نمونه‌گیری و برآورد در آمار

مقدمه: از توصیف به استنباط

در آمار توصیفی، داده‌ها را خلاصه و نمایش می‌دادیم؛ هدف نهایی آمار اما استنباط است: نتیجه‌گیری درباره یک جامعه بر اساس اطلاعات یک نمونه.

بخش اول: مفاهیم بنیادی

جامعه آماری مجموعه کل واحدهای آماری و نمونه زیرمجموعه‌ای است که با روشی مشخص انتخاب می‌شود.

پارامتر مشخصه‌ای عددی از جامعه است (ثابت اما معمولاً مجهول)؛ آماره مشخصه‌ای عددی از نمونه است که برای تخمین پارامتر به کار می‌رود و از نمونه‌ای به نمونه تغییر می‌کند. مثال: میانگین قد تمام دانش‌آموزان یک مدرسه پارامتر است، میانگین قد یک نمونه ۳۰ نفره آماره.

بخش دوم: روش‌های نمونه‌گیری

تصادفی ساده: همه واحدها شانس برابر دارند.
خوشه‌ای: جامعه به خوشه‌ها تقسیم و چند خوشه تصادفی به‌طور کامل بررسی می‌شود؛ مناسب وقتی فهرست کامل اعضا در دسترس نیست.
طبقه‌ای: جامعه به طبقات همگن تقسیم و از هر طبقه یک نمونه تصادفی ساده گرفته می‌شود.
سیستماتیک: نوعی نمونه‌گیری طبقه‌ای با طبقات هم‌اندازه؛ از اولی تصادفی و سپس هر $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببینامین عضو.

نمونه‌گیری احتمالی یعنی هر عضو شانس معلوم و مثبت دارد؛ غیراحتمالی بر اساس دسترسی یا قضاوت شخصی، اریب‌دار است.

روش‌های گردآوری داده: مشاهده، پرسش‌نامه، مصاحبه، دادگان. اریبی انحراف سیستماتیک از مقدار واقعی است؛ افزایش حجم نمونه اریبی را کم نمی‌کند، راه حل، طراحی درست نمونه‌گیری است.

بخش چهارم: برآورد و فاصله اطمینان

برآورد نقطه‌ای: تخمین پارامتر با یک عدد ( $\bar x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای $\mu$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). برآورد بازه‌ای: بازه‌ای که با سطح اطمینان معین (معمولاً ۹۵٪) پارامتر را دربر می‌گیرد.

فاصله اطمینان ۹۵٪ برای میانگین:

\bar{x} - 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

با افزایش $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین طول فاصله کم و با افزایش $\sigma$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زیاد می‌شود. انحراف معیار میانگین نمونه: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

فاصله اطمینان ۹۵٪ برای نسبت ( $\hat p = \frac{m}{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین):

\hat{p} - \frac{1}{\sqrt{n}} \le p \le \hat{p} + \frac{1}{\sqrt{n}}

مثال: از ۴۸ دانش‌آموز، ۳۶ نفر مثبت پاسخ داده‌اند؛ $\hat p=0.75$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و فاصله $0.606 \le p \le 0.894$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

حجم نمونه لازم برای طول فاصله حداکثر $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $n \ge \frac{4}{d^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ برای خطای حداکثر ۱٪، $n \ge 40000$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکات طلایی کنکوری

تعبیر درست فاصله اطمینان: اگر نمونه‌گیری بارها تکرار شود، انتظار داریم ۹۵٪ از فواصل محاسبه‌شده پارامتر را در بر بگیرند — نه اینکه «احتمال ۹۵٪ هست پارامتر در این بازه باشد»، چون پارامتر ثابت است نه تصادفی.

پارامتر ثابت است، آماره با تغییر نمونه تغییر می‌کند.
افزایش حجم نمونه دقت را بالا می‌برد، اریبی را کم نمی‌کند.
برای نسبت، بدترین حالت $p=0.5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است چون $p(1-p)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین آنجا ماکزیمم می‌شود.

جمع‌بندی فرمول‌های طلایی

مفهوم	فرمول
فاصله اطمینان میانگین (۹۵٪)	$\bar{x} - 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
فاصله اطمینان نسبت (۹۵٪)	$\hat{p} - \frac{1}{\sqrt{n}} \le p \le \hat{p} + \frac{1}{\sqrt{n}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
انحراف معیار میانگین نمونه	$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
حجم نمونه برای دقت $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$n \ge \frac{4}{d^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
نسبت نمونه‌ای	$\hat{p} = \frac{m}{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

خلاصه‌ی درسنامه