تابع و وارون آن (حسابان ۱)

درس اول: تعریف دقیق تابع

تابع $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از مجموعه $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رابطه‌ای است که به هر عضو $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً یک عضو از $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نسبت می‌دهد: $f:A\to B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

برد همیشه زیرمجموعه هم‌دامنه است، نه لزوماً برابر با آن.

نمایش‌های تابع: جبری ($f(x)=3x+5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، با دامنه محدود ($h:(-2,2]\to\mathbb R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $h(x)=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، که برد آن $[0,4]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است)، و زوج‌های مرتب.

برابری دو تابع: $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرند اگر و فقط اگر $D_f=D_g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و برای هر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در دامنه $f(x)=g(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: $f(x)=\sqrt{x}^2/x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با دامنه $(0,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g(x)=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با دامنه $\mathbb R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر نیستند.

نکات کنکوری: بدون ذکر دامنه، دامنه طبیعی (بزرگ‌ترین زیرمجموعه $\mathbb R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که ضابطه تعریف‌شده) در نظر گرفته می‌شود؛ $f(x)=x|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g(x)=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر نیستند چون $f(-1)=-1\neq g(-1)=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

درس دوم: انواع توابع

تابع گویا: $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $Q(x)\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ دامنه: همه اعداد حقیقی به‌جز ریشه‌های $Q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: $f(x)=\dfrac{2x-1}{(x-1)(x-2)}\implies D_f=\mathbb R\setminus\{1,2\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تابع رادیکالی: برای $f(x)=\sqrt{g(x)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، شرط دامنه $g(x)\geq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: $f(x)=\sqrt{3-5x}\implies D_f=\left(-\infty,\frac35\right]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای مجموع دو رادیکال $f(x)=\sqrt{g(x)}+\sqrt{h(x)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید هر دو شرط همزمان برقرار باشد؛ مثال: $f(x)=\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}\implies D_f=[3,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

توابع ترکیبی (چندضابطه‌ای): $f(x)=\begin{cases}\sqrt x & x\geq0\\-x & x<0\end{cases}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که در واقع همان $|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ کاربرد در هزینه پستی و نرخ‌های پلکانی.

جزء صحیح: $[x]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است: $[x]\leq x<[x]+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: $[3.7]=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $[-2.8]=-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. دامنه $\mathbb R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، برد $\mathbb Z$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. ویژگی: $[x+n]=[x]+n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صحیح.

آزمون خط عمودی: نمودار یک معادله تابع را نشان می‌دهد اگر و فقط اگر هر خط عمودی نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند. مثال: $x=y^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابع نیست چون $x=4\Rightarrow y=\pm2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات کنکوری: دامنه $\sqrt[n]{g(x)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج نیاز به $g(x)\geq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد، برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرد نیازی نیست؛ $[x]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در اعداد صحیح ناپیوسته است (پرش دارد)؛ تعداد اعداد صحیح در $[a,b]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $[b]-[a]+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

درس سوم: وارون تابع

هشدار: $f^{-1}(x)\neq\dfrac1{f(x)}=[f(x)]^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ این دو نماد کاملاً متفاوتند.

$f^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خودش تابع است اگر و فقط اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک‌به‌یک باشد: $f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

آزمون خط افقی: $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک‌به‌یک است اگر و فقط اگر هر خط افقی نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند. مثال: $f(x)=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک‌به‌یک نیست ($f(-2)=f(2)=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ $f(x)=x^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک‌به‌یک است.

خواص وارون: $D_{f^{-1}}=R_f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $R_{f^{-1}}=D_f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $f^{-1}(f(x))=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای هر $x\in D_f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

الگوریتم محاسبه وارون: ۱) $y=f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بنویس، ۲) $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را برحسب $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بیاب، ۳) جای $x,y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را عوض کن، ۴) دامنه $f^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را برابر برد $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگذار.

مثال: $f(x)=2x+5\implies f^{-1}(x)=\dfrac{x-5}2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. وارون یک تابع خطی همیشه خودش خطی است.

مثال با ریشه: $g:[1,+\infty)\to[2,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $g(x)=(x-1)^2+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ چون $x\geq1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی علامت مثبت انتخاب می‌شود: $g^{-1}(x)=1+\sqrt{x-2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمودار $f^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرینه نمودار $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نسبت به خط $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک‌به‌یک نباشد، با محدود کردن دامنه می‌توان یک‌به‌یکی ساخت (مثلاً $x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $[0,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

نکات کنکوری: نمودار $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نسبت به $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرینه‌اند؛ اگر $(a,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $(b,a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $f^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ توابع صعودی یا نزولی روی کل دامنه همیشه یک‌به‌یک‌اند.

درس چهارم: اعمال روی توابع

مثال: $f(x)=\sqrt{x+2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ($D_f=[-2,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، $g(x)=\sqrt{3-x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ($D_g=(-\infty,3]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ $D_{f+g}=[-2,3]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ترکیب توابع: $\boxed{(g\circ f)(x)=g(f(x))}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، با دامنه $D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال: $f(x)=\sqrt{x-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ($D_f=[1,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، $g(x)=x^2+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $(g\circ f)(x)=g(\sqrt{x-1})=x-1+3=x+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $D_{g\circ f}=[1,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اما $(f\circ g)(x)=\sqrt{x^2+2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $D_{f\circ g}=\mathbb R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. نتیجه مهم: $f\circ g\neq g\circ f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — ترکیب جابجایی‌پذیر نیست.

تفاوت ضرب و ترکیب: برای $f(x)=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $g(x)=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $(f\cdot g)(x)=x^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $(g\circ f)(x)=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

روش محاسبه دامنه ترکیب: ابتدا $D_{g\circ f}\subseteq D_f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، سپس شرط $f(x)\in D_g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: $f(x)=\dfrac1{x-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $g(x)=\sqrt x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $(g\circ f)(x)=\sqrt{\frac1{x-1}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیاز به $x>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد، پس $D_{g\circ f}=(1,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تجزیه توابع به ترکیب (مهارت مهم): تابع پیچیده را به ترکیب توابع ساده‌تر بشکن. مثال: $h(x)=\sqrt{x^2+1}=f\circ g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $g(x)=x^2+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f(x)=\sqrt x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ارتباط ترکیب با وارون: اگر $f:A\to B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g:B\to C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر دو یک‌به‌یک باشند، $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال کاربردی (تبدیل دما): $f(x)=\frac59(x-32)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (فارنهایت به سانتیگراد)، $g(x)=x+273$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (سانتیگراد به کلوین)؛ $(g\circ f)(x)=\frac{5x}9+\frac{2297}9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات کنکوری: $D_{f/g}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید صفرهای $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را هم حذف کند؛ در محاسبه $D_{g\circ f}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه از $D_f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شروع کن؛ $(f^{-1}\circ f)(x)=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آزمونی برای درستی محاسبه وارون است؛ اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خطی باشند، $f\circ g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم خطی است.