دایره (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$2 \sqrt{23}$» درست است. چون $CD$ قطر است، $M$ روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$، $MD=R+OM$ (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 8\times11 + 2^2 = 88+4=92$ و $R=2 \sqrt{23}$. گزینهٔ «$2 \sqrt{22}$» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ به دست می‌آید و اثرِ $OM$ را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$2 + 2 \sqrt{22}$» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ برای نوشتنِ $MC,MD$ برحسبِ $R$ و $OM$ استفاده کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{79}$» درست است. چون $CD$ قطر است، $M$ روی این قطر قرار دارد، پس $MC=R-OM$ و $MD=R+OM$ (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$). طبقِ قضیهٔ تقاطعِ دو وتر: $$MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$$ پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 7\times 9 + 4^2 = 63+16=79$ و $R=\sqrt{79}\approx 8{,}89$. **وارسیِ مستقل (تجزیهٔ مختصاتی):** وترِ $AB$ را روی خطِ افقی $y=h$ بگذارید و مرکز را مبدأ بگیرید. چون $AB=7+9=16$، نصفِ وتر $8$ است و $h^2=R^2-8^2=79-64=15$. وسطِ وتر در فاصلهٔ $\frac{MB-MA}{2}=1$ از $M$ است، پس $OM^2=h^2+1^2=15+1=16$ و $OM=4$ ✓ — دقیقاً همان دادهٔ صورت. **ردِ گزینه‌های دیگر:** • «$3\sqrt{7}$» یعنی $\sqrt{63}$، که فقط $\sqrt{MA\cdot MB}$ است و اثرِ $OM$ را نادیده می‌گیرد. • «$4 + 3\sqrt{7}$» یعنی $OM+\sqrt{MA\cdot MB}$؛ در رابطهٔ فیثاغورثی شعاع‌ها **جمعِ مجذورها** لازم است، نه جمعِ خودِ اندازه‌ها. • «$\sqrt{47}$» از $MA\cdot MB-OM^2=63-16$ می‌آید، یعنی علامتِ $OM^2$ برعکس گرفته شده؛ این عدد از $\sqrt{63}$ کوچک‌تر است، حال آن‌که شعاع باید از $\sqrt{MA\cdot MB}$ بزرگ‌تر باشد. تلهٔ تستی: رابطهٔ $R^2=MA\cdot MB+OM^2$ یک فرمولِ مجزا نیست؛ مستقیماً از تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ می‌آید. بدونِ استفاده از قطربودنِ $CD$ نمی‌توان $MC$ و $MD$ را برحسبِ $R$ و $OM$ نوشت — و علامتِ $+OM^2$ همیشه مثبت است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{69}$» درست است. چون $CD$ قطر است، $M$ روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$، $MD=R+OM$ (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 3\times11 + 6^2 = 33+36=69$ و $R=\sqrt{69}$. گزینهٔ «$\sqrt{33}$» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ به دست می‌آید و اثرِ $OM$ را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$\sqrt{33} + 6$» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ برای نوشتنِ $MC,MD$ برحسبِ $R$ و $OM$ استفاده کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{129}$» درست است. چون $CD$ قطر است، $M$ روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$، $MD=R+OM$ (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 8\times10 + 7^2 = 80+49=129$ و $R=\sqrt{129}$. گزینهٔ «$4 \sqrt{5}$» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ به دست می‌آید و اثرِ $OM$ را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$7 + 4 \sqrt{5}$» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ برای نوشتنِ $MC,MD$ برحسبِ $R$ و $OM$ استفاده کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{94}$» درست است. چون $CD$ قطر است، $M$ روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$، $MD=R+OM$ (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 5\times6 + 8^2 = 30+64=94$ و $R=\sqrt{94}$. گزینهٔ «$\sqrt{30}$» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ به دست می‌آید و اثرِ $OM$ را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$\sqrt{30} + 8$» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ برای نوشتنِ $MC,MD$ برحسبِ $R$ و $OM$ استفاده کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{79}$» درست است. چون $CD$ قطر است، $M$ روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$، $MD=R+OM$ (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 7\times10 + 3^2 = 70+9=79$ و $R=\sqrt{79}$. گزینهٔ «$\sqrt{70}$» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ به دست می‌آید و اثرِ $OM$ را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$3 + \sqrt{70}$» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ برای نوشتنِ $MC,MD$ برحسبِ $R$ و $OM$ استفاده کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{91}$» درست است. چون $CD$ قطر است، $M$ روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$، $MD=R+OM$ (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 5\times11 + 6^2 = 55+36=91$ و $R=\sqrt{91}$. گزینهٔ «$\sqrt{55}$» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ به دست می‌آید و اثرِ $OM$ را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$6 + \sqrt{55}$» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ برای نوشتنِ $MC,MD$ برحسبِ $R$ و $OM$ استفاده کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{46}$» درست است. چون $CD$ قطر است، $M$ روی این قطر قرار دارد، پس $MC=R-OM$ و $MD=R+OM$. طبقِ قضیهٔ تقاطعِ دو وتر: $$MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$$ پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 3\times 10 + 4^2 = 30+16=46$ و $R=\sqrt{46}\approx 6{,}78$. **وارسیِ مستقل (تجزیهٔ مختصاتی):** وترِ $AB$ را افقی بگیرید. $AB=3+10=13$، پس نصفِ وتر $6{,}5$ است و فاصلهٔ مرکز تا این وتر $h=\sqrt{46-6{,}5^2}=\sqrt{3{,}75}\approx 1{,}94$. وسطِ وتر در فاصلهٔ $\frac{MB-MA}{2}=3{,}5$ از $M$ قرار دارد، پس $OM=\sqrt{1{,}94^2+3{,}5^2}=\sqrt{3{,}75+12{,}25}=\sqrt{16}=4$ ✓ — همان دادهٔ صورت. توجه کنید که قطرِ دایره $2R\approx 13{,}56$ است و از $AB=13$ بزرگ‌تر، پس چنین وتری واقعاً وجود دارد. **ردِ گزینه‌های دیگر:** • «$\sqrt{30}$» فقط $\sqrt{MA\cdot MB}$ است و اثرِ $OM$ را نادیده می‌گیرد؛ ضمناً $2\sqrt{30}\approx 10{,}95$ از $AB=13$ کوچک‌تر است، یعنی چنین دایره‌ای اصلاً نمی‌تواند وترِ ۱۳ داشته باشد. • «$4 + \sqrt{30}$» یعنی $OM+\sqrt{MA\cdot MB}$؛ در رابطهٔ فیثاغورثی باید **مجذورها** جمع شوند نه خودِ اندازه‌ها. • «$\sqrt{14}$» از $MA\cdot MB-OM^2=30-16$ می‌آید، یعنی علامتِ $OM^2$ برعکس گرفته شده؛ شعاع همیشه از $\sqrt{MA\cdot MB}$ **بزرگ‌تر** است، نه کوچک‌تر. تلهٔ تستی: در این خانواده حتماً باید شرطِ امکان‌پذیری را هم سنجید — نقطهٔ $M$ روی وترِ $AB$ است، پس فاصلهٔ $M$ تا وسطِ وتر برابرِ $\frac{|MB-MA|}{2}$ می‌شود و لاجرم $OM\ge\frac{|MB-MA|}{2}$. اگر این نامساوی برقرار نباشد، صورتِ سؤال هندسهٔ ناممکن توصیف می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$3 \sqrt{7}$» درست است. چون $CD$ قطر است، $M$ روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$، $MD=R+OM$ (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 2\times7 + 7^2 = 14+49=63$ و $R=3 \sqrt{7}$. گزینهٔ «$\sqrt{14}$» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ به دست می‌آید و اثرِ $OM$ را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$\sqrt{14} + 7$» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ برای نوشتنِ $MC,MD$ برحسبِ $R$ و $OM$ استفاده کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه‌ی «$\sqrt{31}$» درست است. چون $CD$ قطر است، $M$ روی این قطر قرار دارد و $MC=R-OM$، $MD=R+OM$ (یا برعکس، بسته به سمتِ $M$). طبقِ قضیهٔ تقاطع دو وتر: $MA\cdot MB = MC\cdot MD=(R-OM)(R+OM)=R^2-OM^2$. پس $R^2 = MA\cdot MB + OM^2 = 5\times6 + 1^2 = 30+1=31$ و $R=\sqrt{31}$. گزینهٔ «$\sqrt{30}$» فقط از $\sqrt{MA\cdot MB}$ به دست می‌آید و اثرِ $OM$ را نادیده می‌گیرد؛ گزینهٔ «$1 + \sqrt{30}$» به‌جای رابطهٔ فیثاغورثی، $OM$ را مستقیم به $\sqrt{MA\cdot MB}$ اضافه کرده است. تلهٔ تستی: دانش‌آموز اغلب فراموش می‌کند که رابطهٔ $R^2-OM^2$ دقیقاً حاصلِ تجزیهٔ $(R-OM)(R+OM)$ است، نه یک رابطهٔ مجزا؛ باید حتماً از قطربودنِ $CD$ برای نوشتنِ $MC,MD$ برحسبِ $R$ و $OM$ استفاده کرد.