تابع (حسابان 1)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«وارون ندارد، زیرا تابع یک‌به‌یک نیست.» درست است. شرط $ad - bc = 0$ باعث می‌شود $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ به یک تابع ثابت تبدیل شود که یک‌به‌یک نیست. تلهٔ تستی: شرطِ $ad-bc\neq0$ همان شرطی است که تضمین می‌کند تابعِ همگرافیک ثابت نشود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$(-\infty, 2] \setminus [1, 2)$» درست است. شرط اول: $2 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2$. شرط دوم: $\left\lfloor x \right\rfloor - 1 \neq 0 \Rightarrow \left\lfloor x \right\rfloor \neq 1 \Rightarrow x \notin [1, 2)$ (زیرا $\left\lfloor x \right\rfloor = 1$ برای $1 \leq x < 2$). تلهٔ تستی: نقطهٔ $x=2$ خودش در $[1,2)$ نیست (چون آن بازه نیم‌باز است و به $2$ نمی‌رسد)، پس با اینکه نزدیکِ محدودهٔ حذف‌شده است، همچنان در دامنهٔ نهایی باقی می‌ماند — این مرزِ ظریف رایج‌ترین محلِ خطا در این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\mathbb{R} - \{1\}$» درست است. $x-\lfloor x\rfloor$ (بخشِ کسری) برایِ **همهٔ** اعدادِ حقیقی — از جمله اعدادِ منفی — تعریف‌شده و همیشه در بازهٔ $[0,1)$ است (مثلاً برایِ $x=-1.5$: $\lfloor -1.5\rfloor=-2$ و $x-\lfloor x\rfloor=-1.5-(-2)=0.5$، کاملاً معتبر). پس شرطِ رادیکال ($x-\lfloor x\rfloor\geq0$) همیشه و برایِ همهٔ $x$ برقرار است و هیچ محدودیتی ایجاد نمی‌کند. تنها شرطِ واقعی، $x\neq1$ (مخرج) است. بنابراین دامنه $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ است. تلهٔ تستی: تصورِ رایج این است که جزءِ صحیح (و بخشِ کسری) فقط برایِ اعدادِ مثبت یا نامنفی تعریف شده‌اند — اما این توابع برایِ *همهٔ* اعدادِ حقیقی، بدونِ استثنا، کاملاً تعریف‌شده‌اند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$D_{f \circ g} = \mathbb{R}$ و $D_{g \circ f} = \mathbb{R}$» درست است. برای $f \circ g$ داریم $f(g(x)) = \lfloor x^2 \rfloor$ که $x^2$ برای همه $x \in \mathbb{R}$ تعریف شده و خروجی آن به $f$ داده می‌شود، پس دامنه $\mathbb{R}$ است. برای $g \circ f$ داریم $g(f(x)) = (\lfloor x \rfloor)^2$ که $\lfloor x \rfloor$ برای همه $x \in \mathbb{R}$ تعریف شده است و مربع آن نیز همواره تعریف می‌شود، پس دامنه $\mathbb{R}$ است. تلهٔ تستی: جزءِ صحیح ($\lfloor\cdot\rfloor$) هیچ محدودیتِ دامنه‌ای ایجاد نمی‌کند — برایِ همهٔ اعدادِ حقیقی (نه فقط اعدادِ صحیح) تعریف‌شده است؛ تصورِ اینکه ورودیِ جزءِ صحیح باید خودش عددِ صحیح باشد، یک سوءتفاهمِ رایج است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$10$» درست است. $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2\left(\frac{x-3}{2}\right) + 3 = x - 3 + 3 = x$. $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{2x+3-3}{2} = \frac{2x}{2} = x$. بنابراین $h(x) = x + x = 2x$ و $h(5) = 2 \times 5 = 10$. سایر گزینه‌ها نادرستند: 5 حاصل اشتباه $h(x)=x$، 15 حاصل اشتباه $x+5$، و 20 حاصل اشتباه $4x$ است. تلهٔ تستی: در این مثالِ خاص، $f$ و $g$ دقیقاً معکوسِ یکدیگرند و هر دو ترکیب به تابعِ همانی ($x$) ساده می‌شوند — این را نباید به‌عنوانِ یک قاعدهٔ عمومی («$h(x)=2x$ همیشه») برای هر دو تابعِ دلخواه تعمیم داد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

بازه شاملِ اعدادِ صحیحِ $-2,-1,0,1,2,3,4,5$ است. شرطِ $\left[\sqrt{m+1}\right]=[m]+1=m+1$ (چون $m$ صحیح است) نیازمندِ $m+1\geq0$، یعنی $m\geq-1$، است ($m=-2$ خارج می‌شود چون رادیکال منفی می‌شود). بررسیِ باقی‌مانده‌ها: $m=-1$: $\sqrt{0}=0$، $\left[0\right]=0=m+1=0$ ✓. $m=0$: $\sqrt1=1$، $[1]=1=m+1=1$ ✓. $m=1$: $\sqrt2\approx1.41$، $[{\cdot}]=1\neq2$ ✗. $m=2,3,4,5$: همگی برقرار نمی‌شوند (بررسیِ مشابه). پس دقیقاً $m=-1$ و $m=0$ شرط را دارند، یعنی تعدادِ $2$ عدد. تلهٔ تستی: مرزِ $m=-1$ به‌راحتی نادیده گرفته می‌شود چون رادیکالِ $\sqrt{m+1}$ در آن به مقدارِ $0$ (نه منفی) می‌رسد و شرط را برآورده می‌کند — بسیاری فقط از $m=0$ به بعد را بررسی می‌کنند و این ریشه را از قلم می‌اندازند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$k$ یک‌به‌یک است ولی $h$ یک‌به‌یک نیست.» درست است. $f(x)=x^2$ برای $x\geq0$ و $f(x)=-x$ برای $x<0$ (توجه: این با $|x|$ یکی نیست، چون برایِ $x\geq0$ ضابطه $x^2$ است نه $x$). برای $h=f\circ f$: اگر $x\geq0$، $f(x)=x^2\geq0$، پس $h(x)=f(x^2)=(x^2)^2=x^4$. اگر $x<0$، $f(x)=-x>0$، پس $h(x)=f(-x)=(-x)^2=x^2$. چون $h(-1)=(-1)^2=1$ و $h(1)=1^4=1$ با $-1\neq1$، تابعِ $h$ یک‌به‌یک **نیست**. برای $k=g\circ g$ با $g(x)=x|x|$: خودِ $g$ اکیداً صعودی (پس یک‌به‌یک) است، و ترکیبِ دو تابعِ یک‌به‌یک همیشه یک‌به‌یک است، پس $k$ یک‌به‌یک **است**. پس «$k$ یک‌به‌یک است ولی $h$ یک‌به‌یک نیست» درست است. تلهٔ تستی: $g(x)=x|x|$ اغلب با $|x|$ یا $x^2$ اشتباه گرفته می‌شود، درحالی‌که برخلافِ آن دو، $g$ کاملاً یک‌به‌یک (اکیداً صعودی رویِ کلِ $\mathbb{R}$) است؛ این تفاوتِ ظریف دقیقاً همان چیزی است که این سؤال می‌آزماید.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

فرمولِ $g(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}$ دقیقاً همان فرمولِ کلیِ وارونِ $f$ است، یعنی $g=f^{-1}$. بنابراین $h=f\circ g=f\circ f^{-1}=\text{Id}$ (تابعِ همانی)، یعنی $h(x)=x$ برایِ هر $x$ در دامنهٔ تعریف. پس $h(h(x))=h(x)=x$. تلهٔ تستی: به‌جایِ محاسبهٔ صریحِ ترکیبِ $f\circ g$ که پیچیده به‌نظر می‌رسد، تشخیصِ اینکه $g$ دقیقاً فرمولِ استانداردِ وارونِ $f$ است، بلافاصله نتیجه می‌دهد که ترکیب برابرِ تابعِ همانی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$(2, +\infty)$»درست است. شرط رادیکال: $x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$. شرط مخرج: $x^2-4x+4 = (x-2)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. اشتراک دو شرط برابر $(2, +\infty)$ می‌شود. تلهٔ تستی: مخرجِ $(x-2)^2$ در واقع همان نقطهٔ $x=2$ را حذف می‌کند که شرطِ رادیکال هم به‌عنوانِ کرانِ پایین معرفی کرده بود — این دو شرط رویِ یک نقطهٔ مشترک هم‌پوشانی دارند و نتیجه یک بازهٔ کاملاً *باز* است، نه نیمه‌باز.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$(f \circ g)(x) = |x|$ برای $x \in \mathbb{R}$ و $(g \circ f)(x) = x$ برای $x \geq 0$» درست است. $(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2} = |x|$ با دامنه $\mathbb{R}$. $(g \circ f)(x) = (\sqrt{x})^2 = x$ اما دامنه آن $D_f = [0, +\infty)$ است؛ بنابراین فقط برای $x \geq 0$ تعریف می‌شود. سایر گزینه‌ها دامنه‌ها و ضابطه‌ها را نادرست بیان کرده‌اند. تلهٔ تستی: $\sqrt{x^2}$ همیشه با $x$ برابر نیست — این عبارت همواره برابرِ $|x|$ است، درحالی‌که $(\sqrt{x})^2$ (با ترتیبِ برعکس) واقعاً $x$ می‌شود، اما فقط رویِ دامنهٔ $x\geq0$.