حدهای نامتناهی-حد در بی نهایت (حسابان 2)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از ضرب در مزدوج:$$\sqrt{x^2+4x+1}-x=\dfrac{(x^2+4x+1)-x^2}{\sqrt{x^2+4x+1}+x}=\dfrac{4x+1}{\sqrt{x^2+4x+1}+x}.$$برای $$x>0$$ می‌توان $$\sqrt{x^2+4x+1}=x\sqrt{1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2}}$$ نوشت:$$\sqrt{x^2+4x+1}+x=x\left(\sqrt{1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2}}+1\right).$$پس:$$\sqrt{x^2+4x+1}-x=\dfrac{4x+1}{x\left(\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}+1\right)}=\dfrac{4+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}.$$حد:$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+4x+1}-x\right)=\dfrac{4+0}{\sqrt{1+0+0}+1}=\dfrac{4}{1+1}=2.$$«$$2$$» صحیح است. تلهٔ تستی: فرمولِ کوتاه‌شدهٔ $$\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+px+q}-x)=p/2$$ (که $$q$$ در آن هیچ نقشی ندارد) را با محاسبهٔ کاملِ مزدوج راستی‌آزمایی کنید؛ فراموش‌کردنِ تقسیم بر $$2$$ رایج‌ترین خطاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با ضرب و تقسیم در مزدوج: $$\sqrt{x^2+5x}-\sqrt{x^2+3x} = \dfrac{(x^2+5x)-(x^2+3x)}{\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{x^2+3x}} = \dfrac{2x}{\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{x^2+3x}}.$$ صورت و مخرج را بر $$x$$ تقسیم می‌کنیم: $$=\dfrac{2}{\sqrt{1+5/x}+\sqrt{1+3/x}}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\dfrac{2}{1+1}=1.$$ «$$1$$» صحیح است. گزینه‌های $$\dfrac12$$ و $$\dfrac32$$ از فراموش‌کردنِ تقسیمِ صحیحِ مخرج بر $$x$$ ناشی می‌شوند و گزینهٔ $$0$$ از این باورِ غلط می‌آید که تفاضلِ دو رادیکالِ هم‌رشد همیشه صفر است. تلهٔ تستی: فرمولِ کوتاه‌شدهٔ این حد $$\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+px}-\sqrt{x^2+qx})=\dfrac{p-q}{2}$$ است، نه $$p-q$$؛ فراموش‌کردنِ تقسیم بر $$2$$ رایج‌ترین خطاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با همان تکنیک عمومی:$$\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx}=\dfrac{(x^2+ax)-(x^2+bx)}{\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2+bx}}=\dfrac{(a-b)x}{\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2+bx}}.$$برای $$x>0$$:$$\sqrt{x^2+ax}=x\sqrt{1+\dfrac{a}{x}},\quad\sqrt{x^2+bx}=x\sqrt{1+\dfrac{b}{x}},$$پس:$$\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx}=\dfrac{(a-b)x}{x\left(\sqrt{1+\frac{a}{x}}+\sqrt{1+\frac{b}{x}}\right)}=\dfrac{a-b}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}+\sqrt{1+\frac{b}{x}}}.$$حد:$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx}\right)=\dfrac{a-b}{1+1}=\dfrac{a-b}{2}.$$«$$\dfrac{a-b}{2}$$» صحیح است. تلهٔ تستی: فرمولِ کوتاه‌شدهٔ $$\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx})=(a-b)/2$$ را به‌خاطر بسپارید؛ فراموش‌کردنِ تقسیمِ نهایی بر $$2$$ (یعنی نوشتنِ $$a-b$$ به‌جایِ نصفش) رایج‌ترین خطاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای توابع گویا در بی‌نهایت، کافی است ضرایب بزرگ‌ترین توان را مقایسه کنیم. اینجا صورت و مخرج هر دو درجه $$2$$ دارند؛ پس:$$\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+5x-1}{2x^2-7x+4}=\dfrac{3}{2}.$$برای اطمینان، تقسیم بر $$x^2$$:$$\dfrac{3+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{7}{x}+\frac{4}{x^2}}\xrightarrow[x\to\infty]{}\dfrac{3}{2}.$$«$$\dfrac{3}{2}$$» صحیح است. تلهٔ تستی: در نسبتِ دو چندجمله‌ایِ هم‌درجه، فقط ضرایبِ رهبری ($$3$$ و $$2$$) در پاسخِ نهایی نقش دارند؛ جملاتِ پایین‌تر (مثلِ $$5x-1$$) هیچ اثری ندارند و محاسبهٔ آن‌ها فقط وقت تلف می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

درجهٔ صورت ($$3$$) از درجهٔ مخرج ($$2$$) بیشتر است، پس حد برابرِ حدِ نسبتِ جملاتِ غالب است: $$\lim_{x\to-\infty}\dfrac{-4x^3+2x^2-1}{x^2-5}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{-4x^3}{x^2}=\lim_{x\to-\infty}(-4x).$$ وقتی $$x\to-\infty$$، مقدارِ $$x$$ بسیار منفی است، پس $$-4x$$ بسیار مثبت می‌شود؛ یعنی حد برابر $$+\infty$$ است. «$$+\infty$$» صحیح است. گزینهٔ $$-\infty$$ از نادیده‌گرفتنِ اثرِ علامتِ $$x\to-\infty$$ روی ضریبِ منفیِ $$-4$$ ناشی می‌شود. گزینه‌های $$0$$ و «نوسانی» با قاعدهٔ درجهٔ صورت/مخرج (که اینجا $$n>m$$ است) سازگار نیستند. تلهٔ تستی: در حدِ $$x\to-\infty$$ با ضریبِ رهبریِ منفی و توانِ فرد، علامتِ نهایی حتماً برعکسِ حالتِ $$x\to+\infty$$ می‌شود — این نکته را جداگانه و با دقت بررسی کنید.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در حد بی‌نهایت برای تابع گویا، درجهٔ صورت و مخرج برابر $$3$$ است، لذا فقط ضرایب همان توان را مقایسه می‌کنیم:$$\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^3-5x}{-x^3+3}=\dfrac{2}{-1}=-2.$$اگر بخواهیم دقیق‌تر: تقسیم بر $$x^3$$:$$\dfrac{2-\frac{5}{x^2}}{-1+\frac{3}{x^3}}\xrightarrow[x\to\infty]{}\dfrac{2}{-1}=-2.$$«$$-2$$» صحیح است. تلهٔ تستی: در نسبتِ دو چندجمله‌ایِ هم‌درجه، علامتِ پاسخ فقط از **علامتِ نسبتِ ضرایبِ رهبری** می‌آید؛ اینجا ضریبِ رهبریِ مخرج منفی است ($$-1$$)، پس پاسخ منفی می‌شود — دیدنِ چند جملهٔ مثبت در صورت نباید باعثِ شود علامتِ منفیِ مخرج نادیده گرفته شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

ابتدا تقسیم چندجمله‌ای انجام می‌دهیم. هدف یافتن شکل $$f(x)=3x+(\text{باقی‌مانده کوچک})$$ است. تقسیم $$3x^3-2x^2+x-1$$ بر $$x^2-1$$:گام اول: $$3x^3/(x^2)=3x$$، ضرب: $$3x(x^2-1)=3x^3-3x$$، تفریق از صورت:$$\big(3x^3-2x^2+x-1\big)-\big(3x^3-3x\big)=-2x^2+4x-1.$$گام دوم: $$-2x^2/(x^2)=-2$$، ضرب: $$-2(x^2-1)=-2x^2+2,$$تفریق:$$(-2x^2+4x-1)-(-2x^2+2)=4x-3.$$پس:$$f(x)=3x-2+\dfrac{4x-3}{x^2-1}.$$اکنون:$$f(x)-3x=-2+\dfrac{4x-3}{x^2-1}.$$حد:$$\lim_{x\to\infty}\left[f(x)-3x\right]=\lim_{x\to\infty}\left(-2+\dfrac{4x-3}{x^2-1}\right)=-2+\lim_{x\to\infty}\dfrac{4x-3}{x^2-1}.$$در کسر دوم درجهٔ صورت کمتر از مخرج است، لذا حد آن $$0$$ است. پس حد کلی $$=-2$$ است.«$$-2$$» صحیح است. تلهٔ تستی: عبارتِ $$f(x)-3x$$ همان مجانبِ مایلِ کسر را (بدونِ جملهٔ $$x$$) نشان می‌دهد؛ برایِ یافتنِ آن باید تقسیمِ چندجمله‌ای را کامل انجام داد، نه فقط ضریبِ رهبری را حدس زد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

می‌نویسیم $$\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{5x^4-2x^2+1}{x(x^3-1)}=\dfrac{5x^4-2x^2+1}{x^4-x}.$$ پس از بازکردنِ $$x$$ درونِ مخرج، درجهٔ صورت و مخرج هر دو برابر $$4$$ می‌شود، پس حد برابرِ نسبتِ ضرایبِ جملاتِ غالب است: $$\lim_{x\to\infty}\dfrac{5x^4}{x^4}=5.$$ «$$5$$» صحیح است. گزینهٔ $$\infty$$ از این خطای رایج می‌آید که درجهٔ $$f(x)$$ (برابرِ ۴) مستقیماً با درجهٔ مخرجِ خودِ $$f$$ یعنی $$x^3-1$$ (برابرِ ۳) مقایسه شود، بدونِ توجه به این‌که ضربِ بعدی در $$1/x$$ درجهٔ مخرج را هم یکی بالا می‌برد. گزینه‌های $$0$$ و $$-\infty$$ با علامتِ مثبتِ ضریبِ $$5$$ سازگار نیستند. تلهٔ تستی: پیش از مقایسهٔ درجه‌ها در عبارتی مثلِ $$f(x)/x$$، همیشه ابتدا کسر را کاملاً ساده و مخرج را باز کنید؛ مقایسهٔ عجولانهٔ درجه‌های ساده‌نشده نتیجه را وارونه می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در مخرج:$$\sqrt{x^4+1}=x^2\sqrt{1+\dfrac{1}{x^4}}$$ برای $$x>0$$.پس:$$\dfrac{x^2+3x+1}{\sqrt{x^4+1}}=\dfrac{x^2+3x+1}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}=\dfrac{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}.$$حد:$$\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+3x+1}{\sqrt{x^4+1}}=\dfrac{1+0+0}{\sqrt{1+0}}=1.$$«$$1$$» صحیح است. تلهٔ تستی: پیش از مقایسهٔ درجه‌ها، رادیکالِ مخرج را کامل ساده کنید ($$\sqrt{x^4+1}\approx x^2$$ برایِ $$x$$ بزرگ)؛ نادیده‌گرفتنِ این ساده‌سازی باعثِ محاسبهٔ نادرستِ درجهٔ مخرج می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون $$x^4$$ همیشه نامنفی است، $$\sqrt{x^4+3}=x^2\sqrt{1+3/x^4}$$ (بدونِ نیاز به قدرمطلق، چون $$x^2>0$$). پس: $$\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x^2+1}{x^2\sqrt{1+3/x^4}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2+1/x^2}{\sqrt{1+3/x^4}}=\dfrac{2+0}{\sqrt{1+0}}=2.$$ «$$2$$» صحیح است. گزینهٔ $$1$$ از اشتباهِ محاسبهٔ ضریبِ رهبریِ صورت (که $$2$$ است، نه $$1$$) ناشی می‌شود. گزینهٔ $$-1$$ با این تصورِ غلط ساخته می‌شود که $$\sqrt{x^4}$$ باید مثلِ $$\sqrt{x^2}=|x|$$ علامت بگیرد، در حالی‌که $$x^4$$ همیشه مثبت است و نیازی به قدرمطلق ندارد. تلهٔ تستی: برخلافِ $$\sqrt{x^2}=|x|$$، در $$\sqrt{x^4}=x^2$$ هیچ‌گاه بحثِ علامتِ $$x\to-\infty$$ وارد نمی‌شود چون توانِ زیرِ رادیکال زوج و کلِ عبارت پیش از رادیکال‌گیری همیشه مثبت است.