تابع نمایی و لگاریتم (حسابان ۱)

درس اول: تابع نمایی

هر تابع به شکل $f(x) = a^x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که $a > 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $a \neq 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، تابع نمایی با پایه $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نامیده می‌شود:

چرا $a\neq1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؟ چون $1^x=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابع ثابت است، نه نمایی. چرا $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؟ چون $a^{1/2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف نمی‌شود.

قوانین توان (برای $a,b>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $x,y\in\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی): $a^0=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(a^x)^y=a^{xy}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(ab)^x=a^xb^x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

رفتار تابع: اگر $a>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابع صعودی است ($\lim_{x\to-\infty}a^x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ اگر $0<a<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابع نزولی است (برعکس).

نقاط کلیدی مشترک: نمودار همیشه از $(0,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(1,a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\left(-1,\frac1a\right)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌گذرد و هرگز محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را قطع نمی‌کند چون $a^x>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای همه $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمودار $\left(\frac1a\right)^x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرینه نمودار $a^x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نسبت به محور $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

تابع نمایی یک‌به‌یک است: $a^{x_1}=a^{x_2}\implies x_1=x_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس وارون‌پذیر است. برای $a>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $x_1>x_2\iff a^{x_1}>a^{x_2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ برای $0<a<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جهت برعکس می‌شود.

مثال کاربردی (رشد باکتری): $m(t)=m_0\cdot2^t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اگر $m_0=100$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی میلی‌گرم، $m(20)=100\cdot2^{20}\approx10^8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی میلی‌گرم.

مثال کنکوری (مرتب‌سازی): مرتب‌سازی $2^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $2^{2.5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $2^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\left(\dfrac12\right)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: چون $\left(\dfrac12\right)^2=2^{-2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نتیجه $2^{-2}<2^{-1}<2^{2.5}<2^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، یعنی $\dfrac14<\dfrac12<4\sqrt2<8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نامعادله نمایی: اگر $a>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $a^{f(x)}>a^{g(x)}\iff f(x)>g(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اگر $0<a<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جهت برعکس می‌شود. مثال: $4^{2x-1}>1024=4^5 \implies 2x-1>5 \implies x>3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات کنکوری: نمودار تابع نمایی به محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزدیک می‌شود ولی آن را قطع نمی‌کند (مجانب افقی)؛ $2^{10}=1024\approx10^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تقریب مفیدی است؛ $(0.8)^x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کاهشی است نه افزایشی.

درس دوم: تابع لگاریتمی

چون $f(x)=a^x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک‌به‌یک است، وارونش وجود دارد و تابع لگاریتمی نامیده می‌شود:

به زبان ساده: $\log_a x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی «عددی که $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید به آن توان برسد تا $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شود».

نمودار $y=\log_a x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرینه نمودار $y=a^x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نسبت به خط $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

مقادیر خاص: $\log_a1=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\log_aa=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\log_aa^n=n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $a^{\log_ax}=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

محاسبه مستقیم: $2^5=32\Rightarrow\log_232=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $6^2=36\Rightarrow\log_636=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $10^3=1000\Rightarrow\log_{10}1000=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $10^{-2}=0.01\Rightarrow\log_{10}0.01=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دامنه تابع لگاریتمی: $f(x)=\log_a g(x) \implies D_f: g(x)>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: $\log_2(x-3)\implies D_f=(3,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $\log_3(x^2-4)\implies D_g=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

رفتار: برای $a>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صعودی است ($0<x<1\Rightarrow\log_ax<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $x>1\Rightarrow\log_ax>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ برای $0<a<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزولی است (برعکس). نمودار همیشه از $(1,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(a,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌گذرد و محور $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مجانب عمودی آن است.

لگاریتم اعشاری (پایه ۱۰): $\log x=\log_{10}x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. لگاریتم طبیعی (پایه $e\approx2.718$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی): $\ln x=\log_ex$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مقایسه: برای $a>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $x_1>x_2>0 \iff \log_ax_1>\log_ax_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات کنکوری: دامنه لگاریتم فقط اعداد مثبت است؛ لگاریتم عدد بین ۰ و ۱ (برای $a>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) همیشه منفی است؛ اگر نقطه $(b,d)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $a^x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $(d,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $\log_ax$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

درس سوم: ویژگی‌های لگاریتم

برای $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $a\neq1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $M,N>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $n\in\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

اثبات ویژگی اول: با $x=\log_aM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $y=\log_aN$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $M=a^x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $N=a^y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $MN=a^{x+y}\implies\log_a(MN)=x+y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

فرمول تغییر پایه:

نتیجه مهم: $\log_ab\cdot\log_ba=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

زنجیره لگاریتم (فراتر از کتاب): $\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال: اگر $\log2=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\log3=b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، آنگاه $\log0.75=\log\dfrac34=\log3-\log2^2=b-2a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. و $\log5=\log\dfrac{10}{2}=1-a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. همچنین $\log1.8=\log\dfrac95=2\log3-(1-\log2)=2b-1+a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

لگاریتم‌های خاص: $\log_a\sqrt{x}=\dfrac12\log_ax$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\log_a\sqrt[n]{x}=\dfrac1n\log_ax$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\log_{1/a}x=-\log_ax$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات کنکوری: $\log(x+y)\neq\log x+\log y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $(\log x)^2\neq2\log x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (با $\log x^2=2\log x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اشتباه نشود)؛ لگاریتم می‌تواند مثبت، منفی یا صفر باشد — «همیشه مثبت است» غلط است. مقادیر مفید: $\log2\approx0.301$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\log3\approx0.477$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\log7\approx0.845$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

درس چهارم: معادلات و نامعادلات لگاریتمی

اصل اساسی: $\log_ax=\log_ay \iff x=y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (برای $x,y>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، که اجازه می‌دهد وقتی پایه‌ها یکسان‌اند لگاریتم‌ها را حذف کنیم.

نوع رایج: $\log_af(x)+\log_ag(x)=k \implies f(x)\cdot g(x)=a^k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال کامل: حل $\log x+\log(x+3)=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

بررسی: $x=-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چون $\log(-5)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف‌نشده مردود است؛ $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قابل قبول است. پس $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکته حیاتی: در معادلات لگاریتمی، جواب‌های به‌دست‌آمده باید همیشه بررسی شوند — عبارت داخل هر لگاریتم باید مثبت باشد؛ جواب‌های اضافی (Extraneous) بسیار رایج‌اند.

نامعادله: اگر $a>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\log_af(x)>\log_ag(x)\iff f(x)>g(x)>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اگر $0<a<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جهت برعکس می‌شود. مثال: $\log_2(x-1)>3 \implies x-1>8 \implies x>9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (با شرط دامنه $x>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، جواب نهایی $x>9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

معادله با تبدیل متغیر (فراتر از کتاب): $(\log x)^2-3\log x+2=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ با $t=\log x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $t^2-3t+2=0\implies t=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $t=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $x=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $x=100$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

معادله با پایه متغیر: $\log_x8=3\implies x^3=8\implies x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (با شرط $x>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $x\neq1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

نکات کنکوری: معادله $(\log x)^2+p\log x+q=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با تبدیل $t=\log x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به معادله درجه دوم تبدیل می‌شود؛ در نامعادله لگاریتمی شرط دامنه را جداگانه بنویس و در پایان اشتراک بگیر.

درس پنجم: کاربردها

نیمه‌عمر: $m(t)=m_0\cdot\left(\dfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: نیمه‌عمر ۲۵ سال، جرم اولیه ۲۴ mg؛ بعد از ۴۰ سال: $m(40)=24\cdot2^{-1.6}\approx7.9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی mg.

مقیاس ریشتر: $\log E=11.8+1.5M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ هر یک ریشتر اضافه یعنی $10^{1.5}\approx31.6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر انرژی بیشتر.

رشد جمعیت: $P(t)=P_0\cdot a^t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ زمان دو برابر شدن: $a^t=2\implies t=\log_a2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

فیلتر تصفیه آب: اگر هر لایه فیلتر $30\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ناخالصی را حذف کند، پس از $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی لایه: $P(n)=(0.7)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای حذف بیش از $96\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ($P(n)<0.04$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی): $n\log0.7<\log0.04\implies n>9.02$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی حداقل ۱۰ لایه لازم است.

مقادیر لگاریتمی مفید برای کنکور: $\log2\approx0.301$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\log3\approx0.477$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\log5=1-\log2\approx0.699$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\log6=\log2+\log3\approx0.778$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\log4=2\log2\approx0.602$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\log8=3\log2\approx0.903$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\log9=2\log3\approx0.954$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات کنکوری: در مسائل رشد/کاهش، برای یافتن زمان از تابع نمایی، از هر دو طرف لگاریتم بگیر؛ در مسائل نیمه‌عمر فرمول $m(t)=m_0\cdot2^{-t/T}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حفظ کن.