پرش به محتوای اصلی

نسبت‌های مثلثاتی و اتحادها (هنر)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

نسبت های مثلثاتی (هنر)

از زاویهٔ دید تا عدد

وقتی از فاصلهٔ معینی به نوکِ یک بنا نگاه می‌کنید، خط دید شما با افق زاویه‌ای می‌سازد و همین زاویه، ارتفاع را تعیین می‌کند؛ همان‌طور که طول سایه در ساعت‌های مختلف روز با شیب نور تغییر می‌کند. مثلثات دقیقاً ابزارِ ترجمهٔ «زاویه» به «نسبتِ طول‌ها»ست: هواپیمایی در ارتفاع 2 km2\text{ km}ادامهٔ فرمول را افقی ببین با زاویهٔ فرود 13°13°ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت به افق را در نظر بگیرید؛ فاصلهٔ افقی تا نقطهٔ فرود از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

tan⁡13°≈0.23⇒2d=0.23⇒d≈8.7 km\tan 13° \approx 0.23 \Rightarrow \frac{2}{d} = 0.23 \Rightarrow d \approx 8.7 \text{ km}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پشتوانهٔ این کار تشابه است: در دو مثلث قائم‌الزاویه که یک زاویهٔ حاده مشترک دارند، نسبت اضلاع متناظر ثابت است، صرف‌نظر از اندازهٔ مثلث. همین ثبات اجازه می‌دهد به هر زاویه یک عدد نسبت دهیم.

چهار نسبت در مثلث قائم

در مثلث قائم‌الزاویهٔ ABCABCادامهٔ فرمول را افقی ببین با زاویهٔ قائمهٔ CCادامهٔ فرمول را افقی ببین:

sin⁡A=ضلع مقابلوتر=BCABcos⁡A=ضلع مجاوروتر=ACAB\sin A = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}} = \frac{BC}{AB} \qquad \cos A = \frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}} = \frac{AC}{AB}ادامهٔ فرمول را افقی ببینtan⁡A=ضلع مقابلضلع مجاور=BCACcot⁡A=ACBC\tan A = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}} = \frac{BC}{AC} \qquad \cot A = \frac{AC}{BC}ادامهٔ فرمول را افقی ببینtan⁡A=sin⁡Acos⁡Acot⁡A=cos⁡Asin⁡A=1tan⁡A\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \qquad \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{1}{\tan A}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مقادیر استاندارد را از دو شکل ساده می‌توان ساخت: مثلث قائمِ متساوی‌الساقین با ساق 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین (وتر 2\sqrt2ادامهٔ فرمول را افقی ببین) مقادیر 45°45°ادامهٔ فرمول را افقی ببین را می‌دهد و مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاع 3\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین مقادیر 30°30°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 60°60°ادامهٔ فرمول را افقی ببین را:

sin⁡30°=12,sin⁡45°=22,sin⁡60°=32\sin 30° = \frac{\sqrt{1}}{2}, \quad \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

عدد زیر رادیکال از 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین بالا می‌رود؛ کسینوس همین جدول را برعکس می‌خواند و tan⁡30°=33\tan 30° = \frac{\sqrt3}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، tan⁡45°=1\tan 45° = 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین، tan⁡60°=3\tan 60° = \sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مساحت با زاویه

وقتی دو ضلع و زاویهٔ بینشان را دارید (حالت رایج در ترسیم و پیمایش)، نیازی به ارتفاع نیست:

S△ABC=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡BS_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin Bادامهٔ فرمول را افقی ببین

زیرا ارتفاع وارد بر یک ضلع، خودش برابر ضلع دیگر ضربدر سینوس زاویه است.

شیب خط، همان تانژانت است

اگر خطی با جهت مثبت محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ α\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین بسازد، شیب آن برابر است با:

m=tan⁡αy−y0=tan⁡α⋅(x−x0)m = \tan\alpha \qquad y - y_0 = \tan\alpha \cdot (x - x_0)ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پس «شیب سایه»، «شیب رمپ» و «شیب خط در دستگاه مختصات» یک مفهوم‌اند. خط موازی محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین شیب 00ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد و خط عمود بر آن (α=90°\alpha = 90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین) شیبش تعریف‌نشده است.

گسترش به دایرهٔ مثلثاتی

برای زوایای بزرگ‌تر از 90°90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مثلث قائم کافی نیست. دایره‌ای به مرکز مبدأ و شعاع 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌کشیم؛ چرخش خلاف جهت عقربه‌های ساعت زاویهٔ مثبت و هم‌جهت با آن زاویهٔ منفی است. اگر P(x,y)P(x,y)ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی این دایره باشد و OP→\overrightarrow{OP}ادامهٔ فرمول را افقی ببین با محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین بسازد:

cos⁡θ=x,sin⁡θ=y\cos\theta = x, \qquad \sin\theta = yادامهٔ فرمول را افقی ببینtan⁡θ=yx(x≠0)cot⁡θ=xy(y≠0)\tan\theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0) \qquad \cot\theta = \frac{x}{y} \quad (y \neq 0)ادامهٔ فرمول را افقی ببین

محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین «محور کسینوس» و محور yyادامهٔ فرمول را افقی ببین «محور سینوس» نام می‌گیرد. چون نقطه روی دایرهٔ واحد است:

−1≤sin⁡θ≤1−1≤cos⁡θ≤1-1 \leq \sin\theta \leq 1 \qquad -1 \leq \cos\theta \leq 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین

ولی تانژانت و کتانژانت کران ندارند. در زوایای مرزی، tan⁡\tanادامهٔ فرمول را افقی ببین در 90°90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 270°270°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و cot⁡\cotادامهٔ فرمول را افقی ببین در 0°0°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعریف‌نشده‌اند.

علامت‌ها بر حسب ربع: ربع اول همه مثبت، ربع دوم فقط sin⁡\sinادامهٔ فرمول را افقی ببین، ربع سوم فقط tan⁡\tanادامهٔ فرمول را افقی ببین (و cot⁡\cotادامهٔ فرمول را افقی ببین)، ربع چهارم فقط cos⁡\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین — همان قاعدهٔ «ASTC».

اتحادهای بنیادی

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین

این همان x2+y2=1x^2+y^2=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین دایرهٔ واحد است. با تقسیم آن بر cos⁡2α\cos^2\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین و بر sin⁡2α\sin^2\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین:

tan⁡2α+1=1cos⁡2α=sec⁡2αcot⁡2α+1=1sin⁡2α=csc⁡2α\tan^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha} = \sec^2\alpha \qquad \cot^2\alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2\alpha} = \csc^2\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببینsin⁡α=±1−cos⁡2αcos⁡α=±1−sin⁡2α\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha} \qquad \cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

علامت ±\pmادامهٔ فرمول را افقی ببین را ربع مثلثاتی تعیین می‌کند. برای ساده‌سازی هر عبارت، مطمئن‌ترین راه تبدیل همه چیز به sin⁡\sinادامهٔ فرمول را افقی ببین و cos⁡\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ در کسرها هم ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج گره را باز می‌کند: 11+sin⁡θ⋅1−sin⁡θ1−sin⁡θ=1−sin⁡θcos⁡2θ\frac{1}{1+\sin\theta} \cdot \frac{1-\sin\theta}{1-\sin\theta} = \frac{1-\sin\theta}{\cos^2\theta}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

تبدیل زوایا و تناوب

sin⁡(90°−α)=cos⁡αtan⁡(90°−α)=cot⁡α\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha \qquad \tan(90° - \alpha) = \cot\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببینsin⁡(180°−α)=sin⁡αcos⁡(180°−α)=−cos⁡α\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha \qquad \cos(180° - \alpha) = -\cos\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببینsin⁡(180°+α)=−sin⁡αtan⁡(180°+α)=tan⁡α\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha \qquad \tan(180° + \alpha) = \tan\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببینsin⁡(−α)=−sin⁡αcos⁡(−α)=cos⁡αtan⁡(−α)=−tan⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha \qquad \cos(-\alpha) = \cos\alpha \qquad \tan(-\alpha) = -\tan\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین

یعنی sin⁡\sinادامهٔ فرمول را افقی ببین و tan⁡\tanادامهٔ فرمول را افقی ببین و cot⁡\cotادامهٔ فرمول را افقی ببین توابع فرد و cos⁡\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین تابع زوج است. دورهٔ تناوب sin⁡\sinادامهٔ فرمول را افقی ببین و cos⁡\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 360°360°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و دورهٔ tan⁡\tanادامهٔ فرمول را افقی ببین و cot⁡\cotادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ با همین قاعده زوایای بزرگ ساده می‌شوند، مثلاً sin⁡750°=sin⁡30°=12\sin 750° = \sin 30° = \frac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

فراتر از کتاب: فرمول‌های جمع زوایا مقادیر غیراستاندارد را می‌سازند:

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡βcos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \qquad \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\betaادامهٔ فرمول را افقی ببین

تله‌های رایج

  • علامت دو نسبت، ربع را لو می‌دهد: sin⁡θ>0\sin\theta > 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین و cos⁡θ<0\cos\theta < 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی ربع دوم؛ sin⁡θ<0\sin\theta < 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین و tan⁡θ>0\tan\theta > 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی ربع سوم.
  • هنگام ریشه‌گرفتن از اتحاد اصلی، علامت را از روی ربع انتخاب کنید، نه به‌طور خودکار مثبت.
  • تساوی‌ای که برای همهٔ مقادیر θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین برقرار باشد اتحاد است؛ اگر فقط برای مقادیر خاص برقرار باشد، معادله است.

سؤال تستی

۱۰ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. نقطهٔ متناظر با زاویهٔ 180∘180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین روی دایرهٔ مثلثاتی کدام است؟

  • (0,−1)(0,-1)ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • (1,0)(1,0)ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • (0,1)(0,1)ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • (−1,0)(-1,0)ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«(−1,0)(-1,0)ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. از نقطهٔ شروع (1,0)(1,0)ادامهٔ فرمول را افقی ببین اگر 180∘180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخیم، به سمت چپ محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم. پس مختصات نقطه برابر (−1,0)(-1,0)ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. تلهٔ تستی: مؤلفهٔ xxادامهٔ فرمول را افقی ببین نقطهٔ متناظر با cos⁡θ\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین و مؤلفهٔ yyادامهٔ فرمول را افقی ببین با sin⁡θ\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین متناظر است؛ جابه‌جاییِ این دو، یک ربع را با ربعِ همسایه‌اش اشتباه می‌کند.

2. اگر sin⁡θ=513\sin\theta=\dfrac{5}{13}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین در ربع دوم باشد، cos⁡θ\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 512\dfrac{5}{12}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1213\dfrac{12}{13}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −1213-\dfrac{12}{13}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −512-\dfrac{5}{12}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−1213-\dfrac{12}{13}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. از اتحاد sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم cos⁡2θ=1−25169=144169\cos^2\theta=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس cos⁡θ=±1213\cos\theta=\pm\dfrac{12}{13}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. چون زاویه در ربع دوم است، کسینوس منفی می‌شود؛ پس cos⁡θ=−1213\cos\theta=-\dfrac{12}{13}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. تلهٔ تستی: علامتِ نسبت‌هایِ مثلثاتی فقط با قاعدهٔ ASTC (ربعِ اول همه، دوم فقط sin⁡\sinادامهٔ فرمول را افقی ببین، سوم فقط tan⁡\tanادامهٔ فرمول را افقی ببین، چهارم فقط cos⁡\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین) تعیین می‌شود؛ حدس‌زدنِ علامت بدونِ مراجعه به این قاعده رایج‌ترین خطاست.

3. اگر sin⁡θ=513\sin\theta=\dfrac{5}{13}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین در ربع دوم باشد، tan⁡θ\tan\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر است با

  • −125-\dfrac{12}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 125\dfrac{12}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −512-\dfrac{5}{12}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 512\dfrac{5}{12}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−512-\dfrac{5}{12}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. در ربعِ دوم cos⁡θ<0\cos\theta<0ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس از اتحادِ اصلی cos⁡θ=−1−25/169=−1213\cos\theta=-\sqrt{1-25/169}=-\dfrac{12}{13}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. بنابراین tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=5/13−12/13=−512\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{5/13}{-12/13}=-\dfrac{5}{12}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «512\dfrac{5}{12}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون علامتِ منفیِ cos⁡θ\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین در ربعِ دوم نادیده گرفته شده. «−125-\dfrac{12}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «125\dfrac{12}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شوند چون کسر معکوس محاسبه شده. تلهٔ تستی: علامتِ نسبت‌هایِ مثلثاتی فقط با قاعدهٔ ASTC (ربعِ اول همه، دوم فقط sin⁡\sinادامهٔ فرمول را افقی ببین، سوم فقط tan⁡\tanادامهٔ فرمول را افقی ببین، چهارم فقط cos⁡\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین) تعیین می‌شود؛ حدس‌زدنِ علامت بدونِ مراجعه به این قاعده رایج‌ترین خطاست.

4. کدام گزینه همواره برابر sec⁡2θ\sec^2\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین است؟

  • sin⁡2θ+1\sin^2\theta+1ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1−tan⁡2θ1-\tan^2\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1+tan⁡2θ1+\tan^2\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1+cot⁡2θ1+\cot^2\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«1+tan⁡2θ1+\tan^2\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. از تقسیم اتحاد اصلی بر cos⁡2θ\cos^2\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین نتیجه می‌گیریم tan⁡2θ+1=sec⁡2θ\tan^2\theta+1=\sec^2\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین. گزینهٔ 1+cot⁡2θ1+\cot^2\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر csc⁡2θ\csc^2\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین است، نه سکانت مربع. تلهٔ تستی: فرمول‌هایِ cos⁡2θ\cos2\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین سه شکلِ هم‌ارز دارند (cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^2\theta-\sin^2\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین، 1−2sin⁡2θ1-2\sin^2\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین، 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta-1ادامهٔ فرمول را افقی ببین)؛ انتخابِ شکلِ نامناسب با اطلاعاتِ داده‌شده باعثِ محاسباتِ اضافی یا خطا می‌شود.

5. اگر cot⁡θ=−2\cot\theta=-2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین در ربع دوم باشد، sin⁡θ\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 15\dfrac{1}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 25\dfrac{2}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −15-\dfrac{1}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −25-\dfrac{2}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«15\dfrac{1}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. از cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=−2\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=-2ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌فهمیم قدرمطلق کسینوس دو برابر قدرمطلق سینوس است. اگر sin⁡θ=y\sin\theta=yادامهٔ فرمول را افقی ببین و cos⁡θ=−2y\cos\theta=-2yادامهٔ فرمول را افقی ببین، از y2+4y2=1y^2+4y^2=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم 5y2=15y^2=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس y=±15y=\pm\dfrac1{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. چون ربع دوم است، سینوس مثبت می‌شود؛ بنابراین sin⁡θ=15\sin\theta=\dfrac1{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. تلهٔ تستی: علامتِ نسبت‌هایِ مثلثاتی فقط با قاعدهٔ ASTC (ربعِ اول همه، دوم فقط sin⁡\sinادامهٔ فرمول را افقی ببین، سوم فقط tan⁡\tanادامهٔ فرمول را افقی ببین، چهارم فقط cos⁡\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین) تعیین می‌شود؛ حدس‌زدنِ علامت بدونِ مراجعه به این قاعده رایج‌ترین خطاست.

6. اگر cot⁡θ=−2\cot\theta=-2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین در ربع دوم باشد، cos⁡θ\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 15\dfrac{1}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −25-\dfrac{2}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 25\dfrac{2}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −15-\dfrac{1}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−25-\dfrac{2}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. چون cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=−2\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=-2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، داریم cos⁡θ=−2sin⁡θ\cos\theta=-2\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین. با جای‌گذاری در اتحادِ اصلی: sin⁡2θ+4sin⁡2θ=1⇒sin⁡θ=15\sin^2\theta+4\sin^2\theta=1\Rightarrow\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (مثبت، چون در ربعِ دوم sin⁡θ>0\sin\theta>0ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، پس cos⁡θ=−2×15=−25\cos\theta=-2\times\dfrac{1}{\sqrt5}=-\dfrac{2}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «25\dfrac{2}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون علامتِ منفیِ ربعِ دوم نادیده گرفته شده. «−15-\dfrac{1}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «15\dfrac{1}{\sqrt5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شوند چون به‌جایِ cos⁡θ\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین، مقدارِ sin⁡θ\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین گرفته شده. تلهٔ تستی: از cot⁡θ\cot\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌توان مستقیماً نسبتِ cos⁡θ=−2sin⁡θ\cos\theta=-2\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین را ساخت و در اتحادِ اصلی جای‌گذاری کرد؛ نیازی به محاسبهٔ جداگانهٔ زاویه نیست.

7. اگر معادلهٔ خط y=−3x+5y=-\sqrt3x+5ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، زاویهٔ آن با محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین در بازهٔ 0∘0^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین تا 180∘180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 120∘120^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 150∘150^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 30∘30^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 60∘60^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«120∘120^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. شیب خط m=−3m=-\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و باید زاویه‌ای در بازهٔ 0∘0^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین تا 180∘180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین بیابیم که تانژانتش −3-\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد. چون tan⁡120∘=−3\tan120^\circ=-\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین، زاویهٔ مورد نظر 120∘120^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ 60∘60^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین تانژانت مثبت دارد. تلهٔ تستی: وقتی زاویهٔ داخلِ تابع ضریبی مثلِ 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد، بازهٔ آن زاویه هم به همان نسبت گسترش می‌یابد (مثلاً [0∘,360∘)[0^\circ,360^\circ)ادامهٔ فرمول را افقی ببین برایِ 2x2xادامهٔ فرمول را افقی ببین به [0∘,720∘)[0^\circ,720^\circ)ادامهٔ فرمول را افقی ببین تبدیل می‌شود)؛ فراموش‌کردنِ این گسترش نیمی از جواب‌ها را حذف می‌کند.

8. اگر tan⁡θ=−3\tan\theta=-\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین و θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین در بازهٔ 0∘0^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین تا 180∘180^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر است با

  • 60∘60^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 120∘120^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 150∘150^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 30∘30^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«120∘120^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. در این بازه، تانژانت منفی فقط در ربع دوم است. زاویهٔ مرجع برای مقدار 3\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 60∘60^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس زاویهٔ اصلی 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. تلهٔ تستی: وقتی زاویهٔ داخلِ تابع ضریبی مثلِ 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد، بازهٔ آن زاویه هم به همان نسبت گسترش می‌یابد (مثلاً [0∘,360∘)[0^\circ,360^\circ)ادامهٔ فرمول را افقی ببین برایِ 2x2xادامهٔ فرمول را افقی ببین به [0∘,720∘)[0^\circ,720^\circ)ادامهٔ فرمول را افقی ببین تبدیل می‌شود)؛ فراموش‌کردنِ این گسترش نیمی از جواب‌ها را حذف می‌کند.

9. اگر sin⁡75∘\sin75^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین را با فرمول جمع زوایا محاسبه کنیم، کدام گزینه درست است؟

  • 6−24\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 3+12\dfrac{\sqrt3+1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 3−12\dfrac{\sqrt3-1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. داریم sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین. با جایگذاری مقادیر خاص به 22⋅32+22⋅12=6+24\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم. تلهٔ تستی: در فرمولِ sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta)ادامهٔ فرمول را افقی ببین علامتِ بینِ دو جمله همیشه مثبت است، اما در cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta)ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه منفی؛ خلطِ این دو فرمول با هم رایج‌ترین خطاست.

10. کدام گزینه برابر cos⁡15∘\cos15^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین است؟

  • 6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 32\dfrac{\sqrt3}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 22\dfrac{\sqrt2}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 6−24\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. با استفاده از فرمول تفاضل کسینوس داریم cos⁡15∘=cos⁡(45∘−30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=6+24\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. تلهٔ تستی: در فرمولِ sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta)ادامهٔ فرمول را افقی ببین علامتِ بینِ دو جمله همیشه مثبت است، اما در cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta)ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه منفی؛ خلطِ این دو فرمول با هم رایج‌ترین خطاست.

مباحث مرتبط

الگو، دنباله و مجموعه‌ها (هنر)توان گویا و عبارت‌های جبری (هنر)معادلهٔ درجهٔ دوم و نامعادله‌ها (هنر)اصل شمارش، جایگشت و ترکیب (هنر)میانگین، پراکندگی و احتمال (هنر)نسبت، تناسب و نسبت طلایی (هنر)درصد، سود، زیان و تخفیف (هنر)مکان هندسی، ترسیم و استدلال (هنر)قضیهٔ تالس و تشابه مثلث‌ها (هنر)چندضلعی‌ها، زاویه‌ها و مساحت (هنر)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان