پرش به محتوای اصلی

مثلثات (حسابان 1)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

درس اول: رادیان و طول کمان

در هر دایره به شعاع rr، نسبت طول کمان ℓ\ell به زاویه مرکزی روبه‌رویش به شعاع، مقداری ثابت است:

θ=ℓr\theta = \frac{\ell}{r}

تعریف یک رادیان: زاویه‌ای مرکزی که طول کمان روبه‌رویش برابر شعاع دایره باشد.

چون نیم‌صفحه طول کمانش نصف محیط دایره است، ℓ=πr\ell = \pi r و در نتیجه:

180°=π rad\boxed{180° = \pi \text{ rad}}
1°=π180 rad,1 rad=180°π≈57.3°1° = \frac{\pi}{180} \text{ rad}, \qquad 1 \text{ rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57.3°

جدول تبدیل زوایای مهم: 30°=π630° = \dfrac{\pi}{6}، 45°=π445° = \dfrac{\pi}{4}، 60°=π360° = \dfrac{\pi}{3}، 90°=π290° = \dfrac{\pi}{2}، 180°=π180° = \pi، 360°=2π360° = 2\pi.

فرمول طول کمان:

ℓ=rθ(θ برحسب رادیان)\boxed{\ell = r\theta} \quad (\theta \text{ برحسب رادیان})

مثال: طول کمانی در دایره به شعاع 55 cm در مقابل زاویه π3\dfrac{\pi}{3} rad: ℓ=5×π3=5π3\ell = 5 \times \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3} cm.

مساحت قطاع دایره:

S=12r2θ\boxed{S = \frac{1}{2}r^2\theta}

از نسبت مساحت قطاع به کل دایره برابر نسبت زاویه به 2π2\pi به‌دست می‌آید. دام رایج: ضریب 12\frac{1}{2} فراموش نشود (S≠r2θS \neq r^2\theta).

مسئله قرقره و تسمه: وقتی دو قرقره به شعاع r1,r2r_1, r_2 با تسمه متصل‌اند، طول تسمه حرکت‌کرده برای هر دو یکسان است: r1θ1=r2θ2r_1\theta_1 = r_2\theta_2. مثال: قرقره‌های 1010 و 2.52.5 cm؛ وقتی قرقره بزرگ π2\dfrac{\pi}{2} rad می‌چرخد: 10×π2=2.5×θ2  ⟹  θ2=2π10 \times \dfrac{\pi}{2} = 2.5 \times \theta_2 \implies \theta_2 = 2\pi rad (یک دور کامل).

نکات کنکوری: در ℓ=rθ\ell=r\theta زاویه حتماً رادیان باشد؛ 180°=π180°=\pi رادیان پایه همه تبدیل‌هاست؛ مساحت قطاع هم به‌صورت S=12rℓS=\frac12 r\ell قابل نوشتن است.

درس دوم: نسبت‌های مثلثاتی زوایای خاص

در دایره مثلثاتی (شعاع ۱)، برای زاویه θ\theta، نقطه انتهای کمان P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta,\sin\theta) است:

sin⁡θ=yP,cos⁡θ=xP,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\sin\theta = y_P, \quad \cos\theta = x_P, \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

فرمول‌های تبدیل (از تقارن نقاط روی دایره مثلثاتی به‌دست می‌آیند):

sin⁡ ⁣(π2−θ)=cos⁡θ,cos⁡ ⁣(π2−θ)=sin⁡θ,tan⁡ ⁣(π2−θ)=cot⁡θ\boxed{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta}, \quad \boxed{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta}, \quad \boxed{\tan\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta}
sin⁡(−θ)=−sin⁡θ,cos⁡(−θ)=cos⁡θ(sin⁡,tan⁡,cot⁡ فرد؛ cos⁡ زوج)\boxed{\sin(-\theta)=-\sin\theta}, \quad \boxed{\cos(-\theta)=\cos\theta} \quad (\sin,\tan,\cot \text{ فرد}؛\ \cos \text{ زوج})
sin⁡(π−θ)=sin⁡θ,cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\boxed{\sin(\pi-\theta)=\sin\theta}, \quad \boxed{\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta}
sin⁡(π+θ)=−sin⁡θ,cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ,tan⁡(π+θ)=tan⁡θ\boxed{\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta}, \quad \boxed{\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta}, \quad \boxed{\tan(\pi+\theta)=\tan\theta}
sin⁡ ⁣(π2+θ)=cos⁡θ,cos⁡ ⁣(π2+θ)=−sin⁡θ\boxed{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos\theta}, \quad \boxed{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin\theta}

زوایای هم‌انتها: sin⁡(2kπ+θ)=sin⁡θ\sin(2k\pi+\theta)=\sin\theta و مشابه برای cos⁡,tan⁡,cot⁡\cos,\tan,\cot (k∈Zk \in \mathbb{Z}).

روش سریع (قانون نقطه‌خوار): برای f(n⋅π2±θ)f(n\cdot\frac{\pi}{2}\pm\theta): اگر nn فرد باشد تابع عوض می‌شود (sin⁡↔cos⁡\sin\leftrightarrow\cos، tan⁡↔cot⁡\tan\leftrightarrow\cot)، اگر زوج بماند همان تابع؛ سپس علامت را با فرض θ\theta در ربع اول و دیدن اینکه نتیجه در کدام ربع می‌افتد تعیین کن.

مثال: sin⁡(210°)=sin⁡(180°+30°)=−sin⁡30°=−12\sin(210°)=\sin(180°+30°)=-\sin30°=-\dfrac12.

مثال: cot⁡(135°)=cot⁡(180°−45°)=−cot⁡45°=−1\cot(135°)=\cot(180°-45°)=-\cot45°=-1.

نکات کنکوری: tan⁡(π+θ)=tan⁡θ\tan(\pi+\theta)=\tan\theta چون تانژانت دوره π\pi دارد، نه 2π2\pi؛ اشتباه رایج cos⁡(−θ)\cos(-\theta) را −cos⁡θ-\cos\theta نوشتن است؛ علامت در ربع‌ها طبق ASTC («All Sin Tan Cos» مثبت‌اند در ربع I تا IV به‌ترتیب همه، فقط sin، فقط tan/cot، فقط cos).

جدول جامع فرمول‌های تبدیل:

زاویه α\alpha sin⁡α\sin\alpha cos⁡α\cos\alpha tan⁡α\tan\alpha
−θ-\theta −sin⁡θ-\sin\theta cos⁡θ\cos\theta −tan⁡θ-\tan\theta
π2−θ\frac{\pi}{2}-\theta cos⁡θ\cos\theta sin⁡θ\sin\theta cot⁡θ\cot\theta
π2+θ\frac{\pi}{2}+\theta cos⁡θ\cos\theta −sin⁡θ-\sin\theta −cot⁡θ-\cot\theta
π−θ\pi-\theta sin⁡θ\sin\theta −cos⁡θ-\cos\theta −tan⁡θ-\tan\theta
π+θ\pi+\theta −sin⁡θ-\sin\theta −cos⁡θ-\cos\theta tan⁡θ\tan\theta

درس سوم: توابع مثلثاتی

y=sin⁡xy=\sin x: دامنه R\mathbb{R}، برد [−1,1][-1,1]، دوره تناوب T=2πT=2\pi، فرد، صفرها در x=kπx=k\pi.

y=cos⁡xy=\cos x: دامنه R\mathbb{R}، برد [−1,1][-1,1]، دوره تناوب 2π2\pi، زوج، صفرها در x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pi.

y=tan⁡x=sin⁡xcos⁡xy=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}: دامنه R∖{π2+kπ}\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}، برد R\mathbb{R}، دوره تناوب T=πT=\pi، فرد.

y=cot⁡xy=\cot x: دامنه R∖{kπ}\mathbb{R}\setminus\{k\pi\}، دوره تناوب π\pi، فرد، نزولی در هر دوره.

شکل کلی تعمیم‌یافته: y=Asin⁡(Bx+C)+Dy=A\sin(Bx+C)+D؛ ∣A∣|A| دامنه (Amplitude)، T=2π∣B∣T=\dfrac{2\pi}{|B|} دوره تناوب، ϕ=−CB\phi=-\dfrac{C}{B} انتقال فاز، DD انتقال عمودی؛ ymax⁡=D+∣A∣y_{\max}=D+|A|، ymin⁡=D−∣A∣y_{\min}=D-|A|.

مثال: y=3sin⁡(2x−π)+1y=3\sin(2x-\pi)+1: دامنه 33، دوره π\pi، فاز π2\frac{\pi}{2} به راست، خط میانه y=1y=1، بیشینه 44، کمینه −2-2.

cos⁡x=sin⁡ ⁣(x+π2)\cos x = \sin\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)

یعنی نمودار cos⁡x\cos x همان sin⁡x\sin x است که π2\frac{\pi}{2} واحد به چپ منتقل شده.

نکات کنکوری: برد sin⁡,cos⁡\sin,\cos دقیقاً [−1,1][-1,1] است؛ در y=Asin⁡(Bx+C)+Dy=A\sin(Bx+C)+D دوره تناوب 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|} است نه 2πB\frac{2\pi}{B}؛ sin⁡(2)\sin(2) رادیانی است نه درجه‌ای؛ مقادیر پایه cos⁡0=1\cos0=1، cos⁡π=−1\cos\pi=-1، sin⁡π2=1\sin\frac{\pi}{2}=1، sin⁡π=0\sin\pi=0 را حفظ کن.

درس چهارم: روابط مجموع و تفاضل زوایا

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\boxed{\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta}
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\boxed{\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}
tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\boxed{\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}}

مثال: sin⁡75°=sin⁡(45°+30°)=sin⁡45°cos⁡30°+cos⁡45°sin⁡30°=6+24\sin75°=\sin(45°+30°)=\sin45°\cos30°+\cos45°\sin30°=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. توجه: cos⁡15°=sin⁡75°\cos15°=\sin75° چون 15+75=9015+75=90.

فرمول‌های دو برابر زاویه (با β=α\beta=\alpha):

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α,cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\boxed{\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha}, \qquad \boxed{\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha}

از این‌جا: cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}، sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}، و tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}.

کاربرد در محاسبات ترکیبی: اگر cos⁡α=45\cos\alpha=\frac45 (ربع اول) و cos⁡β=−1213\cos\beta=-\frac{12}{13} (ربع دوم)، ابتدا sin⁡α=35\sin\alpha=\frac35 و sin⁡β=513\sin\beta=\frac{5}{13} به‌دست می‌آید (از sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1)، سپس:

sin⁡(α+β)=35⋅(−1213)+45⋅513=−1665\sin(\alpha+\beta)=\frac35\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)+\frac45\cdot\frac{5}{13}=-\frac{16}{65}

اتحادهای پایه: sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1، 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}، 1+cot⁡2θ=1sin⁡2θ1+\cot^2\theta=\dfrac{1}{\sin^2\theta}.

فرمول‌های جمع به ضرب:

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2,cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}, \qquad \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

مثال (تانژانت مجموع): tan⁡105°=tan⁡(60°+45°)=tan⁡60°+tan⁡45°1−tan⁡60°tan⁡45°=3+11−3=−(2+3)\tan105°=\tan(60°+45°)=\dfrac{\tan60°+\tan45°}{1-\tan60°\tan45°}=\dfrac{\sqrt3+1}{1-\sqrt3}=-(2+\sqrt3) (پس از رشنال کردن).

نکات کنکوری: sin⁡(α+β)≠sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha+\beta)\neq\sin\alpha+\sin\beta رایج‌ترین خطای کنکور است؛ در فرمول sin⁡\sin علامت یکسان می‌ماند، در cos⁡\cos علامت برعکس می‌شود؛ sin⁡75°=cos⁡15°=6+24\sin75°=\cos15°=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} و sin⁡15°=cos⁡75°=6−24\sin15°=\cos75°=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4} در کنکور تکرار می‌شوند.

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. در یک دایره، زاویه‌ای به اندازه θ\theta رادیان، کمانی به طول ℓ\ell و قطاعی به مساحت SS ایجاد می‌کند. اگر شعاع دایره دو برابر شود و زاویه θ\theta نصف شود، نسبت مساحت قطاع جدید به مساحت قطاع اولیه (S2S1\frac{S_2}{S_1}) کدام است؟

  • 22
  • 11
  • 44
  • 12\frac{1}{2}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه «22» درست است زیرا مساحت قطاع با فرمول S=12r2θS=\frac{1}{2}r^2\theta محاسبه می‌شود. با دو برابر شدن شعاع (r2=2r1r_2=2r_1) و نصف شدن زاویه (θ2=θ12\theta_2=\frac{\theta_1}{2})، مساحت جدید برابر S2=12(2r1)2(θ12)=12×4r12×θ12=(12r12θ1)×2=2S1S_2=\frac{1}{2}(2r_1)^2(\frac{\theta_1}{2}) = \frac{1}{2} \times 4r_1^2 \times \frac{\theta_1}{2} = (\frac{1}{2}r_1^2\theta_1) \times 2 = 2S_1 می‌شود. سایر گزینه‌ها حاصل محاسبات ناقص یا اشتباه در اعمال تغییرات هستند. تلهٔ تستی: در تغییرِ هم‌زمانِ شعاع و زاویه، فراموش نکن که مساحتِ قطاع با **توانِ دومِ شعاع** نسبت مستقیم دارد ولی طولِ کمان با توانِ اول؛ این دو کمیت زیرِ یک تغییرِ مشابه، رفتارِ متفاوتی دارند.

2. مقدار cos⁡15∘+cos⁡75∘+cos⁡105∘+cos⁡165∘\cos 15^\circ + \cos 75^\circ + \cos 105^\circ + \cos 165^\circ کدام است؟

  • −12-\frac{1}{2}
  • 00
  • 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • 12\frac{1}{2}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه «00» درست است. با استفاده از فرمول‌های تبدیل، داریم cos⁡105∘=cos⁡(180∘−75∘)=−cos⁡75∘\cos 105^\circ = \cos(180^\circ-75^\circ) = -\cos 75^\circ و cos⁡165∘=cos⁡(180∘−15∘)=−cos⁡15∘\cos 165^\circ = \cos(180^\circ-15^\circ) = -\cos 15^\circ. بنابراین مجموع عبارت‌ها به صورت (cos⁡15∘+cos⁡75∘)−(cos⁡15∘+cos⁡75∘)=0(\cos 15^\circ + \cos 75^\circ) - (\cos 15^\circ + \cos 75^\circ) = 0 ساده می‌شود. سایر گزینه‌ها ناشی از محاسبه ناقص یا اعمال نادرست فرمول‌ها هستند. تلهٔ تستی: بعد از به‌کارگیریِ فرمولِ تبدیل/جمع، علامت‌هایِ منفیِ میانی را تا انتهایِ محاسبه با دقت دنبال کن — گم‌کردنِ یک علامتِ منفی در وسطِ راه، رایج‌ترین منشأِ خطاست.

3. دو قرقره با شعاع‌های r1r_1 و r2r_2 (r1=4r2r_1 = 4r_2) توسط یک تسمه به هم متصل شده‌اند. اگر قرقره بزرگتر 3π4\frac{3\pi}{4} رادیان در خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخد، قرقره کوچکتر در چه زاویه‌ای (برحسب رادیان) و در چه جهتی می‌چرخد؟

  • 3π3\pi رادیان، در خلاف جهت عقربه‌های ساعت
  • 3π4\frac{3\pi}{4} رادیان، در خلاف جهت عقربه‌های ساعت
  • 3π3\pi رادیان، در جهت عقربه‌های ساعت
  • 3π16\frac{3\pi}{16} رادیان، در جهت عقربه‌های ساعت

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**نکتهٔ فیزیکیِ پایه (رفعِ یک بدفهمیِ رایج):** در سامانهٔ دو قرقرهٔ متصل با تسمهٔ ساده (غیرضربدری)، برخلافِ دو چرخ‌دندهٔ درگیر که در جهتِ مخالفِ هم می‌چرخند، دو قرقرهٔ متصل با تسمه **هم‌جهت** می‌چرخند (چون تسمه از بیرونِ هر دو قرقره عبور می‌کند، نه اینکه مستقیماً مثلِ دندانه‌ها درگیر شوند). از رابطهٔ r1θ1=r2θ2r_1\theta_1=r_2\theta_2 با r1=4r2r_1=4r_2 و θ1=3π4\theta_1=\frac{3\pi}{4}: θ2=r1θ1r2=4×3π4=3π\theta_2=\dfrac{r_1\theta_1}{r_2}=4\times\dfrac{3\pi}{4}=3\pi رادیان. چون قرقرهٔ بزرگ **خلافِ جهتِ عقربه‌ها** می‌چرخد، قرقرهٔ کوچک هم (هم‌جهت با آن) **خلافِ جهتِ عقربه‌ها** می‌چرخد — نه در جهتِ عقربه‌ها. تلهٔ تستی: تصورِ اینکه تسمه مثلِ دو چرخ‌دندهٔ درگیر عمل می‌کند و جهتِ چرخش را برعکس می‌کند، رایج‌ترین اشتباهِ مفهومی در این نوع سؤال است؛ تسمهٔ سادهٔ غیرضربدری همیشه دو قرقره را هم‌جهت می‌چرخاند.

4. مخروطی به شعاع قاعده 33 و ارتفاع 44 را باز می‌کنیم تا یک قطاع تشکیل شود. اگر مساحت این قطاع S1S_1 و مساحت کل دایره‌ای که قطاع از آن بریده شده S2S_2 باشد، نسبت S1S2\frac{S_1}{S_2} کدام است؟

  • 34\frac{3}{4}
  • 23\frac{2}{3}
  • 25\frac{2}{5}
  • 35\frac{3}{5}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«35\frac{3}{5}» درست است. ژنراتریس l=32+42=5l = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5، زاویه قطاع θ=2πrl=6π5\theta = \frac{2\pi r}{l} = \frac{6\pi}{5}. نسبت مساحت قطاع به دایره برابر نسبت زاویه آن به 2π2\pi است: S1S2=12l2θπl2=θ2π=6π/52π=35\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2}l^2\theta}{\pi l^2} = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{6\pi/5}{2\pi} = \frac{3}{5}. تلهٔ تستی: مساحتِ قطاعِ بازشده را با فرمولِ S=12l2θS=\frac12l^2\theta (با ll= ژنراتریس، نه شعاعِ قاعده) محاسبه کن؛ جای‌گزینیِ اشتباهِ rr به‌جایِ ll رایج‌ترین خطاست.

5. اگر sin⁡(α+β)=35\sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} و cos⁡(α−β)=513\cos(\alpha - \beta) = \frac{5}{13} باشد (فرض کنید α+β\alpha+\beta و α−β\alpha-\beta هر دو زاویه‌ای از ربع اول‌اند)، حاصل sin⁡αcos⁡α\sin\alpha \cos\alpha کدام است؟

  • 63130\dfrac{63}{130}
  • 6365\dfrac{63}{65}
  • −63130-\dfrac{63}{130}
  • 33130\dfrac{33}{130}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون α+β\alpha+\beta در ربعِ اول است، cos⁡(α+β)=45\cos(\alpha+\beta)=\frac45 (مثبت، یکتا). چون α−β\alpha-\beta در ربعِ اول است، sin⁡(α−β)=1213\sin(\alpha-\beta)=\frac{12}{13} (مثبت، یکتا). از 2α=(α+β)+(α−β)2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta): sin⁡2α=sin⁡(α+β)cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)sin⁡(α−β)=35⋅513+45⋅1213=1565+4865=6365\sin2\alpha=\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\frac35\cdot\frac5{13}+\frac45\cdot\frac{12}{13}=\frac{15}{65}+\frac{48}{65}=\frac{63}{65}. sin⁡αcos⁡α=12sin⁡2α=63130\sin\alpha\cos\alpha=\frac12\sin2\alpha=\frac{63}{130}. تلهٔ تستی: فراموش‌کردنِ ضریبِ 12\frac12 در تبدیلِ sin⁡αcos⁡α=12sin⁡2α\sin\alpha\cos\alpha=\frac12\sin2\alpha رایج‌ترین اشتباه است — بدونِ این ضریب به 6365\frac{63}{65} می‌رسید که نادرست است.

6. تابع f(x)=3cos⁡(2x−π3)+1f(x) = 3\cos(2x-\frac{\pi}{3})+1 در نظر بگیرید. حاصل m+nm+n که در آن mm بیشینه و nn کمینه تابع ff در بازه [0,π2][0,\frac{\pi}{2}] است، کدام است؟

  • −1-1
  • 55
  • 44
  • 72\dfrac{7}{2}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

f(x)=3cos⁡(2x−π3)+1f(x)=3\cos\left(2x-\frac\pi3\right)+1. برایِ x∈[0,π2]x\in[0,\frac\pi2]، آرگومان u=2x−π3∈[−π3,2π3]u=2x-\frac\pi3\in\left[-\frac\pi3,\frac{2\pi}3\right]. بیشینهٔ cos⁡u\cos u در این بازه در u=0u=0 (که داخلِ بازه است) رخ می‌دهد: cos⁡0=1⇒m=3(1)+1=4\cos0=1\Rightarrow m=3(1)+1=4. کمینهٔ cos⁡u\cos u در این بازه (چون u=πu=\pi در بازه نیست) در انتهایِ راستِ بازه (u=2π3u=\frac{2\pi}3) رخ می‌دهد: cos⁡2π3=−12⇒n=3(−12)+1=−12\cos\frac{2\pi}3=-\frac12\Rightarrow n=3\left(-\frac12\right)+1=-\frac12. m+n=4−12=72m+n=4-\frac12=\frac72. تلهٔ تستی: چون بازهٔ xx محدود است، نباید فرض کرد کمینهٔ cos⁡\cos حتماً −1-1 رخ می‌دهد — باید ابتدا بازهٔ آرگومان را محاسبه و بررسی کرد که آیا u=πu=\pi (نقطهٔ کمینهٔ مطلق) واقعاً داخلِ آن است یا نه.

7. تابع f(x)=3sin⁡(πx−π3)+2f(x) = 3\sin\left(\pi x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 در نظر بگیرید. حاصل عبارت f(1)+f(4)f(1) + f(4) کدام است؟

  • 44
  • 55
  • 66
  • 33

پاسخنامه‌ی تحلیلی

f(x)=3sin⁡(πx−π3)+2f(x)=3\sin\left(\pi x-\frac\pi3\right)+2. f(1)=3sin⁡(π−π3)+2=3sin⁡2π3+2=3⋅32+2=332+2f(1)=3\sin\left(\pi-\frac\pi3\right)+2=3\sin\frac{2\pi}3+2=3\cdot\frac{\sqrt3}2+2=\frac{3\sqrt3}2+2. دورهٔ تناوب T=2ππ=2T=\frac{2\pi}{\pi}=2، پس f(4)=f(0)f(4)=f(0) (چون 44 مضربِ صحیحِ دوره است). f(0)=3sin⁡(−π3)+2=−332+2f(0)=3\sin\left(-\frac\pi3\right)+2=-\frac{3\sqrt3}2+2. f(1)+f(4)=(332+2)+(−332+2)=4f(1)+f(4)=\left(\frac{3\sqrt3}2+2\right)+\left(-\frac{3\sqrt3}2+2\right)=4. تلهٔ تستی: جمله‌هایِ 3\sqrt3 در f(1)f(1) و f(4)f(4) دقیقاً هم‌بزرگی و مخالف‌علامت‌اند و باید کاملاً حذف شوند — محاسبهٔ ناقصِ این حذف، رایج‌ترین اشتباه است.

8. دو قرقره با تسمه‌ای غیرکشسان (سادهٔ غیرضربدری) به هم متصل شده‌اند. قرقره بزرگ شعاع RR و قرقره کوچک شعاع rr دارد. اگر قرقره بزرگ θ\theta رادیان در خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخد و در اثر آن قرقره کوچک 2θ2\theta رادیان (در همان جهت) بچرخد، نسبت Rr\frac{R}{r} کدام است؟

  • 22
  • 44
  • 12\frac{1}{2}
  • 11

پاسخنامه‌ی تحلیلی

طولِ تسمهٔ جابه‌جاشده روی هر دو قرقره برابر است: Rθ=r⋅2θR\theta=r\cdot 2\theta. با ساده‌کردنِ θ≠0\theta\ne0: R=2rR=2r، یعنی Rr=2\dfrac{R}{r}=2. **وارسیِ مستقل (حالتِ عددی):** فرض کن r=1r=1 و θ=1\theta=1 رادیان. آن‌گاه قرقرهٔ کوچک باید 22 رادیان بچرخد، یعنی ℓ=r2θ2=1×2=2\ell=r_2\theta_2=1\times2=2؛ پس روی قرقرهٔ بزرگ هم باید ℓ=R×1=2\ell=R\times1=2 باشد، یعنی R=2R=2 و R/r=2R/r=2 ✓. ردِّ گزینه‌ها: 12\frac12 حاصلِ وارونه‌نوشتنِ نسبت است؛ 11 یعنی دو قرقرهٔ هم‌شعاع که آن‌گاه زاویه‌هایشان هم باید برابر می‌شد نه دوبرابر؛ 44 از توانِ دو گرفتنِ نسبتِ زاویه‌ها (اشتباه‌گرفتنِ رابطهٔ خطیِ تسمه با رابطهٔ مساحتی) می‌آید. **نکتهٔ فیزیکیِ پایه:** در سامانهٔ دو قرقرهٔ متصل با تسمهٔ سادهٔ غیرضربدری، دو قرقره **هم‌جهت** می‌چرخند (برخلافِ دو چرخ‌دندهٔ درگیر که جهتِ مخالف دارند). تلهٔ تستی: نسبتِ زاویه‌ها همیشه **وارونهٔ** نسبتِ شعاع‌هاست؛ قرقرهٔ کوچک‌تر بیشتر می‌چرخد. جابه‌جانوشتنِ این وارونگی رایج‌ترین اشتباه است.

9. تابع f(x)=3cos⁡(2x−π3)+1f(x) = 3\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 1 در بازه [0,π][0, \pi] در چند نقطه به مقدار بیشینه خود می‌رسد؟

  • 44
  • 11
  • 22
  • 33

پاسخنامه‌ی تحلیلی

بیشینه تابع f(x)f(x) برابر 44 است و زمانی رخ می‌دهد که cos⁡(2x−π3)=1\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 1، یعنی 2x−π3=2kπ⇒x=π6+kπ2x - \frac{\pi}{3} = 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\pi. در بازه [0,π][0, \pi]، برای k=0k=0 داریم x=π6x = \frac{\pi}{6} (در بازه) و برای k=1k=1 داریم x=7π6≈3.665x = \frac{7\pi}{6} \approx 3.665 که خارج از بازه است. بنابراین فقط یک نقطه بیشینه در این بازه وجود دارد. تلهٔ تستی: اگر بازهٔ xx محدود باشد، بیشینه/کمینهٔ مطلقِ تابع (که با فرمولِ D±∣A∣D\pm|A| به‌دست می‌آید) ممکن است اصلاً در آن بازه اتفاق نیفتد — همیشه بازهٔ آرگومان را حساب کن و ببین نقطه‌ی بیشینه/کمینه‌ی مطلق داخلِ آن هست یا نه.

10. در یک دایره به شعاع rr، کمانی به طول 3πr4\frac{3\pi r}{4} و یک قطاع با همان زاویه مرکزی رسم شده است. اگر مساحت قطاع SS و طول کمان ℓ\ell باشد، نسبت Sℓ2\frac{S}{\ell^2} کدام است؟

  • 3πr8\frac{3\pi r}{8}
  • 43π\frac{4}{3\pi}
  • 3π8r\frac{3\pi}{8r}
  • 23π\dfrac{2}{3\pi}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

ℓ=3πr4\ell=\dfrac{3\pi r}{4} است، پس θ=ℓr=3π4\theta=\dfrac{\ell}{r}=\dfrac{3\pi}{4}. مساحت قطاع S=12r2θ=3πr28S=\dfrac{1}{2}r^2\theta=\dfrac{3\pi r^2}{8}. بنابراین Sℓ2=3πr28(3πr4)2=3πr289π2r216=3π8×169π2=23π\dfrac{S}{\ell^2}=\dfrac{\frac{3\pi r^2}{8}}{\left(\frac{3\pi r}{4}\right)^2}=\dfrac{\frac{3\pi r^2}{8}}{\frac{9\pi^2 r^2}{16}}=\dfrac{3\pi}{8}\times\dfrac{16}{9\pi^2}=\dfrac{2}{3\pi}، که «23π\dfrac{2}{3\pi}» است. گزینهٔ «3πr8\frac{3\pi r}{8}» با خودِ SS (نه نسبتِ S/ℓ2S/\ell^2) اشتباه گرفته شده؛ گزینه‌های دیگر از ضرب/تقسیمِ نادرستِ توانِ دو در ℓ2\ell^2 ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: نسبتِ Sℓ2\dfrac{S}{\ell^2} باید کاملاً بدونِ بُعد (بدونِ rr) باشد، چون هم SS و هم ℓ2\ell^2 بر حسبِ r2r^2 هستند؛ هر گزینه‌ای که در آن rr باقی بماند، از قلم‌افتادنِ ساده‌سازیِ r2/r2r^2/r^2 ناشی شده است.

مباحث مرتبط

جبر و معادله (حسابان 1)تابع (حسابان 1)توابع نمایی و لگاریتمی (حسابان 1)حد و پیوستگی (حسابان 1)مجموعه، الگو و دنباله (فصل 1 ریاضی 1) (علوم ریاضی)مثلثات (فصل 2 ریاضی 1) (علوم ریاضی)توان های گویا و عبارت های جبری (فصل 3 ریاضی 1) (علوم ریاضی)معادله ها و نامعادله ها (فصل 4 ریاضی 1) (علوم ریاضی)تابع (فصل 5 ریاضی 1) (علوم ریاضی)شمارش، بدون شمردن (فصل 6 ریاضی 1) (علوم ریاضی)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان