کاربردهای مشتق (حسابان 2)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

مشتق را می‌گیریم: $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. ریشه‌های مشتق $1$ و $3$‌اند و جدولِ علامت با نقاطِ آزمایشی چنین می‌شود: $f'(0)=9>0$، $f'(2)=-3<0$، $f'(4)=9>0$. پس تابع روی $(-\infty,1)$ و $(3,+\infty)$ اکیداً صعودی و روی $(1,3)$ اکیداً نزولی است. وارسیِ مستقل با خودِ مقادیرِ تابع: $f(0)=1$، $f(1)=5$ (صعود)، $f(2)=3$ (نزول)، $f(3)=1$، $f(4)=5$ (صعودِ دوباره) — دقیقاً همان الگو. ردِ گزینه‌های دیگر: گزینهٔ ۲ از تجزیهٔ نادرستِ $3(x+1)(x+3)$ می‌آید، حال آنکه $f'(-1)=24\neq0$ و $f'(-3)=72\neq0$، پس $-1$ و $-3$ اصلاً ریشهٔ مشتق نیستند. گزینهٔ ۳ همان بازه‌ای است که مشتق در آن منفی است، یعنی بازهٔ نزول نه صعود. گزینهٔ ۴ بازهٔ $(1,3)$ را در خود دارد که تابع در آن نزولی است، پس نمی‌تواند بازهٔ صعود باشد. تلهٔ تستی: صفرهای $f'$ فقط مرزهای بازه‌ها را می‌سازند؛ علامتِ هر بازه باید با یک نقطهٔ آزمایشیِ داخلِ همان بازه در $f'$ (نه در خودِ $f$) تعیین شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون $(x-2)^2\ge 0$ و فقط در $x=2$ صفر می‌شود، علامت $f'(x)$ همان علامت $x+1$ است؛ یعنی برای $x<-1$ منفی و برای $x>-1$ مثبت. در $x=-1$ تغییر علامت از منفی به مثبت داریم، پس مینیمم نسبی است. در $x=2$ مشتق صفر می‌شود اما چون تغییر علامت رخ نمی‌دهد، اکسترمم نسبی نداریم. تلهٔ تستی: چون هر گزینه چند ادعا را هم‌زمان مطرح می‌کند (مثلاً هم مکانِ یک نقطه و هم نوعِ آن، یا هم بازهٔ یکنوایی و هم مقدارِ تابع)، رد یا تأییدِ گزینه باید بر اساسِ **همهٔ** بخش‌های آن باشد؛ گزینه‌ای که فقط در یک جزء درست و در جزءِ دیگر غلط باشد، همچنان گزینهٔ غلط محسوب می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

می‌نویسیم $f(x)=( (x-2)^2+1 )^{-1}$. مشتق: $f'(x)=-\dfrac{2(x-2)}{\big((x-2)^2+1\big)^2}$. مخرج همیشه مثبت است، پس علامت مشتق خلاف علامت $x-2$ است. بنابراین برای $x<2$، $f'(x)>0$ و برای $x>2$، $f'(x)<0$. تلهٔ تستی: علامتِ $f'$ باید در **هر زیربازهٔ** جداشده توسط نقاطِ بحرانی جداگانه بررسی شود، نه یک‌بار برایِ کلِ دامنه؛ همچنین اگر تابع در نقطه‌ای از دامنه (مثلِ صفرِ مخرج) ناپیوسته باشد، صعودی/نزولی‌بودن رویِ هر بازهٔ جداگانه معتبر است ولی نمی‌توان آن را به کلِ دامنه (بدونِ توجه به شکاف) تعمیم داد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«یک» درست است. مشتق $f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$ است، پس نقاط بحرانی $x=0$ و $x=3$ هستند. چون $4x^2\geq 0$ همواره، علامت $f'(x)$ فقط به علامت $(x-3)$ بستگی دارد: برای $x<3$ منفی و برای $x>3$ مثبت است — یعنی در دو طرف $x=0$ علامت مشتق یکسان (منفی) می‌ماند و تغییر نمی‌کند، پس $x=0$ اکسترمم نیست. در $x=3$ علامت از منفی به مثبت تغییر می‌کند، پس یک مینیمم نسبی داریم. در نتیجه تابع فقط یک اکسترمم نسبی دارد. تلهٔ تستی: ریشهٔ مضاعف $x=0$ در $f'(x)=4x^2(x-3)$ وسوسه می‌کند که آن را هم اکسترمم بشماریم، چون $f'(0)=0$ است؛ اما صرفِ صفر شدنِ مشتق کافی نیست — باید علامتِ مشتق واقعاً تغییر کند. توانِ زوجِ عاملِ $x^2$ در $f'(x)$ دقیقاً نشانهٔ عدمِ تغییرِ علامت است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از $f'(x)\le 0$ نتیجه می‌گیریم تابع نزولی است، اما ممکن است روی بعضی بازه‌ها ثابت باشد؛ پس اکیداً نزولی بودن الزامی نیست. مثال: تابع ثابت یا تابعی که در بخشی مشتق صفر داشته باشد. تلهٔ تستی: $f'(x)\le0$ (نامساویِ **غیرِ اکید**) فقط نزولیِ غیرِ‌اکید را تضمین می‌کند، نه نزولیِ اکید؛ اگر مشتق رویِ زیربازه‌ای دقیقاً صفر بماند، تابع در آن‌جا ثابت است و نزولیِ اکید نقض می‌شود. با نامساویِ اکیدِ $f'(x)<0$ این تله وجود نداشت.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. جدول علامت: برای $x<0$ مثبت، برای $0<x<2$ منفی، و برای $x>2$ مثبت. پس در $x=0$ تغییر $+\to-$ داریم و ماکزیمم نسبی است؛ در $x=2$ تغییر $-\to+$ داریم و مینیمم نسبی است. تلهٔ تستی: تشخیصِ نوعِ اکسترمم (ماکزیمم یا مینیمم) با آزمونِ مشتقِ دوم گاهی بی‌نتیجه می‌ماند (وقتی $f''$ هم صفر شود)؛ در آن حالت باید حتماً به آزمونِ مشتقِ اول (بررسیِ علامتِ $f'$ در دو طرفِ نقطه) رجوع کرد، نه اینکه بدونِ بررسی نوعِ اکسترمم را حدس زد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

دامنهٔ تابع $[-2,2]$ است. برایِ نقاطِ داخلی $f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$، که در $x=0$ صفر می‌شود. در $x=\pm2$ مخرج صفر می‌شود و مشتق موجود نیست، در حالی‌که این دو نقطه **در دامنه** قرار دارند. طبقِ تعریف، نقطهٔ بحرانی نقطه‌ای از دامنه است که در آن $f'=0$ یا $f'$ ناموجود باشد؛ پس $-2,0,2$ هر سه نقطهٔ بحرانی‌اند. وارسیِ مستقل: شیبِ مماس در $x\to2^-$ به $-\infty$ میل می‌کند (مماسِ قائم در انتهایِ نیم‌دایرهٔ $x^2+y^2=4$)، پس مشتق آن‌جا واقعاً موجود نیست و به‌همین دلیل نقطه بحرانی است. ردِ گزینه‌های دیگر: گزینهٔ ۱ فقط $x=0$ را می‌شمارد و دو نقطهٔ مماسِ قائم را از قلم می‌اندازد. گزینهٔ ۲ یکی از سه نقطه را جا می‌گذارد (معمولاً $x=0$ یا یکی از دو سرِ دامنه). گزینهٔ ۴ نقطهٔ چهارمی می‌سازد که وجود ندارد؛ خارج از $[-2,2]$ اصلاً تابعی تعریف نشده. تلهٔ تستی: نقاطِ بحرانی فقط جایی نیستند که مشتق صفر می‌شود؛ هر نقطه‌ای از دامنه که مشتق در آن **موجود نباشد** (مثلِ گوشه یا مماسِ قائم) هم بحرانی است. این‌جا $\pm2$ نقاطِ مرزیِ دامنهٔ خودِ تابع‌اند (نه دو سرِ یک بازهٔ دلخواهِ تحمیل‌شده)، پس در شمارش می‌آیند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$g(x)=-x^3-3x+2$» درست است. برای $g(x)=-x^3-3x+2$ داریم $g'(x)=-3x^2-3=-3(x^2+1)<0$ برای همه $x$. پس تابع در کل $\mathbb{R}$ اکیداً نزولی است و هیچ نقطه بحرانیِ مشتق‌صفر یا تغییر علامتی ندارد، بنابراین اکسترمم نسبی ندارد. تلهٔ تستی: باید ویژگیِ خواسته‌شده را برایِ **هر چهار** گزینه جداگانه بررسی کرد؛ ممکن است چند گزینه در نگاهِ اول شبیهِ هم به‌نظر برسند اما فقط یکی دقیقاً همان شرطِ دقیقِ صورتِ سؤال را برآورده کند (مثلاً یکی «همیشه» صادق باشد و دیگری فقط رویِ بخشی از دامنه).

پاسخنامه‌ی تحلیلی

نقاط بحرانی: $-2,0,1$. چون $(x-1)^2$ توان زوج دارد، در $x=1$ علامت مشتق عوض نمی‌شود. علامت $f'(x)$ عملاً همان علامت $x(x+2)$ است: برای $x<-2$ مثبت، بین $-2$ و $0$ منفی، و برای $x>0$ مثبت. پس در $-2$ تغییر $+\to-$ و در $0$ تغییر $-\to+$ داریم؛ در $1$ اکسترمم نداریم. بنابراین دو اکسترمم نسبی رخ می‌دهد. تلهٔ تستی: در این‌گونه سؤالات که ضابطهٔ صریحِ $f(x)$ داده نشده و فقط رفتارِ $f'$ یا $f''$ توصیف شده، نباید فرضِ اضافی (مثلِ وجودِ حتماً یک اکسترمم، یا ثابت‌بودنِ تابع) را بدونِ استنادِ مستقیم به دادهٔ مسئله اضافه کرد؛ فقط چیزی که از رویِ علامتِ دقیقاً دادهٔ مشتق قابلِ‌استنتاج است، معتبر است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

طبق قضیه وایرشتراس، تابع پیوسته روی بازه بسته اکسترمم مطلق دارد. برای یافتن آن باید تمام نقاط بحرانی داخل $(a,b)$ و نیز نقاط انتهایی $a,b$ را بررسی و مقادیر تابع را مقایسه کنیم. تلهٔ تستی: برایِ یافتنِ اکسترمم مطلق رویِ یک بازهٔ بسته، باید مقدارِ تابع را هم در نقاطِ بحرانیِ داخلِ بازه و هم در **هر دو سرِ بازه** محاسبه و مقایسه کرد؛ فراموشیِ بررسیِ دو سرِ بازه (به این گمان که اکسترمم مطلق حتماً در یک نقطهٔ بحرانی رخ می‌دهد) رایج‌ترین خطایِ این نوع سؤال است.