Q: فرض کنید $A$ یک مجموعهٔ متناهی باشد. اگر $|P(A \times \emptyset)| = 1$ باشد و $|P(P(A))| = 256$، آنگاه $|A|$ کدام است؟

$3$ — «$3$» درست است. $A\times\emptyset=\emptyset$، پس $|P(A\times\emptyset)|=|P(\emptyset)|=1$ همیشه برقرار است (بدونِ اطلاعِ جدید). از $|P(P(A))|=2^{2^{|A|}}=256=2^8$: $2^{|A|}=8\Rightarrow|A|=3$. گزینهی $4$ از فراموشکردنِ یکی از دو توانِ تودرتو (محاسبهیِ $2^{|A|}=256$ بهجایِ $2^{2^{|A|}}=256$) میآید. تلهی تستی: $P(P(A))$ یعنی توانِ دوم (توانی از توانی)؛ فرمول $2^{2^n}$ است نه $2^{2n}$ یا $2^n$ — این دو توانِ متوالی را با هم قاطی نکنید.

Question 1

اگر $p$ و $q$ دو گزاره باشند و عبارت $(p \Rightarrow q) \vee (\sim p \wedge \sim q)$ نادرست باشد، آنگاه کدام گزینه درست است؟

Accepted Answer

ارزش $p$ درست و $q$ نادرست است. — «ارزش $p$ درست و $q$ نادرست است» درست است. برایِ نادرستیِ این فصلی، هر دو جزء باید نادرست باشند: $p\Rightarrow q$ نادرست یعنی $p$ درست و $q$ نادرست؛ در همین حالت $\sim p\wedge\sim q$ هم به‌طورِ خودکار نادرست است (چون $p$ نادرست نیست)، پس سازگار است.
سایرِ حالت‌ها یا $p\Rightarrow q$ را درست نگه می‌دارند یا $\sim p\wedge\sim q$ را درست می‌کنند.
تله‌ی تستی: در فصلیِ دو جزء، برایِ نادرستیِ کل باید هر دو جزء را هم‌زمان نادرست کرد؛ فقط یکی را بررسی‌کردن و نتیجه‌گیریِ زودهنگام، خطایِ رایج است.

Question 2

اگر $p$ و $q$ دو گزاره باشند، گزاره $(p \Rightarrow q) \vee (\sim p \wedge q)$ با کدام گزینه هم‌ارز است؟

Accepted Answer

$\sim q \Rightarrow \sim p$ — «$\sim q \Rightarrow \sim p$» درست است. $(p \Rightarrow q) \vee (\sim p \wedge q)$ در جدول ارزش دقیقاً همان ستون $p \Rightarrow q$ را می‌دهد، چون $\sim p \wedge q$ زیرمجموعه‌ی حالت‌هایی است که $p \Rightarrow q$ هم در آن‌ها درست است؛ و $\sim q \Rightarrow \sim p$ عکسِ نقیضِ $p \Rightarrow q$ است که همواره با آن هم‌ارز است.
«$\sim p \wedge q$» فقط زیرمجموعه‌ای از حالت‌های درستیِ عبارت است، نه معادلِ کاملِ آن (در حالت $p, q$ هر دو درست، عبارت اصلی درست است ولی $\sim p \wedge q$ نادرست می‌ماند). «$p \vee q$» در حالت $p$ درست و $q$ نادرست هم درست است، در حالی‌که عبارتِ اصلی در همین حالت نادرست است. «$q \Rightarrow p$» عکسِ $p \Rightarrow q$ است، نه عکسِ نقیض، و هم‌ارز نیست.
تله‌ی تستی: خیلی‌ها $\sim p \wedge q$ را چون بخشی از عبارتِ اصلی است، اشتباهاً معادلِ کاملِ آن می‌گیرند؛ عطفِ یک جزء با فصل فقط زمانی معادلِ عبارتِ کامل است که آن جزء زیرمجموعه‌ی دقیقِ حالت‌های درستیِ کل باشد، که اینجا کافی نیست.

Question 3

اگر $p$ و $q$ دو گزاره باشند و $r$ گزاره‌ای به صورت $r: (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)$ باشد، کدام یک از گزاره‌های زیر همواره (برای هر ارزشی از $p$ و $q$) درست است؟

Accepted Answer

$(p \wedge q) \Rightarrow r$ — «$(p\wedge q)\Rightarrow r$» درست است. $r$ بیانگرِ ارزشِ یکسانِ $p,q$ است؛ اگر $p\wedge q$ درست باشد، $p,q$ هر دو درستند، پس ارزشِ یکسان دارند و $r$ درست می‌شود. یعنی این شرطی همیشه برقرار است.
$(p\vee q)\Rightarrow r$ نادرست می‌شود وقتی مثلاً $p$ درست و $q$ نادرست باشد ($p\vee q$ درست ولی $r$ نادرست).
تله‌ی تستی: با عطف (نه فصل) مقدم را محدودتر کنید تا شرطی توتولوژی شود؛ فصلِ مقدم‌ها ($p\vee q$) حالت‌های بیشتری را پوشش می‌دهد که ممکن است $r$ را نقض کنند.

Question 4

اگر $A$ و $B$ دو مجموعه از $U$ باشند به طوری که $A \cap B = \emptyset$ و $A' \cap B' = \emptyset$، آنگاه کدام گزینه در مورد تعداد عناصر $A$ و $B$ درست است؟

Accepted Answer

$|A| = |B'|$ — «$|A|=|B'|$» درست است. از $A\cap B=\emptyset$ نتیجه می‌شود $A\subseteq B'$، و از $A'\cap B'=\emptyset$ (یعنی $(A\cup B)'=\emptyset$، پس $A\cup B=U$) نتیجه می‌شود $B'\subseteq A$. از این دو زیرمجموعگیِ متقابل، $A=B'$ و در نتیجه $|A|=|B'|$.
وارسیِ مستقل: دو شرطِ داده‌شده دقیقاً یعنی $\{A,B\}$ افرازِ $U$ است، پس $B=A'$؛ با یک مثالِ عددی $U=\{1,2,3\}$، $A=\{1\}$، $B=\{2,3\}$: $|A|=1$ و $|B'|=|\{1\}|=1$ ✓.
ردِ گزینه‌های دیگر: «$|A|=|B|$» یعنی $|A|=|A'|$ که فقط وقتی $|U|$ زوج و $A$ دقیقاً نیمی از $U$ باشد رخ می‌دهد (در مثالِ بالا $1
eq2$). «$|A|	imes|B|=|U|$» نادرست است چون در این افراز همیشه $|A|+|B|=|U|$ برقرار است نه حاصل‌ضرب (در مثالِ بالا $1	imes2=2
eq3$). «$|A-B|=0$» یعنی $A$ تهی است، چون $A-B=A\cap B'=A\cap A=A$؛ این از فرض‌ها نتیجه نمی‌شود.
تله‌ی تستی: هر یک از دو شرط به‌تنهایی فقط یک زیرمجموعگی می‌دهد؛ باید هر دو را کنارِ هم گذاشت تا تساویِ $A=B'$ به دست آید. توقف روی یک شرط، به رابطه‌ی ضعیف‌تر و گزینه‌ی اشتباه می‌رسد.

Question 5

اگر $n(A)=4$ و $n(B)=3$ و $n(A \cap B)=2$ باشد، تعداد اعضای مجموعه $P(A \cup B)-P(A-B)$ کدام است؟

Accepted Answer

$2^{5}-2^{2}$ — «$2^{5}-2^{2}$» درست است. $n(A\cup B)=4+3-2=5$ و $n(A-B)=4-2=2$. چون $A-B\subseteq A\cup B$، همه‌ی زیرمجموعه‌هایِ $A-B$ هم زیرمجموعه‌یِ $A\cup B$ هستند، پس $P(A\cup B)-P(A-B)$ دقیقاً $2^5-2^2$ عضو دارد.
گزینه‌ی $2^5-2^3$ از محاسبه‌یِ نادرستِ $n(A-B)$ (مثلاً برابر با $n(B)$) می‌آید.
تله‌ی تستی: قبل از تفریقِ توان‌های ۲، مطمئن شوید مجموعه‌یِ دوم واقعاً زیرمجموعه‌یِ اولی است (اینجا $A-B\subseteq A\cup B$ همیشه برقرار است)، وگرنه فرمولِ سادهٔ تفریق درست نیست.

Question 6

فرض کنید $p$ و $q$ دو گزاره باشند به طوری که ارزش گزاره $p \Rightarrow q$ نادرست باشد. کدام یک از گزاره‌های زیر قطعاً درست است؟

Accepted Answer

$p \wedge \sim q$ — «$p\wedge\sim q$» درست است. شرطیِ $p\Rightarrow q$ فقط در یک حالت نادرست می‌شود: مقدم درست و تالی نادرست، یعنی $p=$درست و $q=$نادرست. پس $\sim q=$درست و $p\wedge\sim q=$درست$\wedge$درست$=$درست.
وارسیِ مستقل: از هم‌ارزیِ $\sim(p\Rightarrow q)\equiv p\wedge\sim q$ نیز مستقیماً همین نتیجه می‌آید.
ردِ گزینه‌های دیگر (با جایگذاریِ $p=$درست، $q=$نادرست): $\sim p\wedge q=$نادرست$\wedge$نادرست$=$نادرست؛ $\sim(p\wedge\sim q)=\sim($درست$)=$نادرست (این دقیقاً نقیضِ پاسخِ درست است)؛ $\sim p\vee q=$نادرست$\vee$نادرست$=$نادرست.
تله‌ی تستی: نادرستیِ شرطی تنها یک ترکیبِ ارزش را مجاز می‌کند؛ همان یک ترکیب را در تک‌تکِ گزینه‌ها جایگذاری کنید. اگر گزینه‌ای را با استدلالِ کلامی («احتمالاً درست است») بپذیرید، نقیضِ پاسخ را هم ممکن است اشتباهاً انتخاب کنید.

Question 7

اگر $A$ و $B$ دو مجموعه از یک مجموعه مرجع $U$ باشند و بدانیم $|P(A \cup B)| = 128$ و $|P(A \cap B)| = 8$، آنگاه حداکثر تعداد اعضای $A 	imes B$ کدام است؟

Accepted Answer

25 — «$25$» درست است. $|A\cup B|=7,|A\cap B|=3\Rightarrow|A|+|B|=10$. برایِ بیشینه‌کردنِ $|A|	imes|B|$ با مجموعِ ثابت، دو عدد باید تا حدِ ممکن به هم نزدیک باشند: $|A|=|B|=5$، حاصل‌ضرب $25$.
گزینه‌ی $30$ از نادیده‌گرفتنِ قیدِ $|A|+|B|=10$ (فرضِ نادرستِ مقادیرِ دیگر) می‌آید.
تله‌ی تستی: بیشینه‌یِ حاصل‌ضربِ دو عدد با مجموعِ ثابت، همیشه در نزدیک‌ترین حالتِ ممکن به تساوی رخ می‌دهد، نه در دورترین.

Question 8

اگر $p$ و $q$ دو گزاره باشند، کدام گزاره $\sim(p \wedge q) \Rightarrow (\sim p \vee q)$ را نقض می‌کند؟

Accepted Answer

$p$ درست و $q$ نادرست — «$p$ درست و $q$ نادرست» درست است. برایِ نقضِ شرطی $\sim(p\wedge q)\Rightarrow(\sim p\vee q)$، باید مقدم درست و تالی نادرست باشد. با $p=$درست$,q=$نادرست: $\sim(p\wedge q)=$درست (مقدم برقرار) و $\sim p\vee q=$نادرست (تالی نقض).
سایرِ حالت‌ها یا مقدم را نادرست یا تالی را درست می‌کنند.
تله‌ی تستی: «نقض‌کردنِ شرطی» دقیقاً معادلِ «نادرست‌کردنش» است؛ باید هر دو جزء (مقدم و تالی) را هم‌زمان چک کرد.

Question 9

Accepted Answer

$3$ — «$3$» درست است. $A	imes\emptyset=\emptyset$، پس $|P(A	imes\emptyset)|=|P(\emptyset)|=1$ همیشه برقرار است (بدونِ اطلاعِ جدید). از $|P(P(A))|=2^{2^{|A|}}=256=2^8$: $2^{|A|}=8\Rightarrow|A|=3$.
گزینه‌ی $4$ از فراموش‌کردنِ یکی از دو توانِ تودرتو (محاسبه‌یِ $2^{|A|}=256$ به‌جایِ $2^{2^{|A|}}=256$) می‌آید.
تله‌ی تستی: $P(P(A))$ یعنی توانِ دوم (توانی از توانی)؛ فرمول $2^{2^n}$ است نه $2^{2n}$ یا $2^n$ — این دو توانِ متوالی را با هم قاطی نکنید.

Question 10

کدام گزاره با $\sim(\forall x \in A; (P(x) \Rightarrow Q(x)))$ هم‌ارز است؟

Accepted Answer

$\exists x \in A; (P(x) \wedge \sim Q(x))$ — «$\exists x\in A;(P(x)\wedge\sim Q(x))$» درست است. نقیضِ $\forall x;(P(x)\Rightarrow Q(x))$ برابرِ $\exists x;\sim(P(x)\Rightarrow Q(x))\equiv\exists x;(P(x)\wedge\sim Q(x))$ است.
گزینهٔ «$\exists x \in A; (\sim P(x) \wedge \sim Q(x))$» به‌جایِ نقیضِ تالی، هر دو طرف را نقیض کرده.
تله‌ی تستی: در نقیضِ $\forall x(P\Rightarrow Q)$، فقط $Q$ نقیض می‌شود نه $P$؛ نقیض‌کردنِ هر دو طرفِ شرطی (به‌جایِ فقط تالی) خطایِ رایجی است.

مفهوم	فرمول
نقیض مضاعف	$\sim(\sim p) \equiv p$
هم‌ارزی شرطی	$p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q$
عکس نقیض	$p \Rightarrow q \equiv \sim q \Rightarrow \sim p$
نقیض سور عمومی	$\sim(\forall x; P(x)) \equiv \exists x; \sim P(x)$
نقیض سور وجودی	$\sim(\exists x; P(x)) \equiv \forall x; \sim P(x)$
تعداد زیرمجموعه‌ها	$
قوانین دمورگان	$(A \cup B)' = A' \cap B'$ و $(A \cap B)' = A' \cup B'$
تفاضل	$A - B = A \cap B'$
شرط زیرمجموعه بودن	$A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B \Leftrightarrow A \cap B = A$
ضرب دکارتی	$

آشنایی با مبانی ریاضیات (علوم ریاضی)

خلاصه‌ی درسنامه

مقدمه: زبان ریاضی را بیاموزیم

بخش اول: منطق ریاضی

ترکیب گزاره‌ها

بخش دوم: جبر مجموعه‌ها

نکات کنکوری

جمع‌بندی فرمول‌های طلایی

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین