تبدیل نمودار و چندجمله‌ای (حسابان ۲)

درس اول: تبدیل نمودار توابع

انتقال عمودی: اگر $g(x)=f(x)+k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نقطه $(x_0,y_0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $(x_0,y_0+k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رود. اگر $k>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمودار $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد بالا، اگر $k<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمودار $|k|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد پایین می‌رود.

انتقال افقی: اگر $h(x)=f(x+k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نقطه متناظر $(x_0-k,y_0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اگر $k>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمودار $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد به چپ، اگر $k<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $|k|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد به راست منتقل می‌شود.

نکته دامنه/برد: در انتقال عمودی دامنه ثابت می‌ماند و برد جابه‌جا می‌شود؛ در انتقال افقی برد ثابت می‌ماند و دامنه جابه‌جا می‌شود.

انبساط/انقباض عمودی: $g(x)=k\cdot f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نقطه متناظر $(x_0,ky_0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای $k>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انبساط عمودی، برای $0<k<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انقباض عمودی، برای $k=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرینه نسبت به محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال روی سینوس: $y=\sin x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برد $[-1,1]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $y=3\sin x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برد $[-3,3]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $y=\frac12\sin x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برد $\left[-\frac12,\frac12\right]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

انبساط/انقباض افقی: $g(x)=f(kx)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نقطه متناظر $\left(\dfrac{x_0}{k},y_0\right)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای $k>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انقباض افقی، برای $0<k<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انبساط افقی. مثال: $\sin x\to\sin2x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دوره تناوب از $2\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کاهش می‌یابد. قرینه نسبت به محور $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $y=f(-x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ترکیب تبدیل‌ها — مهم‌ترین حالت کنکوری: $g(x)=f(kx+b)=f\!\left(k\!\left(x+\dfrac bk\right)\right)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ روش صحیح: اول انبساط/انقباض افقی با ضریب $\dfrac1k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، سپس انتقال $\dfrac bk$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد به چپ. اگر $(x_0,y_0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، نقطه متناظر روی $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $\left(\dfrac{x_0-b}{k},y_0\right)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

دام رایج کنکور: رسم اشتباه رایج این است که ابتدا $f(kx)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کشیده شود و بعد انتقال اعمال شود — ترتیب تبدیل‌های افقی اهمیت دارد و باید طبق فرمول بالا عمل کرد.

جدول خلاصه انتقال‌ها:

قرینه نسبت به محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $-f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نسبت به محور $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $f(-x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نسبت به مبدأ: $-f(-x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

خلاصه کامل: برای $y=k_1\cdot f(k_2x+b)+c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: ۱) انبساط/انقباض افقی با ضریب $\frac1{k_2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ۲) انتقال $\frac{b}{k_2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد افقی، ۳) انبساط/انقباض عمودی با ضریب $|k_1|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ۴) اگر $k_1<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرینه نسبت به $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ۵) انتقال $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد عمودی.

درس دوم: تابع چندجمله‌ای و تابع درجه سوم

تابع چندجمله‌ای از درجه $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نامیده می‌شود. تابع $f(x)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درجه تعریف‌نشده دارد.

تابع پایه $f(x)=x^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: دامنه و برد $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ تابع فرد ($f(-x)=-f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ در تمام $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اکیداً صعودی است؛ چون اکیداً یکنواست وارون‌پذیر است و $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تبدیل $y=(x-h)^3+k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انتقال افقی، $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انتقال عمودی؛ نقطه عطف در $(h,k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: $f(x)=(x-2)^3+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمودار $x^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ۲ واحد راست و ۱ واحد بالا می‌برد؛ وارون آن $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

شکل کلی درجه سوم (فراتر از کتاب): $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اگر $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کلاً صعودی است، اگر $a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کلاً نزولی؛ تعداد ریشه حقیقی یک، دو یا سه (حداقل یکی همیشه هست)؛ نمودار نسبت به نقطه عطف خودش متقارن است.

مقایسه $x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $[0,2]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: در بازه $(0,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $x^3<x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ در $x=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرند؛ در $(1,2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $x^3>x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

درس سوم: توابع یکنوا

$f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صعودی است اگر $a<b\Rightarrow f(a)\leq f(b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نزولی اگر $f(a)\geq f(b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اکیداً صعودی/نزولی اگر نامساوی اکید باشد ($<$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $>$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

اکیداً صعودی $\Rightarrow$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صعودی، ولی عکس آن درست نیست: تابع ثابت صعودی است ولی اکیداً صعودی نیست.

قضیه مهم: اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در دامنه‌اش اکیداً یکنوا باشد، وارون‌پذیر است (چون $f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

قضیه (فراتر از کتاب): اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در یک بازه اکیداً صعودی باشند، $f+g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم اکیداً صعودی است؛ درباره $f-g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمی‌توان نتیجه قطعی گرفت.

کاربرد در نامعادلات: اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اکیداً صعودی باشد: $f(a)\leq f(b)\iff a\leq b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: حل $\log(x+1)\leq\log(2x-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با شرط دامنه $x>\frac32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، از اکیداً صعودی بودن لگاریتم: $x+1\leq2x-3\implies x\geq4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال دوم: حل $\left(\dfrac{3x-2}{2}\right)^3\leq\dfrac1{64}=\left(\dfrac14\right)^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون $f(t)=t^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اکیداً صعودی است: $\dfrac{3x-2}{2}\leq\dfrac14\implies x\leq\dfrac56$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات کنکوری یکنوایی: اکیداً صعودی همیشه وارون‌پذیر است؛ در نامعادله $f(A)\leq f(B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اکیداً نزولی، جهت برعکس می‌شود ($A\geq B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ بازه یکنوایی معمولاً باید خودت پیدا کنی.

درس چهارم: تقسیم و بخش‌پذیری چندجمله‌ای‌ها

قضیه تقسیم: برای چندجمله‌ای‌های $f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $p(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $\deg p>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، چندجمله‌ای‌های منحصربه‌فرد $q(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $r(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وجود دارند که:

قضیه باقیمانده: باقیمانده تقسیم $f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر $(ax+b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $f\!\left(-\dfrac ba\right)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. مثال: باقیمانده $f(x)=x^3+x-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر $2x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $r=f\!\left(-\frac12\right)=-\frac{21}{8}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قضیه ریشه: $f(a)=0 \iff (x-a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عامل $f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، یعنی $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر $(x-a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بخش‌پذیر است اگر و فقط اگر $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ریشه $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد.

اتحادهای بخش‌پذیری مهم:

برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج، $x^n-a^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم بر $(x+a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بخش‌پذیر است. مثال: $x^4-16=(x+2)(x-2)(x^2+4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال کاربردی روابط ویته-مانند: برای $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که بر $(x-2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(x+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بخش‌پذیر است: از $f(2)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f(-1)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دستگاه دومعادله‌ای حل می‌شود و $a=b=-\frac32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌دست می‌آید.

نکات کنکوری: باقیمانده تقسیم بر $(ax+b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $f(-b/a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $f(b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ درجه باقیمانده همیشه از درجه مقسوم‌علیه کمتر است؛ برای اثبات بخش‌پذیری بر $(x-a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کافی است $f(a)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نشان داده شود.

فرمول‌های حیاتی برای کنکور