کاربرد مشتق و رسم نمودار (حسابان ۲)

اکسترمم نسبی و مطلق

فرض کن $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابعی باشد و $I$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همسایگی‌ای از نقطهٔ $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

• اگر برای هر $x \in I$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داشته باشیم $f(x) \leq f(c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، آنگاه $f(c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک ماکزیمم نسبی (محلی) است.
• اگر برای هر $x \in I$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داشته باشیم $f(x) \geq f(c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، آنگاه $f(c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک مینیمم نسبی است.

به مجموع این دو اکسترمم نسبی می‌گوییم. در مقابل، اکسترمم مطلق روی کل مجموعه سنجیده می‌شود، نه فقط یک همسایگی.

نکتهٔ مهم: هر اکسترمم مطلق لزوماً اکسترمم نسبی نیست (ممکن است در نقطهٔ انتهایی بازه باشد)، اما هر اکسترمم نسبیِ داخلی، کاندیدای اکسترمم مطلق است.

قضیهٔ مقدار حدی: اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی بازهٔ بستهٔ $[a,b]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیوسته باشد، حتماً هم ماکزیمم مطلق دارد و هم مینیمم مطلق.

هر دو شرط لازم‌اند: $f(x)=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی بازهٔ باز $(0,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ماکزیمم مطلق ندارد، و $f(x)=\frac{1}{x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $[-1,1]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌خاطر ناپیوستگی در صفر هیچ‌کدام را ندارد.

نقاط بحرانی

نقطهٔ $x=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بحرانی است هرگاه:

قضیهٔ فرما: اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اکسترمم نسبی داشته باشد و $f'(c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی موجود باشد، آنگاه $f'(c) = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

الگوریتم اکسترمم مطلق روی $[a,b]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: نقاط بحرانی داخلی را بیاب؛ مقدار تابع را در آن‌ها و در دو نقطهٔ انتهایی $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حساب کن؛ بزرگ‌ترین مقدار ماکزیمم مطلق و کوچک‌ترین مقدار مینیمم مطلق است.

توابع صعودی و نزولی

تابع روی $I$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صعودی اکید است هرگاه $x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و نزولی اکید هرگاه نامساوی برعکس شود.

قضیهٔ اصلی: اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $[a,b]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیوسته و روی $(a,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مشتق‌پذیر باشد:

• $f'(x) > 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ⟵ صعودی اکید
• $f'(x) < 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ⟵ نزولی اکید
• $f'(x) = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ⟵ ثابت

سه هشدار مهم:

۱. عکس قضیه کامل نیست. $f(x) = x^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صعودی اکید است، ولی $f'(0) = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۲. صعودی بودن روی اجزا، صعودی بودن روی کل را نمی‌دهد. تابع $f(x)=\frac{1}{x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم روی $(-\infty,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزولی است و هم روی $(0,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ولی روی کل دامنه‌اش نزولی نیست — چون $f(-1) = -1 < 1 = f(1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در حالی که $-1 < 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۳. تابع می‌تواند صعودی اکید باشد بدون آنکه در همهٔ نقاط مشتق‌پذیر باشد.

الگوریتم تعیین بازه‌ها: $f'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بساز؛ ریشه‌های $f'=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و نقاط عدم وجود $f'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیاب؛ این نقاط محور را به بازه‌هایی تقسیم می‌کنند؛ در هر بازه علامت $f'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را تعیین کن.

آزمون مشتق اول

نکته: اگر $f'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی علامت عوض نکند، آن نقطهٔ بحرانی اکسترمم نیست. در نقاطی هم که $f'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وجود ندارد (گوشه‌ها)، باز هم می‌توان از علامت $f'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در دو طرف استفاده کرد.

تقعر و نقطهٔ عطف

نمودار تقعر رو به بالا دارد اگر بالای همهٔ خطوط مماسش قرار گیرد، و تقعر رو به پایین اگر پایین آن‌ها باشد.

تفسیر هندسی: در تقعر رو به بالا، شیب مماس‌ها با حرکت به راست افزایش می‌یابد — یعنی $f'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صعودی است.

آزمون تقعر:

$$f''(x) > 0 \implies \text{تقعر رو به بالا} \qquad f''(x) < 0 \implies \text{تقعر رو به پایین}$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

نقطهٔ عطف نقطه‌ای است که هم منحنی در آن خط مماس داشته باشد (یا مماس قائم) و هم جهت تقعر عوض شود.

هشدار مهم: $f''(c) = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شرط کافی نیست. برای $f(x)=x^4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $f''(0)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ولی $x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطهٔ عطف نیست چون تقعر در هر دو طرف رو به بالاست.

الگوریتم: $f''$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بساز؛ نقاطی که $f''=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا موجود نیست را کاندید کن؛ برای هر کاندید بررسی کن که $f''$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واقعاً علامت عوض کند؛ و مطمئن شو مماس در آن نقطه وجود دارد.

آزمون مشتق دوم

اگر $f'(c) = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f''(c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی موجود باشد:

ایدهٔ اثبات: $f''(c) > 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $f'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صعودی است، پس $f'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قبل از $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی و بعد از آن مثبت است — یعنی مینیمم نسبی.

رسم نمودار — الگوریتم ۱۰ مرحله‌ای

مجانب‌ها

افقی: اگر $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آنگاه $y=L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مجانب افقی است.

قائم: اگر حد یک‌طرفهٔ $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بی‌نهایت شود، $x=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مجانب قائم است.

مایل: اگر $\lim [f(x) - (mx+b)] = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد:

تابع هموگرافیک $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

• مجانب افقی: $y = \frac{a}{c}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — مجانب قائم: $x = -\frac{d}{c}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
• $f'(x) = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس اگر $ad-bc>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همواره صعودی و اگر منفی باشد همواره نزولی است.
• نقطهٔ عطف ندارد، چون نمودارش هذلولی مستطیلی است.

مسائل بهینه‌سازی

الگوریتم: متغیر مجهول و بازه‌اش را تعریف کن؛ تابع هدف را بنویس؛ با استفاده از قیود متغیرهای اضافی را حذف کن؛ اکسترمم را در آن بازه بیاب؛ و پاسخ را تفسیر فیزیکی کن.

مهم‌ترین گام، گام سوم است: تقریباً همیشه یک رابطهٔ قید وجود دارد که تابع دومتغیره را به یک‌متغیره تبدیل می‌کند. مثلاً در مسئلهٔ استوانهٔ محاط در کره، قید $r^2 + \frac{h^2}{4} = R^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و در مسئلهٔ مستطیل محاط در نیم‌دایره، قید $x^2+y^2 = R^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات و تله‌های کنکوری

جدول علامت سریع: برای $f'(x) = (x-a)^m(x-b)^n\cdots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — اگر توان فرد باشد علامت در آن نقطه عوض می‌شود و اگر زوج باشد عوض نمی‌شود (پس آنجا اکسترمم نیست).

تعداد اکسترمم و عطف چندجمله‌ای درجهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

اکسترمم توابع مثلثاتی: برای $f(x) = a\sin x + b\cos x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

شش خطای رایج

۱. فراموش کردن نقاط انتهایی بازه در یافتن اکسترمم مطلق.

۲. نتیجه‌گیری اینکه $f''(c)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای نقطهٔ عطف کافی است — علامت باید عوض شود.

۳. استفاده از آزمون مشتق دوم وقتی $f''(c)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است (آزمون بی‌نتیجه است).

۴. فراموش کردن نقاطی که $f'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در آن‌ها وجود ندارد در فهرست نقاط بحرانی.

۵. تشخیص اشتباه مجانب قائم — باید حد را از هر دو طرف بررسی کرد.

۶. نتیجه‌گیری اینکه چون $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $(a,c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(c,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزولی است پس روی $(a,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم نزولی است — این نیازمند پیوستگی در $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

نکتهٔ ظریف دربارهٔ عطف: نقطهٔ عطف لزوماً جایی نیست که $f'=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد. برای $f(x)=x^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطهٔ $(0,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم عطف است هم $f'(0)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ ولی برای $f(x)=x^3+x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان نقطه عطف است در حالی که $f'(0)=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مطالب فراتر از کتاب

درسنامهٔ کامل این‌ها را هم پوشش می‌دهد: قضیهٔ رول و کاربردش در تعیین تعداد ریشه‌های یک چندجمله‌ای، قضیهٔ مقدار میانگین $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و تفسیر هندسی‌اش (شیب مماس برابر شیب وتر)، تعریف رسمی توابع محدب و مقعر و نابرابری جنسن، رسم کامل گام‌به‌گام چند تابع نمونه با جدول رفتار، و حل تفصیلی تمرین‌های کتاب درسی.