مجموعه‌ها، الگو و دنباله (ریاضی ۱ — تجربی)

دنباله‌ها؛ قلب فصل اول

هر چند عدد که پشت سر هم بیایند یک دنباله می‌سازند و اعضایش را با $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نشان می‌دهیم. کل مهارت این بخش یک چیز است: از روی چند جملهٔ اول، جملهٔ عمومی را پیدا کنی.

الگوی خطی

اگر اختلاف هر دو جملهٔ متوالی ثابت باشد، الگو خطی است و جملهٔ عمومی به شکل زیر درمی‌آید:

عدد $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو نقش هم‌زمان دارد: هم همان اختلاف ثابت است و هم شیب خطی که نقاط $(n, a_n)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی آن می‌نشینند. مثلاً برای $5, 8, 11, 14, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اختلاف ثابت $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و $a_n = 3n + 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نقاط این دنباله روی خط $y = 3x + 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرار می‌گیرند.

اگر به‌جای جمله‌های اول، دو جملهٔ دلخواه را بدهند، دستگاه دو مجهولی بساز. برای مثال با $a_4 = 17$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $a_{10} = 41$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $4a + b = 17$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $10a + b = 41$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، که نتیجه‌اش $a = 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، یعنی $a_n = 4n + 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

وقتی الگو خطی نیست

اگر اختلاف مرتبهٔ اول ثابت نشد، اختلافِ همان اختلاف‌ها را بگیر. قاعده ساده است: هر مرتبه‌ای که اختلافش ثابت شود، درجهٔ الگو همان است. اختلاف مرتبهٔ دوم ثابت یعنی الگوی درجهٔ ۲ به شکل $t_n = an^2 + bn + c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

روش قطعی برای پیدا کردن ضرایب، بدون حدس زدن:

برای $4, 13, 26, 43, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اختلاف‌ها $9, 13, 17$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و اختلافِ آن‌ها ثابت و برابر $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ پس $a = 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، جملهٔ صفرم $-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $c = -1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b = 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، در نتیجه $t_n = 2n^2 + 3n - 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دو الگوی نقطه‌ای معروف هم از همین خانواده‌اند: اعداد مربعی با $n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و اعداد مثلثی با $\frac{n(n+1)}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در الگوهای چوب‌کبریتی هم حواست به اضلاع مشترک باشد؛ در ردیف مربع‌های به‌هم‌چسبیده هر مرحله فقط $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کبریت اضافه می‌کند، نه $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دنبالهٔ حسابی

همان الگوی خطی است با نام رسمی: هر جمله از جمع جملهٔ قبل با عدد ثابت $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (قدرنسبت) به دست می‌آید، یعنی $a_{n+1} = a_n + d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سه خاصیتی که بیشترین کاربرد را در تست دارند:

• فاصلهٔ دو جملهٔ دلخواه: $a_m - a_n = (m-n)d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
• میانگین حسابی: هر جمله میانگین دو همسایه‌اش است، $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پس اگر $a، b، c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حسابی باشند $2b = a + c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
• جملات متماثل: از $m + n = p + q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌شود $a_m + a_n = a_p + a_q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

مجموع $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جملهٔ اول با ترفند گاوس (جمع کردن دنباله با معکوس خودش) به دست می‌آید:

از همین‌جا $1 + 2 + \cdots + 100 = 5050$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و به‌طور کلی $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $1 + 3 + \cdots + (2n-1) = n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2 + 4 + \cdots + 2n = n(n+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بیرون می‌آید.

برای قرار دادن $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واسطهٔ حسابی میان $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، قدرنسبت از رابطهٔ $d = \frac{b-a}{k+1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌آید. مثلاً سه واسطه بین $18$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $62$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $d = \frac{44}{4} = 11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دنبالهٔ $18, 29, 40, 51, 62$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دو نکتهٔ کمترشناخته: جملات مشترک دو دنبالهٔ حسابی خودشان یک دنبالهٔ حسابی تازه با قدرنسبت $\text{ک.م.م}(d_1, d_2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌سازند؛ و دنباله‌هایی که هر جمله را از روی جمله‌های قبلی می‌سازند بازگشتی نام دارند، مثل فیبوناچی با $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $a_1 = a_2 = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دنبالهٔ هندسی

اینجا به‌جای جمعِ ثابت، ضربِ ثابت داریم: نسبت هر جمله به جملهٔ قبل عددی ثابت و ناصفر است ($a_1 \neq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

خواصش آینهٔ ضربیِ دنبالهٔ حسابی‌اند: میانگین هندسی $a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (پس اگر $a، b، c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هندسی باشند $b^2 = ac$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، نسبت دو جمله $\frac{a_m}{a_n} = r^{m-n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و جملات متماثل به‌صورت $a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اگر $|r| < 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، جمع بی‌نهایت جمله به عدد متناهی می‌رسد: $S_\infty = \frac{a_1}{1-r}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ مثلاً $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots = 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

واسطهٔ هندسی برخلاف واسطهٔ حسابی یکتا نیست: از $m^2 = ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو جواب $m = \pm\sqrt{ab}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌آید (بین $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $48$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود $\pm 12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). برای $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واسطه بین دو عدد مثبت، $r = \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{k+1}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

برای حاصل‌ضرب $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جملهٔ اول: اگر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرد باشد برابر توانِ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام جملهٔ وسطی است و اگر زوج باشد برابر $(a_1 a_n)^{n/2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

چند تلهٔ پرتکرار: دنباله‌ای که هم حسابی و هم هندسی باشد لزوماً ثابت است ($d = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $r = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ در دنبالهٔ هندسی با $r < 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی علامت جمله‌ها یک‌درمیان عوض می‌شود؛ و مجموع $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جملهٔ اول دنبالهٔ حسابی خودش یک عبارت درجهٔ دوم بر حسب $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است: $S_n = \frac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

شمارش اعضا و نمودار ون

و برای سه مجموعه، همان منطق «جمع، منهای دوتایی‌ها، به‌علاوهٔ سه‌تایی»:

بیشتر خطاها از قاطی شدن «فقط $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» با «کل $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» می‌آید. نمودار ون فضا را به چهار ناحیهٔ بی‌ابهام می‌شکند: فقط $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $n(A) - n(A\cap B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، فقط $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $n(B) - n(A\cap B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، اشتراک برابر $n(A\cap B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و بیرون از هر دو برابر $n(U) - n(A\cup B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمونه: در کلاسی ۲۵ نفره، ۱۵ نفر فوتبال و ۱۱ نفر بسکتبال بازی می‌کنند و ۵ نفر در هیچ تیمی نیستند. پس $n(F\cup B) = 20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و از فرمول، $n(F\cap B) = 15 + 11 - 20 = 6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر هم بپرسند «دقیقاً در یکی»، پاسخ $n(A\cup B) - n(A\cap B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

مجموعه‌های عددی، بازه و متمم

خانوادهٔ اعداد تودرتوست: $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{W} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و گنگ‌ها ($\mathbb{Q}'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) بیرون از این زنجیره می‌ایستند، چون هیچ‌کدام را نمی‌توان کسر دو عدد صحیح نوشت؛ با این حال $\mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}' = \mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. وقتی می‌پرسند عددی به کدام مجموعه‌ها تعلق دارد، از درونی‌ترین لایه شروع کن و بیرون بیا.

تشخیص گویا از گنگ با بسط اعشاری: اعشار متناهی یا متناوب گویاست ($0.\overline{3} = \frac{1}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و اعشار نامتناوبِ نامتناهی گنگ ($\sqrt{3} = 1.7320\ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). قاعدهٔ سریع: $\sqrt{n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گنگ است مگر آنکه $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مربع کامل باشد.

هر قطعه از محور اعداد یک بازه است. برای $a < b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

روی محور، دایرهٔ توپر یعنی آن نقطه عضو بازه است و دایرهٔ توخالی یعنی نیست. طول هر بازه $b - a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و به باز یا بسته بودن کران‌ها کاری ندارد. $+\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد نیستند، پس همیشه با پرانتز باز می‌آیند. برای اجتماع و اشتراک، بازه‌ها را روی محور بکش: با $A = (-1, 4]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B = (2, +\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $A \cup B = (-1, +\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $A \cap B = (2, 4]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

یک تلهٔ پارامتری هم هست: در بازه‌ای مثل $(x+2,\ 2x+3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حتماً باید کران راست از کران چپ بزرگ‌تر باشد، وگرنه بازه‌ای وجود ندارد. اگر بگویند $5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عضو این بازه است، از $x+2 < 5 < 2x+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $1 < x < 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسی.

متمم نسبت به مجموعهٔ مرجع $U$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف می‌شود: $A' = U - A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، با خواص $(A')' = A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $A \cup A' = U$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $A \cap A' = \emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. دو قانون دمورگان ابزار اصلی این بخش‌اند:

هنگام متمم‌گیری از یک بازه، نوع کران‌ها برعکس می‌شود؛ متمم $[a,b]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $(-\infty,a) \cup (b,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. دو رابطهٔ پرکاربرد دیگر: $A \subseteq B \Leftrightarrow B' \subseteq A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $A - B = A \cap B'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

در پایان، مجموعه‌ای متناهی است که تعداد اعضایش یک عدد حسابی باشد و نامتناهی آن است که از هر عدد طبیعی بیشتر عضو دارد. چون بین هر دو عدد حقیقی متمایز بی‌نهایت عدد گویا جا می‌گیرد، حتی بازه‌ای به کوچکی $(0,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم بی‌شمار عدد گویا دارد. فقط حواست باشد اشتراکی مثل $A \cap B = \{a\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک مجموعهٔ یک‌عضوی است، نه بازه.