اهرم، گشتاور و ماشین‌ها (علوم نهم)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

وقتی دو نیرو هم‌زمان در یک سمت تکیه‌گاه اثر می‌کنند، گشتاور خالص آن سمت برابر **مجموع** گشتاورهای جداگانه است، نه گشتاور فقط یکی از آن‌ها. گشتاور سمت کودکان: $\tau = 200\,\text{N} \times 1\,\text{m} + 300\,\text{N} \times 1.5\,\text{m} = 200 + 450 = 650\,\text{N}\cdot\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای تعادل، گشتاور بزرگ‌سال هم باید $650\,\text{N}\cdot\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد: $F \times 2\,\text{m} = 650\,\text{N}\cdot\text{m} \Rightarrow F = 325\,\text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی گزینهٔ «$۳۲۵\,\text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. گزینهٔ «$۲۵۰\,\text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از فرض نادرستِ گشتاور فقط یکی از دو کودک (مثلاً فقط $450$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تقسیم بر ۲ برابرِ چیزِ دیگر) به دست می‌آید. گزینهٔ «$۶۵۰\,\text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» دقیقاً برابرِ گشتاورِ کل ($650\,\text{N}\cdot\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) است، نه نیرو — یعنی تقسیم بر فاصلهٔ $2\,\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فراموش شده. گزینهٔ «$۵۰۰\,\text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از جمع سادهٔ دو وزن ($200+300=500$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) بدون توجه به فاصله‌های متفاوتشان به دست می‌آید. تلهٔ تستی: وقتی دو نیرو هم‌زمان در یک سمتِ اهرم قرار دارند، باید گشتاورِ هرکدام را جداگانه محاسبه و سپس جمع کرد — نه وزن‌ها را مستقیم جمع زد و در یک فاصله ضرب کرد، چون فاصله‌ها متفاوت‌اند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون نیروی اول با راستای میله زاویه دارد، فقط مؤلفهٔ عمود بر میله در گشتاور اثر می‌کند: $\tau_1 = F_1 \times d_1 \times \sin\theta = 100 \times 0.6 \times 0.5 = 30\,\text{N}\cdot\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای تعادل، نیروی دوم (که کاملاً عمود بر میله است، پس نیازی به ضرب در سینوس ندارد) باید گشتاوری برابر با همین مقدار ایجاد کند: $F_2 \times 0.2\,\text{m} = 30\,\text{N}\cdot\text{m} \Rightarrow F_2 = 150\,\text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی گزینهٔ «$۱۵۰\,\text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. گزینهٔ «$۱۰۰\,\text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» حاصلِ نادیده‌گرفتنِ کاملِ زاویه (فرضِ عمودبودنِ نیروی اول) و ضرب‌نکردن در $\sin30^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است که به‌طور تصادفی با $F_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر می‌شود. گزینهٔ «$۳۰۰\,\text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از تقسیمِ فاصله‌ها به‌جای گشتاورها به دست می‌آید ($100 \times 0.6/0.2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بدونِ لحاظِ زاویه). گزینهٔ «$۶۰\,\text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از ضرب‌نکردنِ درست در سینوس ولی جابه‌جاییِ فاصله‌ها ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: وقتی نیرویی با زاویه به بازو وارد می‌شود، در محاسبهٔ گشتاور فقط مؤلفهٔ عمود بر بازو ($F\sin\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) اثر دارد؛ فراموش‌کردنِ ضرب در $\sin\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رایج‌ترین اشتباه در این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

ابتدا نیروی مقاوم را از شرط تعادل اهرم می‌یابیم: $F_1 d_1 = F_2 d_2 \Rightarrow 45 \times 0.9 = F_2 \times 0.3 \Rightarrow F_2 = 135\,\text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. طبق قانون پایستگی انرژی در ماشین‌های ساده، کار نیروی محرک با کار نیروی مقاوم برابر است (بدون اصطکاک)، پس کافی است کار نیروی مقاوم را حساب کنیم: $W = F_2 \times d_{2,\text{disp}} = 135\,\text{N} \times 0.15\,\text{m} = 20.25\,\text{J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی گزینهٔ «$۲۰٫۲۵\,\text{J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. گزینهٔ «$۶٫۷۵\,\text{J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از ضرب مستقیمِ نیروی محرک $45\,\text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در جابه‌جاییِ سمتِ مقاوم ($0.15\,\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) به دست می‌آید — این کار درست نیست چون این دو، جابه‌جایی و نیروی طرفِ **متفاوت** اهرم‌اند. گزینهٔ «$۱۳٫۵\,\text{J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از فرضِ نادرستِ برابربودنِ $F_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $F_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ($45\,\text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و ضربِ آن در جابه‌جاییِ محرک (که در این محاسبه هم اشتباه گرفته شده) ناشی می‌شود. گزینهٔ «$۴۰٫۵\,\text{J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از ضربِ $F_2=135$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در جابه‌جاییِ سمتِ محرک ($0.45\,\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، که خودش سه برابرِ $0.15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است) به‌جای جابه‌جاییِ سمتِ مقاوم به دست می‌آید. تلهٔ تستی: کارِ محرک و کارِ مقاوم با هم برابرند، اما این یعنی باید نیروی هر سمت را در جابه‌جاییِ **همان سمت** ضرب کرد؛ ضربِ نیروی یک سمت در جابه‌جاییِ سمتِ دیگر، محاسبه را کاملاً بی‌معنا می‌کند حتی اگر عدد نهایی «قابل‌قبول» به نظر برسد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

فاصلهٔ جدید پدر تا تکیه‌گاه: $0.5 - 0.1 = 0.4\,\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. گشتاور جدید پدر: $\tau = 800\,\text{N} \times 0.4\,\text{m} = 320\,\text{N}\cdot\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای تعادل، گشتاور پسر هم باید همین مقدار باشد: $200\,\text{N} \times d = 320\,\text{N}\cdot\text{m} \Rightarrow d = 1.6\,\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی گزینهٔ «$۱٫۶\,\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. گزینهٔ «$۱٫۸\,\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» با فرضِ نادرستِ دورترشدنِ پدر (به‌جایِ نزدیک‌ترشدن) از تکیه‌گاه به دست می‌آید. گزینهٔ «$۲٫۵\,\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فاصلهٔ اولیهٔ پسر ($2\,\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) به‌علاوهٔ همان $0.5\,\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه‌شدهٔ نادرست است، بدونِ محاسبهٔ واقعیِ گشتاور. گزینهٔ «$۱٫۲۵\,\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از تقسیمِ گشتاورِ اولیه ($400$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) به‌جایِ گشتاورِ جدید ($320$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) بر وزنِ پسر به دست می‌آید. تلهٔ تستی: وقتی یک طرفِ اهرم به تکیه‌گاه نزدیک‌تر می‌شود (نه دورتر)، گشتاورِ آن طرف **کم** می‌شود، پس طرفِ دیگر هم باید برای بازگشتِ تعادل به تکیه‌گاه نزدیک‌تر شود، نه دورتر — جهتِ تغییر را با دقت از متنِ سؤال (نه با حدسِ رایج) استخراج کن.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

مزیت مکانیکی اهرم برابر است با نسبت بازوی محرک به بازوی مقاوم: $\text{MA} = \dfrac{d_1}{d_2} = \dfrac{1.2}{0.4} = 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. طبق طبقه‌بندی اهرم‌ها، اهرم نوع سوم (نیروی محرک بین تکیه‌گاه و نیروی مقاوم) همیشه مزیت مکانیکی کوچک‌تر از ۱ دارد؛ چون اینجا $\text{MA}=3>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، این اهرم قطعاً نوع سوم نیست. اما فقط از رویِ عددِ $\text{MA}=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (بدونِ دانستنِ محلِ دقیقِ تکیه‌گاه نسبت به دو نیرو) نمی‌توان بینِ نوعِ اول و دوم قطعی تصمیم گرفت، پس گزینهٔ درست همان است که ادعا می‌کند این اهرم **نمی‌تواند نوع سوم باشد** — گزینهٔ «مزیت مکانیکی $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — نمی‌تواند نوع سوم باشد.». گزینهٔ «مزیت مکانیکی $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — همیشه اهرم نوع اول است.» با ادعای «همیشه نوع اول» غلط است، چون اهرم نوع دوم هم می‌تواند دقیقاً همین نسبتِ بازوها و همین $\text{MA}=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را داشته باشد. گزینهٔ «مزیت مکانیکی $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — همیشه اهرم نوع دوم است.» به همان دلیلِ متقارن غلط است: اهرم نوع اول هم می‌تواند همین $\text{MA}=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را داشته باشد، پس نمی‌توان با قطعیت گفت همیشه نوع دوم است. گزینهٔ «مزیت مکانیکی $0.33$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — همیشه اهرم نوع سوم است.» با محاسبهٔ معکوسِ نسبت ($0.4/1.2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) مزیت مکانیکی را اشتباه گرفته است. تلهٔ تستی: مزیتِ مکانیکیِ بزرگ‌تر از ۱ فقط «نوعِ سوم‌نبودن» را تضمین می‌کند، نه تعیینِ قطعیِ نوعِ اول یا دوم — بینِ این دو نوع باید محلِ دقیقِ تکیه‌گاه را از رویِ شکل/توضیحِ سؤال دید، نه صرفاً از رویِ عددِ مزیتِ مکانیکی.