تابع (حسابان 2)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا $m(x)=(x-1)^2$ درست است:** سؤال تابعِ **وارون‌ناپذیر** را می‌خواهد. تابعِ $m(x)=(x-1)^2$ در $x<1$ نزولی و در $x>1$ صعودی است، پس اکیداً یکنوا نیست؛ مثلاً $m(0)=m(2)=1$، یعنی دو ورودیِ متمایز یک خروجی می‌دهند و تابع یک‌به‌یک نیست. پس رویِ کلِ دامنه‌اش ($\mathbb{R}$) وارون‌پذیر نیست. **ب) ردِ گزینه‌های غلط:** $g(x)=(x-2)^3+1$ فقط انتقالِ افقی و عمودیِ $x^3$ است و انتقال، یکنواییِ اکید را از بین نمی‌برد، پس اکیداً صعودی و وارون‌پذیر است. $h(x)=2x^3-1$ با ضریبِ مثبتِ $2$ اکیداً صعودی است. $k(x)=-x^3$ با ضریبِ منفی اکیداً **نزولی** است — نزولی‌بودن مانعِ وارون‌پذیری نیست، بلکه خودش یک نوع یکنواییِ اکید است و وارونِ $k$ برابرِ $-\sqrt[3]{x}$ است. **ج) تلهٔ تستی:** «نزولی» را با «وارون‌ناپذیر» یکی نگیرید؛ ملاکِ وارون‌پذیری **اکیداً یکنوا بودن** است، چه صعودی چه نزولی. تنها گزینه‌ای که یکنوا نیست، همان توانِ **زوج** ($(x-1)^2$) است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x-2} + 1$» درست است زیرا برای یافتن وارون، $y = (x-1)^3 + 2$ را به $x = (y-1)^3 + 2$ تبدیل می‌کنیم، سپس با جابجایی متغیرها و حل معادله، $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x-2} + 1$ به دست می‌آید. سایر گزینه‌ها از اشتباه در انتقال علامت $k$ و $h$ در فرمول $y = (x-h)^3 + k$ یا خطا در محاسبهٔ ریشهٔ سوم ناشی شده‌اند. **تلهٔ تستی:** باید ابتدا $y=(x-1)^3+2$ برایِ $x$ حل شود (به‌صورتِ $x=\sqrt[3]{y-2}+1$)، سپس $x$ و $y$ جابه‌جا شوند؛ ترتیبِ صحیحِ عملیاتِ معکوس (اول تفریقِ $2$، بعد ریشهٔ سوم، بعد جمعِ $1$) باید دقیقاً رعایت شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$-x + 1$» درست است. مقسوم‌علیه $x^2 + x = x(x+1)$ است. باقیمانده $R(x) = ax + b$ است. از $R(0) = f(0) = 1$ و $R(-1) = f(-1) = (-1)^{2025} + 2(-1)^{1012} + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$، دستگاه $b = 1$ و $-a + b = 2$ حل می‌شود: $a = -1$, $b = 1$. پس $R(x) = -x + 1$. سایر گزینه‌ها با جایگذاری ریشه‌ها نادرستی‌شان ثابت می‌شود. **تلهٔ تستی:** باید مقدارِ تابع را در هر دو ریشهٔ مقسوم‌علیه ($x=0$ و $x=-1$) جداگانه محاسبه و سپس دستگاهِ دومعادله‌ای حل کرد؛ فقط یک ریشه کافی نیست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا $-1$ درست است:** از بخش‌پذیری بر $(x-2)$: $P(2)=8+4a-14+b=4a+b-6=0 \Rightarrow 4a+b=6$. از باقیماندهٔ $9$ بر $(x+1)$: $P(-1)=-1+a+7+b=a+b+6=9 \Rightarrow a+b=3$. تفریقِ دو معادله: $3a=3 \Rightarrow a=1$، پس $b=2$. نهایتاً $a-b=1-2=-1$. **ب) رد گزینه‌های غلط:** «$-7$»، «$-4$» و «$4$» از خطای علامت در تفریقِ دو معادلهٔ خطی یا محاسبهٔ نادرستِ $P(-1)$ ناشی می‌شوند. **ج) تلهٔ تستی:** باید بینِ «$P(x)$ بر $(x-2)$ بخش‌پذیر است» (یعنی $P(2)=0$) و «باقیماندهٔ تقسیم بر $(x+1)$ برابرِ $9$ است» (یعنی $P(-1)=9$، **نه صفر**) تمایز قائل شد؛ خلطِ این دو نوع شرط، معادلهٔ دوم را اشتباه می‌سازد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا $10\cdot3^{10}x-9\cdot3^{10}$ درست است:** باقیماندهٔ تقسیم بر $(x-1)^2$ چندجمله‌ای درجه‌یکِ $ax+b$ است. چون $x=1$ ریشهٔ مضاعفِ مقسوم‌علیه است، هم $P(1)$ و هم مشتقِ $P$ در $x=1$ باید با مقادیرِ متناظرِ باقیمانده برابر باشند: $P(1)=a+b$ و $P'(1)=a$. داریم $P(1)=(1+1+1)^{10}=3^{10}$. برای $P'(1)$: $P'(x)=10(x^2+x+1)^9(2x+1)$، پس $P'(1)=10\cdot3^9\cdot3=10\cdot3^{10}$. پس $a=10\cdot3^{10}$ و $b=P(1)-a=3^{10}-10\cdot3^{10}=-9\cdot3^{10}$. باقیمانده: $10\cdot3^{10}x-9\cdot3^{10}$. **ب) رد گزینه‌های غلط:** «$10\cdot3^9x+(3^{10}-10\cdot3^9)$» از فراموش‌کردنِ ضریبِ $(2x+1)=3$ در قاعدهٔ زنجیره‌ای هنگام محاسبهٔ $P'(1)$ ناشی می‌شود (فقط $10\cdot3^9$ محاسبه شده، بدون ضرب در $3$). «$3^{10}x-3^{10}$» ضریبِ $a$ را با مقدارِ $P(1)$ اشتباه گرفته. «$9\cdot3^9x-3^{10}$» از خلطِ ضرایبِ $9$ و $10$ در محاسبهٔ $a$ و $b$ با یکدیگر ناشی می‌شود. **ج) تلهٔ تستی:** برای باقیماندهٔ تقسیم بر توانِ دومِ $(x-a)^2$، به‌کاربردنِ **فقط** $P(a)$ کافی نیست — باید مشتق هم محاسبه شود؛ فراموش‌کردنِ ضریبِ زنجیره‌ای در مشتقِ توابعِ مرکب (اینجا $(2x+1)$) رایج‌ترین خطای محاسباتی در این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا $3f(2x-1)$ درست است:** تبدیل‌ها را به همان ترتیبِ گفته‌شده رویِ نمودار اعمال می‌کنیم. ۱) انتقالِ $1$ واحد به راست: $y_1(x)=f(x-1)$. ۲) انقباضِ افقی با ضریبِ $\frac{1}{2}$ (یعنی هر طولِ $x$ نصف می‌شود، پس $x\to 2x$): $y_2(x)=y_1(2x)=f(2x-1)$. ۳) انبساطِ عمودی با ضریبِ $3$: $y_3(x)=3y_2(x)=3f(2x-1)$. **وارسیِ مستقل (ردیابیِ یک نقطه):** نقطهٔ $(0,f(0))=(0,-2)$ رویِ $f$ را دنبال می‌کنیم. پس از انتقال به راست می‌شود $(1,-2)$؛ پس از انقباضِ افقی طولش نصف می‌شود: $(\frac12,-2)$؛ پس از انبساطِ عمودی: $(\frac12,-6)$. حال گزینهٔ $3f(2x-1)$ را در $x=\frac12$ بیازمایید: $3f(2\cdot\frac12-1)=3f(0)=3(-2)=-6$ ✓. اما $3f(2x-2)$ در $x=\frac12$ می‌دهد $3f(-1)=3(-1+3-2)=0 \neq -6$ ✗. **ب) ردِ گزینه‌های غلط:** $3f(2x-2)$ نتیجهٔ ترتیبِ **معکوس** است (اول انقباض، بعد انتقال به راست)، که با صورتِ سؤال نمی‌خواند. $3f(2x+1)$ انتقال را به **چپ** گرفته است. $3f(2x)-1$ انتقالِ افقی را با انتقالِ عمودیِ $-1$ اشتباه گرفته و انبساطِ عمودی را فقط رویِ بخشی از عبارت اعمال کرده است. **ج) تلهٔ تستی:** وقتی انتقالِ افقی **قبل** از تغییرِ مقیاسِ افقی انجام می‌شود، عددِ انتقال در ضریبِ مقیاس ضرب **نمی‌شود** ($f(2x-1)$)؛ ضرب‌شدن ($f(2x-2)$) فقط وقتی رخ می‌دهد که ترتیب برعکس باشد. تشخیصِ این ترتیب کلِ سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا $\frac{\sqrt{3}}{2}-2$ درست است:** انتقالِ $\frac{\pi}{6}$ واحد به چپ یعنی $x\to x+\frac{\pi}{6}$ و انتقالِ $2$ واحد به پایین یعنی کم‌کردنِ $2$؛ پس $$g(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2$$ حال $x=\frac{\pi}{6}$ را جای‌گذاری می‌کنیم: $g\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)-2=\sin\frac{\pi}{3}-2=\frac{\sqrt{3}}{2}-2$. **وارسیِ مستقل:** $\frac{\pi}{3}=60^\circ$ و $\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\approx0.866$، پس $g\left(\frac{\pi}{6}\right)\approx-1.134$. بردِ تابعِ $g$ بازهٔ $[-3,-1]$ است و $-1.134$ درونِ آن قرار دارد ✓. **ب) ردِ گزینه‌های غلط:** $\frac12-2$ حاصلِ فراموش‌کردنِ انتقال و محاسبهٔ $\sin\frac{\pi}{6}-2$ است. $-\frac12-2$ از انتقال به **راست** ($\sin(x-\frac{\pi}{6})$ در $x=\frac{\pi}{6}$ برابرِ $0$ می‌شود، نه $-\frac12$) یا از خطا در ربعِ زاویه ناشی می‌شود. $-\frac{\sqrt3}{2}-2$ علامتِ سینوس را منفی گرفته، حال آن‌که $\frac{\pi}{3}$ در ربعِ **اول** است و سینوسش مثبت است. **ج) تلهٔ تستی:** انتقال به **چپ** با $x+h$ (نه $x-h$) نوشته می‌شود؛ عکس‌کردنِ این علامت رایج‌ترین خطاست. همچنین انتقالِ عمودی هیچ اثری رویِ آرگومانِ سینوس ندارد و فقط در انتها کم می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا $0$ درست است:** شرطِ بخش‌پذیری بر $(x-2)$: $f(2)=8+4a+2b+1=0 \Rightarrow 4a+2b=-9$. شرطِ بخش‌پذیری بر $(x+1)$: $f(-1)=-1+a-b+1=0 \Rightarrow a-b=0$، یعنی $a=b$. پس مستقیماً $a-b=0$. (اگر بخواهیم خودِ $a$ و $b$ را هم بیابیم: $4a+2a=-9 \Rightarrow a=b=-\frac{3}{2}$.) **وارسیِ مستقل:** با $a=b=-\frac32$ داریم $f(x)=x^3-\frac32x^2-\frac32x+1$. بررسی: $f(2)=8-6-3+1=0$ ✓ و $f(-1)=-1-\frac32+\frac32+1=0$ ✓. **ب) ردِ گزینه‌های غلط:** $-\frac32$ همان مقدارِ $a$ (یا $b$) است، نه $a-b$. $\frac32$ قرینهٔ همان مقدار است. $-3$ حاصلِ $a+b$ است، نه $a-b$. **ج) تلهٔ تستی:** معادلهٔ $f(-1)=0$ خودش مستقیماً $a-b$ را می‌دهد و نیازی به حلِ کاملِ دستگاه نیست؛ دنبالِ خودِ $a$ و $b$ رفتن، وقتِ اضافی می‌برد و راهِ خطا را باز می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه «۲» درست است. شرط بخش‌پذیری $g(x)$ بر $(x-2)$ این است که $g(2)=f(2+k)=0$. داریم $f(x)=(x^2-1)^2$، بنابراین $f(2+k)=((2+k)^2-1)^2=0$ که به $(2+k)^2=1$ منجر می‌شود. این معادله دو ریشه $k=-1$ و $k=-3$ دارد. بنابراین دقیقاً ۲ مقدار برای $k$ وجود دارد. **تلهٔ تستی:** شرطِ بخش‌پذیری معادل با $f(2+k)=0$ است که یک معادلهٔ درجه‌چهار در $k$ می‌دهد و می‌تواند چند جواب داشته باشد؛ نباید فرض کرد فقط یک مقدارِ $k$ جواب می‌دهد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا $g^{-1}(x)=\frac{3-\sqrt[3]{x-1}}{2}$ درست است:** ابتدا ضابطهٔ $g$ را می‌نویسیم: $g(x)=f(3-2x)=(3-2x)^3+1$. برایِ وارون، $y=(3-2x)^3+1$ را برایِ $x$ حل می‌کنیم: $$y-1=(3-2x)^3 \;\Rightarrow\; \sqrt[3]{y-1}=3-2x \;\Rightarrow\; 2x=3-\sqrt[3]{y-1} \;\Rightarrow\; x=\frac{3-\sqrt[3]{y-1}}{2}$$ با جابه‌جاییِ نام‌ها: $g^{-1}(x)=\frac{3-\sqrt[3]{x-1}}{2}$. **وارسیِ مستقل (آزمونِ عددی):** $g(1)=(3-2)^3+1=2$. پس باید $g^{-1}(2)=1$ باشد: $\frac{3-\sqrt[3]{2-1}}{2}=\frac{3-1}{2}=1$ ✓. یک آزمونِ دوم: $g(0)=27+1=28$ و $\frac{3-\sqrt[3]{27}}{2}=\frac{3-3}{2}=0$ ✓. **ب) ردِ گزینه‌های غلط:** $\frac{3+\sqrt[3]{x-1}}{2}$ علامتِ ریشهٔ سوم را مثبت گرفته؛ آزمونِ $x=2$ می‌دهد $\frac{3+1}{2}=2$، ولی $g(2)=(-1)^3+1=0\neq2$ ✗. $\frac{-3+\sqrt[3]{x-1}}{2}$ و $\frac{-3-\sqrt[3]{x-1}}{2}$ علامتِ عددِ $3$ را وارونه کرده‌اند؛ در $x=2$ به‌ترتیب $-1$ و $-2$ می‌دهند که هیچ‌کدام با $g(1)=2$ سازگار نیست. **ج) تلهٔ تستی:** چون ضریبِ $x$ در آرگومان **منفی** است ($-2$)، در گامِ آخر باید بر $-2$ تقسیم شود و این علامت‌ها را جابه‌جا می‌کند؛ نوشتنِ مستقیمِ $\frac{\sqrt[3]{x-1}-3}{2}$ (بدونِ توجه به منفی‌بودنِ ضریب) رایج‌ترین خطاست.