تبدیل‌های هندسی و تقارن (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«انتقال به بردار $(8, 0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. طبقِ قضیهٔ بازتابِ مضاعفِ موازی، ترکیبِ بازتاب نسبت به $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و سپس $x=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی معادلِ انتقالی به اندازهٔ $2\times(6-2)=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد در جهتِ مثبتِ محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (از خطِ اول به‌سمتِ خطِ دوم) است. «انتقال به بردار $(-8, 0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نادرست است و از خطای علامت (جهتِ عکس) ناشی می‌شود. «انتقال به بردار $(4, 0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نادرست است و از استفادهٔ نادرستِ فاصلهٔ خام (بدونِ ضربِ ۲) ناشی می‌شود. «انتقال به بردار $(2, 0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نادرست است و با هیچ محاسبهٔ صحیحی سازگار نیست. تلهٔ تستی: بازتابِ مضاعفِ موازی همیشه معادلِ انتقالی به اندازهٔ دو برابرِ فاصلهٔ دو خط است، نه خودِ فاصله؛ فراموش‌کردنِ این ضریبِ ۲ رایج‌ترین اشتباه است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«دوران $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خلاف‌ساعت حول مبدأ» درست است. با فرمولِ دورانِ $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پادساعت‌گرد $(x,y)\to(-y,x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $A(1,2)\to(-2,1)=A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $B(3,5)\to(-5,3)=B'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $C(6,3)\to(-3,6)=C'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ هر سه رأس دقیقاً با داده‌های مسئله مطابقت دارند. «بازتاب نسبت به محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نادرست است زیرا این فرمول $(x,-y)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهد که $A(1,2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به $(1,-2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌برد، نه $(-2,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. «بازتاب نسبت به $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نادرست است زیرا فرمولِ آن $(y,x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است که $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به $(2,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌برد. «دورانِ $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساعت‌گرد» نادرست است زیرا فرمولِ آن $(y,-x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است که $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به $(2,-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌برد. تلهٔ تستی: برایِ تشخیصِ نوعِ تبدیل از رویِ رئوسِ متناظر، کافی است فرمولِ هر تبدیل را فقط روی یک رأس امتحان کرد؛ نیازی به بررسیِ هر سه رأس نیست، اما باید دقت کرد که فرمولِ دقیقِ هر تبدیل (و نه یک نسخهٔ مشابهِ آن) به‌کار رود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. طبقِ فرمولِ تجانس، بردارِ $A-O=(5-1,2-1)=(4,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و بردارِ $A'-O=(13-1,4-1)=(12,3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ چون $(12,3)=3\times(4,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ضریبِ تجانس $k=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. «$2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$5/2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$7/3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نادرستند و همگی از استفادهٔ مستقیمِ مختصاتِ خامِ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (بدونِ کم‌کردنِ مرکزِ $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از هر دو نقطه) پیش از محاسبهٔ نسبت ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در تجانس با مرکزِ غیرِمبدأ، باید همیشه ابتدا بردارهایِ $A-O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $A'-O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را جداگانه محاسبه کرد و سپس نسبتِ آن‌ها را یافت؛ تقسیمِ مستقیمِ مختصاتِ خام (بدونِ کم‌کردنِ مرکز) رایج‌ترین منبعِ خطا در این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«تعداد محورهای تقارن آن ۶ است و مرکز تقارن دارد.» درست است. شش‌ضلعیِ منتظم $n=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضلع دارد که عددی زوج است؛ طبقِ قاعدهٔ کلی، تعدادِ محورهایِ تقارن همواره برابرِ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است (اینجا ۶) و مرکزِ تقارن فقط برایِ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج وجود دارد که این شرط اینجا برقرار است. گزینه‌هایِ دیگر نادرستند: «۶ محور و بدونِ مرکز» وجودِ مرکز را برایِ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج نادیده می‌گیرد؛ «۳ محور و دارایِ مرکز» تعدادِ محورها را اشتباه (نصفِ مقدارِ واقعی) بیان می‌کند؛ «۱۲ محور و بدونِ مرکز» هم تعدادِ محورها هم وجودِ مرکز را اشتباه بیان می‌کند. تلهٔ تستی: تعدادِ محورهایِ تقارنِ هر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی‌ضلعیِ منتظم همیشه دقیقاً برابرِ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است (نه $2n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و نه $\frac{n}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ وجودِ مرکزِ تقارن فقط به زوج‌بودنِ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بستگی دارد، نه به مقدارِ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$AM+MB=\sqrt{72}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد» درست است. طبقِ فرمولِ استانداردِ کمینهٔ مسیر (قضیهٔ هرون)، با فاصلهٔ افقیِ $6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و مجموعِ فاصله‌هایِ عمودیِ $4+2=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: کمینهٔ $AM+MB=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. «$AM+MB=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد» و «$AM+MB=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد» نادرستند و از محاسباتِ تقریبی یا جمعِ مستقیمِ فاصله‌ها (بدونِ به‌کاربردنِ فرمولِ رادیکالی) ناشی می‌شوند. «$AM+MB=\sqrt{52}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد» نادرست است و از جمعِ اشتباهِ مربع‌ها (مثلاً $6^2+4^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌جایِ $6^2+6^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: در فرمولِ کمینهٔ هرون، مؤلفهٔ عمودی همیشه مجموعِ دو فاصله (نه تفاضل یا فقط یکی از آن‌ها) است؛ فراموش‌کردنِ این جمع، رایج‌ترین اشتباه در این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$( -7 , 3 )$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. دورانِ $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پادساعت‌گرد روی $(2,3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با فرمولِ $(x,y)\to(-y,x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهد $P=(-3,2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ سپس انتقالِ $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با بردارِ $(-4,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهد $Q=(-3-4,\,2+1)=(-7,3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. وارسیِ مستقل: دوران طولپاست، پس $|OP|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید برابرِ $|O(2,3)|=\sqrt{13}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد: $|(-3,2)|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓؛ و $\overrightarrow{PQ}=(-4,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً همان بردارِ انتقال است ✓. «$(-1,3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نادرست است و از اعمالِ جابه‌جاییِ سادهٔ مختصات $(x,y)\to(y,x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یعنی فرمولِ بازتابِ $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) به‌جایِ دوران در گامِ اول ناشی می‌شود: با $P=(3,2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انتقال می‌دهد $(-1,3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. «$(-7,-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نادرست است و از خطای علامت در مؤلفهٔ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هنگامِ اعمالِ بردارِ انتقال ناشی می‌شود. «$(-5,-2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نادرست است و از اعمالِ دورانِ ساعت‌گرد (که $P=(3,-2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهد) و سپس انتقالِ نادرست ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: فرمولِ دورانِ $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پادساعت‌گرد $(-y,x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $(y,x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ فرمولِ دوم بازتاب است و جهتِ شکل را وارونه می‌کند. باید ابتدا $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را دقیق یافت و سپس بردارِ انتقال را به مختصاتِ $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نه نقطهٔ اصلی) افزود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«تصویر مربع با خود مربع بر هم منطبق است.» درست است. قطرِ مربع یک محورِ تقارنِ واقعیِ آن است؛ بازتاب نسبت به هر محورِ تقارن، شکل را دقیقاً بر خودش منطبق می‌کند، پس تصویرِ مربع همان مربعِ اصلی خواهد بود. «شکل حاصل یک لوزی است اما لزوماً مربع نیست» نادرست است زیرا تصویر دقیقاً همان مربعِ اصلی است، نه شکلی متفاوت. «مساحت شکل حاصل نصف مساحت مربع اولیه است» نادرست است زیرا بازتاب (به‌عنوانِ یک تبدیلِ طولپا) همیشه مساحت را دقیقاً حفظ می‌کند. «تصویر رأس $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با نقطهٔ $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منطبق می‌شود» نادرست است زیرا سؤال گزینه‌ای را می‌خواهد که **همواره** صادق باشد: اگر محورِ بازتاب قطرِ $BD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واقعاً به $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رود، اما اگر محورِ بازتاب قطرِ $AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی خودِ محور است و ثابت می‌ماند. پس این گزاره به انتخابِ قطر وابسته است و «همواره» برقرار نیست. تلهٔ تستی: وقتی محورِ بازتاب دقیقاً یک محورِ تقارنِ شکل باشد، همیشه تصویر با خودِ شکلِ اصلی منطبق می‌شود؛ اما سرنوشتِ یک رأسِ خاص به این بستگی دارد که آن رأس روی محور باشد یا نه — گزاره‌ای که فقط برای یکی از دو قطر درست است، «همواره» نیست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«دوران به‌اندازهٔ $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حولِ مرکز» درست است. دوران‌هایِ تقارنیِ یک $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی‌ضلعیِ منتظم فقط مضرب‌هایِ $\frac{360^\circ}{n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند؛ برایِ شش‌ضلعی ($n=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) این مقدار $60^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، و چون $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مضربِ $60^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست ($90\div60=1.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، این دوران شش‌ضلعی را به خودش نگاشت نمی‌کند. «بازتاب نسبت به دو رأسِ مقابل» و «بازتاب نسبت به وسطِ دو ضلعِ مقابل» هر دو محورهایِ تقارنِ معتبرِ شش‌ضلعی‌اند و شکل را به خودش می‌نگارند. «دوران به‌اندازهٔ $60^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حولِ مرکز» هم چون مضربِ دقیقِ $\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، یک دورانِ تقارنیِ معتبر است. تلهٔ تستی: فقط دوران‌هایی که مضربِ دقیقِ $\frac{360^\circ}{n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشند شکل را به خودش می‌نگارند؛ $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برایِ شش‌ضلعی مضربِ صحیحِ این زاویه نیست، حتی اگر عددی «آشنا» به‌نظر برسد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$AM + MB = A'B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً» درست است. چون $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بازتابِ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نسبت به $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، $AM=A'M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برایِ هر نقطهٔ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (طبقِ تعریفِ بازتاب و طولپا بودنِ آن)؛ در حالتِ بهینه که $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً روی پاره‌خطِ $A'B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرار دارد، $AM+MB=A'M+MB=A'B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (چون کوتاه‌ترین مسیرِ بینِ دو نقطه، خودِ پاره‌خطِ راست است). «$AM + MB > A'B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه» نادرست است زیرا این نامساوی فقط برایِ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی‌هایِ غیربهینه برقرار است، نه برایِ نقطهٔ کمینه‌سازِ موردِ بحث. «$AM + MB = AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه» نادرست است زیرا $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $A'B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یکی نیست، مگر در حالت‌هایِ بسیار خاص. «$AM + MB = \frac{1}{2}A'B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نادرست است و با هیچ رابطهٔ هندسیِ معتبری سازگار نیست. تلهٔ تستی: این تساوی فقط در حالتِ بهینه (وقتی $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً روی خطِ راستِ $A'B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد) برقرار است؛ برایِ هر انتخابِ دیگرِ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $AM+MB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه بزرگ‌تر از $A'B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خواهد بود، نه مساوی.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$(-4,-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. دورانِ $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (پادساعت‌گرد، طبقِ قراردادِ استاندارد) روی $P(3,4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهد $(-4,3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ سپس بازتابِ این نقطه نسبت به محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (که فقط علامتِ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را عوض می‌کند) می‌دهد $(-4,-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. وارسیِ مستقل: ترکیبِ «دورانِ $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پادساعت‌گرد، سپس بازتاب نسبت به محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» معادلِ بازتاب نسبت به خطِ $y=-x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است (چون $(x,y)\to(-y,x)\to(-y,-x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ اعمالِ آن روی $(3,4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مستقیماً می‌دهد $(-4,-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. ✓ «$(4,-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نادرست است و از دورانِ ساعت‌گرد $(x,y)\to(y,-x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و سپس فراموش‌کردنِ گامِ بازتاب ناشی می‌شود. «$(-3,4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نادرست است و از توقفِ محاسبه پس از گامِ دوران (بدونِ اعمالِ بازتاب) ناشی می‌شود. «$(3,-4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» نادرست است و از اعمالِ فقط بازتاب (بدونِ دوران) روی نقطهٔ اصلی ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: باید دقیقاً به ترتیبِ ذکرشده در متنِ سؤال (اول دوران، سپس بازتاب) عمل کرد و هر گام را روی نتیجهٔ گامِ قبلی (نه نقطهٔ اصلی) اعمال کرد.