مجموعه، الگو و دنباله(فصل 1 ریاضی 1) (علوم تجربی)

مجموعه، الگو و دنباله — نقشهٔ فصل اول ریاضی ۱

این فصل با محور اعداد شروع می‌شود و به دنباله‌ها می‌رسد؛ در واقع سه مبحث به‌هم‌پیوسته دارد: مجموعه‌های عددی و بازه‌ها، شمارش اعضای مجموعه‌ها، و الگوهایی که پایهٔ کل مبحث دنباله در ریاضی دبیرستان‌اند.

مجموعه‌های عددی

پنج مجموعهٔ عددی زیرمجموعهٔ هم‌اند:

$\mathbb{Q}'$ (گنگ‌ها) هم با $\mathbb{Q} \cup \mathbb{Q'} = \mathbb{R}$ کنار گویاها قرار می‌گیرد. تشخیص گویا از گنگ با نوع بسط اعشاری انجام می‌شود: اعشار متناهی یا متناوب یعنی گویا ($0.\overline{3}=\frac13$)، اعشار نامتناوب نامتناهی یعنی گنگ ($\sqrt2=1.41421\ldots$). قاعدهٔ کاربردی: $\sqrt{n}\in\mathbb{Q'}$ اگر و فقط اگر $n$ مربع کامل نباشد.

بازه‌ها

هر قطعه از محور اعداد یک بازه است. برای $a<b$: بازهٔ بسته $[a,b]=\{x\mid a\le x\le b\}$، باز $(a,b)$، و دو نیم‌باز $[a,b)$ و $(a,b]$ — هر چهار نوع طول یکسان $b-a$ دارند، چون طول فقط به کران‌ها بستگی دارد نه باز/بسته‌بودنشان. علامت‌های $\pm\infty$ عدد نیستند، پس همیشه با پرانتز باز می‌آیند. برای اجتماع و اشتراک بازه‌ها کافی است روی محور رسم کنید؛ مثلاً برای $A=(-1,4]$ و $B=(2,+\infty)$: $A\cup B=(-1,+\infty)$ و $A\cap B=(2,4]$.

متمم و قوانین دمورگان

نسبت به مجموعهٔ مرجع $U$: $A'=U-A$. مهم‌ترین ابزار این بخش دو قانون دمورگان است:

هنگام گرفتن متمم یک بازه، نوع کران‌ها برعکس می‌شود (بسته↔باز)؛ مثلاً متمم $[a,b]$ برابر $(-\infty,a)\cup(b,+\infty)$ است. یک رابطهٔ کنکوری مهم: $A\subseteq B \Leftrightarrow B'\subseteq A'$.

مجموعهٔ متناهی و نامتناهی، و تعداد اعضای اجتماع

مجموعه‌ای متناهی است اگر تعدادِ اعضایش یک عدد حسابی باشد؛ در غیر این صورت نامتناهی است (مثل $\mathbb{N}$ یا هر بازهٔ بازِ محور). فرمول اصلی شمارش اجتماع:

مثال کتاب: در کلاسی ۲۵نفره، ۱۵ نفر فوتبال و ۱۱ نفر بسکتبال بازی می‌کنند و ۵ نفر در هیچ‌کدام نیستند. پس $n(F\cup B)=20$ و از فرمول بالا $n(F\cap B)=15+11-20=6$.

الگوی خطی و دنباله حسابی

دنباله یعنی $a_1,a_2,\ldots,a_n$. اگر اختلاف جمله‌های متوالی ثابت باشد، الگو خطی است: $a_n=an+b$. دنبالهٔ حسابی همان الگوی خطی با قدرنسبت $d$ است:

ویژگی کلیدی: اگر $a,b,c$ حسابی باشند، $2b=a+c$ (میانگین حسابی). برای $k$ واسطهٔ حسابی بین $a$ و $b$: $d=\dfrac{b-a}{k+1}$؛ مثلاً بین ۱۸ و ۶۲ با سه واسطه، $d=\frac{44}{4}=11$ و دنباله $18,29,40,51,62$ می‌شود.

دنباله هندسی

نسبت هر جمله به قبلی ثابت است ($r$):

اگر $a,b,c$ هندسی باشند، $b^2=ac$ (میانگین هندسی). نکتهٔ کنکوری: دنباله‌ای که هم حسابی هم هندسی باشد، حتماً ثابت است ($a_n=c$)، چون تنها حالت مشترک $d=0$ و $r=1$ است.

نکات تکمیلی: بین هر دو عدد حقیقی متمایز بی‌نهایت عدد گویا هست، پس اعداد گویای درون هر بازه نامتناهی‌اند. در الگوهای غیرخطی، اگر اختلافِ مرتبهٔ دوم ثابت شود، الگو درجهٔ ۲ است — روشی سریع برای شناخت دنباله‌های درجه‌دوم بدون حدس‌زدن فرمول.

جمله‌های متماثل و چند نکتهٔ کاربردی

در هر دو نوع دنباله، اگر $m+n=p+q$ باشد، جمله‌های متناظر رابطهٔ ساده‌ای دارند: در دنبالهٔ حسابی $a_m+a_n=a_p+a_q$ و در دنبالهٔ هندسی $a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q$. برای سه مجموعه هم فرمول شمارش اجتماع تعمیم پیدا می‌کند:

واسطهٔ هندسیِ یک عدد بین $a$ و $b$ (هم‌علامت) از $m^2=ab$ به دست می‌آید و برخلاف واسطهٔ حسابی که یکتاست، دو مقدار $\pm\sqrt{ab}$ می‌دهد؛ مثلاً واسطهٔ هندسی بین ۳ و ۴۸ برابر $\pm12$ است. برای سری هندسی نامتناهی با $|r|<1$: $S_\infty=\dfrac{a_1}{1-r}$، مثل $1+\frac12+\frac14+\cdots=2$.

یک نکتهٔ دیگر برای رفع اشتباه رایج: اگر $A\cap B=\{a\}$ باشد یعنی اشتراک فقط یک نقطه، این یک مجموعهٔ متناهیِ یک‌عضوی است، نه یک بازه — نباید آن را با بازه‌های نوشته‌شده در بخش قبل اشتباه گرفت.