تجسم فضایی و تشخیص و شمارش اشکال هندسی (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«متنافر» درست است. خطِ $d_1$ در نقطهٔ $A$ بر صفحهٔ قاعده عمود است، پس تنها نقطهٔ مشترکش با آن صفحه $A$ است؛ و $d_2$ درونِ همان صفحه است ولی از $A$ نمی‌گذرد. بنابراین دو خط هیچ نقطهٔ مشترکی ندارند و چون $d_1$ در صفحهٔ قاعده نیست، موازی هم نیستند ⇒ متنافرند. **وارسیِ مستقل با مختصات:** قاعده را صفحهٔ $z=0$ و $A=(0,0,0)$، $B=(1,0,0)$، $C=(1,1,0)$ بگیرید. آنگاه $d_1$ خطِ $(0,0,t)$ است و $d_2$ خطی در $z=0$ که از وسطِ $BC$ یعنی $(1,\tfrac12,0)$ می‌گذرد. برای تقاطع باید $t=0$ و $(0,0)$ روی $d_2$ باشد که با فرضِ «$d_2$ از $A$ نمی‌گذرد» ناسازگار است ⇒ بی‌تقاطع. **ردِ سایر گزینه‌ها:** «موازی» — بردارِ جهتِ $d_1$ برابر $(0,0,1)$ است و هر بردارِ جهتِ $d_2$ مؤلفهٔ $z$ صفر دارد، پس هرگز موازی نیستند. «متقاطع» — نشان دادیم نقطهٔ مشترک ندارند. «متقاطع و عمود بر هم» — عمود بودن برقرار است (چون $d_1\perp$ قاعده، بر هر خطِ آن صفحه از جمله $d_2$ عمود است)، اما شرطِ **متقاطع‌بودن** نقض می‌شود، پس این گزینه به‌عنوان یک کل نادرست است. تلهٔ تستی: در فضا، دو خطِ متنافر هم می‌توانند بر هم عمود باشند (زاویهٔ بردارهای جهتشان $90^\circ$). پس «عمود بودن» و «متقاطع بودن» دو چیزِ جدا هستند؛ اینجا $d_1\perp d_2$ برقرار است ولی وضعیتِ نسبیِ آن‌ها «متنافر» است، نه «متقاطع».

پاسخنامه‌ی تحلیلی

طبقِ قضیهٔ طلایی، چون $L$ بر دو خطِ متقاطعِ $m$ و $n$ از $\alpha$ عمود است، $L\perp\alpha$ می‌شود؛ و خطِ عمود بر یک صفحه بر **همهٔ** خطوطِ آن صفحه عمود است — نه فقط خطوطی که از پایِ عمود می‌گذرند. پس $L\perp k$. **وارسیِ مستقل با مختصات:** $\alpha$ را صفحهٔ $z=0$ و $A$ را مبدأ بگیرید؛ آنگاه بردارِ جهتِ $L$ برابر $(0,0,1)$ است. هر خطِ $k$ در $\alpha$ بردارِ جهتی به شکلِ $(p,q,0)$ دارد و $(0,0,1)\cdot(p,q,0)=0$، پس عمودند — هرچند چون $k$ از مبدأ نمی‌گذرد، $L$ و $k$ نقطهٔ مشترکی ندارند و متنافرند. **ردِ سایر گزینه‌ها:** گزینهٔ ۱ — نداشتنِ نقطهٔ مشترک مانعِ تعریفِ زاویه نیست؛ زاویهٔ دو خطِ متنافر با بردارهای جهتشان سنجیده می‌شود. گزینهٔ ۳ — $L$ بر $\alpha$ عمود است و هیچ خطی از $\alpha$ نمی‌تواند با آن موازی باشد. گزینهٔ ۴ — زاویهٔ $L$ با هر خطِ $\alpha$ همیشه $90^\circ$ است و به زاویهٔ $m$ و $n$ (که می‌تواند هر مقداری باشد) ربطی ندارد. تلهٔ تستی: عبارتِ «از $A$ نمی‌گذرد» وسوسه می‌کند که فکر کنیم قضیه دیگر کاربرد ندارد؛ اما نتیجهٔ قضیه ($L\perp\alpha$) یک حکمِ سراسری دربارهٔ کلِ صفحه است، نه فقط دربارهٔ خطوطِ گذرنده از پایِ عمود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$3$» درست است زیرا $l = \sqrt{6^2+8^2}=10$ و با استفاده از تشابه مثلث $\frac{8-r}{r} = \frac{10}{6}$ که $r=3$ می‌دهد. سایر گزینه‌ها خطای محاسبه در تناسب یا فیثاغورس هستند. تلهٔ تستی: اشتباه رایج جایگزینی مستقیم اعداد در فرمول‌های حفظی نادرست به‌جای رسم و تحلیل مقطع محوری مخروط (مثلث متساوی‌الساقین) و استفاده از تشابه دو مثلث برای یافتن شعاع کرهٔ محاطی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

دو گام لازم است. **گامِ اول (عمود بودن):** چون $d_2\perp\alpha$، بردارِ جهتِ $d_2$ همان بردارِ نرمالِ $\alpha$ است؛ و چون $d_1\parallel\alpha$، بردارِ جهتِ $d_1$ در فضایِ جهتیِ $\alpha$ قرار دارد. پس ضربِ داخلیِ آن دو صفر و $d_1\perp d_2$ است. **گامِ دوم (تقاطع):** «متنافر نبودن» یعنی هم‌صفحه‌اند، پس یا موازی‌اند یا متقاطع. موازی‌بودن ناممکن است (اگر $d_1\parallel d_2$ بود، از $d_2\perp\alpha$ نتیجه می‌شد $d_1\perp\alpha$، که با $d_1\parallel\alpha$ در تناقض است). پس حتماً یکدیگر را قطع می‌کنند و زاویه‌شان $90^\circ$ است. **وارسیِ مستقل با مختصات:** $\alpha:z=0$، $d_2$ محورِ $z$ و $d_1$ خطی با جهتِ $(1,0,0)$ در ارتفاعِ $z=c$. ضربِ داخلی $(0,0,1)\cdot(1,0,0)=0$ ✓. اگر $d_1$ محورِ $z$ را قطع نکند، دو خط متنافر می‌شوند؛ فرضِ سؤال این حالت را حذف کرده است. **ردِ سایر گزینه‌ها:** گزینهٔ ۱ — نشان دادیم موازی‌بودن به تناقض می‌رسد. گزینهٔ ۲ — زاویه همیشه دقیقاً $90^\circ$ است، پس $45^\circ$ ناممکن است. گزینهٔ ۴ — دو خطِ هم‌صفحه که موازی نیستند حتماً نقطهٔ مشترک دارند، پس «ممکن است مشترک نداشته باشند» نادرست است. تلهٔ تستی: قیدِ «متنافر نباشند» بی‌اثر به‌نظر می‌رسد ولی دقیقاً همان چیزی است که وضعیت را از «عمودِ متنافر» به «عمودِ متقاطع» قفل می‌کند؛ بدونِ آن، دو خط می‌توانستند عمود ولی بدونِ نقطهٔ مشترک باشند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«پنج‌ضلعی منظم» درست است، زیرا برش مکعب می‌تواند مثلث، مربع، مستطیل، ذوزنقه و شش‌ضلعی منظم باشد ولی هرگز پنج‌ضلعی منظم ایجاد نمی‌شود. سایر گزینه‌ها ممکن هستند. تلهٔ تستی: نباید «پنج‌ضلعی» را با «پنج‌ضلعی منظم» یکی گرفت — پنج‌ضلعی نامنظم از برش مکعب ممکن است، اما پنج‌ضلعی منظم به دلیل قید موازی‌بودن اجباری جفت وجوه مقابل مکعب هرگز حاصل نمی‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«خط راست» درست است، زیرا مقاطع مخروطی شامل دایره، بیضی، سهمی و هذلولی هستند. خط راست یک مقطع مخروطی محسوب نمی‌شود. سایر گزینه‌ها مقاطع مخروطی هستند. تلهٔ تستی: دایره را نباید چون ظاهر «ساده‌تری» دارد از مقاطع مخروطی کنار گذاشت؛ دایره حالت خاص بیضی است (برش عمود بر محور)، در حالی‌که خط راست حاصل از گذر صفحهٔ برش از رأس، مقطعی منحط و خارج از ۴ مقطع اصلی محسوب می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«مربع» هرگز مقطع مخروط قائم نیست. مثلث (برش از رأس)، سهمی (برش موازی مولد) و هذلولی (برش تندتر از مولد) ممکن‌اند. تلهٔ تستی: تصور غلط این است که هذلولی فقط از برش هر دو تیغهٔ مخروط دوتایی حاصل می‌شود؛ کافی است شیب صفحهٔ برش از شیب مولد تندتر باشد تا در همان یک تیغهٔ مخروط قائم، شاخه‌ای از هذلولی پدید آید — برخلاف مربع که هرگز از این برش حاصل نمی‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\ell$ و $m$ حتماً موازی‌اند» درست است زیرا هر دو خط بر یک صفحه عمودند و طبق قضیهٔ تعامد، چنین خطوطی موازی‌اند. سایر گزینه‌ها غلطند زیرا دو خط عمود بر یک صفحه نمی‌توانند متقاطع یا متنافر باشند و همچنین حتماً در یک صفحه‌اند (هم‌صفحه) و موازی. تلهٔ تستی: تصور غلط این است که دو خط عمود بر یک صفحه ممکن است در نقطه‌ای بیرون از صفحه یکدیگر را قطع کنند؛ اما چون از هر نقطهٔ بیرون صفحه فقط یک عمود منحصربه‌فرد بر آن صفحه می‌توان رسم کرد، دو چنین خطی الزاماً موازی‌اند (یا منطبق).

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\dfrac{\pi a^2 b^2}{3\sqrt{a^2+b^2}}$» درست است. وتر $c=\sqrt{a^2+b^2}$، ارتفاع وارد بر وتر $h=\frac{ab}{c}$ است. جسم حاصل دو مخروط با شعاع $h$ و مجموع ارتفاع $c$ است. حجم $=\frac{1}{3}\pi h^2 c = \frac{\pi a^2 b^2}{3c}$. سایر گزینه‌ها حاصل اشتباه در محاسبهٔ ارتفاع یا استفادهٔ نادرست از روابط هستند. تلهٔ تستی: اشتباه رایج این است که دوران حول وتر مانند دوران حول یک ساق، یک مخروط سادهٔ تکی تصور شود؛ در حالی‌که دوران حول وتر همیشه دو مخروط با قاعدهٔ مشترک (به شعاع ارتفاع وارد بر وتر) می‌سازد که مجموع ارتفاعشان برابر خودِ وتر است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«فاصلهٔ آنها با خط عمود مشترک اندازه‌گیری می‌شود» درست است. عبارت «همیشه یک صفحه شامل هر دو خط است» نادرست است زیرا دو خط متنافر هیچ صفحهٔ مشترکی ندارند؛ عبارت‌های «اگر بر هم عمود باشند حتماً متقاطع‌اند» و «این دو خط هرگز نمی‌توانند بر هم عمود باشند» نیز نادرستند، چون دو خط متنافر می‌توانند بدون هیچ تقاطعی بر هم عمود باشند. تلهٔ تستی: عادت هندسهٔ مسطح که در آن عمود بودن دو خط را با تقاطع آن‌ها یکی می‌دانیم، در فضا گمراه‌کننده است؛ دو خط متنافر کاملاً می‌توانند بر هم عمود باشند (زاویهٔ بردارهای جهتشان ۹۰° باشد) بدون آن‌که هرگز یکدیگر را قطع کنند.