تجسم فضایی و شمارش اشکال (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«متنافر» درست است. خطِ $d_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در نقطهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر صفحهٔ قاعده عمود است، پس تنها نقطهٔ مشترکش با آن صفحه $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ و $d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درونِ همان صفحه است ولی از $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمی‌گذرد. بنابراین دو خط هیچ نقطهٔ مشترکی ندارند و چون $d_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در صفحهٔ قاعده نیست، موازی هم نیستند ⇒ متنافرند. **وارسیِ مستقل با مختصات:** قاعده را صفحهٔ $z=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $A=(0,0,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $B=(1,0,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $C=(1,1,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیرید. آنگاه $d_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خطِ $(0,0,t)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و $d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خطی در $z=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که از وسطِ $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $(1,\tfrac12,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌گذرد. برای تقاطع باید $t=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(0,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد که با فرضِ «$d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمی‌گذرد» ناسازگار است ⇒ بی‌تقاطع. **ردِ سایر گزینه‌ها:** «موازی» — بردارِ جهتِ $d_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $(0,0,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و هر بردارِ جهتِ $d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مؤلفهٔ $z$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صفر دارد، پس هرگز موازی نیستند. «متقاطع» — نشان دادیم نقطهٔ مشترک ندارند. «متقاطع و عمود بر هم» — عمود بودن برقرار است (چون $d_1\perp$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قاعده، بر هر خطِ آن صفحه از جمله $d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عمود است)، اما شرطِ **متقاطع‌بودن** نقض می‌شود، پس این گزینه به‌عنوان یک کل نادرست است. تلهٔ تستی: در فضا، دو خطِ متنافر هم می‌توانند بر هم عمود باشند (زاویهٔ بردارهای جهتشان $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). پس «عمود بودن» و «متقاطع بودن» دو چیزِ جدا هستند؛ اینجا $d_1\perp d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برقرار است ولی وضعیتِ نسبیِ آن‌ها «متنافر» است، نه «متقاطع».

پاسخنامه‌ی تحلیلی

طبقِ قضیهٔ طلایی، چون $L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر دو خطِ متقاطعِ $m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از $\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عمود است، $L\perp\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود؛ و خطِ عمود بر یک صفحه بر **همهٔ** خطوطِ آن صفحه عمود است — نه فقط خطوطی که از پایِ عمود می‌گذرند. پس $L\perp k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. **وارسیِ مستقل با مختصات:** $\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را صفحهٔ $z=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را مبدأ بگیرید؛ آنگاه بردارِ جهتِ $L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $(0,0,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. هر خطِ $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بردارِ جهتی به شکلِ $(p,q,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد و $(0,0,1)\cdot(p,q,0)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس عمودند — هرچند چون $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از مبدأ نمی‌گذرد، $L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطهٔ مشترکی ندارند و متنافرند. **ردِ سایر گزینه‌ها:** گزینهٔ ۱ — نداشتنِ نقطهٔ مشترک مانعِ تعریفِ زاویه نیست؛ زاویهٔ دو خطِ متنافر با بردارهای جهتشان سنجیده می‌شود. گزینهٔ ۳ — $L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر $\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عمود است و هیچ خطی از $\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمی‌تواند با آن موازی باشد. گزینهٔ ۴ — زاویهٔ $L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با هر خطِ $\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و به زاویهٔ $m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (که می‌تواند هر مقداری باشد) ربطی ندارد. تلهٔ تستی: عبارتِ «از $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمی‌گذرد» وسوسه می‌کند که فکر کنیم قضیه دیگر کاربرد ندارد؛ اما نتیجهٔ قضیه ($L\perp\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) یک حکمِ سراسری دربارهٔ کلِ صفحه است، نه فقط دربارهٔ خطوطِ گذرنده از پایِ عمود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است زیرا $l = \sqrt{6^2+8^2}=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و با استفاده از تشابه مثلث $\frac{8-r}{r} = \frac{10}{6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که $r=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهد. سایر گزینه‌ها خطای محاسبه در تناسب یا فیثاغورس هستند. تلهٔ تستی: اشتباه رایج جایگزینی مستقیم اعداد در فرمول‌های حفظی نادرست به‌جای رسم و تحلیل مقطع محوری مخروط (مثلث متساوی‌الساقین) و استفاده از تشابه دو مثلث برای یافتن شعاع کرهٔ محاطی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

دو گام لازم است. **گامِ اول (عمود بودن):** چون $d_2\perp\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، بردارِ جهتِ $d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان بردارِ نرمالِ $\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ و چون $d_1\parallel\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، بردارِ جهتِ $d_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در فضایِ جهتیِ $\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرار دارد. پس ضربِ داخلیِ آن دو صفر و $d_1\perp d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. **گامِ دوم (تقاطع):** «متنافر نبودن» یعنی هم‌صفحه‌اند، پس یا موازی‌اند یا متقاطع. موازی‌بودن ناممکن است (اگر $d_1\parallel d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بود، از $d_2\perp\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌شد $d_1\perp\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، که با $d_1\parallel\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در تناقض است). پس حتماً یکدیگر را قطع می‌کنند و زاویه‌شان $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. **وارسیِ مستقل با مختصات:** $\alpha:z=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محورِ $z$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $d_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خطی با جهتِ $(1,0,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در ارتفاعِ $z=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. ضربِ داخلی $(0,0,1)\cdot(1,0,0)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓. اگر $d_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محورِ $z$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را قطع نکند، دو خط متنافر می‌شوند؛ فرضِ سؤال این حالت را حذف کرده است. **ردِ سایر گزینه‌ها:** گزینهٔ ۱ — نشان دادیم موازی‌بودن به تناقض می‌رسد. گزینهٔ ۲ — زاویه همیشه دقیقاً $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس $45^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ناممکن است. گزینهٔ ۴ — دو خطِ هم‌صفحه که موازی نیستند حتماً نقطهٔ مشترک دارند، پس «ممکن است مشترک نداشته باشند» نادرست است. تلهٔ تستی: قیدِ «متنافر نباشند» بی‌اثر به‌نظر می‌رسد ولی دقیقاً همان چیزی است که وضعیت را از «عمودِ متنافر» به «عمودِ متقاطع» قفل می‌کند؛ بدونِ آن، دو خط می‌توانستند عمود ولی بدونِ نقطهٔ مشترک باشند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«پنج‌ضلعی منظم» درست است، زیرا برش مکعب می‌تواند مثلث، مربع، مستطیل، ذوزنقه و شش‌ضلعی منظم باشد ولی هرگز پنج‌ضلعی منظم ایجاد نمی‌شود. سایر گزینه‌ها ممکن هستند. تلهٔ تستی: نباید «پنج‌ضلعی» را با «پنج‌ضلعی منظم» یکی گرفت — پنج‌ضلعی نامنظم از برش مکعب ممکن است، اما پنج‌ضلعی منظم به دلیل قید موازی‌بودن اجباری جفت وجوه مقابل مکعب هرگز حاصل نمی‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«خط راست» درست است، زیرا مقاطع مخروطی شامل دایره، بیضی، سهمی و هذلولی هستند. خط راست یک مقطع مخروطی محسوب نمی‌شود. سایر گزینه‌ها مقاطع مخروطی هستند. تلهٔ تستی: دایره را نباید چون ظاهر «ساده‌تری» دارد از مقاطع مخروطی کنار گذاشت؛ دایره حالت خاص بیضی است (برش عمود بر محور)، در حالی‌که خط راست حاصل از گذر صفحهٔ برش از رأس، مقطعی منحط و خارج از ۴ مقطع اصلی محسوب می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«مربع» هرگز مقطع مخروط قائم نیست. مثلث (برش از رأس)، سهمی (برش موازی مولد) و هذلولی (برش تندتر از مولد) ممکن‌اند. تلهٔ تستی: تصور غلط این است که هذلولی فقط از برش هر دو تیغهٔ مخروط دوتایی حاصل می‌شود؛ کافی است شیب صفحهٔ برش از شیب مولد تندتر باشد تا در همان یک تیغهٔ مخروط قائم، شاخه‌ای از هذلولی پدید آید — برخلاف مربع که هرگز از این برش حاصل نمی‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\ell$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حتماً موازی‌اند» درست است زیرا هر دو خط بر یک صفحه عمودند و طبق قضیهٔ تعامد، چنین خطوطی موازی‌اند. سایر گزینه‌ها غلطند زیرا دو خط عمود بر یک صفحه نمی‌توانند متقاطع یا متنافر باشند و همچنین حتماً در یک صفحه‌اند (هم‌صفحه) و موازی. تلهٔ تستی: تصور غلط این است که دو خط عمود بر یک صفحه ممکن است در نقطه‌ای بیرون از صفحه یکدیگر را قطع کنند؛ اما چون از هر نقطهٔ بیرون صفحه فقط یک عمود منحصربه‌فرد بر آن صفحه می‌توان رسم کرد، دو چنین خطی الزاماً موازی‌اند (یا منطبق).

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\dfrac{\pi a^2 b^2}{3\sqrt{a^2+b^2}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. وتر $c=\sqrt{a^2+b^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ارتفاع وارد بر وتر $h=\frac{ab}{c}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. جسم حاصل دو مخروط با شعاع $h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و مجموع ارتفاع $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. حجم $=\frac{1}{3}\pi h^2 c = \frac{\pi a^2 b^2}{3c}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. سایر گزینه‌ها حاصل اشتباه در محاسبهٔ ارتفاع یا استفادهٔ نادرست از روابط هستند. تلهٔ تستی: اشتباه رایج این است که دوران حول وتر مانند دوران حول یک ساق، یک مخروط سادهٔ تکی تصور شود؛ در حالی‌که دوران حول وتر همیشه دو مخروط با قاعدهٔ مشترک (به شعاع ارتفاع وارد بر وتر) می‌سازد که مجموع ارتفاعشان برابر خودِ وتر است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«فاصلهٔ آنها با خط عمود مشترک اندازه‌گیری می‌شود» درست است. عبارت «همیشه یک صفحه شامل هر دو خط است» نادرست است زیرا دو خط متنافر هیچ صفحهٔ مشترکی ندارند؛ عبارت‌های «اگر بر هم عمود باشند حتماً متقاطع‌اند» و «این دو خط هرگز نمی‌توانند بر هم عمود باشند» نیز نادرستند، چون دو خط متنافر می‌توانند بدون هیچ تقاطعی بر هم عمود باشند. تلهٔ تستی: عادت هندسهٔ مسطح که در آن عمود بودن دو خط را با تقاطع آن‌ها یکی می‌دانیم، در فضا گمراه‌کننده است؛ دو خط متنافر کاملاً می‌توانند بر هم عمود باشند (زاویهٔ بردارهای جهتشان ۹۰° باشد) بدون آن‌که هرگز یکدیگر را قطع کنند.