پرش به محتوای اصلی

مشتق (حسابان 2)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

چرا مشتق؟

دو مسئله کلاسیک به مفهوم مشتق منجر شدند: یافتن خط مماس بر منحنی y=f(x)y=f(x) در نقطه A(a,f(a))A(a,f(a))، و یافتن سرعت لحظه‌ای جسمی که مکانش با d(t)d(t) داده شده. فرما (قرن هفدهم) نشان داد در نقاط بیشینه/کمینه خط مماس افقی است؛ نیوتن و لایب‌نیتس مستقل از هم مفهوم مشتق را تکمیل کردند.

آشنایی با مفهوم مشتق

برای نقطه ثابت A(a,f(a))A(a,f(a)) و نقطه متحرک B(x,f(x))B(x,f(x)) روی منحنی، شیب خط قاطع mAB=f(x)−f(a)x−am_{AB}=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} است؛ وقتی B→AB\to A، خط قاطع به خط مماس تبدیل می‌شود.

تعریف رسمی مشتق در یک نقطه:

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\boxed{f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}}

به‌شرطی که این حد موجود و متناهی باشد. مشتق سه تفسیر دارد: شیب خط مماس، آهنگ لحظه‌ای تغییر، و سرعت لحظه‌ای.

مثال (محاسبه با تعریف): f(x)=−x2+10xf(x)=-x^2+10x، f′(2)=?f'(2)=?

f′(2)=lim⁡h→0−(2+h)2+10(2+h)−16h=lim⁡h→0−h2+6hh=6f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{-(2+h)^2+10(2+h)-16}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-h^2+6h}{h}=6

معادله خط مماس: y−f(a)=f′(a)(x−a)\boxed{y-f(a)=f'(a)(x-a)}. برای مثال بالا: y−16=6(x−2)  ⟹  y=6x+4y-16=6(x-2)\implies y=6x+4.

دو فرم تعریف مشتق: فرم hh: f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}؛ فرم xx: f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} (با x=a+hx=a+h هم‌ارزند). فرم دوم وقتی کسر قابل تجزیه است سریع‌تر است؛ مثال: f(x)=x2f(x)=x^2، f′(3)=lim⁡x→3(x−3)(x+3)x−3=6f'(3)=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=6.

مشتق‌پذیری و پیوستگی

قضیه: اگر ff در x=ax=a مشتق‌پذیر باشد، در aa پیوسته است (اثبات از lim⁡x→a[f(x)−f(a)]=0⋅f′(a)=0\lim_{x\to a}[f(x)-f(a)]=0\cdot f'(a)=0). نقیض کاربردی‌تر: ناپیوسته در a  ⟹  a\implies غیرمشتق‌پذیر در aa. عکس قضیه غلط است: f(x)=∣x∣f(x)=|x| در x=0x=0 پیوسته است اما مشتق‌پذیر نیست، چون f+′(0)=1≠f−′(0)=−1f'_+(0)=1\neq f'_-(0)=-1.

f+′(a)=lim⁡x→a+f(x)−f(a)x−a,f−′(a)=lim⁡x→a−f(x)−f(a)x−af'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, \qquad f'_-(a)=\lim_{x\to a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

f′(a)f'(a) موجود است   ⟺  f+′(a)=f−′(a)=\iff f'_+(a)=f'_-(a)= عدد متناهی.

حالات عدم مشتق‌پذیری:

حالت مثال نتیجه
ناپیوستگی f(x)=[x]f(x)=[x] در ورودی صحیح غیر مشتق‌پذیر
نقطه گوشه‌ای (دو مشتق یک‌طرفه متناهی نابرابر) $f(x)= x^2-1
مماس قائم (هر دو یک‌طرفه نامتناهی) f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x} در x=0x=0: f′(0)=+∞f'(0)=+\infty غیر مشتق‌پذیر، مماس قائم

تابع مشتق و قواعد محاسبه

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\boxed{f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}}

مثال: f(x)=x2  ⟹  f′(x)=lim⁡h→02hx+h2h=2xf(x)=x^2\implies f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{2hx+h^2}{h}=2x.

نمادها: f′(x)f'(x) (لاگرانژ)، dydx\dfrac{dy}{dx} (لایب‌نیتس)، ddxf(x)\dfrac{d}{dx}f(x) (عملگر مشتق)، y˙\dot y (نیوتن، در فیزیک). دامنه f′f' برابر مجموعه xxهایی از دامنه ff است که این حد در آن‌ها موجود باشد.

قواعد اصلی:

ddx(c)=0,ddx(xn)=nxn−1 (n∈Z)\frac{d}{dx}(c)=0, \qquad \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\ (n\in\mathbb{Z})
(kf)′=kf′,(f±g)′=f′±g′(kf)'=kf', \qquad (f\pm g)'=f'\pm g'
(fg)′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)«مشتق اول×دوم + اول×مشتق دوم»\boxed{(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)} \quad \text{«مشتق اول×دوم + اول×مشتق دوم»}
(fg)′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2\boxed{\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}}

مثال‌های مهم: ddx(x−1)=−1x2\dfrac{d}{dx}(x^{-1})=-\dfrac1{x^2}؛ ddx(x)=12x\dfrac{d}{dx}(\sqrt x)=\dfrac1{2\sqrt x}؛ ddx(ax+b)=a2ax+b\dfrac{d}{dx}(\sqrt{ax+b})=\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}.

جدول فرمول‌های پایه مشتق:

تابع مشتق
cc 00
xnx^n nxn−1nx^{n-1}
x\sqrt{x} 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
x3\sqrt[3]{x} 13x23\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}
sin⁡x\sin x cos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x −sin⁡x-\sin x
tan⁡x\tan x 1+tan⁡2x1+\tan^2x

مشتق توابع مثلثاتی

با اثبات از تعریف حد (lim⁡sin⁡hh=1\lim\frac{\sin h}h=1 و lim⁡cos⁡h−1h=0\lim\frac{\cos h-1}h=0):

(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)'=\cos x, \qquad (\cos x)'=-\sin x
(tan⁡x)′=1cos⁡2x=1+tan⁡2x\boxed{(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x}
(cot⁡x)′=−1sin⁡2x,(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x,(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\cot x)'=-\frac1{\sin^2x}, \qquad (\sec x)'=\sec x\tan x, \qquad (\csc x)'=-\csc x\cot x

قاعده زنجیری (مشتق تابع مرکب)

اگر y=f(u)y=f(u) و u=g(x)u=g(x):

dydx=f′(g(x))⋅g′(x)\boxed{\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)}

الگوریتم سه‌مرحله‌ای: ۱) درون را شناسایی کن (u=g(x)u=g(x))، ۲) مشتق بیرون نسبت به درون، ۳) ضرب در مشتق درون.

مثال: y=(x2+3x+1)7  ⟹  y′=7(x2+3x+1)6⋅(2x+3)y=(x^2+3x+1)^7\implies y'=7(x^2+3x+1)^6\cdot(2x+3).

مثال: y=sin⁡2x  ⟹  y′=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2xy=\sin^2x\implies y'=2\sin x\cos x=\sin2x.

قاعده زنجیری تعمیم‌یافته: [f(g(h(x)))]′=f′(g(h(x)))⋅g′(h(x))⋅h′(x)[f(g(h(x)))]'=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x).

مشتق مرتبه بالاتر و آهنگ تغییر

y′′=f′′(x)=ddx(dydx)y''=f''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)

اگر d(t)d(t) مکان جسم باشد: v(t)=d′(t)v(t)=d'(t) (سرعت)، a(t)=d′′(t)a(t)=d''(t) (شتاب).

آهنگ متوسط تغییر در [a,a+h][a,a+h]: f(a+h)−f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} (شیب خط قاطع). آهنگ لحظه‌ای تغییر در x=ax=a: f′(a)f'(a) (شیب خط مماس).

مثال (حرکت خودرو): d(t)=−5t2+20td(t)=-5t^2+20t؛ سرعت متوسط در [1,2][1,2]: vˉ=d(2)−d(1)1=5\bar v=\dfrac{d(2)-d(1)}{1}=5 m/s. تابع سرعت لحظه‌ای: d′(t)=−10t+20d'(t)=-10t+20؛ d′(2)=0d'(2)=0 یعنی خودرو در نقطه بازگشت ساکن است، d′(3)=−10d'(3)=-10 یعنی در جهت مخالف حرکت می‌کند.

قضیه میانگین (فراتر از کتاب): اگر ff در [a,b][a,b] پیوسته و در (a,b)(a,b) مشتق‌پذیر باشد، c∈(a,b)c\in(a,b) وجود دارد که f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} — یعنی جایی هست که آهنگ لحظه‌ای برابر آهنگ متوسط می‌شود.

نمونه تمرین کتاب: f(x)=3x2−2x+1f(x)=3x^2-2x+1، معادله مماس در x=2x=2: با تعریف، f(2)=9f(2)=9 و f(2+h)=9+10h+3h2f(2+h)=9+10h+3h^2، پس f′(2)=lim⁡h→0(10+3h)=10f'(2)=\lim_{h\to0}(10+3h)=10 و معادله مماس y−9=10(x−2)  ⟹  y=10x−11y-9=10(x-2)\implies y=10x-11.

نمونه دیگر (نقطه گوشه‌ای): f(x)=∣x2−4∣f(x)=|x^2-4| در x=2x=2: f+′(2)=lim⁡x→2+x2−4x−2=4f'_+(2)=\lim_{x\to2^+}\frac{x^2-4}{x-2}=4 ولی f−′(2)=lim⁡x→2−−(x2−4)x−2=−4f'_-(2)=\lim_{x\to2^-}\frac{-(x^2-4)}{x-2}=-4؛ چون نابرابرند، غیرمشتق‌پذیر در x=2x=2.

نکات کنکوری و فرمول‌های تکمیلی

(1f)′=−f′f2,(f)′=f′2f,(sin⁡f)′=f′cos⁡f,(fn)′=nfn−1⋅f′\left(\frac1f\right)'=-\frac{f'}{f^2}, \qquad (\sqrt f)'=\frac{f'}{2\sqrt f}, \qquad (\sin f)'=f'\cos f, \qquad (f^n)'=nf^{n-1}\cdot f'

مشتق ضمنی: برای F(x,y)=0F(x,y)=0 از هر دو طرف نسبت به xx مشتق بگیر؛ مثال: x2+y2=25  ⟹  y′=−xyx^2+y^2=25\implies y'=-\dfrac xy.

مشتق توابع معکوس: g′(x)=1f′(g(x))g'(x)=\dfrac{1}{f'(g(x))}؛ (arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)'=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}، (arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)'=\dfrac1{1+x^2}.

مشتق نمایی/لگاریتمی (برای فصل بعد): (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac1x، (ex)′=ex(e^x)'=e^x، (ax)′=axln⁡a(a^x)'=a^x\ln a.

نکات ترسیمی: f′>0f'>0 در بازه‌ای یعنی ff صعودی؛ f′<0f'<0 یعنی نزولی؛ f′(a)=0f'(a)=0 با تغییر علامت f′f' یعنی aa اکسترمم است؛ f′′>0f''>0 یعنی محدب به پایین، f′′<0f''<0 یعنی محدب به بالا.

خطاهای رایج: (fg)′=f′g′(fg)'=f'g' غلط است (درست: f′g+fg′f'g+fg')؛ (fg)′≠f′g′\left(\frac fg\right)'\neq\frac{f'}{g'}؛ فراموش نکردن ضرب در مشتق درون هنگام قاعده زنجیری؛ پیوستگی مشتق‌پذیری را تضمین نمی‌کند؛ اگر f′(a)=0f'(a)=0 لزوماً aa اکسترمم نیست (مثال f(x)=x3f(x)=x^3 در x=0x=0).

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. اگر ff تابعی مشتق‌پذیر باشد، حاصل lim⁡h→0f(a+3h)−f(a−2h)h\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a-2h)}{h} کدام است؟

  • f′(a)f'(a)
  • 5f′(a)5f'(a)
  • −f′(a)-f'(a)
  • 6f′(a)6f'(a)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با اضافه و کم کردن f(a)f(a) در صورت کسر و تفکیک آن: lim⁡f(a+3h)−f(a)h−lim⁡f(a−2h)−f(a)h\lim \frac{f(a+3h)-f(a)}{h} - \lim \frac{f(a-2h)-f(a)}{h}. در کسر اول با تغییر متغیر t=3ht=3h حاصل 3f′(a)3f'(a) و در کسر دوم با تغییر متغیر u=−2hu=-2h حاصل −2f′(a)-2f'(a) می‌شود. تفاضل آن‌ها: 3f′(a)−(−2f′(a))=5f′(a)3f'(a) - (-2f'(a)) = 5f'(a). **تلهٔ تستی:** ضریب‌های نامتقارنِ hh در دو جمله (3h3h و −2h-2h) باعث می‌شود دانش‌آموزانِ عجول هر دو جمله را با ضریبِ یکسان (مثلاً هر دو 11) در نظر بگیرند و به‌جای 5f′(a)5f'(a) به f′(a)f'(a) برسند؛ باید هر جمله جداگانه به فرمِ استانداردِ تعریفِ مشتق تبدیل و سپس ضرایب با هم جمع شوند.

2. معادله خط مماس بر منحنی y=x3−3x2+2xy = x^3 - 3x^2 + 2x در نقطه‌ای به طول x=2x=2 کدام است؟

  • y=2x+4y = 2x + 4
  • y=−2x−4y = -2x - 4
  • y=2x−4y = 2x - 4
  • y=−2x+4y = -2x + 4

پاسخنامه‌ی تحلیلی

ابتدا عرض نقطه تماس را می‌یابیم: y(2)=8−12+4=0y(2) = 8 - 12 + 4 = 0. پس نقطه (2,0)(2,0) است. مشتق تابع: y′=3x2−6x+2y' = 3x^2 - 6x + 2. شیب مماس در این نقطه: m=y′(2)=12−12+2=2m = y'(2) = 12 - 12 + 2 = 2. معادله خط: y−0=2(x−2)⇒y=2x−4y - 0 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 4. **تلهٔ تستی:** دو خطای رایج در این نوع سؤال: فراموشیِ محاسبهٔ عرضِ نقطهٔ تماس (یعنی y(2)y(2)) و استفاده از آن به‌جای صفر، یا استفاده از مقدارِ x=2x=2 در معادلهٔ مماس به‌جای شیبِ محاسبه‌شده.

3. اگر f(x)=(x2−x+1)4f(x) = (x^2 - x + 1)^4 باشد، مقدار f′(1)f'(1) کدام است؟

  • 22
  • 66
  • 88
  • 44

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با استفاده از قاعده زنجیری: f′(x)=4(2x−1)(x2−x+1)3f'(x) = 4(2x-1)(x^2-x+1)^3. با جایگذاری x=1x=1 در رابطه مشتق داریم: f′(1)=4(2(1)−1)(12−1+1)3=4(1)(1)3=4f'(1) = 4(2(1)-1)(1^2-1+1)^3 = 4(1)(1)^3 = 4. بنابراین «44» صحیح است. **تلهٔ تستی:** فراموشیِ ضربِ نهایی در مشتقِ تابعِ درونی (2x−12x-1، حاصل از قاعدهٔ زنجیری) رایج‌ترین خطاست؛ برخی فقط 4(x2−x+1)34(x^2-x+1)^3 را محاسبه کرده و ضربِ درونی را نادیده می‌گیرند.

4. تابع f(x)={ax2+bxx≥1x3+2xx<1f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx & x \ge 1 \\ x^3 + 2x & x < 1 \end{cases} در x=1x=1 مشتق‌پذیر است. مقدار a−ba-b کدام است؟

  • 11
  • −1-1
  • 33
  • −3-3

پاسخنامه‌ی تحلیلی

شرط پیوستگی در x=1x=1: مقدار دو ضابطه باید برابر باشد: a(1)2+b(1)=13+2(1)⇒a+b=3a(1)^2+b(1) = 1^3+2(1) \Rightarrow a+b=3. شرط مشتق‌پذیری: مشتق راست 2ax+b∣x=1=2a+b2ax+b\big|_{x=1}=2a+b و مشتق چپ 3x2+2∣x=1=53x^2+2\big|_{x=1}=5، پس 2a+b=52a+b=5. با حل دستگاه a+b=3a+b=3 و 2a+b=52a+b=5 به دست می‌آید a=2a=2 و b=1b=1، بنابراین a−b=1a-b=1. **تلهٔ تستی:** رایج‌ترین خطا این است که شرط پیوستگی فراموش شود و فقط شرط برابریِ مشتق‌ها نوشته شود؛ بدون شرط پیوستگی، دستگاه معادلات ناقص و پاسخ نادرست خواهد بود.

5. مشتق تابع y=2x−1x+2y = \frac{2x-1}{x+2} در نقطه‌ای به طول x=1x=1 برابر کدام است؟

  • 13\frac{1}{3}
  • 29\frac{2}{9}
  • 59\frac{5}{9}
  • 49\frac{4}{9}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با استفاده از قاعده مشتق تابع کسری: y′=2(x+2)−1(2x−1)(x+2)2=2x+4−2x+1(x+2)2=5(x+2)2y' = \frac{2(x+2) - 1(2x-1)}{(x+2)^2} = \frac{2x+4-2x+1}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}. با جایگذاری x=1x=1، مقدار مشتق برابر 5(1+2)2=59\frac{5}{(1+2)^2} = \frac{5}{9} می‌شود. **تلهٔ تستی:** در قاعدهٔ خارج‌قسمت، ترتیبِ تفریق در صورتِ کسر اهمیت دارد (f′g−fg′f'g-fg'، نه fg′−f′gfg'-f'g)؛ جابه‌جاییِ این ترتیب مستقیماً علامتِ پاسخ را برعکس می‌کند.

6. حاصل lim⁡x→2xf(2)−2f(x)x−2\lim_{x \to 2} \frac{xf(2) - 2f(x)}{x-2} در صورت مشتق‌پذیری تابع ff کدام است؟

  • f(2)−2f′(2)f(2) - 2f'(2)
  • 2f′(2)−f(2)2f'(2) - f(2)
  • f(2)+2f′(2)f(2) + 2f'(2)
  • −f(2)−2f′(2)-f(2) - 2f'(2)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با اضافه و کم کردن عبارت 2f(2)2f(2) در صورت: lim⁡xf(2)−2f(2)+2f(2)−2f(x)x−2=lim⁡f(2)(x−2)x−2−2lim⁡f(x)−f(2)x−2\lim \frac{xf(2) - 2f(2) + 2f(2) - 2f(x)}{x-2} = \lim \frac{f(2)(x-2)}{x-2} - 2\lim\frac{f(x)-f(2)}{x-2}. کسر اول برابر f(2)f(2) و کسر دوم بنا به تعریف مشتق برابر f′(2)f'(2) است. پس حاصل کل f(2)−2f′(2)f(2) - 2f'(2) می‌شود. **تلهٔ تستی:** تکنیکِ «اضافه و کم‌کردنِ» یک جملهٔ مناسب (2f(2)2f(2) در اینجا) کلیدِ حلِ این‌گونه حدودِ انتزاعی است؛ بدونِ این ترفند، حد به‌صورتِ مستقیم قابلِ محاسبه نیست و بسیاری تلاش می‌کنند بدونِ آن جواب دهند.

7. اگر f(x)=x+xf(x) = \sqrt{x + \sqrt{x}}، مقدار f′(1)f'(1) کدام است؟

  • 322\frac{3}{2\sqrt{2}}
  • 122\frac{1}{2\sqrt{2}}
  • 342\frac{3}{4\sqrt{2}}
  • 142\frac{1}{4\sqrt{2}}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از قاعده زنجیری برای رادیکال‌ها استفاده می‌کنیم: f′(x)=(x+x)′2x+x=1+12x2x+xf'(x) = \frac{(x + \sqrt{x})'}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}} = \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}}. با جایگذاری x=1x=1: صورت برابر 1+12=321 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} و مخرج برابر 21+1=222\sqrt{1+1} = 2\sqrt{2} می‌شود. حاصل 3/222=342\frac{3/2}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{4\sqrt{2}} است. **تلهٔ تستی:** در ریشه‌های تودرتو (x+x\sqrt{x+\sqrt{x}})، قاعدهٔ زنجیری باید دو بار به‌کار رود (یک‌بار برای ریشهٔ بیرونی، یک‌بار برای x\sqrt{x} درونی)؛ فراموشیِ مشتقِ x\sqrt{x} درونی (12x\frac{1}{2\sqrt{x}}) رایج‌ترین خطاست.

8. تعداد نقاطی که تابع f(x)=[x]+∣x−2∣f(x) = [x] + |x-2| در بازه (0,3)(0, 3) در آن‌ها مشتق‌پذیر **نیست** کدام است؟

  • 44
  • 11
  • 33
  • 22

پاسخنامه‌ی تحلیلی

تابع [x][x] (جزء صحیح) در تمامِ اعدادِ صحیح ناپیوسته و در نتیجه غیرمشتق‌پذیر است. در بازهٔ بازِ (0,3)(0,3)، اعدادِ صحیحِ داخلِ این بازه دقیقاً x=1x=1 و x=2x=2 هستند (نقاطِ 00 و 33 چون بازه باز است جزوِ آن نیستند). تابعِ ∣x−2∣|x-2| نیز فقط در x=2x=2 نقطهٔ گوشه‌ای دارد که در x=1x=1 اثری بر مشتق‌پذیری ندارد و در x=2x=2 نیز چون [x][x] از قبل در آنجا ناپیوسته است، این نقطه به هر حال جزوِ نقاطِ غیرمشتق‌پذیر باقی می‌ماند. در نتیجه، مجموعِ نقاطِ غیرمشتق‌پذیر در (0,3)(0,3) برابر {1,2}\{1,2\} و تعدادِ آن‌ها 22 است. گزینهٔ 33 و 44 از شمارشِ اشتباهِ نقاطِ مرزیِ بازه (که در بازهٔ باز جزوِ دامنهٔ موردبررسی نیستند) ناشی می‌شوند. گزینهٔ 11 از نادیده‌گرفتنِ یکی از دو نقطهٔ صحیحِ داخلِ بازه به دست می‌آید. **تلهٔ تستی:** در بازهٔ باز (0,3)(0,3)، اعدادِ صحیحِ مرزی (00 و 33) اصلاً جزوِ بازه نیستند و نباید شمرده شوند؛ خلطِ بازهٔ باز با بازهٔ بسته رایج‌ترین خطای این نوع سؤالات است.

9. کدام‌یک از توابع زیر در x=0x=0 دارای مماس قائم است؟

  • y=xx3y = x \sqrt[3]{x}
  • y=x∣x∣y = x|x|
  • y=x3y = \sqrt[3]{x}
  • y=∣x∣y = |x|

پاسخنامه‌ی تحلیلی

مماسِ قائم وقتی رخ می‌دهد که تابع در آن نقطه پیوسته باشد و حدِ نسبتِ تفاضلی در آن‌جا نامتناهی شود. **گزینهٔ درست:** y=x3=x1/3y=\sqrt[3]{x}=x^{1/3} ⇒ y′=13x−2/3=13x23y'=\frac13x^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}. چون x23\sqrt[3]{x^2} همیشه نامنفی است و به صفر میل می‌کند، هم از راست و هم از چپ y′→+∞y'\to+\infty؛ پس نمودار در مبدأ مماسِ قائم (خطِ x=0x=0) دارد. **وارسیِ مستقل (مستقیماً از تعریف، بدونِ فرمولِ مشتق):** lim⁡x→0x3−0x−0=lim⁡x→0x−2/3=lim⁡x→01x23=+∞\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{x}-0}{x-0}=\lim_{x\to0}x^{-2/3}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=+\infty — همان نتیجه، از دو طرف. **ردِ سه گزینهٔ دیگر:** • y=xx3=x4/3y=x\sqrt[3]{x}=x^{4/3} ⇒ y′=43x1/3y'=\frac43x^{1/3} که در صفر برابرِ 00 است (متناهی)؛ پس تابع مشتق‌پذیر است و مماسش **افقی** است، نه قائم. • y=x∣x∣y=x|x| ⇒ برای x>0x>0 برابرِ x2x^2 و برای x<0x<0 برابرِ −x2-x^2؛ در هر دو حالت y′=2∣x∣y'=2|x| که در صفر برابرِ 00 است. پس مشتق متناهی و تابع مشتق‌پذیر است. • y=∣x∣y=|x| ⇒ مشتقِ راست +1+1 و مشتقِ چپ −1-1؛ هر دو **متناهی** و نابرابرند، یعنی نقطهٔ گوشه‌ای است نه مماسِ قائم. **تلهٔ تستی:** مماسِ قائم نیازمندِ **نامتناهی‌شدنِ** مشتق است، نه صفرشدن یا نابرابری‌اش. توانِ کسری را همیشه ساده کنید: xx3x\sqrt[3]{x} در واقع x4/3x^{4/3} است (مشتقِ صفر) و به‌سادگی با x3=x1/3\sqrt[3]{x}=x^{1/3} (مشتقِ بی‌نهایت) اشتباه گرفته می‌شود.

10. اگر خط y=4x−5y = 4x - 5 بر نمودار تابع f(x)=x2−2x+cf(x) = x^2 - 2x + c مماس باشد، مقدار cc چقدر است؟

  • 55
  • 33
  • 66
  • 44

پاسخنامه‌ی تحلیلی

نقطه تماس نقطه برخورد مماس و منحنی است و در آن نقطه مشتق تابع با شیب خط برابر است. f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2. شیب خط ۴ است ⇒2x−2=4⇒x=3\Rightarrow 2x - 2 = 4 \Rightarrow x = 3. عرض نقطه روی خط: y=4(3)−5=7y = 4(3) - 5 = 7. این نقطه روی سهمی هم هست: 7=32−2(3)+c⇒7=9−6+c⇒c=47 = 3^2 - 2(3) + c \Rightarrow 7 = 9 - 6 + c \Rightarrow c = 4. **تلهٔ تستی:** برای تعیینِ نقطهٔ تماس، هر دو شرط باید هم‌زمان اعمال شود: برابریِ شیب (مشتق) و قرارگرفتنِ نقطه هم روی خط و هم روی منحنی؛ فراموشیِ هرکدام از این دو شرط به دستگاهی ناقص و پاسخِ نادرست می‌انجامد.

مباحث مرتبط

تابع (حسابان 2)مثلثات (حسابان 2)حدهای نامتناهی-حد در بی نهایت (حسابان 2)کاربردهای مشتق (حسابان 2)مجموعه، الگو و دنباله (فصل 1 ریاضی 1) (علوم ریاضی)مثلثات (فصل 2 ریاضی 1) (علوم ریاضی)توان های گویا و عبارت های جبری (فصل 3 ریاضی 1) (علوم ریاضی)معادله ها و نامعادله ها (فصل 4 ریاضی 1) (علوم ریاضی)تابع (فصل 5 ریاضی 1) (علوم ریاضی)شمارش، بدون شمردن (فصل 6 ریاضی 1) (علوم ریاضی)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان