دایره، مماس و زاویه‌های محاطی (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$2 \sqrt{23}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. چون $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر است، $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $MD=R+OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 8\times11 + 2^2 = 88+4=92$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $R=2 \sqrt{23}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. گزینهٔ «$2 \sqrt{22}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید و اثرِ $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$2 + 2 \sqrt{22}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای نوشتنِ $MC,MD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برحسبِ $R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی استفاده کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{79}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. چون $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر است، $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی این قطر قرار دارد، پس $MC=R-OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $MD=R+OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). طبقِ قضیهٔ تقاطعِ دو وتر: $$MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 7\times 9 + 4^2 = 63+16=79$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $R=\sqrt{79}\approx 8{,}89$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. **وارسیِ مستقل (تجزیهٔ مختصاتی):** وترِ $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را روی خطِ افقی $y=h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگذارید و مرکز را مبدأ بگیرید. چون $AB=7+9=16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نصفِ وتر $8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و $h^2=R^2-8^2=79-64=15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. وسطِ وتر در فاصلهٔ $\frac{MB-MA}{2}=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس $OM^2=h^2+1^2=15+1=16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OM=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓ — دقیقاً همان دادهٔ صورت. **ردِ گزینه‌های دیگر:** • «$3\sqrt{7}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» یعنی $\sqrt{63}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، که فقط $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و اثرِ $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نادیده می‌گیرد. • «$4 + 3\sqrt{7}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» یعنی $OM+\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ در رابطهٔ فیثاغورثی شعاع‌ها **جمعِ مجذورها** لازم است، نه جمعِ خودِ اندازه‌ها. • «$\sqrt{47}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از $MA\cdot MB-OM^2=63-16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌آید، یعنی علامتِ $OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برعکس گرفته شده؛ این عدد از $\sqrt{63}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کوچک‌تر است، حال آن‌که شعاع باید از $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌تر باشد. تلهٔ تستی: رابطهٔ $R^2=MA\cdot MB+OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک فرمولِ مجزا نیست؛ مستقیماً از تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌آید. بدونِ استفاده از قطربودنِ $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمی‌توان $MC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $MD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را برحسبِ $R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نوشت — و علامتِ $+OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه مثبت است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{69}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. چون $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر است، $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $MD=R+OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 3\times11 + 6^2 = 33+36=69$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $R=\sqrt{69}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. گزینهٔ «$\sqrt{33}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید و اثرِ $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$\sqrt{33} + 6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای نوشتنِ $MC,MD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برحسبِ $R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی استفاده کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{129}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. چون $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر است، $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $MD=R+OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 8\times10 + 7^2 = 80+49=129$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $R=\sqrt{129}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. گزینهٔ «$4 \sqrt{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید و اثرِ $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$7 + 4 \sqrt{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای نوشتنِ $MC,MD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برحسبِ $R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی استفاده کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{94}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. چون $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر است، $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $MD=R+OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 5\times6 + 8^2 = 30+64=94$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $R=\sqrt{94}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. گزینهٔ «$\sqrt{30}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید و اثرِ $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$\sqrt{30} + 8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای نوشتنِ $MC,MD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برحسبِ $R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی استفاده کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{79}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. چون $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر است، $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $MD=R+OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 7\times10 + 3^2 = 70+9=79$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $R=\sqrt{79}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. گزینهٔ «$\sqrt{70}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید و اثرِ $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$3 + \sqrt{70}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای نوشتنِ $MC,MD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برحسبِ $R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی استفاده کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{91}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. چون $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر است، $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $MD=R+OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 5\times11 + 6^2 = 55+36=91$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $R=\sqrt{91}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. گزینهٔ «$\sqrt{55}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید و اثرِ $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$6 + \sqrt{55}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای نوشتنِ $MC,MD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برحسبِ $R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی استفاده کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{46}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. چون $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر است، $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی این قطر قرار دارد، پس $MC=R-OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $MD=R+OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. طبقِ قضیهٔ تقاطعِ دو وتر: $$MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 3\times 10 + 4^2 = 30+16=46$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $R=\sqrt{46}\approx 6{,}78$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. **وارسیِ مستقل (تجزیهٔ مختصاتی):** وترِ $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را افقی بگیرید. $AB=3+10=13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس نصفِ وتر $6{,}5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و فاصلهٔ مرکز تا این وتر $h=\sqrt{46-6{,}5^2}=\sqrt{3{,}75}\approx 1{,}94$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. وسطِ وتر در فاصلهٔ $\frac{MB-MA}{2}=3{,}5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرار دارد، پس $OM=\sqrt{1{,}94^2+3{,}5^2}=\sqrt{3{,}75+12{,}25}=\sqrt{16}=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓ — همان دادهٔ صورت. توجه کنید که قطرِ دایره $2R\approx 13{,}56$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و از $AB=13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌تر، پس چنین وتری واقعاً وجود دارد. **ردِ گزینه‌های دیگر:** • «$\sqrt{30}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فقط $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و اثرِ $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نادیده می‌گیرد؛ ضمناً $2\sqrt{30}\approx 10{,}95$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از $AB=13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کوچک‌تر است، یعنی چنین دایره‌ای اصلاً نمی‌تواند وترِ ۱۳ داشته باشد. • «$4 + \sqrt{30}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» یعنی $OM+\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ در رابطهٔ فیثاغورثی باید **مجذورها** جمع شوند نه خودِ اندازه‌ها. • «$\sqrt{14}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از $MA\cdot MB-OM^2=30-16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌آید، یعنی علامتِ $OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برعکس گرفته شده؛ شعاع همیشه از $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی **بزرگ‌تر** است، نه کوچک‌تر. تلهٔ تستی: در این خانواده حتماً باید شرطِ امکان‌پذیری را هم سنجید — نقطهٔ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی وترِ $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس فاصلهٔ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا وسطِ وتر برابرِ $\frac{|MB-MA|}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود و لاجرم $OM\ge\frac{|MB-MA|}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر این نامساوی برقرار نباشد، صورتِ سؤال هندسهٔ ناممکن توصیف می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$3 \sqrt{7}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. چون $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر است، $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $MD=R+OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 2\times7 + 7^2 = 14+49=63$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $R=3 \sqrt{7}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. گزینهٔ «$\sqrt{14}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید و اثرِ $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$\sqrt{14} + 7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای نوشتنِ $MC,MD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برحسبِ $R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی استفاده کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{31}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. چون $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر است، $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $MD=R+OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 5\times6 + 1^2 = 30+1=31$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $R=\sqrt{31}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. گزینهٔ «$\sqrt{30}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید و اثرِ $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$1 + \sqrt{30}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای نوشتنِ $MC,MD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برحسبِ $R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی استفاده کرد.