پرش به محتوای اصلی

رادیان و توابع مثلثاتی (حسابان ۱)

خلاصه‌ای از درسنامه‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

درس اول: رادیان و طول کمان

در هر دایره به شعاع rrادامهٔ فرمول را افقی ببین، نسبت طول کمان ℓ\ellادامهٔ فرمول را افقی ببین به زاویه مرکزی روبه‌رویش به شعاع، مقداری ثابت است:

θ=ℓr\theta = \frac{\ell}{r}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

تعریف یک رادیان: زاویه‌ای مرکزی که طول کمان روبه‌رویش برابر شعاع دایره باشد.

چون نیم‌صفحه طول کمانش نصف محیط دایره است، ℓ=πr\ell = \pi rادامهٔ فرمول را افقی ببین و در نتیجه:

180°=π rad\boxed{180° = \pi \text{ rad}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین1°=π180 rad,1 rad=180°π≈57.3°1° = \frac{\pi}{180} \text{ rad}, \qquad 1 \text{ rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57.3°ادامهٔ فرمول را افقی ببین

جدول تبدیل زوایای مهم: 30°=π630° = \dfrac{\pi}{6}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 45°=π445° = \dfrac{\pi}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 60°=π360° = \dfrac{\pi}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 90°=π290° = \dfrac{\pi}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 180°=π180° = \piادامهٔ فرمول را افقی ببین، 360°=2π360° = 2\piادامهٔ فرمول را افقی ببین.

فرمول طول کمان:

ℓ=rθ(θ برحسب رادیان)\boxed{\ell = r\theta} \quad (\theta \text{ برحسب رادیان})ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثال: طول کمانی در دایره به شعاع 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین cm در مقابل زاویه π3\dfrac{\pi}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین rad: ℓ=5×π3=5π3\ell = 5 \times \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین cm.

مساحت قطاع دایره:

S=12r2θ\boxed{S = \frac{1}{2}r^2\theta}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

از نسبت مساحت قطاع به کل دایره برابر نسبت زاویه به 2π2\piادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌دست می‌آید. دام رایج: ضریب 12\frac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین فراموش نشود (S≠r2θS \neq r^2\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین).

مسئله قرقره و تسمه: وقتی دو قرقره به شعاع r1,r2r_1, r_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین با تسمه متصل‌اند، طول تسمه حرکت‌کرده برای هر دو یکسان است: r1θ1=r2θ2r_1\theta_1 = r_2\theta_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مثال: قرقره‌های 1010ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 2.52.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین cm؛ وقتی قرقره بزرگ π2\dfrac{\pi}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین rad می‌چرخد: 10×π2=2.5×θ2  ⟹  θ2=2π10 \times \dfrac{\pi}{2} = 2.5 \times \theta_2 \implies \theta_2 = 2\piادامهٔ فرمول را افقی ببین rad (یک دور کامل).

نکات کنکوری: در ℓ=rθ\ell=r\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویه حتماً رادیان باشد؛ 180°=π180°=\piادامهٔ فرمول را افقی ببین رادیان پایه همه تبدیل‌هاست؛ مساحت قطاع هم به‌صورت S=12rℓS=\frac12 r\ellادامهٔ فرمول را افقی ببین قابل نوشتن است.

درس دوم: نسبت‌های مثلثاتی زوایای خاص

در دایره مثلثاتی (شعاع ۱)، برای زاویه θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین، نقطه انتهای کمان P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta,\sin\theta)ادامهٔ فرمول را افقی ببین است:

sin⁡θ=yP,cos⁡θ=xP,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\sin\theta = y_P, \quad \cos\theta = x_P, \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

فرمول‌های تبدیل (از تقارن نقاط روی دایره مثلثاتی به‌دست می‌آیند):

sin⁡ ⁣(π2−θ)=cos⁡θ,cos⁡ ⁣(π2−θ)=sin⁡θ,tan⁡ ⁣(π2−θ)=cot⁡θ\boxed{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta}, \quad \boxed{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta}, \quad \boxed{\tan\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta}ادامهٔ فرمول را افقی ببینsin⁡(−θ)=−sin⁡θ,cos⁡(−θ)=cos⁡θ(sin⁡,tan⁡,cot⁡ فرد؛ cos⁡ زوج)\boxed{\sin(-\theta)=-\sin\theta}, \quad \boxed{\cos(-\theta)=\cos\theta} \quad (\sin,\tan,\cot \text{ فرد}؛\ \cos \text{ زوج})ادامهٔ فرمول را افقی ببینsin⁡(π−θ)=sin⁡θ,cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\boxed{\sin(\pi-\theta)=\sin\theta}, \quad \boxed{\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta}ادامهٔ فرمول را افقی ببینsin⁡(π+θ)=−sin⁡θ,cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ,tan⁡(π+θ)=tan⁡θ\boxed{\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta}, \quad \boxed{\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta}, \quad \boxed{\tan(\pi+\theta)=\tan\theta}ادامهٔ فرمول را افقی ببینsin⁡ ⁣(π2+θ)=cos⁡θ,cos⁡ ⁣(π2+θ)=−sin⁡θ\boxed{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos\theta}, \quad \boxed{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin\theta}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

زوایای هم‌انتها: sin⁡(2kπ+θ)=sin⁡θ\sin(2k\pi+\theta)=\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین و مشابه برای cos⁡,tan⁡,cot⁡\cos,\tan,\cotادامهٔ فرمول را افقی ببین (k∈Zk \in \mathbb{Z}ادامهٔ فرمول را افقی ببین).

روش سریع (قانون نقطه‌خوار): برای f(n⋅π2±θ)f(n\cdot\frac{\pi}{2}\pm\theta)ادامهٔ فرمول را افقی ببین: اگر nnادامهٔ فرمول را افقی ببین فرد باشد تابع عوض می‌شود (sin⁡↔cos⁡\sin\leftrightarrow\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین، tan⁡↔cot⁡\tan\leftrightarrow\cotادامهٔ فرمول را افقی ببین)، اگر زوج بماند همان تابع؛ سپس علامت را با فرض θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین در ربع اول و دیدن اینکه نتیجه در کدام ربع می‌افتد تعیین کن.

مثال: sin⁡(210°)=sin⁡(180°+30°)=−sin⁡30°=−12\sin(210°)=\sin(180°+30°)=-\sin30°=-\dfrac12ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مثال: cot⁡(135°)=cot⁡(180°−45°)=−cot⁡45°=−1\cot(135°)=\cot(180°-45°)=-\cot45°=-1ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکات کنکوری: tan⁡(π+θ)=tan⁡θ\tan(\pi+\theta)=\tan\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین چون تانژانت دوره π\piادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد، نه 2π2\piادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ اشتباه رایج cos⁡(−θ)\cos(-\theta)ادامهٔ فرمول را افقی ببین را −cos⁡θ-\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین نوشتن است؛ علامت در ربع‌ها طبق ASTC («All Sin Tan Cos» مثبت‌اند در ربع I تا IV به‌ترتیب همه، فقط sin، فقط tan/cot، فقط cos).

جدول جامع فرمول‌های تبدیل:

زاویه α\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین sin⁡α\sin\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین cos⁡α\cos\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین tan⁡α\tan\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین
−θ-\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین −sin⁡θ-\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین cos⁡θ\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین −tan⁡θ-\tan\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین
π2−θ\frac{\pi}{2}-\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین cos⁡θ\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین sin⁡θ\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین cot⁡θ\cot\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین
π2+θ\frac{\pi}{2}+\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین cos⁡θ\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین −sin⁡θ-\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین −cot⁡θ-\cot\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین
π−θ\pi-\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین sin⁡θ\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین −cos⁡θ-\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین −tan⁡θ-\tan\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین
π+θ\pi+\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین −sin⁡θ-\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین −cos⁡θ-\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین tan⁡θ\tan\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین

درس سوم: توابع مثلثاتی

y=sin⁡xy=\sin xادامهٔ فرمول را افقی ببین: دامنه R\mathbb{R}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، برد [−1,1][-1,1]ادامهٔ فرمول را افقی ببین، دوره تناوب T=2πT=2\piادامهٔ فرمول را افقی ببین، فرد، صفرها در x=kπx=k\piادامهٔ فرمول را افقی ببین.

y=cos⁡xy=\cos xادامهٔ فرمول را افقی ببین: دامنه R\mathbb{R}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، برد [−1,1][-1,1]ادامهٔ فرمول را افقی ببین، دوره تناوب 2π2\piادامهٔ فرمول را افقی ببین، زوج، صفرها در x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\piادامهٔ فرمول را افقی ببین.

y=tan⁡x=sin⁡xcos⁡xy=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}ادامهٔ فرمول را افقی ببین: دامنه R∖{π2+kπ}\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، برد R\mathbb{R}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، دوره تناوب T=πT=\piادامهٔ فرمول را افقی ببین، فرد.

y=cot⁡xy=\cot xادامهٔ فرمول را افقی ببین: دامنه R∖{kπ}\mathbb{R}\setminus\{k\pi\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، دوره تناوب π\piادامهٔ فرمول را افقی ببین، فرد، نزولی در هر دوره.

شکل کلی تعمیم‌یافته: y=Asin⁡(Bx+C)+Dy=A\sin(Bx+C)+Dادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ ∣A∣|A|ادامهٔ فرمول را افقی ببین دامنه (Amplitude)، T=2π∣B∣T=\dfrac{2\pi}{|B|}ادامهٔ فرمول را افقی ببین دوره تناوب، ϕ=−CB\phi=-\dfrac{C}{B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین انتقال فاز، DDادامهٔ فرمول را افقی ببین انتقال عمودی؛ ymax⁡=D+∣A∣y_{\max}=D+|A|ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ymin⁡=D−∣A∣y_{\min}=D-|A|ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مثال: y=3sin⁡(2x−π)+1y=3\sin(2x-\pi)+1ادامهٔ فرمول را افقی ببین: دامنه 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین، دوره π\piادامهٔ فرمول را افقی ببین، فاز π2\frac{\pi}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به راست، خط میانه y=1y=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین، بیشینه 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین، کمینه −2-2ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

cos⁡x=sin⁡ ⁣(x+π2)\cos x = \sin\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)ادامهٔ فرمول را افقی ببین

یعنی نمودار cos⁡x\cos xادامهٔ فرمول را افقی ببین همان sin⁡x\sin xادامهٔ فرمول را افقی ببین است که π2\frac{\pi}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین واحد به چپ منتقل شده.

نکات کنکوری: برد sin⁡,cos⁡\sin,\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقاً [−1,1][-1,1]ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ در y=Asin⁡(Bx+C)+Dy=A\sin(Bx+C)+Dادامهٔ فرمول را افقی ببین دوره تناوب 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است نه 2πB\frac{2\pi}{B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ sin⁡(2)\sin(2)ادامهٔ فرمول را افقی ببین رادیانی است نه درجه‌ای؛ مقادیر پایه cos⁡0=1\cos0=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین، cos⁡π=−1\cos\pi=-1ادامهٔ فرمول را افقی ببین، sin⁡π2=1\sin\frac{\pi}{2}=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین، sin⁡π=0\sin\pi=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین را حفظ کن.

درس چهارم: روابط مجموع و تفاضل زوایا

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\boxed{\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta}ادامهٔ فرمول را افقی ببینcos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\boxed{\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}ادامهٔ فرمول را افقی ببینtan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\boxed{\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثال: sin⁡75°=sin⁡(45°+30°)=sin⁡45°cos⁡30°+cos⁡45°sin⁡30°=6+24\sin75°=\sin(45°+30°)=\sin45°\cos30°+\cos45°\sin30°=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. توجه: cos⁡15°=sin⁡75°\cos15°=\sin75°ادامهٔ فرمول را افقی ببین چون 15+75=9015+75=90ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

فرمول‌های دو برابر زاویه (با β=α\beta=\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین):

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α,cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\boxed{\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha}, \qquad \boxed{\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

از این‌جا: cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

کاربرد در محاسبات ترکیبی: اگر cos⁡α=45\cos\alpha=\frac45ادامهٔ فرمول را افقی ببین (ربع اول) و cos⁡β=−1213\cos\beta=-\frac{12}{13}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (ربع دوم)، ابتدا sin⁡α=35\sin\alpha=\frac35ادامهٔ فرمول را افقی ببین و sin⁡β=513\sin\beta=\frac{5}{13}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌دست می‌آید (از sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، سپس:

sin⁡(α+β)=35⋅(−1213)+45⋅513=−1665\sin(\alpha+\beta)=\frac35\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)+\frac45\cdot\frac{5}{13}=-\frac{16}{65}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اتحادهای پایه: sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 1+cot⁡2θ=1sin⁡2θ1+\cot^2\theta=\dfrac{1}{\sin^2\theta}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

فرمول‌های جمع به ضرب:

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2,cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}, \qquad \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثال (تانژانت مجموع): tan⁡105°=tan⁡(60°+45°)=tan⁡60°+tan⁡45°1−tan⁡60°tan⁡45°=3+11−3=−(2+3)\tan105°=\tan(60°+45°)=\dfrac{\tan60°+\tan45°}{1-\tan60°\tan45°}=\dfrac{\sqrt3+1}{1-\sqrt3}=-(2+\sqrt3)ادامهٔ فرمول را افقی ببین (پس از رشنال کردن).

نکات کنکوری: sin⁡(α+β)≠sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha+\beta)\neq\sin\alpha+\sin\betaادامهٔ فرمول را افقی ببین رایج‌ترین خطای کنکور است؛ در فرمول sin⁡\sinادامهٔ فرمول را افقی ببین علامت یکسان می‌ماند، در cos⁡\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین علامت برعکس می‌شود؛ sin⁡75°=cos⁡15°=6+24\sin75°=\cos15°=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و sin⁡15°=cos⁡75°=6−24\sin15°=\cos75°=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین در کنکور تکرار می‌شوند.

مباحث مرتبط

معادله، قدر مطلق و دنباله (حسابان ۱)تابع و وارون آن (حسابان ۱)تابع نمایی و لگاریتم (حسابان ۱)مفهوم حد و پیوستگی (حسابان ۱)مجموعه‌ها، الگو و دنباله (ریاضی ۱)مثلثات و دایرهٔ مثلثاتی (ریاضی ۱)توان گویا و عبارت‌های جبری (ریاضی ۱)معادله و نامعادلهٔ درجه دوم (ریاضی ۱)تابع، دامنه و برد (ریاضی ۱)شمارش، جایگشت و ترکیب (ریاضی ۱)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان