استدلال و ترسیم های هندسی (هنر)
از کارگاه شروع کنیم: مرکزِ این کمان کجاست؟
تکه‌ای از لبهٔ یک کاسهٔ سفالیِ شکسته دارید و می‌خواهید دایرهٔ کاملش را بازسازی کنید. فقط سه نقطه از لبه دارید؛ مرکز کجاست؟
روش: سه نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین را روی لبه بگذارید. عمودمنصفِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و عمودمنصفِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را رسم کنید؛ تقاطعشان مرکزِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
چرا؟ مرکز از ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین به یک فاصله است، پس روی عمودمنصف ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و از ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم به یک فاصله، پس روی عمودمنصف ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
قضیه: از هر سه نقطهٔ غیرهم‌خط دقیقاً یک دایره می‌گذرد. وجودش از تقاطع دو عمودمنصف می‌آید (چون ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم‌خط نیستند، آن دو موازی نمی‌شوند) و یکتایی‌اش از این‌که سه عمودمنصف فقط یک نقطهٔ مشترک دارند.
همین مسئله هر دو ستون فصل را نشان می‌دهد: ترسیمِ دقیق و استدلالِ پشتِ آن.
مکان هندسی: پاسخ به پرسشِ «کجا»
تعریف: مجموعهٔ تمام نقاطی که یک شرط معین را دارند — نه یکی کم، نه یکی زیاد.
| شرط | مکان هندسی |
|---|---|
| هم‌فاصله از نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به اندازهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین | دایره به مرکز ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شعاع ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
| هم‌فاصله از خط ادامهٔ فرمول را افقی ببین به اندازهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین | دو خط موازی با ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
| هم‌فاصله از دو نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین | عمودمنصفِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
| هم‌فاصله از دو خط متقاطع | دو نیمسازِ زاویه‌ها |
دو نیمسازِ دو خط متقاطع همیشه بر هم عمودند: مجموع دو زاویهٔ مجاور ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و نصفش ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
ترسیم‌های پایه با پرگار
عمودمنصفِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: دهانهٔ پرگار را بیش از نصفِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باز کنید؛ از ادامهٔ فرمول را افقی ببین دو کمان و با همان دهانه از ادامهٔ فرمول را افقی ببین دو کمان بزنید؛ دو نقطهٔ تقاطع ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین را وصل کنید.
نیمسازِ زاویهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: از ادامهٔ فرمول را افقی ببین کمانی بزنید که دو ضلع را در ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطع کند؛ از ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین با دهانهٔ برابر دو کمان بزنید تا در ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطع شوند؛ پرتوِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیمساز است.
زاویهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: با یک دهانهٔ ثابت ادامهٔ فرمول را افقی ببین بسازید؛ مثلث متساوی‌الاضلاع میشود، پس ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
عمود از ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر خط ادامهٔ فرمول را افقی ببین: از ادامهٔ فرمول را افقی ببین کمانی بزنید تا ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطع کند، سپس عمودمنصفِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بکشید.
دو قضیهٔ کلیدی و عکسشان
عمودمنصف: ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی عمودمنصفِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
جهتِ مستقیم از همنهشتیِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌آید و جهتِ عکس با برهان خلف.
نیمساز: هر نقطهٔ روی نیمساز، از دو ضلعِ زاویه فاصلهٔ عمودیِ برابر دارد (و برعکس).
| ویژگی | عمودمنصف | نیمساز |
|---|---|---|
| ورودی | پاره‌خط ادامهٔ فرمول را افقی ببین | زاویهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
| هم‌فاصله از | دو نقطه | دو خط |
| کاربرد | مرکز دایرهٔ محیطی | مرکز دایرهٔ محاطی |
استدلال: از حدس تا اثبات
استقرایی از چند مورد خاص قانونی کلی حدس می‌زند:
ادامهٔ فرمول را افقی ببینهزار مثالِ درست هم اثبات نیست، ولی یک مثالِ نقض برای رد کردن کافی است. استنتاجی از اصول پذیرفته‌شده با منطق پیش می‌رود و اثبات می‌دهد.
هر قضیه ساختار ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد (ادامهٔ فرمول را افقی ببین فرض، ادامهٔ فرمول را افقی ببین حکم). عکسش ادامهٔ فرمول را افقی ببین و عکسِ نقیضش ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. قضیه با عکسِ نقیضش همیشه هم‌ارز است، اما با عکسش لزوماً نه — عکس باید جداگانه اثبات شود. اگر هر دو جهت درست باشد می‌نویسیم ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ مثلاً «مثلث متساویالساقین است ادامهٔ فرمول را افقی ببین دو زاویهٔ قاعده برابرند».
برهان خلف: فرض کن ادامهٔ فرمول را افقی ببین برقرار است ولی ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ اگر به تناقض رسیدی، ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثابت شده است.
نقیض‌سازی: نقیضِ «همهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببینها ادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند» میشود «حداقل یک ادامهٔ فرمول را افقی ببین هست که ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیست».
ادامهٔ فرمول را افقی ببینضلع بزرگ‌تر، زاویهٔ بزرگ‌تر
در مثلث ادامهٔ فرمول را افقی ببین: ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
ایدهٔ اثبات: روی ادامهٔ فرمول را افقی ببین نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را با ادامهٔ فرمول را افقی ببین بگذارید؛ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متساویالساقین میشود و ادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ خارجیِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
نکات کنکوری
۱. عمودمنصف = هم‌فاصله از دو نقطه؛ نیمساز = هم‌فاصله از دو خط (و برعکس).
۲. مرکز دایرهٔ محیطی تقاطع عمودمنصف‌هاست، مرکز دایرهٔ محاطی تقاطع نیمسازها.
۳. برای ردِ یک حکم کلی، یک مثال نقض کافی است.
۴. در برهان خلف نقیضِ حکم را فرض می‌کنیم، نه نقیضِ فرض را.
