Q: در جدول فراوانی زیر برای یک متغیر کمی گسسته، مقدار $x_3$ گم شده است. اگر میانه دادهها برابر $7$ باشد، آنگاه مجموع مقادیر $x_3$ و $x_4$ کدام است؟ | مقدار متغیر | $x_1=2$ | $x_2=5$ | $x_3$ | $x_4=9$ | $x_5=12$ | |-------------|---------|---------|-------|---------|----------| | فراوانی ($f_i$) | $2$ | $3$ | $4$ | $2$ | $1$ |

16 — گزینه «16» درست است. تعداد کل دادهها n = 2+3+4+2+1 = 12 میباشد. دادهها را به ترتیب صعودی مرتب میکنیم. میانه برای n=12 میانگین دو داده وسط یعنی دادههای ششم و هفتم است. با توجه به فراوانیها: دادههای 1 و 2 برابر 2، دادههای 3 تا 5 برابر 5، دادههای 6 تا 9 برابر x_3، دادههای 10 و 11 برابر 9، و داده دوازدهم برابر 12 است. بنابراین دادههای ششم و هفتم در دسته x_3 قرار دارند و هر دو برابر x_3 هستند. میانه = (x_3 + x_3)/2 = x_3 = 7 که طبق فرض میانه برابر 7 است. پس x_3=7 و x_4=9، مجموع 7+9=16 میشود. **تلهٔ تستی:** وقتی هر دو دادهٔ وسطی (برایِ محاسبهٔ میانه) در همان دستهٔ نامعلوم ($x_3$) قرار میگیرند، میانه مستقیماً برابرِ همان $x_3$ میشود، نه میانگینِ آن با دستهٔ بعدی؛ این نکته کلیدِ حلِ سؤال است.

Q: در یک شرکت تولیدی، حقوق ۱۰۰ کارگر به صورت ماهانه ثبت شده است. میانگین حقوق کارگران ۱۲ میلیون تومان و انحراف معیار ۲ میلیون تومان است. پس از افزایش حقوق، حقوق هر کارگر به صورت $y_i = 1.5x_i + 3$ میلیون تومان تغییر میکند. ضریب تغییرات حقوق جدید چند درصد است؟

$\frac{3}{21} \times 100\%$ — «$\frac{3}{21} \times 100\%$» درست است چون میانگین جدید $\bar{y} = 1.5 \times 12 + 3 = 21$ و انحراف معیار جدید $\sigma_y = |1.5| \times 2 = 3$ است. ضریب تغییرات $CV = \frac{\sigma_y}{\bar{y}} = \frac{3}{21}$ میشود. گزینهٔ «$\frac{2}{12} \times 100\%$» از میانگینِ قدیم و انحرافِ معیارِ جدید (بدونِ بهروزرسانیِ میانگین) به دست میآید. گزینهٔ «$\frac{2}{15} \times 100\%$» از میانگینِ جدید و انحرافِ معیارِ قدیم (بدونِ بهروزرسانیِ انحرافِ معیار) ناشی میشود. گزینهٔ «$\frac{3}{18} \times 100\%$» از ترکیبِ نادرستِ اعداد به دست میآید. **تلهٔ تستی:** باید هم میانگین هم انحرافِ معیار را با فرمولِ تبدیلِ خطی بهروزرسانی کرد؛ بهروزرسانیِ فقط یکی از این دو (که در سه گزینهٔ غلط دیده میشود) رایجترین اشتباه است.

Q: در یک مطالعه، میانگین و ضریب تغییرات وزن گروهی از افراد به ترتیب $70\,\text{kg}$ و $0.2$ است. اگر وزن هر فرد با دقت $\pm 0.5\,\text{kg}$ اندازهگیری شود، انحراف معیار خطای اندازهگیری (با فرض توزیع یکنواخت خطا) کدام است؟

$\frac{1}{2\sqrt{3}}\,\text{kg}$ — «$\frac{1}{2\sqrt{3}}\,\text{kg}$» درست است چون خطای اندازهگیری با توزیع یکنواخت در بازهٔ $[-0.5, 0.5]$ دارای انحرافِ معیارِ $\sigma = \frac{b-a}{\sqrt{12}} = \frac{0.5-(-0.5)}{\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\,\text{kg}$ است. گزینهٔ «$\frac{1}{12}\,\text{kg}$» از فراموشکردنِ جذرگیری (استفاده از فرمولِ واریانس $\frac{(b-a)^2}{12}$ بهجایِ فرمولِ انحرافِ معیار) ناشی میشود. گزینهٔ «$0.5\,\text{kg}$» نصفِ طولِ بازه (بدونِ تقسیم بر $\sqrt{12}$) است. گزینهٔ «$14\,\text{kg}$» با ضربِ اشتباهِ میانگین در ضریبِ تغییرات ($70\times0.2$) به دست میآید که انحرافِ معیارِ خودِ وزنهاست، نه انحرافِ معیارِ خطای اندازهگیری. **تلهٔ تستی:** انحرافِ معیارِ توزیعِ یکنواخت روی $\sqrt{12}$ تقسیم میشود نه روی $12$؛ فراموشکردنِ این جذر، رایجترین اشتباهِ محاسباتی در این نوع سؤال است.

Question 1

در یک مطالعه، نرخ تورم از سال $1398$ تا $1399$ برابر $25\%$ و از $1399$ تا $1400$ برابر $20\%$ بوده است. اگر قیمت اولیه کالایی در سال $1398$ مقدار $P$ باشد، نرخ تورم میانگین سالانه (موزون با زمان) طی این دو سال کدام است؟ (فرض کنید نرخ‌ها به صورت مرکب اعمال می‌شوند.)

Accepted Answer

$\sqrt{1.5} - 1$ — «$\sqrt{1.5} - 1$» درست است. قیمت در سال $1400$ برابر $P 	imes 1.25 	imes 1.20 = 1.5P$ است. نرخ میانگین سالانه $r$ باید به گونه‌ای باشد که $P(1+r)^2 = 1.5P$، بنابراین $(1+r)^2 = 1.5$ و $r = \sqrt{1.5} - 1$. گزینه $\sqrt{1.5}$ نرخ را بدون کسر یک می‌دهد که اشتباه است. $22.5\%$ میانگین حسابی ساده $\frac{25+20}{2}$ است که برای نرخ‌های مرکب معتبر نیست. $\sqrt{1.5} + 1$ غیرمنطقی است. **تلهٔ تستی:** نرخِ تورمِ میانگینِ سالانه برایِ نرخ‌هایِ متوالی باید با میانگینِ هندسیِ ضرایبِ $(1+r)$ محاسبه شود، نه میانگینِ حسابیِ سادهٔ خودِ درصدها؛ و در پایان حتماً باید یک واحد از ریشه کم شود تا نرخ (نه ضریب) به‌دست آید.

Question 2

در یک بررسی، نرخ تورم از سال پایه تا سال جاری $25\%$ است. اگر قیمت کالایی در سال جاری $1500000$ ریال باشد، قیمت آن کالا در سال پایه چند ریال بوده است؟ (قیمت‌ها به هزار ریال گرد شوند)

Accepted Answer

$1200000$ — «$1200000$» درست است. نرخ تورم $= \frac{P_1 - P_0}{P_0} 	imes 100\% = 25\% \Rightarrow \frac{1500000 - P_0}{P_0} = 0.25 \Rightarrow 1500000 - P_0 = 0.25 P_0 \Rightarrow 1500000 = 1.25 P_0 \Rightarrow P_0 = \frac{1500000}{1.25} = 1200000$ ریال. گرد کردن به هزار ریال تغییری نمی‌دهد. گزینه $1125000$ حاصل $1500000/1.333$ اشتباه، $1000000$ حاصل $1500000/1.5$، $1250000$ حاصل $1500000/1.2$ است. **تلهٔ تستی:** برایِ بازگشت از قیمتِ سالِ جاری به قیمتِ سالِ پایه باید بر $(1+نرخ)$ تقسیم کرد، نه در آن ضرب کرد یا نرخ را مستقیماً از قیمتِ جاری کم کرد.

Question 3

جدول فراوانی زیر مربوط به نمرات $20$ دانش‌آموز یک کلاس است:

| نمره | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| فراوانی | $2$ | $3$ | $4$ | $a$ | $5$ | $2$ |

اگر میانهٔ نمرات برابر $8$ باشد، مقدار $a$ کدام است؟

Accepted Answer

$a = 4$ — گزینهٔ «$a=4$» درست است.

**گام ۱ — استفاده از مجموع فراوانی‌ها:** تعداد کل دانش‌آموزان $20$ است، پس $2+3+4+a+5+2=20$ یعنی $16+a=20$ و در نتیجه $a=4$.

**گام ۲ — وارسی مستقل با فراوانی تجمعی:** با $a=4$ فراوانی تجمعی چنین است: نمرهٔ $5$ ← داده‌های $1$ و $2$؛ نمرهٔ $6$ ← داده‌های $3$ تا $5$؛ نمرهٔ $7$ ← داده‌های $6$ تا $9$؛ نمرهٔ $8$ ← داده‌های $10$ تا $13$؛ نمرهٔ $9$ ← داده‌های $14$ تا $18$؛ نمرهٔ $10$ ← داده‌های $19$ و $20$. چون $n=20$ زوج است، میانه میانگین دادهٔ دهم و یازدهم است و هر دو در بازهٔ $10$ تا $13$ یعنی برابر $8$ قرار می‌گیرند؛ پس میانه $=\frac{8+8}{2}=8$ که دقیقاً با شرط مسئله سازگار است. ✓

**رد گزینه‌های دیگر:** با $a=7$ مجموع فراوانی‌ها $23$، با $a=6$ برابر $22$ و با $a=5$ برابر $21$ می‌شود که هیچ‌کدام با «$20$ دانش‌آموز» نمی‌خواند.

**تلهٔ تستی:** برای کنترل درستی پاسخ نباید فقط به معادلهٔ مجموع فراوانی‌ها اکتفا کرد؛ باید فراوانی تجمعی را هم بنویسی و ببینی دادهٔ دهم و یازدهم واقعاً در کدام نمره می‌افتند — همین وارسی است که نشان می‌دهد میانه $8$ است نه $7$.

Question 4

اگر میانگین و انحراف معیار مجموعه‌ای از داده‌ها به ترتیب $\bar{x}$ و $\sigma$ باشد، با ضرب کردن هر داده در $3$ و سپس افزودن $5$ به آن، واریانس داده‌های جدید کدام گزینه است؟

Accepted Answer

$9\sigma^2$ — گزینه «$9\sigma^2$» درست است چون با تبدیل $y_i = 3x_i + 5$، واریانس جدید برابر $a^2\sigma^2$ است که $a=3$ است و $9\sigma^2$ می‌شود. سایر گزینه‌ها غلطند چون جمع با $b$ واریانس را تغییر نمی‌دهد. **تلهٔ تستی:** افزودنِ عددِ ثابت ($+5$) هیچ تأثیری بر واریانس ندارد؛ فقط ضریبِ ضرب ($a=3$) به‌توانِ دو ($a^2=9$) در واریانس ضرب می‌شود.

Question 5

در یک کلاس ۳۰ نفره، نمرات درس ریاضی دارای میانگین $14$ و انحراف معیار $2$ است. اگر نمره یک دانش‌آموز که $8$ بوده به اشتباه $18$ ثبت شده باشد، پس از تصحیح این خطا، واریانس جدید نمرات کدام است؟ (فرض کنید سایر نمرات بدون تغییرند.)

Accepted Answer

بیشتر از $4$ — گزینه «بیشتر از $4$» درست است چون با تصحیح نمره از $18$ به $8$، پراکندگی داده‌ها افزایش می‌یابد و واریانس بیشتر از مقدار اولیه ($4$) می‌شود. سایر گزینه‌ها غلطند زیرا واریانس کاهش نمی‌یابد و قابل تعیین است. **تلهٔ تستی:** مقدارِ اصلاح‌شده ($8$) نسبت به میانگین ($14$) فاصلهٔ بیشتری دارد ($6$) نسبت به مقدارِ اشتباهِ اولیه ($18$، فاصلهٔ $4$)، بنابراین واریانس افزایش می‌یابد نه کاهش — جهتِ تغییر را باید با مقایسهٔ دقیقِ دو فاصله تعیین کرد، نه با حدس.

Question 6

در جدول فراوانی زیر برای یک متغیر کمی گسسته، مقدار $x_3$ گم شده است. اگر میانه داده‌ها برابر $7$ باشد، آن‌گاه مجموع مقادیر $x_3$ و $x_4$ کدام است؟

| مقدار متغیر | $x_1=2$ | $x_2=5$ | $x_3$ | $x_4=9$ | $x_5=12$ |
|-------------|---------|---------|-------|---------|----------|
| فراوانی ($f_i$) | $2$ | $3$ | $4$ | $2$ | $1$ |

Accepted Answer

16 — گزینه «16» درست است. تعداد کل داده‌ها n = 2+3+4+2+1 = 12 می‌باشد. داده‌ها را به ترتیب صعودی مرتب می‌کنیم. میانه برای n=12 میانگین دو داده وسط یعنی داده‌های ششم و هفتم است. با توجه به فراوانی‌ها: داده‌های 1 و 2 برابر 2، داده‌های 3 تا 5 برابر 5، داده‌های 6 تا 9 برابر x_3، داده‌های 10 و 11 برابر 9، و داده دوازدهم برابر 12 است. بنابراین داده‌های ششم و هفتم در دسته x_3 قرار دارند و هر دو برابر x_3 هستند. میانه = (x_3 + x_3)/2 = x_3 = 7 که طبق فرض میانه برابر 7 است. پس x_3=7 و x_4=9، مجموع 7+9=16 می‌شود. **تلهٔ تستی:** وقتی هر دو دادهٔ وسطی (برایِ محاسبهٔ میانه) در همان دستهٔ نامعلوم ($x_3$) قرار می‌گیرند، میانه مستقیماً برابرِ همان $x_3$ می‌شود، نه میانگینِ آن با دستهٔ بعدی؛ این نکته کلیدِ حلِ سؤال است.

Question 7

در یک شرکت تولیدی، حقوق ۱۰۰ کارگر به صورت ماهانه ثبت شده است. میانگین حقوق کارگران ۱۲ میلیون تومان و انحراف معیار ۲ میلیون تومان است. پس از افزایش حقوق، حقوق هر کارگر به صورت $y_i = 1.5x_i + 3$ میلیون تومان تغییر می‌کند. ضریب تغییرات حقوق جدید چند درصد است؟

Accepted Answer

$\frac{3}{21} 	imes 100\%$ — «$\frac{3}{21} 	imes 100\%$» درست است چون میانگین جدید $\bar{y} = 1.5 	imes 12 + 3 = 21$ و انحراف معیار جدید $\sigma_y = |1.5| 	imes 2 = 3$ است. ضریب تغییرات $CV = \frac{\sigma_y}{\bar{y}} = \frac{3}{21}$ می‌شود. گزینهٔ «$\frac{2}{12} 	imes 100\%$» از میانگینِ قدیم و انحرافِ معیارِ جدید (بدونِ به‌روزرسانیِ میانگین) به دست می‌آید. گزینهٔ «$\frac{2}{15} 	imes 100\%$» از میانگینِ جدید و انحرافِ معیارِ قدیم (بدونِ به‌روزرسانیِ انحرافِ معیار) ناشی می‌شود. گزینهٔ «$\frac{3}{18} 	imes 100\%$» از ترکیبِ نادرستِ اعداد به دست می‌آید. **تلهٔ تستی:** باید هم میانگین هم انحرافِ معیار را با فرمولِ تبدیلِ خطی به‌روزرسانی کرد؛ به‌روزرسانیِ فقط یکی از این دو (که در سه گزینهٔ غلط دیده می‌شود) رایج‌ترین اشتباه است.

Question 8

در یک مجموعه داده از $n$ مشاهده، میانه برابر $M$ و میانگین برابر $\bar{x}$ است. اگر همه داده‌ها به صورت خطی تبدیل شوند ($y_i = a x_i + b$، با $a > 0$)، کدام عبارت در مورد میانه ($M_y$) و میانگین ($\bar{y}$) مجموعه جدید همواره درست است؟

Accepted Answer

$M_y = aM + b$ و $\bar{y} = a\bar{x} + b$ — گزینه «$M_y = aM + b$ و $\bar{y} = a\bar{x} + b$» درست است زیرا میانه و میانگین هر دو تحت تبدیل خطی $y = ax + b$ با ضریب مثبت $a$، به ترتیب به $aM+b$ و $a\bar{x}+b$ تبدیل می‌شوند. سایر گزینه‌ها اثر جمع یا ضرب را ناقص یا ناصحیح اعمال کرده‌اند. **تلهٔ تستی:** میانه دقیقاً مانندِ میانگین تحتِ تبدیلِ خطیِ $y=ax+b$ تغییر می‌کند ($aM+b$)؛ اشتباهِ رایج این است که تصور شود میانه فقط تحتِ تأثیرِ ضریبِ $a$ قرار می‌گیرد و ثابتِ $b$ را (برخلافِ میانگین) نادیده می‌گذارد.

Question 9

در یک جامعه، $n$ داده داریم که $\bar{x} = 10$ و $\sigma = 4$ است. اگر همه داده‌ها را در ۲ ضرب کرده و سپس ۳ واحد کم کنیم، ضریب تغییرات ($CV$) جدید کدام است؟

Accepted Answer

$\frac{8}{17}$ — گزینه «$\frac{8}{17}$» درست است. میانگین جدید: $\bar{y} = 2 	imes 10 - 3 = 17$، انحراف معیار جدید: $\sigma_y = 2 	imes 4 = 8$، بنابراین $CV = \frac{8}{17}$. سایر گزینه‌ها حاصل محاسبات نادرست انتقال یا ضریب هستند. **تلهٔ تستی:** بعد از تبدیلِ $2x-3$، میانگینِ جدید باید با اعمالِ هر دو عملیات (ضرب و تفریق) محاسبه شود، اما انحرافِ معیارِ جدید فقط از ضریبِ ضرب ($2$) تأثیر می‌گیرد؛ سپس $CV$ جدید از تقسیمِ این دو مقدارِ صحیح به‌دست می‌آید.

Question 10

در یک مطالعه، میانگین و ضریب تغییرات وزن گروهی از افراد به ترتیب $70\,	ext{kg}$ و $0.2$ است. اگر وزن هر فرد با دقت $\pm 0.5\,	ext{kg}$ اندازه‌گیری شود، انحراف معیار خطای اندازه‌گیری (با فرض توزیع یکنواخت خطا) کدام است؟

Accepted Answer

$\frac{1}{2\sqrt{3}}\,	ext{kg}$ — «$\frac{1}{2\sqrt{3}}\,	ext{kg}$» درست است چون خطای اندازه‌گیری با توزیع یکنواخت در بازهٔ $[-0.5, 0.5]$ دارای انحرافِ معیارِ $\sigma = \frac{b-a}{\sqrt{12}} = \frac{0.5-(-0.5)}{\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\,	ext{kg}$ است. گزینهٔ «$\frac{1}{12}\,	ext{kg}$» از فراموش‌کردنِ جذرگیری (استفاده از فرمولِ واریانس $\frac{(b-a)^2}{12}$ به‌جایِ فرمولِ انحرافِ معیار) ناشی می‌شود. گزینهٔ «$0.5\,	ext{kg}$» نصفِ طولِ بازه (بدونِ تقسیم بر $\sqrt{12}$) است. گزینهٔ «$14\,	ext{kg}$» با ضربِ اشتباهِ میانگین در ضریبِ تغییرات ($70	imes0.2$) به دست می‌آید که انحرافِ معیارِ خودِ وزن‌هاست، نه انحرافِ معیارِ خطای اندازه‌گیری. **تلهٔ تستی:** انحرافِ معیارِ توزیعِ یکنواخت روی $\sqrt{12}$ تقسیم می‌شود نه روی $12$؛ فراموش‌کردنِ این جذر، رایج‌ترین اشتباهِ محاسباتی در این نوع سؤال است.

مفهوم	فرمول
میانگین	$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$
میانگین وزنی	$\bar{x}_w = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$
واریانس	$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$
انحراف معیار	$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}$
ضریب تغییرات	$CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$
دامنه میان چارکی	$IQR = Q_3 - Q_1$

آمار توصیفی (علوم ریاضی)

خلاصه‌ی درسنامه

مقدمه: هنر پرورش و پردازش داده‌ها

بخش اول: مفاهیم بنیادی

بخش دوم: نمایش داده‌ها

بخش سوم: معیارهای گرایش به مرکز

بخش چهارم: معیارهای پراکندگی

نکات طلایی کنکوری

جمع‌بندی فرمول‌های طلایی

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین