فصل 09 (علوم تجربی نهم)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

وقتی دو نیرو هم‌زمان در یک سمت تکیه‌گاه اثر می‌کنند، گشتاور خالص آن سمت برابر **مجموع** گشتاورهای جداگانه است، نه گشتاور فقط یکی از آن‌ها. گشتاور سمت کودکان: $\tau = 200\,\text{N} \times 1\,\text{m} + 300\,\text{N} \times 1.5\,\text{m} = 200 + 450 = 650\,\text{N}\cdot\text{m}$. برای تعادل، گشتاور بزرگ‌سال هم باید $650\,\text{N}\cdot\text{m}$ باشد: $F \times 2\,\text{m} = 650\,\text{N}\cdot\text{m} \Rightarrow F = 325\,\text{N}$، یعنی گزینهٔ «$۳۲۵\,\text{N}$» درست است. گزینهٔ «$۲۵۰\,\text{N}$» از فرض نادرستِ گشتاور فقط یکی از دو کودک (مثلاً فقط $450$ تقسیم بر ۲ برابرِ چیزِ دیگر) به دست می‌آید. گزینهٔ «$۶۵۰\,\text{N}$» دقیقاً برابرِ گشتاورِ کل ($650\,\text{N}\cdot\text{m}$) است، نه نیرو — یعنی تقسیم بر فاصلهٔ $2\,\text{m}$ فراموش شده. گزینهٔ «$۵۰۰\,\text{N}$» از جمع سادهٔ دو وزن ($200+300=500$) بدون توجه به فاصله‌های متفاوتشان به دست می‌آید. تلهٔ تستی: وقتی دو نیرو هم‌زمان در یک سمتِ اهرم قرار دارند، باید گشتاورِ هرکدام را جداگانه محاسبه و سپس جمع کرد — نه وزن‌ها را مستقیم جمع زد و در یک فاصله ضرب کرد، چون فاصله‌ها متفاوت‌اند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون نیروی اول با راستای میله زاویه دارد، فقط مؤلفهٔ عمود بر میله در گشتاور اثر می‌کند: $\tau_1 = F_1 \times d_1 \times \sin\theta = 100 \times 0.6 \times 0.5 = 30\,\text{N}\cdot\text{m}$. برای تعادل، نیروی دوم (که کاملاً عمود بر میله است، پس نیازی به ضرب در سینوس ندارد) باید گشتاوری برابر با همین مقدار ایجاد کند: $F_2 \times 0.2\,\text{m} = 30\,\text{N}\cdot\text{m} \Rightarrow F_2 = 150\,\text{N}$، یعنی گزینهٔ «$۱۵۰\,\text{N}$» درست است. گزینهٔ «$۱۰۰\,\text{N}$» حاصلِ نادیده‌گرفتنِ کاملِ زاویه (فرضِ عمودبودنِ نیروی اول) و ضرب‌نکردن در $\sin30^\circ$ است که به‌طور تصادفی با $F_1$ برابر می‌شود. گزینهٔ «$۳۰۰\,\text{N}$» از تقسیمِ فاصله‌ها به‌جای گشتاورها به دست می‌آید ($100 \times 0.6/0.2$ بدونِ لحاظِ زاویه). گزینهٔ «$۶۰\,\text{N}$» از ضرب‌نکردنِ درست در سینوس ولی جابه‌جاییِ فاصله‌ها ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: وقتی نیرویی با زاویه به بازو وارد می‌شود، در محاسبهٔ گشتاور فقط مؤلفهٔ عمود بر بازو ($F\sin\theta$) اثر دارد؛ فراموش‌کردنِ ضرب در $\sin\theta$ رایج‌ترین اشتباه در این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

ابتدا نیروی مقاوم را از شرط تعادل اهرم می‌یابیم: $F_1 d_1 = F_2 d_2 \Rightarrow 45 \times 0.9 = F_2 \times 0.3 \Rightarrow F_2 = 135\,\text{N}$. طبق قانون پایستگی انرژی در ماشین‌های ساده، کار نیروی محرک با کار نیروی مقاوم برابر است (بدون اصطکاک)، پس کافی است کار نیروی مقاوم را حساب کنیم: $W = F_2 \times d_{2,\text{disp}} = 135\,\text{N} \times 0.15\,\text{m} = 20.25\,\text{J}$، یعنی گزینهٔ «$۲۰٫۲۵\,\text{J}$» درست است. گزینهٔ «$۶٫۷۵\,\text{J}$» از ضرب مستقیمِ نیروی محرک $45\,\text{N}$ در جابه‌جاییِ سمتِ مقاوم ($0.15\,\text{m}$) به دست می‌آید — این کار درست نیست چون این دو، جابه‌جایی و نیروی طرفِ **متفاوت** اهرم‌اند. گزینهٔ «$۱۳٫۵\,\text{J}$» از فرضِ نادرستِ برابربودنِ $F_2$ با $F_1$ ($45\,\text{N}$) و ضربِ آن در جابه‌جاییِ محرک (که در این محاسبه هم اشتباه گرفته شده) ناشی می‌شود. گزینهٔ «$۴۰٫۵\,\text{J}$» از ضربِ $F_2=135$ در جابه‌جاییِ سمتِ محرک ($0.45\,\text{m}$، که خودش سه برابرِ $0.15$ است) به‌جای جابه‌جاییِ سمتِ مقاوم به دست می‌آید. تلهٔ تستی: کارِ محرک و کارِ مقاوم با هم برابرند، اما این یعنی باید نیروی هر سمت را در جابه‌جاییِ **همان سمت** ضرب کرد؛ ضربِ نیروی یک سمت در جابه‌جاییِ سمتِ دیگر، محاسبه را کاملاً بی‌معنا می‌کند حتی اگر عدد نهایی «قابل‌قبول» به نظر برسد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

فاصلهٔ جدید پدر تا تکیه‌گاه: $0.5 - 0.1 = 0.4\,\text{m}$. گشتاور جدید پدر: $\tau = 800\,\text{N} \times 0.4\,\text{m} = 320\,\text{N}\cdot\text{m}$. برای تعادل، گشتاور پسر هم باید همین مقدار باشد: $200\,\text{N} \times d = 320\,\text{N}\cdot\text{m} \Rightarrow d = 1.6\,\text{m}$، یعنی گزینهٔ «$۱٫۶\,\text{m}$» درست است. گزینهٔ «$۱٫۸\,\text{m}$» با فرضِ نادرستِ دورترشدنِ پدر (به‌جایِ نزدیک‌ترشدن) از تکیه‌گاه به دست می‌آید. گزینهٔ «$۲٫۵\,\text{m}$» فاصلهٔ اولیهٔ پسر ($2\,\text{m}$) به‌علاوهٔ همان $0.5\,\text{m}$ اضافه‌شدهٔ نادرست است، بدونِ محاسبهٔ واقعیِ گشتاور. گزینهٔ «$۱٫۲۵\,\text{m}$» از تقسیمِ گشتاورِ اولیه ($400$) به‌جایِ گشتاورِ جدید ($320$) بر وزنِ پسر به دست می‌آید. تلهٔ تستی: وقتی یک طرفِ اهرم به تکیه‌گاه نزدیک‌تر می‌شود (نه دورتر)، گشتاورِ آن طرف **کم** می‌شود، پس طرفِ دیگر هم باید برای بازگشتِ تعادل به تکیه‌گاه نزدیک‌تر شود، نه دورتر — جهتِ تغییر را با دقت از متنِ سؤال (نه با حدسِ رایج) استخراج کن.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

مزیت مکانیکی اهرم برابر است با نسبت بازوی محرک به بازوی مقاوم: $\text{MA} = \dfrac{d_1}{d_2} = \dfrac{1.2}{0.4} = 3$. طبق طبقه‌بندی اهرم‌ها، اهرم نوع سوم (نیروی محرک بین تکیه‌گاه و نیروی مقاوم) همیشه مزیت مکانیکی کوچک‌تر از ۱ دارد؛ چون اینجا $\text{MA}=3>1$ است، این اهرم قطعاً نوع سوم نیست. اما فقط از رویِ عددِ $\text{MA}=3$ (بدونِ دانستنِ محلِ دقیقِ تکیه‌گاه نسبت به دو نیرو) نمی‌توان بینِ نوعِ اول و دوم قطعی تصمیم گرفت، پس گزینهٔ درست همان است که ادعا می‌کند این اهرم **نمی‌تواند نوع سوم باشد** — گزینهٔ «مزیت مکانیکی $3$ — نمی‌تواند نوع سوم باشد.». گزینهٔ «مزیت مکانیکی $3$ — همیشه اهرم نوع اول است.» با ادعای «همیشه نوع اول» غلط است، چون اهرم نوع دوم هم می‌تواند دقیقاً همین نسبتِ بازوها و همین $\text{MA}=3$ را داشته باشد. گزینهٔ «مزیت مکانیکی $3$ — همیشه اهرم نوع دوم است.» به همان دلیلِ متقارن غلط است: اهرم نوع اول هم می‌تواند همین $\text{MA}=3$ را داشته باشد، پس نمی‌توان با قطعیت گفت همیشه نوع دوم است. گزینهٔ «مزیت مکانیکی $0.33$ — همیشه اهرم نوع سوم است.» با محاسبهٔ معکوسِ نسبت ($0.4/1.2$) مزیت مکانیکی را اشتباه گرفته است. تلهٔ تستی: مزیتِ مکانیکیِ بزرگ‌تر از ۱ فقط «نوعِ سوم‌نبودن» را تضمین می‌کند، نه تعیینِ قطعیِ نوعِ اول یا دوم — بینِ این دو نوع باید محلِ دقیقِ تکیه‌گاه را از رویِ شکل/توضیحِ سؤال دید، نه صرفاً از رویِ عددِ مزیتِ مکانیکی.