حد در بی‌نهایت و مجانب (حسابان ۲)

چرا این فصل؟ — یک مثال انگیزشی

تابع هزینهٔ پاک‌سازی $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین درصد از آلودگی یک رودخانه:

f(x) = \frac{255x}{100 - x}, \qquad x \in [0, 100)

$x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (درصد)	هزینه (میلیون تومان)
$50$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$255$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$95$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$4845$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$99.9$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$254745$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

با نزدیک شدن $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $100$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، هزینه بدون هیچ سقفی بالا می‌رود. همین مثال دو پرسش این فصل را می‌سازد: وقتی $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به عددی نزدیک می‌شود، آیا $f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌تواند به بی‌نهایت برود؟ و وقتی خودِ $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به بی‌نهایت می‌رود، $f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چه می‌کند؟

حدهای نامتناهی

\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty

یعنی برای هر $M > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — هر چقدر بزرگ — می‌توان $\delta > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یافت که $0 < x - a < \delta \Rightarrow f(x) > M$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. سه حالت دیگر ( $a^-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $-\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) به همین شکل تعریف می‌شوند.

تذکر مهم: این نمادها نشان می‌دهند حد وجود ندارد (به معنای متناهی). $+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $-\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عدد نیستند، بلکه نمادهایی برای توصیف رفتار تابع‌اند.

حد دوطرفه وقتی $+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که هر دو حد یک‌طرفه $+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشند.

قضیهٔ توان‌های $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^n} = \begin{cases} +\infty & n \text{ زوج} \\ -\infty & n \text{ فرد} \end{cases}

دلیل: اگر $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زوج باشد $x^n > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حتی برای $x<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ اگر فرد باشد $x^n < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

قضیهٔ صورت غیرصفر و مخرج صفرشونده

اگر $\lim f(x) = L \neq 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\lim g(x) = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد:

\text{علامت حد} = \text{علامت } L \times \text{علامت } g(x)

اگر حاصل مثبت شود $+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و اگر منفی شود $-\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. این پرکاربردترین ابزار کل فصل است — کلیدش تعیین درست علامتِ مخرج در همسایگیِ یک‌طرفه است.

قضیهٔ مخرج نامتناهی

اگر $\lim f(x) = L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متناهی و $\lim g(x) = \pm\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، آنگاه $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

جمع و ضرب با بی‌نهایت

اگر $\lim f(x) = +\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\lim g(x) = L \neq 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

\lim (f+g) = +\infty \qquad \lim (f \cdot g) = \begin{cases} +\infty & L > 0 \\ -\infty & L < 0 \end{cases}

تذکر: حالت‌های $0 \times \infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\infty - \infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مبهم‌اند و با این قضیه حل نمی‌شوند — باید عبارت را اول ساده یا هم‌مخرج کرد.

مجانب قائم

خط $x = a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مجانب قائم است هرگاه دست‌کم یکی از چهار حد یک‌طرفهٔ $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $-\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شود.

قاعدهٔ کلیدی برای توابع گویا: در $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:
$x = a \text{ مجانب قائم است} \iff q(a) = 0 \;\text{ و }\; p(a) \neq 0$
اگر هر دو صفر شوند، اول ساده کن و بعد دوباره بررسی کن — ممکن است فقط یک نقطهٔ حذف‌شده باشد، نه مجانب.

حد در بی‌نهایت

\lim_{x \to +\infty} f(x) = l

یعنی برای هر $\varepsilon > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌توان $N > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یافت که $x > N \Rightarrow |f(x) - l| < \varepsilon$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{a}{x^n} = 0

قوانین جمع، ضرب و تقسیم حد، وقتی هر دو حد متناهی باشند، دقیقاً مثل حد معمولی برقرارند.

توان‌های $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در بی‌نهایت

	$n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زوج	$n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فرد
$x \to +\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$x \to -\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

قانون کلی چندجمله‌ای

\lim_{x \to \pm\infty}(a_n x^n + \cdots + a_0) = \lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n

یعنی حد چندجمله‌ای برابر حد جملهٔ با بزرگ‌ترین درجه است. روش کار: از بزرگ‌ترین توان فاکتور بگیر و بقیه را به صفر ببر.

کسرهای گویا در بی‌نهایت

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m}

حالت	نتیجه
$n < m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$n = m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\dfrac{a_n}{b_m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$n > m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\pm\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (علامت از ضرایب و جهت میل)

مجانب افقی و مایل

خط $y = L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مجانب افقی است هرگاه $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد. یک تابع حداکثر دو مجانب افقی دارد.

مجانب مایل $y = mx+b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (با $m \neq 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) وقتی وجود دارد که $\lim [f(x) - (mx+b)] = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد:

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]

قاعدهٔ تشخیص سریع برای توابع گویا $\frac{p}{q}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

$\deg p = \deg q + 1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ⟵ مجانب مایل

$\deg p = \deg q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ⟵ مجانب افقی $y = \frac{a_n}{b_m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

$\deg p < \deg q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ⟵ مجانب افقی $y = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

$\deg p > \deg q + 1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ⟵ نه افقی، نه مایل

نکات ظریف مجانب

۱. نمودار می‌تواند مجانب افقی خود را قطع کند — برخلاف مجانب قائم که هرگز قطع نمی‌شود.

۲. تابع می‌تواند دو مجانب افقی متفاوت داشته باشد؛ مثلاً $\arctan x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که $y = \frac{\pi}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $y = -\frac{\pi}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد.

۳. اگر تابعی مجانب مایل داشته باشد، مجانب افقی ندارد و بالعکس.

اشتباهات رایج کنکور

۱. فراموش کردن بررسی علامت مخرج در حدهای یک‌طرفه. در $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مخرج به $0^-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رود، پس جواب $-\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است نه $+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۲. اعمال قوانین جبر حد وقتی یکی از حدها نامتناهی است — $\infty - \infty \neq 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۳. تصور اینکه هر ریشهٔ مخرج مجانب قائم است. اگر صورت هم در همان نقطه صفر شود، باید اول ساده کرد.

۴. فراموش کردن بررسی هر دو سمت ( $+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $-\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) برای مجانب افقی.

جدول حدهای کلیدی

حد	نتیجه
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{a}{x^n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\lim_{x \to +\infty} x^n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\lim_{x \to -\infty} x^{2k}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\lim_{x \to -\infty} x^{2k+1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\lim_{x \to +\infty} a^x \; (a>1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\lim_{x \to -\infty} a^x \; (a>1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\lim_{x \to +\infty} \log_a x \; (a>1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مطالب فراتر از کتاب

درسنامهٔ کامل این‌ها را هم پوشش می‌دهد: حدهای مهم $\lim (1+\frac{1}{x})^x = e$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $\lim \frac{e^x-1}{x} = 1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\lim \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ ترتیب رشد توابع $\ln x \ll x^\alpha \ll a^x \ll x^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و اینکه لگاریتم از هر توانی کندتر و نمایی از هر چندجمله‌ای سریع‌تر رشد می‌کند؛ حدهای رادیکالی در بی‌نهایت با روش ضرب در مزدوج (و دام مهمِ $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای $x<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)؛ حل حالت مبهم $0 \times \infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ رابطهٔ تقارن تابع با مجانب‌هایش؛ و حل کامل تمرین‌های کتاب درسی.

خلاصه‌ی درسنامه

چرا این فصل؟ — یک مثال انگیزشی

حدهای نامتناهی

قضیهٔ توان‌های $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

قضیهٔ صورت غیرصفر و مخرج صفرشونده

قضیهٔ مخرج نامتناهی

جمع و ضرب با بی‌نهایت

مجانب قائم

حد در بی‌نهایت

توان‌های $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در بی‌نهایت

قانون کلی چندجمله‌ای

کسرهای گویا در بی‌نهایت

مجانب افقی و مایل

نکات ظریف مجانب

اشتباهات رایج کنکور

جدول حدهای کلیدی

مطالب فراتر از کتاب

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

خلاصه‌ی درسنامه

چرا این فصل؟ — یک مثال انگیزشی

حدهای نامتناهی

قضیهٔ توان‌های xxxادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

قضیهٔ صورت غیرصفر و مخرج صفرشونده

قضیهٔ مخرج نامتناهی

جمع و ضرب با بی‌نهایت

مجانب قائم

حد در بی‌نهایت

توان‌های xxxادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در بی‌نهایت

قانون کلی چندجمله‌ای

کسرهای گویا در بی‌نهایت

مجانب افقی و مایل

نکات ظریف مجانب

اشتباهات رایج کنکور

جدول حدهای کلیدی

مطالب فراتر از کتاب

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

قضیهٔ توان‌های $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

توان‌های $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در بی‌نهایت