پرش به محتوای اصلی

نسبت های مثلثاتی (هنر)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

نسبت های مثلثاتی (هنر)

از زاویهٔ دید تا عدد

وقتی از فاصلهٔ معینی به نوکِ یک بنا نگاه می‌کنید، خط دید شما با افق زاویه‌ای می‌سازد و همین زاویه، ارتفاع را تعیین می‌کند؛ همان‌طور که طول سایه در ساعت‌های مختلف روز با شیب نور تغییر می‌کند. مثلثات دقیقاً ابزارِ ترجمهٔ «زاویه» به «نسبتِ طول‌ها»ست: هواپیمایی در ارتفاع 2 km2\text{ km} با زاویهٔ فرود 13°13° نسبت به افق را در نظر بگیرید؛ فاصلهٔ افقی تا نقطهٔ فرود از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

tan⁡13°≈0.23⇒2d=0.23⇒d≈8.7 km\tan 13° \approx 0.23 \Rightarrow \frac{2}{d} = 0.23 \Rightarrow d \approx 8.7 \text{ km}

پشتوانهٔ این کار تشابه است: در دو مثلث قائم‌الزاویه که یک زاویهٔ حاده مشترک دارند، نسبت اضلاع متناظر ثابت است، صرف‌نظر از اندازهٔ مثلث. همین ثبات اجازه می‌دهد به هر زاویه یک عدد نسبت دهیم.

چهار نسبت در مثلث قائم

در مثلث قائم‌الزاویهٔ ABCABC با زاویهٔ قائمهٔ CC:

sin⁡A=ضلع مقابلوتر=BCABcos⁡A=ضلع مجاوروتر=ACAB\sin A = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}} = \frac{BC}{AB} \qquad \cos A = \frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}} = \frac{AC}{AB}
tan⁡A=ضلع مقابلضلع مجاور=BCACcot⁡A=ACBC\tan A = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}} = \frac{BC}{AC} \qquad \cot A = \frac{AC}{BC}
tan⁡A=sin⁡Acos⁡Acot⁡A=cos⁡Asin⁡A=1tan⁡A\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \qquad \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{1}{\tan A}

مقادیر استاندارد را از دو شکل ساده می‌توان ساخت: مثلث قائمِ متساوی‌الساقین با ساق 11 (وتر 2\sqrt2) مقادیر 45°45° را می‌دهد و مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع 22 و ارتفاع 3\sqrt3 مقادیر 30°30° و 60°60° را:

sin⁡30°=12,sin⁡45°=22,sin⁡60°=32\sin 30° = \frac{\sqrt{1}}{2}, \quad \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}

عدد زیر رادیکال از 11 تا 33 بالا می‌رود؛ کسینوس همین جدول را برعکس می‌خواند و tan⁡30°=33\tan 30° = \frac{\sqrt3}{3}، tan⁡45°=1\tan 45° = 1، tan⁡60°=3\tan 60° = \sqrt3.

مساحت با زاویه

وقتی دو ضلع و زاویهٔ بینشان را دارید (حالت رایج در ترسیم و پیمایش)، نیازی به ارتفاع نیست:

S△ABC=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡BS_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B

زیرا ارتفاع وارد بر یک ضلع، خودش برابر ضلع دیگر ضربدر سینوس زاویه است.

شیب خط، همان تانژانت است

اگر خطی با جهت مثبت محور xx زاویهٔ α\alpha بسازد، شیب آن برابر است با:

m=tan⁡αy−y0=tan⁡α⋅(x−x0)m = \tan\alpha \qquad y - y_0 = \tan\alpha \cdot (x - x_0)

پس «شیب سایه»، «شیب رمپ» و «شیب خط در دستگاه مختصات» یک مفهوم‌اند. خط موازی محور xx شیب 00 دارد و خط عمود بر آن (α=90°\alpha = 90°) شیبش تعریف‌نشده است.

گسترش به دایرهٔ مثلثاتی

برای زوایای بزرگ‌تر از 90°90°، مثلث قائم کافی نیست. دایره‌ای به مرکز مبدأ و شعاع 11 می‌کشیم؛ چرخش خلاف جهت عقربه‌های ساعت زاویهٔ مثبت و هم‌جهت با آن زاویهٔ منفی است. اگر P(x,y)P(x,y) روی این دایره باشد و OP→\overrightarrow{OP} با محور xx زاویهٔ θ\theta بسازد:

cos⁡θ=x,sin⁡θ=y\cos\theta = x, \qquad \sin\theta = y
tan⁡θ=yx(x≠0)cot⁡θ=xy(y≠0)\tan\theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0) \qquad \cot\theta = \frac{x}{y} \quad (y \neq 0)

محور xx «محور کسینوس» و محور yy «محور سینوس» نام می‌گیرد. چون نقطه روی دایرهٔ واحد است:

−1≤sin⁡θ≤1−1≤cos⁡θ≤1-1 \leq \sin\theta \leq 1 \qquad -1 \leq \cos\theta \leq 1

ولی تانژانت و کتانژانت کران ندارند. در زوایای مرزی، tan⁡\tan در 90°90° و 270°270° و cot⁡\cot در 0°0° و 180°180° تعریف‌نشده‌اند.

علامت‌ها بر حسب ربع: ربع اول همه مثبت، ربع دوم فقط sin⁡\sin، ربع سوم فقط tan⁡\tan (و cot⁡\cot)، ربع چهارم فقط cos⁡\cos — همان قاعدهٔ «ASTC».

اتحادهای بنیادی

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

این همان x2+y2=1x^2+y^2=1 دایرهٔ واحد است. با تقسیم آن بر cos⁡2α\cos^2\alpha و بر sin⁡2α\sin^2\alpha:

tan⁡2α+1=1cos⁡2α=sec⁡2αcot⁡2α+1=1sin⁡2α=csc⁡2α\tan^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha} = \sec^2\alpha \qquad \cot^2\alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2\alpha} = \csc^2\alpha
sin⁡α=±1−cos⁡2αcos⁡α=±1−sin⁡2α\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha} \qquad \cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}

علامت ±\pm را ربع مثلثاتی تعیین می‌کند. برای ساده‌سازی هر عبارت، مطمئن‌ترین راه تبدیل همه چیز به sin⁡\sin و cos⁡\cos است؛ در کسرها هم ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج گره را باز می‌کند: 11+sin⁡θ⋅1−sin⁡θ1−sin⁡θ=1−sin⁡θcos⁡2θ\frac{1}{1+\sin\theta} \cdot \frac{1-\sin\theta}{1-\sin\theta} = \frac{1-\sin\theta}{\cos^2\theta}.

تبدیل زوایا و تناوب

sin⁡(90°−α)=cos⁡αtan⁡(90°−α)=cot⁡α\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha \qquad \tan(90° - \alpha) = \cot\alpha
sin⁡(180°−α)=sin⁡αcos⁡(180°−α)=−cos⁡α\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha \qquad \cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha
sin⁡(180°+α)=−sin⁡αtan⁡(180°+α)=tan⁡α\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha \qquad \tan(180° + \alpha) = \tan\alpha
sin⁡(−α)=−sin⁡αcos⁡(−α)=cos⁡αtan⁡(−α)=−tan⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha \qquad \cos(-\alpha) = \cos\alpha \qquad \tan(-\alpha) = -\tan\alpha

یعنی sin⁡\sin و tan⁡\tan و cot⁡\cot توابع فرد و cos⁡\cos تابع زوج است. دورهٔ تناوب sin⁡\sin و cos⁡\cos برابر 360°360° و دورهٔ tan⁡\tan و cot⁡\cot برابر 180°180° است؛ با همین قاعده زوایای بزرگ ساده می‌شوند، مثلاً sin⁡750°=sin⁡30°=12\sin 750° = \sin 30° = \frac{1}{2}.

فراتر از کتاب: فرمول‌های جمع زوایا مقادیر غیراستاندارد را می‌سازند:

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡βcos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \qquad \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

تله‌های رایج

  • علامت دو نسبت، ربع را لو می‌دهد: sin⁡θ>0\sin\theta > 0 و cos⁡θ<0\cos\theta < 0 یعنی ربع دوم؛ sin⁡θ<0\sin\theta < 0 و tan⁡θ>0\tan\theta > 0 یعنی ربع سوم.
  • هنگام ریشه‌گرفتن از اتحاد اصلی، علامت را از روی ربع انتخاب کنید، نه به‌طور خودکار مثبت.
  • تساوی‌ای که برای همهٔ مقادیر θ\theta برقرار باشد اتحاد است؛ اگر فقط برای مقادیر خاص برقرار باشد، معادله است.

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. نقطهٔ متناظر با زاویهٔ 180∘180^\circ روی دایرهٔ مثلثاتی کدام است؟

  • (0,−1)(0,-1)
  • (1,0)(1,0)
  • (0,1)(0,1)
  • (−1,0)(-1,0)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«(−1,0)(-1,0)» درست است. از نقطهٔ شروع (1,0)(1,0) اگر 180∘180^\circ خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخیم، به سمت چپ محور xx می‌رسیم. پس مختصات نقطه برابر (−1,0)(-1,0) است. تلهٔ تستی: مؤلفهٔ xx نقطهٔ متناظر با cos⁡θ\cos\theta و مؤلفهٔ yy با sin⁡θ\sin\theta متناظر است؛ جابه‌جاییِ این دو، یک ربع را با ربعِ همسایه‌اش اشتباه می‌کند.

2. اگر sin⁡θ=513\sin\theta=\dfrac{5}{13} و θ\theta در ربع دوم باشد، cos⁡θ\cos\theta کدام است؟

  • 512\dfrac{5}{12}
  • 1213\dfrac{12}{13}
  • −1213-\dfrac{12}{13}
  • −512-\dfrac{5}{12}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−1213-\dfrac{12}{13}» درست است. از اتحاد sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 داریم cos⁡2θ=1−25169=144169\cos^2\theta=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}، پس cos⁡θ=±1213\cos\theta=\pm\dfrac{12}{13}. چون زاویه در ربع دوم است، کسینوس منفی می‌شود؛ پس cos⁡θ=−1213\cos\theta=-\dfrac{12}{13}. تلهٔ تستی: علامتِ نسبت‌هایِ مثلثاتی فقط با قاعدهٔ ASTC (ربعِ اول همه، دوم فقط sin⁡\sin، سوم فقط tan⁡\tan، چهارم فقط cos⁡\cos) تعیین می‌شود؛ حدس‌زدنِ علامت بدونِ مراجعه به این قاعده رایج‌ترین خطاست.

3. اگر sin⁡θ=513\sin\theta=\dfrac{5}{13} و θ\theta در ربع دوم باشد، tan⁡θ\tan\theta برابر است با

  • −125-\dfrac{12}{5}
  • 125\dfrac{12}{5}
  • −512-\dfrac{5}{12}
  • 512\dfrac{5}{12}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−512-\dfrac{5}{12}» درست است. در ربعِ دوم cos⁡θ<0\cos\theta<0، پس از اتحادِ اصلی cos⁡θ=−1−25/169=−1213\cos\theta=-\sqrt{1-25/169}=-\dfrac{12}{13}. بنابراین tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=5/13−12/13=−512\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{5/13}{-12/13}=-\dfrac{5}{12}. «512\dfrac{5}{12}» رد می‌شود چون علامتِ منفیِ cos⁡θ\cos\theta در ربعِ دوم نادیده گرفته شده. «−125-\dfrac{12}{5}» و «125\dfrac{12}{5}» رد می‌شوند چون کسر معکوس محاسبه شده. تلهٔ تستی: علامتِ نسبت‌هایِ مثلثاتی فقط با قاعدهٔ ASTC (ربعِ اول همه، دوم فقط sin⁡\sin، سوم فقط tan⁡\tan، چهارم فقط cos⁡\cos) تعیین می‌شود؛ حدس‌زدنِ علامت بدونِ مراجعه به این قاعده رایج‌ترین خطاست.

4. کدام گزینه همواره برابر sec⁡2θ\sec^2\theta است؟

  • sin⁡2θ+1\sin^2\theta+1
  • 1−tan⁡2θ1-\tan^2\theta
  • 1+tan⁡2θ1+\tan^2\theta
  • 1+cot⁡2θ1+\cot^2\theta

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«1+tan⁡2θ1+\tan^2\theta» درست است. از تقسیم اتحاد اصلی بر cos⁡2θ\cos^2\theta نتیجه می‌گیریم tan⁡2θ+1=sec⁡2θ\tan^2\theta+1=\sec^2\theta. گزینهٔ 1+cot⁡2θ1+\cot^2\theta برابر csc⁡2θ\csc^2\theta است، نه سکانت مربع. تلهٔ تستی: فرمول‌هایِ cos⁡2θ\cos2\theta سه شکلِ هم‌ارز دارند (cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^2\theta-\sin^2\theta، 1−2sin⁡2θ1-2\sin^2\theta، 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta-1)؛ انتخابِ شکلِ نامناسب با اطلاعاتِ داده‌شده باعثِ محاسباتِ اضافی یا خطا می‌شود.

5. اگر cot⁡θ=−2\cot\theta=-2 و θ\theta در ربع دوم باشد، sin⁡θ\sin\theta کدام است؟

  • 15\dfrac{1}{\sqrt5}
  • 25\dfrac{2}{\sqrt5}
  • −15-\dfrac{1}{\sqrt5}
  • −25-\dfrac{2}{\sqrt5}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«15\dfrac{1}{\sqrt5}» درست است. از cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=−2\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=-2 می‌فهمیم قدرمطلق کسینوس دو برابر قدرمطلق سینوس است. اگر sin⁡θ=y\sin\theta=y و cos⁡θ=−2y\cos\theta=-2y، از y2+4y2=1y^2+4y^2=1 داریم 5y2=15y^2=1، پس y=±15y=\pm\dfrac1{\sqrt5}. چون ربع دوم است، سینوس مثبت می‌شود؛ بنابراین sin⁡θ=15\sin\theta=\dfrac1{\sqrt5}. تلهٔ تستی: علامتِ نسبت‌هایِ مثلثاتی فقط با قاعدهٔ ASTC (ربعِ اول همه، دوم فقط sin⁡\sin، سوم فقط tan⁡\tan، چهارم فقط cos⁡\cos) تعیین می‌شود؛ حدس‌زدنِ علامت بدونِ مراجعه به این قاعده رایج‌ترین خطاست.

6. اگر cot⁡θ=−2\cot\theta=-2 و θ\theta در ربع دوم باشد، cos⁡θ\cos\theta کدام است؟

  • 15\dfrac{1}{\sqrt5}
  • −25-\dfrac{2}{\sqrt5}
  • 25\dfrac{2}{\sqrt5}
  • −15-\dfrac{1}{\sqrt5}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−25-\dfrac{2}{\sqrt5}» درست است. چون cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=−2\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=-2، داریم cos⁡θ=−2sin⁡θ\cos\theta=-2\sin\theta. با جای‌گذاری در اتحادِ اصلی: sin⁡2θ+4sin⁡2θ=1⇒sin⁡θ=15\sin^2\theta+4\sin^2\theta=1\Rightarrow\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt5} (مثبت، چون در ربعِ دوم sin⁡θ>0\sin\theta>0)، پس cos⁡θ=−2×15=−25\cos\theta=-2\times\dfrac{1}{\sqrt5}=-\dfrac{2}{\sqrt5}. «25\dfrac{2}{\sqrt5}» رد می‌شود چون علامتِ منفیِ ربعِ دوم نادیده گرفته شده. «−15-\dfrac{1}{\sqrt5}» و «15\dfrac{1}{\sqrt5}» رد می‌شوند چون به‌جایِ cos⁡θ\cos\theta، مقدارِ sin⁡θ\sin\theta گرفته شده. تلهٔ تستی: از cot⁡θ\cot\theta می‌توان مستقیماً نسبتِ cos⁡θ=−2sin⁡θ\cos\theta=-2\sin\theta را ساخت و در اتحادِ اصلی جای‌گذاری کرد؛ نیازی به محاسبهٔ جداگانهٔ زاویه نیست.

7. اگر معادلهٔ خط y=−3x+5y=-\sqrt3x+5 باشد، زاویهٔ آن با محور xx در بازهٔ 0∘0^\circ تا 180∘180^\circ کدام است؟

  • 120∘120^\circ
  • 150∘150^\circ
  • 30∘30^\circ
  • 60∘60^\circ

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«120∘120^\circ» درست است. شیب خط m=−3m=-\sqrt3 است و باید زاویه‌ای در بازهٔ 0∘0^\circ تا 180∘180^\circ بیابیم که تانژانتش −3-\sqrt3 باشد. چون tan⁡120∘=−3\tan120^\circ=-\sqrt3، زاویهٔ مورد نظر 120∘120^\circ است؛ 60∘60^\circ تانژانت مثبت دارد. تلهٔ تستی: وقتی زاویهٔ داخلِ تابع ضریبی مثلِ 22 یا 33 دارد، بازهٔ آن زاویه هم به همان نسبت گسترش می‌یابد (مثلاً [0∘,360∘)[0^\circ,360^\circ) برایِ 2x2x به [0∘,720∘)[0^\circ,720^\circ) تبدیل می‌شود)؛ فراموش‌کردنِ این گسترش نیمی از جواب‌ها را حذف می‌کند.

8. اگر tan⁡θ=−3\tan\theta=-\sqrt3 و θ\theta در بازهٔ 0∘0^\circ تا 180∘180^\circ باشد، θ\theta برابر است با

  • 60∘60^\circ
  • 120∘120^\circ
  • 150∘150^\circ
  • 30∘30^\circ

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«120∘120^\circ» درست است. در این بازه، تانژانت منفی فقط در ربع دوم است. زاویهٔ مرجع برای مقدار 3\sqrt3 برابر 60∘60^\circ است، پس زاویهٔ اصلی 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circ می‌شود. تلهٔ تستی: وقتی زاویهٔ داخلِ تابع ضریبی مثلِ 22 یا 33 دارد، بازهٔ آن زاویه هم به همان نسبت گسترش می‌یابد (مثلاً [0∘,360∘)[0^\circ,360^\circ) برایِ 2x2x به [0∘,720∘)[0^\circ,720^\circ) تبدیل می‌شود)؛ فراموش‌کردنِ این گسترش نیمی از جواب‌ها را حذف می‌کند.

9. اگر sin⁡75∘\sin75^\circ را با فرمول جمع زوایا محاسبه کنیم، کدام گزینه درست است؟

  • 6−24\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}
  • 6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}
  • 3+12\dfrac{\sqrt3+1}{2}
  • 3−12\dfrac{\sqrt3-1}{2}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}» درست است. داریم sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ. با جایگذاری مقادیر خاص به 22⋅32+22⋅12=6+24\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} می‌رسیم. تلهٔ تستی: در فرمولِ sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) علامتِ بینِ دو جمله همیشه مثبت است، اما در cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) همیشه منفی؛ خلطِ این دو فرمول با هم رایج‌ترین خطاست.

10. کدام گزینه برابر cos⁡15∘\cos15^\circ است؟

  • 6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}
  • 32\dfrac{\sqrt3}{2}
  • 22\dfrac{\sqrt2}{2}
  • 6−24\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}» درست است. با استفاده از فرمول تفاضل کسینوس داریم cos⁡15∘=cos⁡(45∘−30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=6+24\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. تلهٔ تستی: در فرمولِ sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) علامتِ بینِ دو جمله همیشه مثبت است، اما در cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) همیشه منفی؛ خلطِ این دو فرمول با هم رایج‌ترین خطاست.

مباحث مرتبط

مجموعه، الگو و دنباله (هنر)توان های گویا و عبارت های جبری (هنر)معادله ها و نامعادله ها (هنر)شمارش، بدون شمردن (هنر)آمار و احتمال (هنر)نسبت و تناسب (هنر)درصد و کاربردهای آناستدلال و ترسیم های هندسی (هنر)قضیه تالس، تشابه و کاربردهای آن (هنر)چندضلعی ها (هنر)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان