استدلال و ترسیم های هندسی (هنر)
از کارگاه شروع کنیم: مرکزِ این کمان کجاست؟
تکهای از لبهٔ یک کاسهٔ سفالیِ شکسته دارید و میخواهید دایرهٔ کاملش را بازسازی کنید. فقط سه نقطه از لبه دارید؛ مرکز کجاست؟
روش: سه نقطهٔ ، و را روی لبه بگذارید. عمودمنصفِ و عمودمنصفِ را رسم کنید؛ تقاطعشان مرکزِ است.
چرا؟ مرکز از و به یک فاصله است، پس روی عمودمنصف ؛ و از و هم به یک فاصله، پس روی عمودمنصف .
قضیه: از هر سه نقطهٔ غیرهمخط دقیقاً یک دایره میگذرد. وجودش از تقاطع دو عمودمنصف میآید (چون ، ، همخط نیستند، آن دو موازی نمیشوند) و یکتاییاش از اینکه سه عمودمنصف فقط یک نقطهٔ مشترک دارند.
همین مسئله هر دو ستون فصل را نشان میدهد: ترسیمِ دقیق و استدلالِ پشتِ آن.
مکان هندسی: پاسخ به پرسشِ «کجا»
تعریف: مجموعهٔ تمام نقاطی که یک شرط معین را دارند — نه یکی کم، نه یکی زیاد.
| شرط | مکان هندسی |
|---|---|
| همفاصله از نقطهٔ به اندازهٔ | دایره به مرکز و شعاع |
| همفاصله از خط به اندازهٔ | دو خط موازی با |
| همفاصله از دو نقطهٔ و | عمودمنصفِ |
| همفاصله از دو خط متقاطع | دو نیمسازِ زاویهها |
دو نیمسازِ دو خط متقاطع همیشه بر هم عمودند: مجموع دو زاویهٔ مجاور است و نصفش .
ترسیمهای پایه با پرگار
عمودمنصفِ : دهانهٔ پرگار را بیش از نصفِ باز کنید؛ از دو کمان و با همان دهانه از دو کمان بزنید؛ دو نقطهٔ تقاطع و را وصل کنید.
نیمسازِ زاویهٔ : از کمانی بزنید که دو ضلع را در و قطع کند؛ از و با دهانهٔ برابر دو کمان بزنید تا در قطع شوند؛ پرتوِ نیمساز است.
زاویهٔ : با یک دهانهٔ ثابت بسازید؛ مثلث متساویالاضلاع میشود، پس .
عمود از بر خط : از کمانی بزنید تا را در و قطع کند، سپس عمودمنصفِ را بکشید.
دو قضیهٔ کلیدی و عکسشان
عمودمنصف: روی عمودمنصفِ است.
جهتِ مستقیم از همنهشتیِ میآید و جهتِ عکس با برهان خلف.
نیمساز: هر نقطهٔ روی نیمساز، از دو ضلعِ زاویه فاصلهٔ عمودیِ برابر دارد (و برعکس).
| ویژگی | عمودمنصف | نیمساز |
|---|---|---|
| ورودی | پارهخط | زاویهٔ |
| همفاصله از | دو نقطه | دو خط |
| کاربرد | مرکز دایرهٔ محیطی | مرکز دایرهٔ محاطی |
استدلال: از حدس تا اثبات
استقرایی از چند مورد خاص قانونی کلی حدس میزند:
هزار مثالِ درست هم اثبات نیست، ولی یک مثالِ نقض برای رد کردن کافی است. استنتاجی از اصول پذیرفتهشده با منطق پیش میرود و اثبات میدهد.
هر قضیه ساختار دارد ( فرض، حکم). عکسش و عکسِ نقیضش است. قضیه با عکسِ نقیضش همیشه همارز است، اما با عکسش لزوماً نه — عکس باید جداگانه اثبات شود. اگر هر دو جهت درست باشد مینویسیم ؛ مثلاً «مثلث متساویالساقین است دو زاویهٔ قاعده برابرند».
برهان خلف: فرض کن برقرار است ولی ؛ اگر به تناقض رسیدی، ثابت شده است.
نقیضسازی: نقیضِ «همهٔ ها هستند» میشود «حداقل یک هست که نیست».
ضلع بزرگتر، زاویهٔ بزرگتر
در مثلث : .
ایدهٔ اثبات: روی نقطهٔ را با بگذارید؛ متساویالساقین میشود و زاویهٔ خارجیِ است.
نکات کنکوری
۱. عمودمنصف = همفاصله از دو نقطه؛ نیمساز = همفاصله از دو خط (و برعکس).
۲. مرکز دایرهٔ محیطی تقاطع عمودمنصفهاست، مرکز دایرهٔ محاطی تقاطع نیمسازها.
۳. برای ردِ یک حکم کلی، یک مثال نقض کافی است.
۴. در برهان خلف نقیضِ حکم را فرض میکنیم، نه نقیضِ فرض را.
