آمار توصیفی: مرکز و پراکندگی

مقدمه: هنر پرورش و پردازش داده‌ها

آمار علم جمع‌آوری، سازماندهی، تحلیل و تفسیر داده‌هاست و دو شاخه دارد: آمار توصیفی (خلاصه‌سازی و نمایش داده‌ها با نمودار و معیارهای عددی) و آمار استنباطی (نتیجه‌گیری درباره جامعه بر اساس نمونه).

بخش اول: مفاهیم بنیادی

هر فرد یا شیئی که داده‌اش گردآوری می‌شود واحد آماری است؛ مجموعه کل واحدها جامعه آماری و زیرمجموعه‌ای که با روشی مشخص انتخاب می‌شود نمونه نام دارد.

متغیر از عضوی به عضو دیگر تغییر می‌کند:

کمی گسسته: مقادیر شمارشی (تعداد مسافران قطار)
کمی پیوسته: مقادیر حقیقی در یک بازه (قد، وزن)
کیفی: مقادیر غیرعددی (رنگ چشم، گروه خونی)

بخش دوم: نمایش داده‌ها

جدول فراوانی برای متغیر گسسته یا پیوسته؛ فراوانی نسبی $= \frac{f_i}{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، فراوانی درصدی = نسبی × ۱۰۰. در دسته‌بندی پیوسته، کرانه پایین شامل و بالا شامل نیست.

نمودارها: میله‌ای (گسسته/کیفی)، دایره‌ای (بخش = نسبی × ۳۶۰°)، هیستوگرام (پیوسته؛ مساحت متناسب با فراوانی)، جعبه‌ای (چارک‌ها).

بخش سوم: معیارهای گرایش به مرکز

میانگین: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

میانگین موزون (وقتی $x_i$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فراوانی/وزن $f_i$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد؛ کاربرد: معدل با ضرایب دروس):

\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}

میانه: داده‌ها را مرتب می‌کنیم؛ برای $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فرد، میانه داده $\frac{n+1}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببینام است؛ برای $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زوج، میانگین دو داده وسطی.

چارک‌ها: $Q_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین میانه نیمه اول و $Q_3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین میانه نیمه دوم؛ دامنه میان‌چارکی $IQR = Q_3 - Q_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نما: داده با بیشترین فراوانی؛ می‌تواند بدون نما یا چندنما باشد.

بخش چهارم: معیارهای پراکندگی

واریانس و انحراف معیار:

\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}, \qquad \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}

هرچه $\sigma$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کوچک‌تر، داده‌ها متمرکزترند؛ همیشه $\sum (x_i-\bar x)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مثال: برای 2, 4, 6, 8 داریم $\bar x=5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $\sigma^2=5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $\sigma \approx 2.236$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

ضریب تغییرات: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — برای مقایسه پراکندگی نسبیِ دو مجموعه داده با میانگین یا واحد متفاوت؛ هرچه $CV$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کوچک‌تر، یکنواختی بیشتر.

نمودار جعبه‌ای: جعبه بین $Q_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $Q_3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، میانه با خط عمودی داخل جعبه، دو خط تا Min و Max.

نکات طلایی کنکوری

کاربرد اقتصادی: نرخ تورم $=\frac{P_1-P_0}{P_0}\times100\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نرخ بیکاری $=\frac{\text{بیکار}}{\text{فعال}}\times100\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

اثر تبدیل خطی $y_i = ax_i + b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: میانگین جدید $\bar{y} = a\bar{x} + b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، انحراف معیار جدید $\sigma_y = |a|\sigma_x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، واریانس جدید $\sigma_y^2 = a^2\sigma_x^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

جمع‌بندی فرمول‌های طلایی

مفهوم	فرمول
میانگین	$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
میانگین وزنی	$\bar{x}_w = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
واریانس	$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
انحراف معیار	$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
ضریب تغییرات	$CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
دامنه میان چارکی	$IQR = Q_3 - Q_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

خلاصه‌ی درسنامه