=(\text{خطِ میانی})^2+12^2\Rightarrow \text{خطِ میانی}=\sqrt{400-144}=16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس مجموعِ قاعده‌ها $2\times16=32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. با حلِ دستگاهِ مجموع$=32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و اختلاف$=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: قاعده‌ها $11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $21$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. رد گزینه‌های غلط: «$10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» اختلافِ درستی دارد ($10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) اما مجموعش $30\neq32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. «$12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $22$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $23$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نه در رابطهٔ اختلاف و نه در رابطهٔ قطر صدق می‌کنند. تلهٔ تستی: بسیاری فقط از فیثاغورسِ ساده (برایِ اختلافِ قاعده‌ها) استفاده می‌کنند و رابطهٔ دومِ لازم (بینِ قطر، خطِ میانی و ارتفاع) را برایِ یافتنِ مجموعِ قاعده‌ها فراموش می‌کنند؛ بدونِ این رابطهٔ دوم، دستگاه ناقص و غیرقابل‌حل می‌ماند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست است: از $\dfrac{n(n-3)}{2}=35$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $n(n-3)=70$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، که با آزمونِ مقادیر یا حلِ معادلهٔ درجه‌دو $n=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهد (چون $10\times7=70$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). مثلث‌بندی از یک رأس همیشه $n-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثلث می‌سازد: $10-2=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. رد گزینه‌های غلط: «$7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» تعدادِ مثلث‌هایِ یک ۹-ضلعی است (یک واحد کمتر از پاسخِ درست، ناشی از محاسبهٔ اشتباهِ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). «$9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» بین خودِ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و تعدادِ مثلث‌ها ($n-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) خلط می‌کنند. تلهٔ تستی: بعد از یافتنِ $n=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از رویِ تعدادِ قطرها، فراموش‌کردنِ اعمالِ فرمولِ دومِ سؤال (تعدادِ مثلث‌هایِ حاصل از مثلث‌بندی $=n-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه خودِ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) رایج‌ترین اشتباه است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $54$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست است: طولِ خطِ میانی $MN=\dfrac{12+18}{2}=15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون $MN$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً از وسطِ ساق‌ها می‌گذرد، ارتفاعِ هر یک از دو قسمتِ حاصل برابرِ نصفِ ارتفاعِ کل، یعنی $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، است. مساحتِ قسمتِ بالایی (بینِ $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $MN$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی): $\dfrac{12+15}{2}\times4=27\times2=54$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. رد گزینه‌های غلط: «$48$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» با فرضِ اشتباهِ ارتفاعِ کاملِ $8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برایِ هر دو قسمت به‌جایِ نصف‌کردنِ آن به‌دست می‌آید. «$60$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$66$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از خلطِ قسمتِ بالایی با قسمتِ پایینی یا محاسبهٔ نادرستِ میانگینِ قاعده‌ها ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: خطِ میانیِ ذوزنقه ارتفاعِ کل را دقیقاً نصف می‌کند، نه مساحت را؛ چون دو قسمتِ حاصل قاعده‌هایِ متفاوت دارند ($AB,MN$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در برابرِ $MN,DC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، مساحتِ دو قسمت هرگز با هم برابر نیست مگر $AB=DC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $135°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست است: نسبتِ قطرها به اضلاع: $\dfrac{n(n-3)/2}{n}=\dfrac{n-3}{2}=\dfrac{5}{2}\Rightarrow n-3=5\Rightarrow n=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. زاویهٔ داخلیِ هشت‌ضلعیِ منظم: $\dfrac{(8-2)\times180°}{8}=\dfrac{1080°}{8}=135°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. رد گزینه‌های غلط: «$120°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» زاویهٔ داخلیِ شش‌ضلعی است (محاسبهٔ اشتباهِ $n=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). «$140°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$150°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» با هیچ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صحیحِ حاصل از رابطهٔ نسبتِ داده‌شده سازگار نیستند. تلهٔ تستی: نسبتِ «قطر به ضلع» ($\frac{n-3}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) با نسبتِ «قطر به تعدادِ کلِ قطرهایِ ممکن» اشتباه گرفته می‌شود؛ باید دقیقاً فرمولِ $\frac{n(n-3)/2}{n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ساده کرد تا $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از معادلهٔ خطی به‌دست آید، نه درجه‌دو.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست است: در ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین، رابطهٔ $\text{قطر}^2=(\text{خطِ میانی})^2+h^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برقرار است (از مختصات‌گذاریِ متقارنِ رئوس قابلِ‌اثبات است). با جای‌گذاری: $13^2=(\text{خطِ میانی})^2+5^2\Rightarrow169-25=144\Rightarrow\text{خطِ میانی}=\sqrt{144}=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. رد گزینه‌های غلط: «$10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از محاسبهٔ $\sqrt{169-5^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با تفریقِ اشتباه به‌دست می‌آید. «$14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» با رابطهٔ فیثاغورسیِ بالا سازگار نیستند و معمولاً از فراموشیِ به‌توانِ‌دوم‌رساندنِ $h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا قطر ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: این رابطهٔ خاص ($\text{قطر}^2=\text{خطِ میانی}^2+h^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) فقط برایِ ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین برقرار است (نه هر ذوزنقهٔ دلخواه)؛ بدونِ دانستنِ این رابطه، سؤال به‌ظاهر اطلاعاتِ ناکافی دارد، اما با آن مستقیم و سریع حل می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $11.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست است: با حذف یک نقطهٔ مرزی، $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک واحد کاهش می‌یابد و $i$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ثابت می‌ماند؛ طبق فرمول پیک، مساحت جدید $i+\dfrac{b-1}{2}-1=6+\dfrac{13}{2}-1=11.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. رد گزینه‌های غلط: «$11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از این خطا ناشی می‌شوند که به‌اشتباه فرض شود حذفِ یک نقطهٔ مرزی، مساحت را یک واحدِ کامل تغییر می‌دهد (درحالی‌که تغییر همیشه نصف‌واحد است، چون ضریبِ $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در فرمولِ پیک $\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است). «$12.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از افزایشِ اشتباهِ مساحت به‌جای کاهش ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: تغییرِ هر نقطهٔ مرزی، مساحت را دقیقاً به‌اندازهٔ $\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد تغییر می‌دهد (نه یک واحدِ کامل)، چون در فرمولِ پیک فقط ضریبِ $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ $\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ نقاطِ درونی برخلافِ نقاطِ مرزی هرکدام یک واحدِ کامل تغییر می‌دهند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $\dfrac{16}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست است: چون مثلث متساوی‌الساقین است، میانهٔ $AM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر قاعده عمود می‌شود و $BM=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. طبقِ فیثاغورس: $AM=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مرکزِ ثقل هر میانه را به نسبتِ $2:1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از رأس تقسیم می‌کند: $AG=\dfrac23\times8=\dfrac{16}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. وارسیِ مستقل با مختصات: $B=(-6,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $C=(6,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $A=(0,8)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ مرکزِ ثقل $G=(0,\tfrac83)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $AG=8-\tfrac83=\tfrac{16}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓. رد گزینه‌های غلط: «$\dfrac{8}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فاصلهٔ مرکزِ ثقل تا قاعده است ($GM=\frac13\times8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، نه تا رأسِ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — خلطِ این دو پاره‌خط رایج‌ترین خطاست. «$4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نصفِ میانه است (فرضِ نادرستِ نسبتِ $1:1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌جایِ $2:1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). «$6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» با نیمِ قاعده ($BM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) خلط شده و اصلاً رویِ میانه اندازه‌گیری نشده. تلهٔ تستی: مرکزِ ثقل میانه را به نسبتِ $2:1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از **رأس** تقسیم می‌کند، یعنی فاصلهٔ رأس تا مرکزِ ثقل $\frac23$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کلِ میانه و فاصلهٔ مرکزِ ثقل تا قاعده تنها $\frac13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آن است؛ سؤال دقیقاً فاصله از رأس را می‌خواهد.