معادلهٔ درجه دوم و نامعادله‌ها (ریاضی ۱)

وقتی «جواب» لزوماً جواب نیست

بیشتر معادله‌های این فصل یک ویژگی مشترک دارند: در مسیر حل، کاری می‌کنیم که ممکن است جواب‌های تقلبی بسازد. مخرج مشترک می‌گیریم، دو طرف را به توان می‌رسانیم، یا قدرمطلق را باز می‌کنیم. هر سهٔ این کارها می‌توانند عددی تولید کنند که در معادلهٔ اصلی اصلاً صدق نمی‌کند. برای همین در کل این فصل یک عادت را جا بیندازید: اول شرط‌ها و دامنه را بنویسید، آخر جواب‌ها را با آن بسنجید.

معادلهٔ گویا

اگر مجهول در مخرج دست‌کم یکی از عبارت‌ها ظاهر شود، معادله گویا است. قانون بنیادی هم یکی است: هر مقداری از $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که یکی از مخرج‌ها را صفر کند، از همان ابتدا از دایرهٔ جواب بیرون است. مثلاً در $\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{1}{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دامنه همهٔ اعداد حقیقی جز $0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

روش حل چهار گام دارد: مخرج‌ها را تجزیه کنید، کوچک‌ترین مخرج مشترک را پیدا کنید و دو طرف را در آن ضرب کنید تا کسرها حذف شوند، معادلهٔ چندجمله‌ای حاصل را حل کنید، و در پایان هر ریشه‌ای را که مخرج اولیه را صفر می‌کند کنار بگذارید.

مثلاً در $\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2}{x^2-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دامنه $x\neq\pm1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. با ضرب در $(x-1)(x+1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $x^2+2x-3=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم، یعنی $(x+3)(x-1)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ریشه‌های $x=-3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اما $x=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مخرج را صفر می‌کند و مردود است؛ تنها جواب $x=-3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. طراح سؤال معمولاً دقیقاً همین را هدف می‌گیرد: ریشه‌ای می‌سازد که روی ریشهٔ مخرج بیفتد تا شمار جواب‌ها تغییر کند.

کاربرد آشنای این معادله‌ها مسائل «تیپ کار» است: اگر نفر اول کاری را تنها در $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روز و نفر دوم در $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روز تمام کند، زمان انجام کار با همکاری هر دو از $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید. برای $a=6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $b=12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{c}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و در نتیجه $c=4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روز.

معادلهٔ رادیکالی

رادیکال مثل یک دریچهٔ یک‌طرفه است: خروجی‌اش هرگز منفی نمی‌شود. پس در فرم $\sqrt{P}=Q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دو شرط هم‌زمان لازم است: $P\geq0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $Q\geq0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. بعد از نوشتن این شرط‌ها، دو طرف را به توان ۲ می‌رسانیم و معادلهٔ $P=Q^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را حل می‌کنیم و هر جواب را با شرط اولیه می‌سنجیم.

در $\sqrt{x+3}=x-3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شرط‌ها به $x\geq3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسند. مربع کردن می‌دهد $x+3=x^2-6x+9$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی $x^2-7x+6=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با ریشه‌های $1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. چون $x=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شرط $x\geq3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را نقض می‌کند مردود است و تنها جواب $x=6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌ماند.

اگر بیش از یک رادیکال باشد، یکی را تنها می‌کنیم، مربع می‌کنیم و در صورت باقی ماندن رادیکال دیگر همین کار را تکرار می‌کنیم. در $\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پس از یک بار مربع کردن به $x+1=2\sqrt{x+1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم؛ با تغییر متغیر $u=\sqrt{x+1}\geq0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین معادله به $u(u-2)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تبدیل می‌شود و جواب‌های $x=-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x=3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید که هر دو معتبرند.

یک میان‌بر مهم: اگر طرف بدون رادیکال همیشه منفی باشد، معادله بی‌هیچ محاسبه‌ای جواب ندارد. در $\sqrt{x-5}=-3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اگر بی‌دقت مربع کنیم به $x=14$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم، ولی آزمایش در معادلهٔ اصلی نشان می‌دهد $\sqrt{9}=3\neq-3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و این جواب ساختگی است.

معادلهٔ قدرمطلقی

پایهٔ کار یک قاعده است: $|x|=a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای $a\geq0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $x=\pm a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد و برای $a<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اصلاً جواب ندارد. پس $|2x-1|=7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دو جواب $4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $-3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد، اما $|3x+2|=-5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جوابی ندارد.

وقتی هر دو طرف قدرمطلق باشند، یعنی $|u|=|v|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، معادله به $u=v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $u=-v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شکند و چون هر دو طرف نامنفی‌اند، هر دو شاخه معتبرند. در $|x+4|=|2x-1|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شاخهٔ اول $x=5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شاخهٔ دوم $x=-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد و هر دو درست‌اند.

اما حالتی که بیشترین دام را دارد، $|u|=v(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که طرف راست خودش متغیر است. اینجا علاوه بر دو شاخه، باید شرط $v(x)\geq0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را هم برای هر جواب بررسی کنید. در $|2x+3|=x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شاخهٔ اول $x=-3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شاخهٔ دوم $x=-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد، اما هر دو شرط $x\geq0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را نقض می‌کنند و معادله بدون جواب است.

جدول تعیین علامت: ابزار مادر نامعادله‌ها

هر نامعادله‌ای که از درجهٔ اول بالاتر برود، در عمل با یک جدول علامت حل می‌شود. قواعدش را بشناسید:

درجهٔ اول $ax+b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: ریشه $x_0=-\dfrac{b}{a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ سمت راست ریشه هم‌علامت $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و سمت چپ آن مخالف $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
حاصل‌ضرب چند عامل خطی: ریشهٔ هر عامل را جدا می‌یابیم، همه را روی محور مرتب می‌کنیم و علامت هر ناحیه را از قانون ضرب علامت‌ها می‌گیریم.
درجهٔ دوم: اگر $\Delta>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، عبارت بین دو ریشه مخالف علامت $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و بیرون آن‌ها موافق $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ اگر $\Delta=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $\Delta<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، عبارت در سراسر محور هم‌علامت $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌ماند (در حالت $\Delta=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط در ریشهٔ مضاعف صفر می‌شود).
کسر جبری: درست مثل ضرب عمل می‌کنیم، با این تفاوت حیاتی که زیر ریشهٔ مخرج به‌جای صفر باید «تعریف‌نشده» نوشت.
توان عامل‌ها: ریشه‌ای که با تکرار فرد ظاهر شود علامت را عوض می‌کند، اما ریشه‌ای با تکرار زوج علامت را عوض نمی‌کند. برای همین در $x^3(7-x)>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جواب $(0,7)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

نمونهٔ کامل: برای $Q=\dfrac{x^2-9}{2x+1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ریشه‌های صورت $\pm3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ریشهٔ مخرج $-\dfrac{1}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. چیدن این سه عدد روی محور، چهار ناحیه می‌سازد و علامت $Q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌ترتیب منفی، مثبت، منفی و مثبت می‌شود.

نامعادله‌ها

دو خاصیت پایه‌ای را از هم جدا کنید: افزودن یک عدد به دو طرف هیچ تغییری در جهت نامساوی نمی‌دهد، اما ضرب یا تقسیم دو طرف در عدد منفی جهت نامساوی را برعکس می‌کند. همین یک نکته، بیشترین خطای محاسباتی این مبحث را می‌سازد.

نامعادلهٔ دوگانه مثل $-2<3x-1\leq8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را با اعمال هم‌زمان عملیات روی هر سه بخش حل می‌کنیم و به $-\dfrac{1}{3}<x\leq3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم.

نامعادلهٔ درجهٔ دوم را با جدول علامت حل کنید، نه با حدس. برای $2x^2-x-3\geq0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با ریشه‌های $-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\dfrac{3}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ضریب مثبت $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، جواب بیرون ریشه‌هاست: $(-\infty,-1]\cup[\frac{3}{2},+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نامعادلهٔ کسری خطرناک‌ترین بخش است: هرگز دو طرف را در مخرج ضرب نکنید، چون نمی‌دانید مخرج مثبت است یا منفی. از همان جدول علامت استفاده کنید. برای $\dfrac{x^2-9}{2x+1}\geq0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جواب $\left(-3,-\dfrac{1}{2}\right)\cup[3,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ دقت کنید ریشه‌های صورت (که عبارت را صفر می‌کنند) به‌خاطر علامت $\geq$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داخل جواب‌اند، اما ریشهٔ مخرج هرگز داخل نمی‌شود.

نامعادلهٔ قدرمطلقی با دو قاعده برای $a>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حل می‌شود:

|u|\leq a\iff -a\leq u\leq a \qquad |u|\geq a\iff u\leq-a\ \text{یا}\ u\geq a

تفسیر هندسی‌شان را نگه دارید: $|x-m|<r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی فاصلهٔ $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کمتر از $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، یعنی $x\in(m-r,m+r)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مسیر برعکس هم کار می‌کند: هر بازهٔ $[a,b]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را می‌توان با مرکز $m=\dfrac{a+b}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شعاع $r=\dfrac{b-a}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به شکل $|x-m|\leq r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نوشت؛ مثلاً بازهٔ $[1,9]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان $|x-5|\leq4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

وقتی هر دو طرف قدرمطلق باشند، چون هر دو نامنفی‌اند می‌توان بدون نگرانی از جهت نامساوی مربع کرد: $|A|<|B|\iff(A-B)(A+B)<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. برای $|2x-1|<|x+3|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین این کار به $(x-4)(3x+2)<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و جواب $\left(-\dfrac{2}{3},4\right)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد.

برای قدرمطلق تودرتو هم راه‌حل، تغییر متغیر است. در $\big||x-2|-3\big|<1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ابتدا $u=|x-2|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌گذاریم و به $2<u<4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم؛ یعنی باید هم‌زمان $|x-2|>2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $|x-2|<4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برقرار باشد که جوابش $(-2,0)\cup(4,6)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. حل مرحله‌به‌مرحله از بیرون به درون، این تیپ را از یک معمای پیچیده به دو نامعادلهٔ ساده تبدیل می‌کند.

یک شرط پرکاربرد هم برای حالتی که عبارت درجهٔ دوم باید برای هر $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مثبت بماند:

ax^2+bx+c>0\ \ \forall x\in\mathbb{R}\iff a>0\ \text{و}\ \Delta<0

مثلاً $x^2+mx+1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وقتی همواره مثبت است که $m^2-4<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی $-2<m<2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

معادلهٔ درجهٔ دوم و چهار مسیر حل آن

هر معادله‌ای که پس از ساده‌سازی به فرم $ax^2+bx+c=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $a\neq0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برسد، درجهٔ دوم است. چهار مسیر برای حلش دارید:

تجزیه بر پایهٔ این واقعیت که حاصل‌ضرب دو عبارت وقتی صفر است که دست‌کم یکی صفر باشد؛ برای $x^2+px+q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دنبال دو عددی می‌گردیم که جمعشان $p$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ضربشان $q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد. ریشه‌گیری برای فرم $(x-h)^2=k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که به $x=h\pm\sqrt{k}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد و برای $k<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جواب حقیقی ندارد. تکمیل مربع با افزودن $\left(\dfrac{p}{2}\right)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $x^2+px$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ مثلاً $x^2-6x+4=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $(x-3)^2=5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x=3\pm\sqrt5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تبدیل می‌شود. و سرانجام فرمول کلی که خودش از تکمیل مربع روی فرم عمومی به دست آمده:

\Delta=b^2-4ac \qquad x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

نقش $\Delta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط شمارش ریشه نیست؛ ترجمهٔ هندسی هم دارد: $\Delta>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی دو ریشهٔ متمایز و برخورد سهمی با محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در دو نقطه؛ $\Delta=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی یک ریشهٔ مضاعف $x=-\dfrac{b}{2a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مماس بودن سهمی بر محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و $\Delta<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی نبود ریشهٔ حقیقی و جدا ماندن سهمی از محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

روابط ویتا اجازه می‌دهند بدون حل کامل معادله دربارهٔ ریشه‌ها حرف بزنید:

x_1+x_2=-\frac{b}{a} \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}

از همین‌جا می‌توان معادله را از روی ریشه‌ها ساخت ( $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) یا علامت ریشه‌ها را تشخیص داد: حاصل‌ضرب منفی یعنی ریشه‌ها ناهم‌علامت‌اند؛ حاصل‌ضرب مثبت همراه با مجموع مثبت یعنی هر دو مثبت، و همراه با مجموع منفی یعنی هر دو منفی. چند رابطهٔ پرکاربرد دیگر هم از ویتا می‌آید:

x_1^2+x_2^2=\frac{b^2-2ac}{a^2} \qquad |x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} \qquad \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{b}{c}

سه میان‌بر ساده را هم به خاطر بسپارید: اگر $c=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یکی از ریشه‌ها صفر است، اگر $a+b+c=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عدد $1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ریشه است و اگر $a-b+c=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عدد $-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ریشه است.

سهمی: چهرهٔ هندسی معادلهٔ درجهٔ دوم

نمودار $y=ax^2+bx+c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک سهمی است که برای $a>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دهانه رو به بالا و برای $a<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رو به پایین دارد؛ هرچه $|a|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بزرگ‌تر باشد سهمی باریک‌تر می‌شود. نقطهٔ کلیدی‌اش رأس است:

V=\left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{\Delta}{4a}\right)

خط قائم $x=-\dfrac{b}{2a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین محور تقارن سهمی است و نمودار نسبت به آن آینه‌ای است. با تکمیل مربع به فرم رأسی $y=a(x-h)^2+k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم که در آن $(h,k)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان رأس است؛ در این فرم $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین انتقال افقی و $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین انتقال عمودی سهمی را نشان می‌دهد.

برای رسم، این ترتیب کار را ساده می‌کند: رأس و محور تقارن را بیابید، عرض از مبدأ را با قرار دادن $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حساب کنید (که برابر $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود)، محل برخورد با محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را از حل $y=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیدا کنید و چند نقطهٔ قرینه نسبت به محور تقارن اضافه کنید. برای $y=x^2-4x+5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رأس $(2,1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و چون $\Delta=-4<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سهمی اصلاً محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را قطع نمی‌کند.

مسیر معکوس هم پرکاربرد است: اگر صفرهای سهمی را بدانید، می‌توانید $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بنویسید و $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را از یک نقطهٔ سوم به دست آورید. فرض کنید سهمی محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در $-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و محور $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در $2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطع کند؛ از $y=a(x+1)(x-2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و قرار دادن $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $2=-2a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $a=-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم، پس معادلهٔ سهمی $y=-x^2+x+2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. نمونهٔ فیزیکی همین ایده، حرکت پرتابه است: ارتفاع جسم با $h(t)=-5t^2+v_0t+h_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین توصیف می‌شود و بیشترین ارتفاع دقیقاً در رأس این سهمی، یعنی در لحظهٔ $t=\dfrac{v_0}{10}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، رخ می‌دهد.