آمار استنباطی (علوم ریاضی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«اریبی تغییر نمی‌کند و دقت ممکن است افزایش یابد.» درست است: در نمونه‌گیری احتمالی (که نمونه‌گیری تصادفی ساده و طبقه‌ای هر دو از این دسته‌اند)، اریبی برآوردگر ناشی از طراحی نمونه‌گیری نیست، بلکه به خطای سیستماتیک در انتخاب نمونه یا اندازه‌گیری مربوط می‌شود. بنابراین تغییر روش از تصادفی ساده به طبقه‌ای (با حفظ تصادفی بودن در هر طبقه) اریبی را تغییر نمی‌دهد. دقت (که با واریانس برآوردگر سنجیده می‌شود) در نمونه‌گیری طبقه‌ای در صورت همگن‌سازی طبقات (کاهش واریانس درون‌طبقه‌ای) نسبت به نمونه‌گیری تصادفی ساده با همان حجم افزایش می‌یابد. تلهٔ تستی: «اریبیِ نمونه‌گیری» و «دقتِ برآورد» دو مفهومِ مستقل‌اند؛ تغییرِ روشِ نمونه‌گیری (نه صرفِ افزایشِ حجم) می‌تواند دقت را بهبود دهد بدونِ آنکه اریبی را تحتِ‌تأثیر قرار دهد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«در صورت همگن بودن طبقات، دقت برآورد نسبت به نمونه‌گیری تصادفی ساده با همان حجم بیشتر است.» درست است. گام‌به‌گام: در نمونه‌گیریِ طبقه‌ای، واریانسِ برآوردگرِ میانگین فقط از واریانسِ *درونِ* طبقات تغذیه می‌شود و اختلافِ میانگینِ طبقات از آن بیرون می‌افتد. پس هرچه طبقات از درون همگن‌تر باشند (واریانسِ درون‌طبقه‌ای کوچک‌تر)، واریانسِ برآوردگر کمتر و دقت بیشتر می‌شود. وارسیِ مستقل (حالتِ حدی): اگر ملاکِ طبقه‌بندی هیچ ارتباطی با متغیرِ موردِ بررسی نداشته باشد، واریانسِ درونِ هر طبقه برابرِ واریانسِ کلِ جامعه می‌شود و دقتِ نمونه‌گیریِ طبقه‌ای دقیقاً با تصادفیِ ساده برابر می‌شود — نه بیشتر. همین حالتِ حدی نشان می‌دهد شرطِ همگنی ضروری است و ادعایِ «همواره بیشتر» شکست می‌خورد. ردِ سایرِ گزینه‌ها: ۱) اریبی به تصادفی‌بودنِ انتخاب و کیفیتِ چارچوبِ نمونه‌گیری بستگی دارد، نه به طبقه‌ای‌بودن؛ هر دو روش در صورتِ اجرایِ درست نااریب‌اند. ۲) قیدِ «همواره» آن را نادرست می‌کند: با تخصیصِ نامناسبِ حجم یا طبقاتِ ناهمگن، دقتِ طبقه‌ای می‌تواند برابر یا حتی کمتر از تصادفیِ ساده شود. ۴) وقتی $\sigma$ جامعه نامعلوم باشد از انحرافِ معیارِ نمونه استفاده می‌شود؛ افزون بر این، انتخابِ برآوردگرِ پراکندگی ربطی به طبقه‌ای‌بودنِ نمونه‌گیری ندارد. تلهٔ تستی: کلمهٔ «همواره» در گزینهٔ ۲ یک حکمِ درستِ مشروط را به حکمی نادرست و مطلق تبدیل می‌کند؛ برتریِ دقتِ نمونه‌گیریِ طبقه‌ای همیشه مشروط به همگنیِ درونِ طبقات است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\bar{x} \pm 2$» درست است. چون فاصله اطمینان میانگین با فرمول $\bar{x} \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ محاسبه می‌شود. با $\sigma=10$ و $n=25$، $2 \times \frac{10}{5}=4$ به دست می‌آید. برای $n=100$، $2 \times \frac{10}{10}=2$ می‌شود. تلهٔ تستی: فراموش‌کردنِ ضریبِ ۲ یا دوبرابرکردنِ نادرستِ نیمِ‌طول، منشأِ رایجِ گزینه‌های غلط در این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\frac{4}{9}$ برابر» درست است. طولِ فاصلهٔ اطمینانِ اول برابرِ $28-20=8$ است، پس نیمِ‌طول $=4=2\sigma/\sqrt{n_1}$ و $\sigma/\sqrt{n_1}=2$. طولِ فاصلهٔ دوم برابرِ $(\bar x_2+6)-(\bar x_2-6)=12$ است، پس نیمِ‌طول $=6=2\sigma/\sqrt{n_2}$ و $\sigma/\sqrt{n_2}=3$. از تقسیمِ این دو رابطه: $\sqrt{n_2}/\sqrt{n_1}=2/3$، پس $n_2/n_1=4/9$. تلهٔ تستی: باید دقت کرد کدام کسر پرسیده شده است ($n_2/n_1$ نه $n_1/n_2$)؛ معکوس‌کردنِ این نسبت، $4/9$ را به $9/4$ تبدیل می‌کند که دقیقاً یکی از رایج‌ترین گزینه‌های انحرافی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\frac{1}{5}$» درست است. گام‌به‌گام: حجمِ کلِ نمونه $n=40+60=100$ است. طبقِ فرمولِ سادهٔ این فصل، فاصلهٔ اطمینانِ ۹۵٪ برایِ نسبت برابرِ $\hat p\pm\frac{1}{\sqrt n}$ است؛ پس طولِ فاصله $=\frac{2}{\sqrt n}=\frac{2}{\sqrt{100}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}=0.2$. وارسیِ مستقل: نسبتِ نمونه‌ایِ ترکیبی $\hat p=\frac{40\times0.6+60\times0.4}{100}=\frac{24+24}{100}=0.48$ است. اگر به‌جایِ فرمولِ محافظه‌کارانه از فرمولِ دقیقِ $4\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$ برایِ طول استفاده کنیم: $4\sqrt{0.48\times0.52/100}=4\times0.04996\approx0.1998$ که با $0.2$ یکی است. ردِ سایرِ گزینه‌ها: ۱) $\frac{1}{\sqrt{50}}\approx0.141$: از گذاشتنِ $n=50$ (میانگینِ حجمِ دو طبقه) به‌جایِ حجمِ کلِ نمونه به‌دست می‌آید. ۲) $\frac{1}{10}=0.1$: این نیمِ‌طولِ فاصله است، نه طولِ آن. ۴) $\frac{2}{\sqrt{500}}\approx0.089$: از گذاشتنِ حجمِ *جامعه* ($200+300=500$) به‌جایِ حجمِ نمونه ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: طولِ فاصله فقط به حجمِ کلِ نمونه ($n=100$) بستگی دارد؛ مقدارِ $\hat p$ و اندازهٔ طبقاتِ جامعه در فرمولِ سادهٔ این فصل نقشی ندارند و صرفاً برایِ منحرف‌کردنِ توجه آمده‌اند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$300$» درست است. گام‌به‌گام: شعاعِ فاصلهٔ اطمینانِ ۹۵٪ برایِ میانگین برابرِ $2\frac{\sigma}{\sqrt n}$ است. با $\sigma=12$ و $n_1=100$: $2\times\frac{12}{10}=2.4$ که دقیقاً همان مقدارِ دادهٔ سؤال است. برایِ نصف‌شدنِ شعاع باید $\sqrt n$ دو برابر شود، یعنی $n$ چهار برابر: $n_2=4\times100=400$. افزایشِ لازم $=400-100=300$ نفر. وارسیِ مستقل: با $n_2=400$ شعاع برابرِ $2\times\frac{12}{\sqrt{400}}=2\times\frac{12}{20}=1.2$ می‌شود که دقیقاً نصفِ $2.4$ است. ردِ سایرِ گزینه‌ها: ۱) $200$: با $n_2=300$ شعاع $2\times12/\sqrt{300}\approx1.386$ می‌شود، نه $1.2$. ۳) $250$: با $n_2=350$ شعاع $\approx1.283$ می‌شود. ۴) $400$: این حجمِ نمونهٔ *جدید* است، نه مقدارِ *افزایش*. تلهٔ تستی: سؤال «چند نفر افزایش دهیم» را می‌پرسد نه «حجمِ جدید چقدر شود»؛ نوشتنِ $400$ به‌جایِ $300$ رایج‌ترین خطایِ این سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$16$ برابر» درست است. گام‌به‌گام: طولِ فاصلهٔ اطمینانِ ۹۵٪ برایِ نسبت برابرِ $L=\frac{2}{\sqrt n}$ است، یعنی $L$ با $\frac{1}{\sqrt n}$ متناسب است. می‌خواهیم $L$ از $0.4$ به $0.1$ برسد، یعنی $\frac{1}{4}$ برابر شود؛ پس $\sqrt n$ باید ۴ برابر و در نتیجه $n$ باید $4^2=16$ برابر شود. وارسیِ مستقل: از $\frac{2}{\sqrt{n}}=0.4$ داریم $\sqrt n=5$ و $n=25$. برایِ $L=0.1$: $\frac{2}{\sqrt{n'}}=0.1\Rightarrow\sqrt{n'}=20\Rightarrow n'=400$. و $\frac{400}{25}=16$ ✓. ردِ سایرِ گزینه‌ها: ۱) $2$ برابر: با $n'=50$، $L=\frac{2}{\sqrt{50}}\approx0.283$ است، نه $0.1$. ۲) $4$ برابر: با $n'=100$، $L=\frac{2}{10}=0.2$ است. ۴) $8$ برابر: با $n'=200$، $L=\frac{2}{\sqrt{200}}\approx0.141$ است. تلهٔ تستی: طولِ فاصلهٔ اطمینانِ نسبت با $\frac{1}{\sqrt n}$ متناسب است؛ رابطهٔ ضریبِ تغییرِ طول با ضریبِ تغییرِ $n$ رادیکالیِ معکوس است، نه خطی.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$144$» درست است. گام‌به‌گام: فاصلهٔ اطمینانِ ۹۵٪ برایِ میانگین $\bar x\pm2\frac{\sigma}{\sqrt n}$ است، پس *طولِ کاملِ* آن برابرِ $4\frac{\sigma}{\sqrt n}$ می‌شود. شرطِ سؤال $4\frac{\sigma}{\sqrt n}\le4$ است؛ با $\sigma=12$: $\frac{48}{\sqrt n}\le4\Rightarrow\sqrt n\ge12\Rightarrow n\ge144$. وارسیِ مستقل: با $n=144$، طول $=\frac{4\times12}{12}=4$ که دقیقاً برابرِ حدِ مجاز است؛ با هر $n$ کوچک‌تر، طول از $4$ بیشتر می‌شود. ردِ سایرِ گزینه‌ها: ۱) $36$: طول $=\frac{48}{6}=8$، بیش از $4$. ۳) $100$: طول $=\frac{48}{10}=4.8$، هنوز بیش از $4$. ۴) $64$: طول $=\frac{48}{8}=6$، بیش از $4$. همچنین میانگینِ نمونه ($\bar x=50$) در محاسبهٔ حجمِ نمونه نقشی ندارد و فقط برایِ گمراهی آمده است. تلهٔ تستی: شرطِ سؤال روی «طولِ فاصله» است نه «نیمِ‌طول»؛ اگر به‌اشتباه $2\frac{\sigma}{\sqrt n}\le4$ حل شود، $n\ge36$ به‌دست می‌آید که دقیقاً یکی از گزینه‌های انحرافی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«در نمونه‌گیری خوشه‌ای، اعضای درون هر خوشه باید از نظر ویژگی مورد بررسی تا حد ممکن ناهمگن باشند.» درست است. گام‌به‌گام: در نمونه‌گیریِ خوشه‌ای فقط چند خوشه انتخاب می‌شود و همهٔ اعضایِ آن‌ها بررسی می‌شوند؛ بنابراین هر خوشه باید خودش یک «جامعهٔ کوچک‌شده» و نمایندهٔ کلِ جامعه باشد. این یعنی تنوعِ درونِ خوشه باید زیاد (ناهمگن) و تفاوتِ بینِ خوشه‌ها کم باشد. وارسیِ مستقل (حالتِ حدی): فرض کنید هر ناحیه فقط یک نوع آدم داشته باشد (خوشه‌های کاملاً همگنِ درونی و کاملاً متفاوت با هم). آنگاه انتخابِ چند ناحیه مثلِ انتخابِ چند «فرد» عمل می‌کند و واریانسِ برآورد به‌شدت بالا می‌رود — یعنی همگنیِ درونِ خوشه بدترین حالت است. پس ناهمگنیِ درونِ خوشه مطلوب است. ردِ سایرِ گزینه‌ها: ۱) توصیفِ «هر ناحیه یک واحدِ کامل و بررسیِ همهٔ اعضایش» دقیقاً تعریفِ نمونه‌گیریِ *خوشه‌ای* است، نه طبقه‌ای؛ در طبقه‌ای از *همهٔ* طبقات نمونه گرفته می‌شود، نه از همهٔ اعضایِ چند طبقه. ۳) دقیقاً برعکسِ قاعدهٔ طبقه‌ای است: برایِ افزایشِ دقت باید تنوعِ *درونِ* طبقات کمینه و تفاوتِ *بینِ* طبقات بیشینه باشد. ۴) این توصیفِ نمونه‌گیریِ دومرحله‌ای است؛ در خوشه‌ایِ ساده از خوشه‌های انتخاب‌شده نمونه گرفته نمی‌شود بلکه همهٔ اعضا بررسی می‌شوند. تلهٔ تستی: قاعدهٔ همگنی/ناهمگنی در این دو روش دقیقاً وارونهٔ هم است — طبقه‌ای: همگنِ درونی، خوشه‌ای: ناهمگنِ درونی. جابه‌جاکردنِ این دو رایج‌ترین اشتباهِ مفهومیِ فصل است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«انحراف معیار میانگین نمونه» درست است، زیرا دقت برآورد میانگین نمونه با $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ سنجیده می‌شود که به اندازه نمونه وابسته است و هرچه کوچک‌تر باشد، برآورد دقیق‌تر است. سایر گزینه‌ها غلطند: اریبی به فرآیند نمونه‌گیری مربوط است و با افزایش حجم نمونه کاهش نمی‌یابد؛ ضریب تغییرات برای مقایسه پراکندگی جوامع مختلف به کار می‌رود؛ دامنه میان چارکی معیار پراکندگی درون نمونه است و دقت برآورد را نشان نمی‌دهد. تلهٔ تستی: انحرافِ معیارِ میانگینِ نمونه ($\sigma_{\bar x}=\sigma/\sqrt n$) دقیقاً ابزارِ استانداردِ مقایسهٔ دقتِ دو نمونه با حجم‌های متفاوت است؛ نباید آن را با اریبی یا ضریبِ تغییرات (که مفاهیمِ متفاوتی‌اند) اشتباه گرفت.