توابع نمایی و لگاریتمی (حسابان 1)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

می‌نویسیم $f(x)=\log_a[(x-1)^2]$. دامنه‌ی $f$ نیازمندِ $(x-1)^2>0$ یعنی $x\neq1$. دامنه‌ی $g(x)=2\log_a(x-1)$ نیازمندِ $x-1>0$ یعنی $x>1$ (سخت‌گیرتر). رویِ دامنه‌ی $g$ (یعنی $x>1$)، داریم $\log_a[(x-1)^2]=2\log_a(x-1)=g(x)$. پس $f=g$ دقیقاً برایِ $x>1$. گزینه‌ی «$f(x) = g(x)$ فقط برای $x > 1$ برقرار است.» درست است. گزینه‌ی «برای همه $x\in\mathbb{R}$» نادرست است چون $g$ برایِ $x\le1$ اصلاً تعریف نمی‌شود. گزینه‌ی «برای $x\in\mathbb{R}-\{1\}$» به‌اشتباه $x<1$ را هم شاملِ برابری می‌داند. تله‌ی تستی: $\log_a[(x-1)^2]=2\log_a(x-1)$ فقط وقتی معتبر است که $x-1>0$ باشد — نه برایِ $x<1$، جایی که $x-1$ منفی است و $\log_a(x-1)$ اصلاً تعریف نمی‌شود، هرچند $(x-1)^2$ همچنان مثبت است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون $54=2\times27=2\times3^3$، داریم $\log_a 54=\log_a 2+3\log_a 3=m+3\log_a 3$. برایِ یافتنِ $\log_a 3$ برحسبِ $n$: $n=\log_{2a}3=\dfrac{\log_a 3}{\log_a(2a)}=\dfrac{\log_a 3}{\log_a 2+\log_a a}=\dfrac{\log_a 3}{m+1}$، پس $\log_a 3=n(m+1)$. با جای‌گذاری: $\log_a 54=m+3n(m+1)$. گزینه‌ی «$m + 3n(m+1)$» درست است. سایر گزینه‌ها فرض می‌کنند $n$ مستقیماً برابرِ $\log_a 3$ است (بدونِ تبدیلِ پایه از $2a$ به $a$)، که خطایِ اصلیِ این نوع سؤال است. تله‌ی تستی: وقتی پایه‌ی لگاریتمِ دوم ($2a$) با پایه‌ی هدف ($a$) متفاوت است، باید حتماً رابطه‌ی $\log_{2a}3=\dfrac{\log_a 3}{\log_a(2a)}$ را برایِ تبدیلِ پایه به‌کار برد — غفلت از این گام، $n$ را به‌اشتباه با $\log_a 3$ یکی می‌گیرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

باید سه شرط برقرار باشد: (۱) $x+1>0$ و $x+1\neq1$ یعنی $x>-1,x\neq0$؛ (۲) $x^2-1>0$ یعنی $x<-1$ یا $x>1$؛ (۳) $\log_{x+1}(x^2-1)>0$ (برایِ تعریف‌شدنِ لگاریتمِ بیرونی). برایِ $x>0$ (پایه $x+1>1$)، شرطِ سوم یعنی $x^2-1>1 \implies x^2>2 \implies x>\sqrt2$. برایِ $-1<x<0$ (پایه‌ی بینِ $0$ و $1$)، شرطِ سوم نیازمندِ $0<x^2-1<1$ است که با $x^2<1$ (از $-1<x<0$) ناسازگار است، پس بدونِ جواب. پس دامنه‌ی کاملِ $f$ برابرِ $(\sqrt2,+\infty)$ است. از میانِ گزینه‌ها، $(\sqrt2,2)$ کاملاً زیرمجموعه‌ی این دامنه است. گزینه‌ی «$(\sqrt{2}, 2)$» درست است. گزینه‌ی «$(1, \sqrt{2})$» زیرمجموعه‌ی دامنه *نیست* — در این بازه، $x^2-1\in(0,1)$ درحالی‌که پایه $x+1>1$ است، پس $\log_{x+1}(x^2-1)<0$ و لگاریتمِ بیرونی تعریف نمی‌شود. گزینه‌ی «$(0, 2)$» چون شاملِ بخشی از $(1,\sqrt2)$ (که خارجِ دامنه است) می‌شود، کاملاً زیرمجموعه نیست. گزینه‌ی «$(0, 1)$» حتی شرطِ $x^2-1>0$ را هم نقض می‌کند. تله‌ی تستی: در لگاریتمِ با پایه‌ی متغیر، باید بینِ حالتِ پایه‌یِ بزرگ‌تر از $۱$ و پایه‌یِ بینِ $۰$ و $۱$ تفکیک قائل شد؛ اینجا فقط حالتِ پایه‌ی بزرگ‌تر از $۱$ ($x>0$) امکان‌پذیر است، و آن هم فقط برایِ $x>\sqrt2$.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با خاصیت ضرب لگاریتم: $\log_3[(2x-1)(x+2)]=\log_3(10x-1) \implies (2x-1)(x+2)=10x-1$. با بسط: $2x^2+3x-2=10x-1 \implies 2x^2-7x-1=0$. با فرمول ریشه‌ها: $x=\dfrac{7\pm\sqrt{57}}{4}$. شرط دامنه: $2x-1>0$، $x+2>0$ و $10x-1>0$، یعنی $x>0.5$. چون $\dfrac{7-\sqrt{57}}{4}<0$ (مردود) و $\dfrac{7+\sqrt{57}}{4}\approx3.6>0.5$ (مقبول)، فقط یک ریشه معتبر است. گزینه‌ی «۱» درست است. گزینه‌های «۰»، «۲» و «۳» از عدم‌بررسیِ درستِ شرطِ دامنه رویِ هر دو ریشه‌ی معادله‌ی درجه‌دوم ناشی می‌شوند. تله‌ی تستی: معادله‌ی درجه‌دومِ حاصل دو ریشه دارد، اما همیشه باید هر ریشه را جداگانه در سه شرطِ دامنه (هر سه عبارتِ داخلِ لگاریتم) بررسی کرد؛ نادیده‌گرفتنِ حتی یکی از این شرایط شمارش را نادرست می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای هر زاویه‌ی $\theta$ که $1^\circ \le \theta \le 89^\circ$، متمم آن $90^\circ-\theta$ نیز در بازه است و $\tan\theta \cdot \tan(90^\circ-\theta)=\tan\theta\cdot\cot\theta=1$. عبارت را می‌توان در ۴۴ جفت $(\theta,90^\circ-\theta)$ (مثلاً $1^\circ$ با $89^\circ$، $2^\circ$ با $88^\circ$، ...، $44^\circ$ با $46^\circ$) به‌علاوه‌ی جمله‌ی تنهای $\tan45^\circ=1$ شکست. حاصل‌ضرب هر جفت برابر $1$ است، پس مجموع لگاریتم‌های هر جفت صفر است؛ جمله‌ی $\log(\tan45^\circ)=\log1=0$ نیز صفر است. پس مجموع کل $=0$. گزینه‌ی «$0$» درست است. سایر گزینه‌ها از عدم‌تشخیصِ این تقارنِ جفت‌شدنی و تلاش برایِ محاسبه‌ی مستقیمِ هر جمله ناشی می‌شوند. تله‌ی تستی: کلید حل، شناساییِ رابطه‌ی $\tan\theta\cdot\tan(90^\circ-\theta)=1$ است — بدونِ این تقارن، محاسبه‌ی مستقیمِ ۸۹ لگاریتم عملاً غیرممکن است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با خاصیتِ برابریِ لگاریتم (هم‌پایه): $x^2-3x+2=2x-2 \implies x^2-5x+4=0 \implies (x-1)(x-4)=0 \implies x=1$ یا $x=4$. شرطِ دامنه: $x^2-3x+2>0$ (یعنی $x<1$ یا $x>2$) و $2x-2>0$ (یعنی $x>1$). چون $x=1$ مرزِ دامنه است ($x^2-3x+2=0$ در آنجا، نه $>0$)، مردود است؛ فقط $x=4$ معتبر است. پس مجموعِ جواب‌هایِ معتبر برابرِ $4$ است. گزینه‌ی «$4$» درست است. گزینه‌های «$5$»، «$3$» و «$6$» از جمع‌کردنِ نادرستِ ریشه‌ها یا لحاظ‌کردنِ ریشه‌ی نامعتبرِ $x=1$ ناشی می‌شوند. تله‌ی تستی: $x=1$ یک ریشه‌ی جبریِ معتبر برایِ معادله‌ی درجه‌دوم است، اما دقیقاً رویِ مرزِ دامنه قرار دارد و باعثِ صفرشدنِ عبارتِ داخلِ لگاریتم می‌شود — این نوع «ریشه‌ی مرزی» یکی از رایج‌ترین تله‌های این ژانر است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون $45=9\times5=3^2\times5$، داریم $\log_2 45=2\log_2 3+\log_2 5=2a+\log_2 5$. چون $\log_2 5=\log_2 3\cdot\log_3 5=ab$، داریم $\log_2 45=2a+ab$. چون $\log_2 8=3$، داریم $\log_8 45=\dfrac{\log_2 45}{3}=\dfrac{2a+ab}{3}$. گزینه‌ی «$\frac{2a+ab}{3}$» درست است. گزینه‌ی «$\frac{1+ab}{3a}$» و «$\frac{ab}{3}$» از فراموش‌کردنِ جمله‌ی $2a$ یا خلطِ ساختاری ناشی می‌شوند. گزینه‌ی «$\frac{a+b}{3}$» به‌اشتباه $b$ (که $\log_3 5$ است) را مستقیماً به‌جایِ $\log_2 5=ab$ به‌کار می‌برد. تله‌ی تستی: $b=\log_3 5$ نمی‌تواند مستقیماً در محاسبه‌ی $\log_2 45$ استفاده شود — باید ابتدا با ضرب در $a$ به $\log_2 5=ab$ تبدیل شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون $45=9\times5=3^2\times5$، داریم $\log_2 45=2\log_2 3+\log_2 5=2b+a$. چون $12=4\times3$، داریم $\log_2 12=2+\log_2 3=2+b$. پس $\log_{12}45=\dfrac{\log_2 45}{\log_2 12}=\dfrac{a+2b}{2+b}$. گزینه‌ی «$\frac{a + 2b}{2 + b}$» درست است. سایر گزینه‌ها از اشتباه در محاسبه‌ی $\log_2 12$ (که شاملِ عددِ ثابتِ $2$، نه ترکیبی از $a,b$ است) یا خلطِ صورت/مخرج ناشی می‌شوند. تله‌ی تستی: $\log_2 12=\log_2(4\times3)=2+\log_2 3$ شاملِ یک عددِ *ثابت* ($2$، چون $\log_2 4=2$ همیشه) است، نه فقط ترکیبی از $a$ و $b$ — فراموش‌کردنِ این ثابت (و نوشتنِ مخرج فقط برحسبِ $a,b$) رایج‌ترین خطایِ این سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون $\log_4(x^2-4x+4)=\dfrac12\log_2[(x-2)^2]$، معادله به $2\log_2(x^2-2x-2)=\log_2[(x-2)^2]$ یعنی $(x^2-2x-2)^2=(x-2)^2$ تبدیل می‌شود. با حلِ این معادله (که به دو معادله‌ی $x^2-2x-2=\pm(x-2)$ می‌شکند): $x^2-3x=0$ یا $x^2-x-4=0$. ریشه‌های معتبر (با شرطِ دامنه‌ی $x^2-2x-2>0$ و $x\neq2$) عبارتند از $x=3$ و $x=\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}$. مجموع: $3+\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}=\dfrac{7-\sqrt{17}}{2}$. گزینه‌ی «$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$» درست است. سایر گزینه‌ها از حلِ نادرستِ معادله‌ی حاصل یا عدم‌بررسیِ کاملِ دامنه ناشی می‌شوند. تله‌ی تستی: معادله‌ی $A^2=B^2$ به دو معادله‌ی جداگانه‌ی $A=B$ و $A=-B$ می‌شکند — نادیده‌گرفتنِ یکی از این دو حالت، نیمی از ریشه‌ها را از دست می‌دهد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از $f(a)=5$: $2^{a-1}-3=5 \implies 2^{a-1}=8=2^3 \implies a-1=3 \implies a=4$. چون $g=f^{-1}$، داریم $g(5)=f^{-1}(5)=a=4$ (خاصیتِ پایه‌ای توابعِ وارون). حالا $g(a+1)=g(5)=4$. گزینه‌ی «$4$» درست است. گزینه‌های «$5$»، «$6$» و «$7$» از عدم‌استفاده از خاصیتِ وارون (و تلاش برایِ محاسبه‌ی مستقیمِ $g(5)=\log_2(5+3)+1=\log_2 8+1=3+1=4$ با خطای محاسباتی) ناشی می‌شوند. تله‌ی تستی: چون $g=f^{-1}$، رابطه‌ی $f(a)=5$ به‌طورِ خودکار $g(5)=a$ را نتیجه می‌دهد — این میان‌بر بسیار سریع‌تر از محاسبه‌ی مستقیمِ $g$ با فرمولش است، هرچند هر دو روش باید به یک پاسخ برسند.