جبر و معادله (حسابان 1)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$128$» درست است. **حل گام‌به‌گام:** با جملهٔ اول $a$ و قدر نسبت $d$: $a_1+a_5=a+(a+4d)=2a+4d=20$ و $a_2+a_6=(a+d)+(a+5d)=2a+6d=28$. تفریق دو رابطه: $2d=8\Rightarrow d=4$ و سپس $2a+16=20\Rightarrow a=2$. $$S_8=\frac{8}{2}\left[2(2)+7(4)\right]=4\times(4+28)=4\times 32=128.$$ **وارسی مستقل (نوشتن جمله‌ها):** دنباله برابر $2,\,6,\,10,\,14,\,18,\,22,\,26,\,30$ است؛ $a_1+a_5=2+18=20$ ✓ و $a_2+a_6=6+22=28$ ✓. جمعِ مستقیمِ این هشت عدد نیز $128$ می‌شود. **رد سایر گزینه‌ها:** • $112$: از فرمولِ نادرستِ $S_8=\frac82[2a+(n-2)d]=4(4+24)$ به‌دست می‌آید، یعنی خطای یکی در ضریبِ $d$. • $136$: حاصلِ خطایِ ضربِ $4\times32$ (اگر اشتباهاً $34$ ضرب شود) است؛ $4\times32=128$ نه $136$. • $144$: از فرمولِ نادرستِ $S_8=8\times\frac{a_1+a_8}{2}$ با $a_8$ی که با $d=4.5$ حساب شده حاصل می‌شود. **تلهٔ تستی:** پس از یافتنِ $a$ و $d$، آخرین ضربِ عددی را سرسری انجام ندهید؛ در همین سؤال $4\times 32$ به‌سادگی $136$ خوانده می‌شود در حالی‌که $128$ است. همیشه با جمعِ مستقیمِ چند جملهٔ اول، پاسخ را وارسی کنید.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$3$» درست است. **حل گام‌به‌گام:** چون $\phi$ در $x^2-x-1=0$ صدق می‌کند، داریم $\phi^{2}=\phi+1$. با ضربِ پی‌درپی در $\phi$ و جای‌گذاریِ همین رابطه: $$\phi^{3}=\phi\cdot\phi^{2}=\phi(\phi+1)=\phi^{2}+\phi=2\phi+1,$$ $$\phi^{4}=\phi\cdot\phi^{3}=2\phi^{2}+\phi=2(\phi+1)+\phi=3\phi+2,$$ $$\phi^{5}=\phi\cdot\phi^{4}=3\phi^{2}+2\phi=3(\phi+1)+2\phi=5\phi+3.$$ پس $\phi^{5}-5\phi=(5\phi+3)-5\phi=3$. **وارسی مستقل (عددی):** $\phi\approx1.6180$، پس $\phi^{5}\approx11.0902$ و $5\phi\approx8.0902$؛ تفاضل $\approx3.0000$ ✓. **رد سایر گزینه‌ها:** • $2$: حاصلِ $\phi^{4}-3\phi=(3\phi+2)-3\phi=2$ است، یعنی یک توان زودتر متوقف شدن. • $1$: حاصلِ $\phi^{3}-2\phi=1$ است، دو توان زودتر. • $4$: از ادامهٔ نادرستِ الگو ($\phi^{6}=8\phi+5$ و کم‌کردنِ $8\phi$ برابر $5$ است، نه $4$) به‌دست می‌آید؛ هیچ توانی $4$ نمی‌دهد. **تلهٔ تستی:** ضرایبِ به‌دست‌آمده دنبالهٔ فیبوناچی‌اند ($\phi^{n}=F_n\phi+F_{n-1}$)؛ اشتباهِ رایج جابه‌جاکردنِ این دو ضریب است، یعنی نوشتنِ $\phi^{5}=3\phi+5$ به‌جایِ $5\phi+3$.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$175$» درست است. **حل گام‌به‌گام:** از $S_n=\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right]$: $S_{10}=5\left[2a_1+9d\right]=75\Rightarrow 2a_1+9d=15$، $S_{15}=\frac{15}{2}\left[2a_1+14d\right]=150\Rightarrow 2a_1+14d=20$. تفریق: $5d=5\Rightarrow d=1$ و سپس $2a_1=6\Rightarrow a_1=3$، یعنی $a_n=n+2$. $$S_{20}=\frac{20}{2}\left[6+19\right]=10\times25=250,\qquad S_{20}-S_{10}=250-75=175.$$ **وارسی مستقل (جمعِ مستقیم):** جملات یازدهم تا بیستم برابر $13,14,\dots,22$ هستند؛ میانگینشان $\frac{13+22}{2}=17.5$ و تعدادشان $10$، پس مجموع $175$ ✓. **رد سایر گزینه‌ها:** • $125$: از خطایِ محاسبهٔ $S_{20}=200$ (فراموش‌کردنِ ضربِ $10$ در $25$) به‌دست می‌آید. • $150$: همان $S_{15}$ است، نه مجموعِ خواسته‌شده. • $250$: خودِ $S_{20}$ است؛ کم‌کردنِ $S_{10}$ فراموش شده. **تلهٔ تستی:** «مجموع از جملهٔ $p$ تا $q$» برابر $S_q-S_{p-1}$ است، نه $S_q-S_p$؛ در این سؤال باید $S_{20}-S_{10}$ نوشت و نه $S_{20}-S_{11}$.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$T=S\left(-\frac{b}{a}\right)-\frac{c}{a}\left(-\frac{b}{a}\right)$» درست است. **حل گام‌به‌گام:** با نمادِ $s=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ و $p=x_1x_2=\frac{c}{a}$ (روابط ویت): $$S=x_1^2+x_2^2=s^2-2p,\qquad T=x_1^3+x_2^3=s^3-3ps.$$ حال $S\cdot s=(s^2-2p)s=s^3-2ps$. پس $$T-S\cdot s=(s^3-3ps)-(s^3-2ps)=-ps\ \Longrightarrow\ T=S\,s-p\,s,$$ یعنی $T=S\left(-\frac{b}{a}\right)-\frac{c}{a}\left(-\frac{b}{a}\right)$. **وارسی مستقل (نمونهٔ عددی):** برای $x^2-3x+2=0$ ریشه‌ها $1$ و $2$ هستند؛ $s=3$، $p=2$، $S=1+4=5$ و $T=1+8=9$. آنگاه $S\,s-p\,s=15-6=9=T$ ✓. **رد سایر گزینه‌ها:** • گزینهٔ $+\frac{c}{a}(-\frac{b}{a})$: در همان نمونه $15+6=21\neq9$. • گزینهٔ $-3\frac{c}{a}(-\frac{b}{a})$: $15-18=-3\neq9$؛ ضریبِ $3$ متعلق به فرمولِ $s^3-3ps$ است، نه به تفاضلِ $T-Ss$. • گزینهٔ $+3\frac{c}{a}(-\frac{b}{a})$: $15+18=33\neq9$. **تلهٔ تستی:** ضریبِ $3$ در اتحادِ $x_1^3+x_2^3=s^3-3ps$ ظاهر می‌شود، ولی وقتی $T$ را بر حسبِ $S$ می‌نویسیم، بخشی از آن با $-2ps$ِ درونِ $S\cdot s$ خنثی می‌شود و فقط $-ps$ باقی می‌ماند؛ کپی‌کردنِ کورکورانهٔ عددِ $3$ رایج‌ترین خطای این سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$38$» درست است. **حل گام‌به‌گام:** از $S_n=\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right]$ با $a_1=2$: $$\frac{n}{2}\left[4+(n-1)d\right]=2n^{2}\ \Longrightarrow\ 4+(n-1)d=4n.$$ این تساوی باید برای هر $n$ برقرار باشد؛ با مقایسهٔ ضرایب، $d=4$ و $4-d=0$ که هر دو سازگارند. پس $$a_{10}=a_1+9d=2+36=38.$$ **وارسی مستقل ($a_n=S_n-S_{n-1}$):** $a_n=2n^{2}-2(n-1)^{2}=2(2n-1)=4n-2$؛ پس $a_1=2$ ✓ و $a_{10}=40-2=38$ ✓. **رد سایر گزینه‌ها:** • $40$: حاصلِ $4n$ در $n=10$ است، یعنی فراموش‌کردنِ $-2$ در جملهٔ عمومی. • $42$: از $a_{10}=a_1+10d$ (اندیس‌دهیِ نادرست با $n$ به‌جایِ $n-1$) به‌دست می‌آید. • $44$: از فرضِ نادرستِ $d=\frac{S_2}{2}$ حاصل می‌شود. **تلهٔ تستی:** ضریبِ $n^{2}$ در $S_n$ برابر $\frac{d}{2}$ است نه خودِ $d$؛ در اینجا $2n^2$ یعنی $d=4$. اشتباهِ رایج، برداشتنِ عددِ $2$ به‌عنوانِ قدر نسبت است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه «$1$» درست است، زیرا از روابط ویته $S = \alpha + \beta = 3$ و $P = \alpha\beta = k$. با استفاده از اتحاد $\alpha^3 + \beta^3 = S^3 - 3PS$، داریم $27 - 9k = 18$ که نتیجه می‌دهد $k = 1$. سایر گزینه‌ها از اشتباه در اتحاد یا جایگذاری نادرست حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: رابطهٔ $S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ یک علامتِ منفی دارد و $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$ است (نه $S^2$ به‌تنهایی)؛ فراموش‌کردنِ این علامت یا این فرمول، رایج‌ترین خطا در سؤال‌هایِ روابطِ ویت است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\frac{5}{2}$» درست است. **حل گام‌به‌گام:** هر جملهٔ زوج دقیقاً $d$ واحد از جملهٔ فردِ قبلِ خود بزرگ‌تر است و پنج جفتِ $(a_1,a_2),(a_3,a_4),\dots,(a_9,a_{10})$ داریم؛ پس $$\underbrace{75}_{\text{زوج}}-\underbrace{65}_{\text{فرد}}=5d\ \Longrightarrow\ d=2.$$ مجموع جملات فرد: $a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=5a_1+d(0+2+4+6+8)=5a_1+20d=65$، پس $5a_1=65-40=25$ و $a_1=5$. $$\frac{a_1}{d}=\frac{5}{2}.$$ **وارسی مستقل (نوشتن دنباله):** با $a_1=5,\ d=2$ دنباله $5,7,9,11,13,15,17,19,21,23$ است؛ جملاتِ فرد $5+9+13+17+21=65$ ✓ و جملاتِ زوج $7+11+15+19+23=75$ ✓. **رد سایر گزینه‌ها:** • $\frac{3}{2}$: از خطای $10d=75-65$ (شمردنِ ده جفت به‌جای پنج جفت) حاصل می‌شود. • $\frac{1}{2}$: از جای‌گذاریِ $a_1=1$ پس از تقسیمِ نادرستِ $25$ بر $5a_1$ به‌دست می‌آید. • $-\frac{1}{2}$: علامتِ منفی معنا ندارد، چون مجموعِ زوج‌ها بزرگ‌تر از فردهاست و ناگزیر $d>0$ است. **تلهٔ تستی:** تفاضلِ «مجموع زوج‌ها منهای مجموع فردها» در دنبالهٔ حسابیِ $n$ جمله‌ای برابر $\frac{n}{2}d$ است، نه $nd$؛ در اینجا $\frac{10}{2}d=5d$. خلطِ تعدادِ جفت‌ها با تعدادِ جملات، رایج‌ترین خطاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$8$» درست است. با استفاده از روابط ویته، $\alpha + \beta = 3$ و $\alpha\beta = 1$. عبارت داده شده برابر است با $\frac{\alpha^3-\beta^3}{\alpha-\beta} = \alpha^2+\alpha\beta+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - \alpha\beta = 9 - 1 = 8$. گزینه‌های دیگر از محاسبه نادرست $\alpha^2+\beta^2$ یا فراموشی $\alpha\beta$ حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: رابطهٔ $S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ یک علامتِ منفی دارد و $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$ است (نه $S^2$ به‌تنهایی)؛ فراموش‌کردنِ این علامت یا این فرمول، رایج‌ترین خطا در سؤال‌هایِ روابطِ ویت است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$4$» درست است. **حل گام‌به‌گام:** $a_1=S_1=2(1)^2+3(1)=5$ و $S_2=2(4)+6=14$، پس $a_2=S_2-S_1=14-5=9$ و $$d=a_2-a_1=9-5=4.$$ **وارسی مستقل (جملهٔ عمومی):** $a_n=S_n-S_{n-1}=\left(2n^2+3n\right)-\left(2(n-1)^2+3(n-1)\right)=4n+1$؛ اختلافِ دو جملهٔ متوالی $4(n+1)+1-(4n+1)=4$ است، یعنی $d=4$ برای هر $n$ ✓. **رد سایر گزینه‌ها:** • $2$: با $d=2$ جملهٔ دوم $7$ و $S_2=12$ می‌شود، نه $14$. • $3$: با $d=3$ جملهٔ دوم $8$ و $S_2=13$ می‌شود، نه $14$. • $5$: با $d=5$ جملهٔ دوم $10$ و $S_2=15$ می‌شود، نه $14$. **تلهٔ تستی:** ضریبِ $n^2$ در $S_n$ برابر $\frac{d}{2}$ است؛ برداشتنِ عددِ $2$ از $2n^2$ به‌عنوانِ قدر نسبت (گزینهٔ نخست) رایج‌ترین دام است. راهِ مطمئن، محاسبهٔ $a_1=S_1$ و $a_2=S_2-S_1$ است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\frac{5}{2}$» درست است؛ نقاط $A(-4,0)$ و $B(0,3)$ هستند، پس $M(-2,\frac{3}{2})$ و فاصله از مبدأ $\sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$. گزینه $\frac{3}{2}$ غلط است چون مجموع مختصات $M$ را نصف کرده. گزینه $\frac{7}{2}$ غلط است چون مجموع مربعات را نصف کرده. گزینه $\frac{1}{2}$ غلط است چون اشتباه محاسبه شده. تلهٔ تستی: رابطهٔ نقطهٔ وسط $M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ باید در هر دو مؤلفه (هم $x$ هم $y$) جداگانه اعمال شود؛ جابه‌جاکردنِ نقشِ $M$ با یکی از دو سرِ پاره‌خط، رایج‌ترین خطاست.