معادله، قدر مطلق و دنباله (حسابان ۱)

این فصل پنج درس دارد: مجموع دنباله‌های حسابی و هندسی، معادلات درجه دوم، معادلات گویا و گنگ، قدر مطلق، و آشنایی با هندسه تحلیلی.

درس اول: مجموع جملات دنباله‌های حسابی و هندسی

دنباله حسابی با جمله اول $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و قدر نسبت $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $a_n=a_1+(n-1)d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اثبات فرمول مجموع (روش گاوس): با نوشتن $S_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دوبار (یک‌بار عادی، یک‌بار معکوس) و جمع دو سطر، هر جفت متناظر برابر $2a+(n-1)d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود:

تفسیر هندسی: مجموع یعنی میانگین جمله اول و آخر، ضرب در تعداد جملات. فرمول‌های مشتق‌شده: $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ مجموع $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد فرد اول $=n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ مجموع $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد زوج اول $=n(n+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال (تعداد وترها): روی محیط دایره ۲۰ نقطه؛ تعداد وترها $=19+18+\cdots+1=\dfrac{19\times20}2=190$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال (توپ و ارتفاع، هندسی): توپی از ارتفاع ۱۰ متر رها می‌شود و هر بار به $\frac14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ارتفاع قبلی می‌رسد؛ مسافت طی‌شده پس از ۴ برخورد: $S_4=20\cdot\dfrac{1-(1/4)^4}{1-1/4}\approx26.6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر.

دنباله هندسی با جمله اول $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و قدر نسبت $q\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: با تفاضل $S_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $qS_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

سری هندسی نامتناهی (فراتر از کتاب): اگر $|q|<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\boxed{S_\infty=\dfrac{a}{1-q}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: $1+\frac12+\frac14+\cdots=\dfrac1{1-1/2}=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات کنکوری: در دنباله حسابی تفاضل ثابت است، در هندسی نسبت ثابت؛ مجموع $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد فرد اول $=n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حفظ کن؛ در دنباله هندسی، قدر نسبت نمی‌تواند صفر باشد؛ جملات متقارن $a_k+a_{n+1-k}=a_1+a_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (حسابی) و $a_k\cdot a_{n+1-k}=a_1\cdot a_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (هندسی).

درس دوم: معادلات درجه دوم

$\Delta>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: دو ریشه متمایز؛ $\Delta=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: یک ریشه مضاعف $x=-\frac{b}{2a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $\Delta<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: بدون ریشه حقیقی.

روابط ویته:

تشکیل معادله از روی ریشه‌ها: $\boxed{x^2-Sx+P=0}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: ریشه‌های $2+\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2-\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $S=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $P=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، معادله $x^2-4x+1=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال (استفاده از ویته): اگر $x=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ریشه $x^2-mx-7=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد: $P=\dfrac{-7}1\implies x_2=-7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $S=1+(-7)=m\implies m=-6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

رأس سهمی: $x_v=-\dfrac b{2a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $y_v=-\dfrac\Delta{4a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

معادلات قابل تبدیل به درجه دوم (فراتر از کتاب): با تغییر متغیر، مثلاً $x^4-10x^2+16=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $t=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $t^2-10t+16=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تبدیل می‌شود.

نکات کنکوری: $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $x_1^3+x_2^3=S^3-3PS$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ برای هر دو ریشه مثبت لازم است $S>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $P>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\Delta\geq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ ریشه‌های هم‌علامت مخالف یعنی $P<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ در معادلات درجه ۴ با تبدیل متغیر همه جواب‌های $t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید در $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بررسی شوند.

درس سوم: معادلات گویا و گنگ

معادلات گویا: ک.م.م مخرج‌ها را پیدا کن، طرفین را در آن ضرب کن، حل کن، سپس آزمایش کن — هر جوابی که مخرج را صفر کند مردود است.

مثال: $\dfrac{3x}{x-2}+\dfrac2{x+2}=\dfrac{4x-4}{x^2-4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با دامنه $x\neq\pm2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پس از ضرب در $x^2-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $3x^2+4x=0\implies x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $x=-\frac43$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (هر دو در دامنه).

معادلات گنگ: رادیکال را یک طرف ببر، دو طرف را به توان برسان، حل کن، سپس آزمایش اجباری کن چون به‌توان‌رساندن ممکن است جواب اضافی بسازد.

مثال: $\sqrt{x+2}=x-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با دامنه $x\geq4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $x^2-9x+14=0\implies x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $x=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ آزمایش: $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مردود ($\sqrt4=2\neq-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، $x=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قابل قبول ($\sqrt9=3=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). جواب: $x=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات کنکوری: شرط عدم تعریف را قبل از حل معادله گویا مشخص کن؛ داخل رادیکال باید غیرمنفی باشد؛ اگر طرف دیگر معادله گنگ منفی باشد، بدون حل می‌دانیم جوابی نیست.

درس چهارم: قدر مطلق

$|a|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فاصله $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از مبدأ است؛ $|a-b|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فاصله $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. ویژگی‌ها: $|ab|=|a||b|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\left|\frac ab\right|=\frac{|a|}{|b|}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $|a|=|b|\iff a=b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $a=-b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نامساوی مثلث: $\boxed{|a+b|\leq|a|+|b|}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

حل نامعادلات قدرمطلقی (برای $c>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی): $|x|<c \iff -c<x<c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $|x|>c \iff x<-c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $x>c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

حل معادلات قدرمطلقی ($|f(x)|=g(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، سه روش): تعیین علامت (دو حالت)؛ یا $f=g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $f=-g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ یا به‌توان‌رساندن $[f(x)]^2=[g(x)]^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (با شرط $g(x)\geq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

مثال: $|x-1|=4-3x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ حالت $x\geq1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $x-\frac54$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی چک $\frac54\geq1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓؛ حالت $x<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جواب نامعتبر می‌دهد. جواب: $x=\frac54$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات کنکوری: $\sqrt{x^2}=|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نه $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ برای $|f(x)|=g(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شرط لازم $g(x)\geq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ وقتی $|f(x)|=|g(x)|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، دو معادله $f=g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f=-g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کافی است، نه چهار.

درس پنجم: آشنایی با هندسه تحلیلی

خطوط موازی: $m_1=m_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ خطوط عمود بر هم: $\boxed{m_1\cdot m_2=-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

معادله خط: فرم شیب-عرض $y=mx+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ فرم کلی $ax+by+c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با شیب $m=-\frac ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

عمودمنصف پاره‌خط: با روش جبری، اگر $P(x,y)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی عمودمنصف $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد: $PA^2=PB^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

فاصله نقطه از خط:

مثال: فاصله $A(-2,4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از $4x-3y+12=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $d=\dfrac{|-8-12+12|}5=\dfrac85$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مساحت مثلث (فراتر از کتاب): با رأس‌های $A(x_1,y_1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $B(x_2,y_2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $C(x_3,y_3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $S=\dfrac12|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دایره (مکان هندسی): مجموعه نقاط با فاصله ثابت $r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از مرکز $O(a,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر $A,B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو سر قطر باشند: مرکز = نقطه وسط $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، شعاع $=\dfrac{AB}2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات کنکوری: فرمول فاصله نقطه از خط فقط برای فرم کلی $ax+by+c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، ابتدا معادله را استاندارد کن؛ برای عمودمنصف، روش جبری $PA^2=PB^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اغلب سریع‌تر از روش شیب است؛ خط $ax+by+c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر خط $bx-ay+k=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عمود است.