پرش به محتوای اصلی

درصد و کاربردهای آن

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

درصد و کاربردهای آن

مفهوم درصد

درصد راهی برای نمایش نسبت است که مخرج آن همیشه 100100 در نظر گرفته می‌شود:

a%=a100=0.01aa\% = \frac{a}{100} = 0.01a

برای تبدیل کسر یا عدد اعشاری به درصد، آن را در 100100 ضرب می‌کنیم (34=75%\frac{3}{4} = 75\%، 0.42=42%0.42 = 42\%) و برای برگشت بر 100100 تقسیم می‌کنیم. درصد بیشتر از 100%100\% معتبر است؛ 150%150\% یعنی 1.51.5 برابر مقدار اولیه.

درصد یک عدد:

a% از b=a100×ba\%\ \text{از}\ b = \frac{a}{100}\times b

سه مسئلهٔ کلاسیک درصد

هر مسئلهٔ درصد یکی از این سه حالت است و هر سه از یک تناسب واحد بیرون می‌آیند: a100=pb\frac{a}{100} = \frac{p}{b}.

معلوم مجهول فرمول
درصد a%a\% و کل bb مقدار pp p=a100×bp=\dfrac{a}{100}\times b
مقدار pp و کل bb درصد a%a\% a=pb×100a=\dfrac{p}{b}\times100
درصد a%a\% و مقدار pp کل bb b=pa×100b=\dfrac{p}{a}\times100

به‌جای حفظ سه فرمول، همان تناسب را بنویسید و با ضرب متقاطع مجهول را دربیاورید.

افزایش و کاهش درصدی

xجدید=x(1+p100)xجدید=x(1−p100)x_{\text{جدید}} = x\left(1+\frac{p}{100}\right) \qquad x_{\text{جدید}} = x\left(1-\frac{p}{100}\right)

برای برگشتن به مقدار اولیه، تقسیم می‌کنیم، نه تفریق:

x=xجدید1±p100x = \frac{x_{\text{جدید}}}{1\pm \frac{p}{100}}

تلهٔ اصلی فصل: اگر قیمتی پس از 25%25\% افزایش به 500,000500{,}000 تومان رسیده باشد، قیمت اولیه 500,0001.25=400,000\frac{500{,}000}{1.25} = 400{,}000 تومان است — نه 500,000×0.75500{,}000\times0.75. درصدِ افزایش نسبت به مقدار اولیه تعریف شده، نه نسبت به مقدار جدید.

درصدهای متوالی

اگر مقداری ابتدا p%p\% و سپس q%q\% تغییر کند، ضریب‌ها ضرب می‌شوند، نه جمع:

xنهایی=x(1±p100)(1±q100)x_{\text{نهایی}} = x\left(1\pm\frac{p}{100}\right)\left(1\pm\frac{q}{100}\right)
pخالص=[(1±p100)(1±q100)−1]×100p_{\text{خالص}} = \left[\left(1\pm\frac{p}{100}\right)\left(1\pm\frac{q}{100}\right)-1\right]\times100

پس 10%10\% افزایش و بعد 15%15\% افزایش، 26.5%26.5\% می‌شود نه 25%25\%، چون افزایش دوم روی مقدارِ از قبل بالا‌رفته اعمال می‌شود.

حالت پرتکرار: افزایش p%p\% و سپس کاهش همان p%p\% (یا برعکس) هرگز به مقدار اولیه برنمی‌گردد:

(1+p100)(1−p100)=1−p210000⇒pخالص=−p2100%\left(1+\tfrac{p}{100}\right)\left(1-\tfrac{p}{100}\right) = 1-\tfrac{p^2}{10000} \Rightarrow p_{\text{خالص}} = -\frac{p^2}{100}\%

برای p=20p=20 نتیجه −4%-4\% است، یعنی کاهش خالص 44 درصد، نه صفر.

سود، زیان و تخفیف

سود=قیمت فروش−قیمت خریدزیان=قیمت خرید−قیمت فروش\text{سود} = \text{قیمت فروش} - \text{قیمت خرید} \qquad \text{زیان} = \text{قیمت خرید} - \text{قیمت فروش}

درصد سود یا زیان همیشه نسبت به قیمت خرید سنجیده می‌شود:

درصد سود=سودقیمت خرید×100\text{درصد سود} = \frac{\text{سود}}{\text{قیمت خرید}}\times100
قیمت فروش=قیمت خرید×(1+درصد سود100)\text{قیمت فروش} = \text{قیمت خرید}\times\left(1+\frac{\text{درصد سود}}{100}\right)

اما تخفیف نسبت به قیمت برچسب حساب می‌شود:

قیمت پس از تخفیف=قیمت اصلی×(1−درصد تخفیف100)\text{قیمت پس از تخفیف} = \text{قیمت اصلی}\times\left(1-\frac{\text{درصد تخفیف}}{100}\right)

تخفیف پلکانی هم ضربی است: 20%20\% و بعد 10%10\% روی قیمت جدید یعنی ضریب 0.8×0.9=0.720.8\times0.9 = 0.72، پس تخفیف خالص 28%28\% است نه 30%30\%. اختلاف دو روش همیشه برابر حاصل‌ضرب دو درصد است (2%2\%).

درصد در آمار و نمودار دایره‌ای

درصد فراوانی=فراوانی آن دستهفراوانی کل×100\text{درصد فراوانی} = \frac{\text{فراوانی آن دسته}}{\text{فراوانی کل}}\times100

در نمودار دایره‌ای، کل دایره هم 100%100\% است و هم 360°360°، پس:

1%  ↔  360°100=3.6°زاویهٔ هر بخش=درصد آن×3.6°1\% \; \leftrightarrow \; \frac{360°}{100} = 3.6° \qquad \text{زاویهٔ هر بخش} = \text{درصد آن}\times3.6°

مثلاً بخشی که 40%40\% داده‌ها را دارد، زاویهٔ مرکزی 144°144° می‌گیرد. این رابطه پرتکرارترین پل میان فصل درصد و فصل آمار در کنکور هنر است.

درصد در طراحی و رسانه

  • شفافیت (Opacity): 100%100\% یعنی کاملاً مات و 0%0\% یعنی کاملاً شفاف — منطق تناسب مستقیم.
  • CMYK: هر رنگ پایه با درصدی از 0%0\% تا 100%100\% تعریف می‌شود و جمع چهار درصد لزوماً 100%100\% نیست.
  • بزرگ‌نمایی تصویر: نمایش 50%50\% یعنی نصف اندازهٔ واقعی و 200%200\% یعنی دو برابر.

نکات کلیدی

  • هر درصد نسبت به یک مبنا معناست؛ مشخص کنید مبنا مقدار اولیه است یا مقدار مرحلهٔ قبل.
  • ترکیب درصدها همیشه ضربی است، نه جمعی.
  • برای یافتن مقدار اولیه تقسیم کنید، نه ضرب.

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. کسرِ 720\dfrac{7}{20} به‌صورتِ درصد کدام است؟

  • 35%35\%
  • 28%28\%
  • 40%40\%
  • 140%140\%

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«35%35\%» درست است چون 720=35100=35%\dfrac{7}{20}=\dfrac{35}{100}=35\%. «28%28\%» با محاسبهٔ نادرستِ ضریبِ تبدیل به دست آمده. «40%40\%» از تقسیمِ 77 بر 2020 با یک اشتباهِ محاسباتی دیگر ساخته شده. «140%140\%» با ضربِ 7×207\times20 به‌جایِ تبدیلِ صحیحِ کسر حاصل شده. تلهٔ تستی: برایِ تبدیلِ کسر به درصد، باید کسر را طوری بازنویسی کرد که مخرجش 100100 شود (یا در 100100 ضرب کرد)، نه هر عملیاتِ دیگری با اعدادِ صورت و مخرج.

2. عددِ اعشاریِ 0.0650.065 به‌صورتِ درصد کدام است؟

  • 6.5%6.5\%
  • 0.65%0.65\%
  • 65%65\%
  • 0.065%0.065\%

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«6.5%6.5\%» درست است چون تبدیلِ اعشار به درصد یعنی ممیز را دو رقم به راست ببریم: 0.065×100=6.50.065\times100=6.5. «0.65%0.65\%» ممیز را فقط یک رقم جابه‌جا کرده. «65%65\%» ممیز را سه رقم به راست برده (یک رقم اضافه). «0.065%0.065\%» اصلاً ممیز را جابه‌جا نکرده و فقط علامتِ درصد را اضافه کرده. تلهٔ تستی: تبدیلِ اعشار به درصد همیشه با ضرب در 100100 (یعنی انتقالِ ممیز دقیقاً دو رقم به راست) انجام می‌شود؛ خطا در تعدادِ ارقامِ جابه‌جاشده رایج‌ترین اشتباه است.

3. درصدِ 84%84\% به‌صورتِ کسرِ ساده‌شده کدام است؟

  • 2125\dfrac{21}{25}
  • 8410\dfrac{84}{10}
  • 4250\dfrac{42}{50}
  • 8.410\dfrac{8.4}{10}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«2125\dfrac{21}{25}» درست است چون 84%=8410084\%=\dfrac{84}{100} که با تقسیمِ صورت و مخرج بر 44 به 2125\dfrac{21}{25} ساده می‌شود. «8410\dfrac{84}{10}» مخرج را به‌اشتباه 1010 گرفته، نه 100100. «4250\dfrac{42}{50}» درست است از نظرِ عددی ولی هنوز به‌طورِ کامل ساده نشده (قابلِ تقسیم بر 22 است). «8.410\dfrac{8.4}{10}» به‌جایِ کسرِ اعدادِ صحیح، یک کسرِ اعشاری نامناسب ساخته. تلهٔ تستی: تبدیلِ درصد به کسر همیشه با مخرجِ 100100 شروع می‌شود، و کسرِ نهایی باید تا انتها (نه فقط یک مرحله) ساده شود.

4. کدام‌یک از گزینه‌های زیر با 98\dfrac{9}{8} برابر است؟

  • 112.5%112.5\%
  • 98%98\%
  • 90%90\%
  • 180%180\%

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«112.5%112.5\%» درست است چون 98=1.125=112.5%\dfrac{9}{8}=1.125=112.5\%. «98%98\%» و «90%90\%» هر دو کمتر از 100%100\% هستند، در حالی که 98\dfrac{9}{8} بزرگ‌تر از 11 است، پس باید بیش از 100%100\% باشد. «180%180\%» با دو برابر کردنِ نادرستِ عدد به دست آمده. تلهٔ تستی: وقتی کسر بزرگ‌تر از 11 باشد (صورت بزرگ‌تر از مخرج)، درصدِ متناظر آن حتماً بیش از 100%100\% خواهد بود؛ فراموش‌کردنِ این نکته باعثِ انتخابِ گزینه‌ای کمتر از 100%100\% می‌شود.

5. کدام گزینه، ترتیبِ صعودیِ (از کوچک به بزرگ) سه مقدارِ 0.40.4، 38\dfrac{3}{8} و 42%42\% را نشان می‌دهد؟

  • 38, 0.4, 42%\dfrac{3}{8},\,0.4,\,42\%
  • 42%, 0.4, 3842\%,\,0.4,\,\dfrac{3}{8}
  • 0.4, 38, 42%0.4,\,\dfrac{3}{8},\,42\%
  • 42%, 38, 0.442\%,\,\dfrac{3}{8},\,0.4

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«38, 0.4, 42%\dfrac{3}{8},\,0.4,\,42\%» درست است. با یکسان‌سازیِ واحد به درصد: 38=37.5%\dfrac{3}{8}=37.5\%، 0.4=40%0.4=40\%، و 42%42\% همان است؛ پس ترتیبِ صعودی 37.5%<40%<42%37.5\%<40\%<42\% یعنی همین ترتیب. «42%, 0.4, 3842\%,\,0.4,\,\dfrac{3}{8}» ترتیبِ کاملاً نزولی را نشان می‌دهد. «0.4, 38, 42%0.4,\,\dfrac{3}{8},\,42\%» جایِ دو مقدارِ اول را عوض کرده. «42%, 38, 0.442\%,\,\dfrac{3}{8},\,0.4» ترتیبی نامرتب و نادرست است. تلهٔ تستی: برایِ مقایسهٔ مقادیر با واحدهایِ مختلف (کسر، اعشار، درصد)، باید همه را به یک واحدِ مشترک (معمولاً درصد) تبدیل کرد؛ مقایسهٔ مستقیمِ اعدادِ خام بدونِ یکسان‌سازی، خطایِ رایجی است.

6. عددِ 250%250\% به‌صورتِ عددِ اعشاری کدام است؟

  • 2.52.5
  • 0.250.25
  • 2525
  • 0.0250.025

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«2.52.5» درست است چون تبدیلِ درصد به اعشار یعنی تقسیم بر 100100 (انتقالِ ممیز دو رقم به چپ): 250÷100=2.5250\div100=2.5. «0.250.25» ممیز را سه رقم به چپ برده (یک رقمِ اضافه). «2525» اصلاً ممیز را جابه‌جا نکرده. «0.0250.025» ممیز را چهار رقم به چپ برده. تلهٔ تستی: تبدیلِ درصدِ بالایِ 100%100\% نباید با ترسِ از عددِ بزرگ باعثِ خطایِ اضافه در جابه‌جاییِ ممیز شود؛ قاعده همیشه ثابت است: تقسیم بر 100100.

7. در یک آزمایشگاهِ چاپ، 33 نسخه از هر 88 نسخه ضایعات اعلام شده‌اند. این نسبت چند درصد است؟

  • 37.5%37.5\%
  • 30%30\%
  • 62.5%62.5\%
  • 8.3%8.3\%

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«37.5%37.5\%» درست است چون 38×100=37.5%\dfrac{3}{8}\times100=37.5\%. «30%30\%» با تقریبِ نادرست ساخته شده. «62.5%62.5\%» درصدِ نسخه‌هایِ سالم است، نه ضایعات (58=62.5%\dfrac{5}{8}=62.5\%). «8.3%8.3\%» از تقسیمِ معکوسِ نادرستِ 8÷38\div3 ضرب‌درصدنشده به دست آمده. تلهٔ تستی: باید دقت کرد کدام مقدار (ضایعات یا سالم) صورتِ کسر است؛ محاسبهٔ درستِ عدد ولی برایِ بخشِ اشتباه، خطایِ رایجی است.

8. در یک نمایشگاه، 150150 اثر از مجموعِ 600600 اثر، نقاشیِ آبرنگ هستند. سهمِ آبرنگ چند درصد از کل است؟

  • 25%25\%
  • 15%15\%
  • 40%40\%
  • 20%20\%

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«25%25\%» درست است چون 150600×100=25%\dfrac{150}{600}\times100=25\%. «15%15\%»، «40%40\%» و «20%20\%» از محاسباتِ نادرستِ تقسیم یا ضربِ اشتباه به دست آمده‌اند. تلهٔ تستی: در محاسبهٔ درصد، همیشه باید «قسمت» بر «کل» تقسیم و در 100100 ضرب شود؛ معکوس‌کردنِ صورت و مخرج (کل بر قسمت) نتیجه‌ای کاملاً نادرست و بزرگ‌تر از واقعیت می‌دهد.

9. 18%18\% از 650650 چند است؟

  • 117117
  • 130130
  • 108108
  • 9595

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«117117» درست است چون 18100×650=117\dfrac{18}{100}\times650=117. «130130» با استفاده از درصدِ 2020 به‌جایِ 1818 ساخته شده. «108108» و «9595» از ضرب‌هایِ نادرستِ دیگر حاصل شده‌اند. تلهٔ تستی: در محاسبهٔ «a%a\% از bb»، باید دقیقاً فرمولِ a100×b\dfrac{a}{100}\times b به کار رود؛ گِردکردنِ زودهنگامِ درصد (مثلاً 1818 به 2020) خطایِ رایجی است.

10. در یک هنرستان، 220220 دانش‌آموز داریم. اگر 35%35\% آن‌ها در رشتهٔ گرافیک ثبت‌نام کرده باشند، تعدادِ آن‌ها چند نفر است؟

  • 7777
  • 7070
  • 8585
  • 6363

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«7777» درست است چون 35100×220=77\dfrac{35}{100}\times220=77. «7070» با فرضِ نادرستِ 13\dfrac{1}{3} به‌جایِ 35%35\% به دست آمده. «8585» و «6363» از ضرب‌هایِ نزدیک ولی نادرست ساخته شده‌اند. تلهٔ تستی: نباید درصدهایِ نزدیک به کسرهای معروف (مثلِ 35%≈1335\%\approx\dfrac{1}{3}) را با آن کسرها جایگزین کرد؛ محاسبهٔ دقیق همیشه باید با خودِ عددِ درصد انجام شود.

مباحث مرتبط

مجموعه، الگو و دنباله (هنر)توان های گویا و عبارت های جبری (هنر)معادله ها و نامعادله ها (هنر)شمارش، بدون شمردن (هنر)آمار و احتمال (هنر)نسبت و تناسب (هنر)نسبت های مثلثاتی (هنر)استدلال و ترسیم های هندسی (هنر)قضیه تالس، تشابه و کاربردهای آن (هنر)چندضلعی ها (هنر)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان