مفهوم مشتق و قواعد آن (حسابان ۲)

چرا مشتق؟

دو مسئله کلاسیک به مفهوم مشتق منجر شدند: یافتن خط مماس بر منحنی $y=f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در نقطه $A(a,f(a))$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و یافتن سرعت لحظه‌ای جسمی که مکانش با $d(t)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داده شده. فرما (قرن هفدهم) نشان داد در نقاط بیشینه/کمینه خط مماس افقی است؛ نیوتن و لایب‌نیتس مستقل از هم مفهوم مشتق را تکمیل کردند.

آشنایی با مفهوم مشتق

برای نقطه ثابت $A(a,f(a))$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نقطه متحرک $B(x,f(x))$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی منحنی، شیب خط قاطع $m_{AB}=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ وقتی $B\to A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، خط قاطع به خط مماس تبدیل می‌شود.

تعریف رسمی مشتق در یک نقطه:

\boxed{f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}}

به‌شرطی که این حد موجود و متناهی باشد. مشتق سه تفسیر دارد: شیب خط مماس، آهنگ لحظه‌ای تغییر، و سرعت لحظه‌ای.

مثال (محاسبه با تعریف): $f(x)=-x^2+10x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $f'(2)=?$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{-(2+h)^2+10(2+h)-16}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-h^2+6h}{h}=6

معادله خط مماس: $\boxed{y-f(a)=f'(a)(x-a)}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. برای مثال بالا: $y-16=6(x-2)\implies y=6x+4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

دو فرم تعریف مشتق: فرم $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ فرم $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (با $x=a+h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم‌ارزند). فرم دوم وقتی کسر قابل تجزیه است سریع‌تر است؛ مثال: $f(x)=x^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $f'(3)=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مشتق‌پذیری و پیوستگی

قضیه: اگر $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $x=a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مشتق‌پذیر باشد، در $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیوسته است (اثبات از $\lim_{x\to a}[f(x)-f(a)]=0\cdot f'(a)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). نقیض کاربردی‌تر: ناپیوسته در $a\implies$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین غیرمشتق‌پذیر در $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. عکس قضیه غلط است: $f(x)=|x|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیوسته است اما مشتق‌پذیر نیست، چون $f'_+(0)=1\neq f'_-(0)=-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, \qquad f'_-(a)=\lim_{x\to a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

$f'(a)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین موجود است $\iff f'_+(a)=f'_-(a)=$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عدد متناهی.

حالات عدم مشتق‌پذیری:

حالت	مثال	نتیجه
ناپیوستگی	$f(x)=[x]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در ورودی صحیح	غیر مشتق‌پذیر
نقطه گوشه‌ای (دو مشتق یک‌طرفه متناهی نابرابر)	$f(x)=	x^2-1
مماس قائم (هر دو یک‌طرفه نامتناهی)	$f(x)=\sqrt[3]{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $f'(0)=+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	غیر مشتق‌پذیر، مماس قائم

تابع مشتق و قواعد محاسبه

\boxed{f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}}

مثال: $f(x)=x^2\implies f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{2hx+h^2}{h}=2x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نمادها: $f'(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (لاگرانژ)، $\dfrac{dy}{dx}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (لایب‌نیتس)، $\dfrac{d}{dx}f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (عملگر مشتق)، $\dot y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (نیوتن، در فیزیک). دامنه $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر مجموعه $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببینهایی از دامنه $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که این حد در آن‌ها موجود باشد.

قواعد اصلی:

\frac{d}{dx}(c)=0, \qquad \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\ (n\in\mathbb{Z})

(kf)'=kf', \qquad (f\pm g)'=f'\pm g'

\boxed{(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)} \quad \text{«مشتق اول×دوم + اول×مشتق دوم»}

\boxed{\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}}

مثال‌های مهم: $\dfrac{d}{dx}(x^{-1})=-\dfrac1{x^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ $\dfrac{d}{dx}(\sqrt x)=\dfrac1{2\sqrt x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ $\dfrac{d}{dx}(\sqrt{ax+b})=\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

جدول فرمول‌های پایه مشتق:

تابع	مشتق
$c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$x^n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$nx^{n-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\sqrt{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\sqrt[3]{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\sin x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\cos x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\cos x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-\sin x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\tan x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$1+\tan^2x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مشتق توابع مثلثاتی

با اثبات از تعریف حد ( $\lim\frac{\sin h}h=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\lim\frac{\cos h-1}h=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین):

(\sin x)'=\cos x, \qquad (\cos x)'=-\sin x

\boxed{(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x}

(\cot x)'=-\frac1{\sin^2x}, \qquad (\sec x)'=\sec x\tan x, \qquad (\csc x)'=-\csc x\cot x

قاعده زنجیری (مشتق تابع مرکب)

اگر $y=f(u)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $u=g(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

\boxed{\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)}

الگوریتم سه‌مرحله‌ای: ۱) درون را شناسایی کن ( $u=g(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، ۲) مشتق بیرون نسبت به درون، ۳) ضرب در مشتق درون.

مثال: $y=(x^2+3x+1)^7\implies y'=7(x^2+3x+1)^6\cdot(2x+3)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مثال: $y=\sin^2x\implies y'=2\sin x\cos x=\sin2x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

قاعده زنجیری تعمیم‌یافته: $[f(g(h(x)))]'=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مشتق مرتبه بالاتر و آهنگ تغییر

y''=f''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)

اگر $d(t)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مکان جسم باشد: $v(t)=d'(t)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (سرعت)، $a(t)=d''(t)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (شتاب).

آهنگ متوسط تغییر در $[a,a+h]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (شیب خط قاطع). آهنگ لحظه‌ای تغییر در $x=a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $f'(a)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (شیب خط مماس).

مثال (حرکت خودرو): $d(t)=-5t^2+20t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ سرعت متوسط در $[1,2]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $\bar v=\dfrac{d(2)-d(1)}{1}=5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین m/s. تابع سرعت لحظه‌ای: $d'(t)=-10t+20$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ $d'(2)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی خودرو در نقطه بازگشت ساکن است، $d'(3)=-10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی در جهت مخالف حرکت می‌کند.

قضیه میانگین (فراتر از کتاب): اگر $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $[a,b]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیوسته و در $(a,b)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مشتق‌پذیر باشد، $c\in(a,b)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وجود دارد که $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — یعنی جایی هست که آهنگ لحظه‌ای برابر آهنگ متوسط می‌شود.

نمونه تمرین کتاب: $f(x)=3x^2-2x+1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، معادله مماس در $x=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: با تعریف، $f(2)=9$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $f(2+h)=9+10h+3h^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $f'(2)=\lim_{h\to0}(10+3h)=10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و معادله مماس $y-9=10(x-2)\implies y=10x-11$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نمونه دیگر (نقطه گوشه‌ای): $f(x)=|x^2-4|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $x=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $f'_+(2)=\lim_{x\to2^+}\frac{x^2-4}{x-2}=4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ولی $f'_-(2)=\lim_{x\to2^-}\frac{-(x^2-4)}{x-2}=-4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ چون نابرابرند، غیرمشتق‌پذیر در $x=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکات کنکوری و فرمول‌های تکمیلی

\left(\frac1f\right)'=-\frac{f'}{f^2}, \qquad (\sqrt f)'=\frac{f'}{2\sqrt f}, \qquad (\sin f)'=f'\cos f, \qquad (f^n)'=nf^{n-1}\cdot f'

مشتق ضمنی: برای $F(x,y)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از هر دو طرف نسبت به $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مشتق بگیر؛ مثال: $x^2+y^2=25\implies y'=-\dfrac xy$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مشتق توابع معکوس: $g'(x)=\dfrac{1}{f'(g(x))}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ $(\arcsin x)'=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $(\arctan x)'=\dfrac1{1+x^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مشتق نمایی/لگاریتمی (برای فصل بعد): $(\ln x)'=\dfrac1x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $(e^x)'=e^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $(a^x)'=a^x\ln a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکات ترسیمی: $f'>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در بازه‌ای یعنی $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین صعودی؛ $f'<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی نزولی؛ $f'(a)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با تغییر علامت $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اکسترمم است؛ $f''>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی محدب به پایین، $f''<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی محدب به بالا.

خطاهای رایج: $(fg)'=f'g'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین غلط است (درست: $f'g+fg'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)؛ $\left(\frac fg\right)'\neq\frac{f'}{g'}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ فراموش نکردن ضرب در مشتق درون هنگام قاعده زنجیری؛ پیوستگی مشتق‌پذیری را تضمین نمی‌کند؛ اگر $f'(a)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین لزوماً $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اکسترمم نیست (مثال $f(x)=x^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین).

خلاصه‌ی درسنامه