پرش به محتوای اصلی

معادله ها و نامعادله ها (فصل 4 ریاضی 1) (علوم تجربی)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

معادله‌ها و نامعادله‌ها — از معادلهٔ درجهٔ دوم تا نامعادلهٔ قدرمطلق

فصل چهارم ریاضی ۱ سه بخش دارد که پشت سر هم به هم متکی‌اند: حل معادلهٔ درجهٔ دوم به چند روش، تحلیل هندسیِ آن با سهمی، و تعیین علامت که پایهٔ حل هر نامعادله‌ای می‌شود.

معادلهٔ درجهٔ دوم و روش‌های حل

فرم کلی ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 (a≠0a\ne0) را می‌توان به چهار روش حل کرد. روش تجزیه بر پایهٔ ویژگی حاصل‌ضرب صفر است (AB=0  ⟺  A=0AB=0 \iff A=0 یا B=0B=0)؛ برای x2+px+q=0x^2+px+q=0 دو عدد a,ba,b با a+b=pa+b=p و ab=qab=q پیدا می‌کنیم. روش ریشه‌گیری برای فرم (x−h)2=k(x-h)^2=k مستقیم جواب می‌دهد: x=h±kx=h\pm\sqrt k (k≥0k\ge0). تکمیل مربع این فرم را برای هر معادله می‌سازد، و از آن فرمول کلی (دلتا) به دست می‌آید:

Δ=b2−4acx=−b±Δ2a\boxed{\Delta=b^2-4ac}\qquad \boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}}
شرط Δ\Delta تعداد ریشه
Δ>0\Delta>0 دو ریشهٔ متمایز
Δ=0\Delta=0 یک ریشهٔ مضاعف
Δ<0\Delta<0 بدون ریشهٔ حقیقی

مثال کتاب — مستطیلی با محیط ۵۰ و مساحت ۱۴۴: از s+t=25s+t=25 و st=144st=144 به s2−25s+144=0s^2-25s+144=0 می‌رسیم، Δ=49\Delta=49، پس ابعاد ۹ و ۱۶ متر است.

روابط ویتا

اگر x1,x2x_1,x_2 دو ریشهٔ معادله باشند:

x1+x2=−bax1⋅x2=ca\boxed{x_1+x_2=-\frac ba}\qquad \boxed{x_1\cdot x_2=\frac ca}

این رابطه‌ها اجازه می‌دهند بدون حل مستقیم معادله، عبارات متقارن ریشه‌ها را حساب کنیم: x12+x22=b2−2aca2x_1^2+x_2^2=\frac{b^2-2ac}{a^2} و ∣x1−x2∣=Δ∣a∣|x_1-x_2|=\frac{\sqrt\Delta}{|a|}. دو میان‌بر کنکوری هم از همین‌جا می‌آیند: اگر a+b+c=0a+b+c=0 آنگاه x=1x=1 همیشه یک ریشه است؛ اگر a−b+c=0a-b+c=0 آنگاه x=−1x=-1 ریشه است.

سهمی

نمودار y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c یک سهمی است؛ برای a>0a>0 دهانه رو به بالا و برای a<0a<0 رو به پایین. رأس سهمی:

V=(−b2a, −Δ4a)\boxed{V=\left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{\Delta}{4a}\right)}

با تکمیل مربع، هر سهمی به فرم رأسی y=a(x−h)2+ky=a(x-h)^2+k برمی‌گردد که (h,k)(h,k) رأس است. مثال: برای y=−2x2+4x−3y=-2x^2+4x-3، h=1h=1 و k=−1k=-1، پس y=−2(x−1)2−1y=-2(x-1)^2-1 با رأس (1,−1)(1,-1). محور تقارن خط عمودی x=−b2ax=-\frac{b}{2a} است و هر چه ∣a∣|a| بزرگ‌تر باشد، سهمی باریک‌تر می‌شود. برای یافتن معادلهٔ سهمی از روی صفرهایش، فرم y=a(x−x1)(x−x2)y=a(x-x_1)(x-x_2) کاربردی‌تر از فرم کلی است.

تعیین علامت

روش استاندارد برای هر چندجمله‌ای یا کسر جبری: ریشهٔ هر عامل را پیدا کن، روی محور مرتب کن، در هر ناحیه علامت را با قانون ضرب علامت‌ها تعیین کن. برای درجهٔ دوم با Δ>0\Delta>0 و ریشه‌های x1<x2x_1<x_2:

x<x1⇒موافق ax1<x<x2⇒مخالف ax>x2⇒موافق ax<x_1\Rightarrow \text{موافق }a \qquad x_1<x<x_2\Rightarrow \text{مخالف }a \qquad x>x_2\Rightarrow \text{موافق }a

یعنی بین دو ریشه، علامت مخالف aa است و بیرون از آن‌ها موافق aa. اگر Δ<0\Delta<0، عبارت همیشه هم‌علامت aa است — نتیجه‌ای که مستقیماً شرط «همواره مثبت‌بودن» را می‌سازد: ax2+bx+c>0ax^2+bx+c>0 برای همهٔ xx اگر و فقط اگر a>0a>0 و Δ<0\Delta<0. برای کسر جبری P1(x)P2(x)\frac{P_1(x)}{P_2(x)}، نکتهٔ حیاتی این‌ است که ریشهٔ مخرج «تعریف‌نشده» می‌شود، نه صفر.

نامعادله‌ها

خاصیت جمع مثل معادله عمل می‌کند، اما در ضرب یک استثنای مهم هست:

A>B, C<0  ⟹  AC<BC\boxed{A>B,\ C<0 \implies AC<BC}

یعنی ضرب یا تقسیم دو طرف در عدد منفی، جهت نامعادله را برمی‌گرداند. نامعادلهٔ دوگانه (A<f(x)≤BA<f(x)\le B) با اعمال هم‌زمان عملیات روی هر سه طرف حل می‌شود. برای نامعادلهٔ درجهٔ دوم و کسری، هرگز دو طرف را در مخرج یا عاملِ نامعلوم‌العلامه ضرب نکنید — باید به فرم f(x)g(x)∘0\frac{f(x)}{g(x)}\circ0 رساند و از جدول علامت استفاده کرد.

نامعادله‌های قدرمطلق

با تفسیر ∣x∣|x| به‌عنوان فاصله از مبدأ:

∣u∣≤a  ⟺  −a≤u≤a∣u∣≥a  ⟺  u≤−a یا u≥a\boxed{|u|\le a \iff -a\le u\le a}\qquad \boxed{|u|\ge a \iff u\le-a \text{ یا } u\ge a}

مثال: ∣x−3∣≤2⇒1≤x≤5|x-3|\le2 \Rightarrow 1\le x\le5 (نقاطی با فاصلهٔ حداکثر ۲ از ۳). برعکس این فرآیند هم کنکوری است: نوشتن معادلهٔ قدرمطلق از روی یک بازهٔ جواب [a,b][a,b]، با مرکز m=a+b2m=\frac{a+b}{2} و شعاع r=b−a2r=\frac{b-a}{2}، یعنی ∣x−m∣≤r|x-m|\le r.

نکات کنکوری تکمیلی: برای نامعادله‌های قدرمطلقِ تودرتو مثل ∣∣x−2∣−3∣<1\big||x-2|-3\big|<1، جایگذاری u=∣x−2∣u=|x-2| مسئله را به دو نامعادلهٔ ساده تبدیل می‌کند. در چندجمله‌ای‌های با ریشهٔ تکراری، تکرار فرد باعث تغییر علامت در آن نقطه می‌شود ولی تکرار زوج علامت را حفظ می‌کند — مثلاً در x3(7−x)>0x^3(7-x)>0، ریشهٔ x=0x=0 با تکرار ۳ (فرد) علامت را عوض می‌کند. و برای فرمول‌های ترکیبیِ ریشه‌ها: 1x1+1x2=−bc\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac bc و ∣a−b∣|a-b| همیشه یعنی فاصلهٔ دو عدد روی محور — دو ابزاری که در تبدیل مستقیم بین زبان جبری و هندسی مسئله صرفه‌جویی زیادی در وقت حل ایجاد می‌کنند.

تجزیهٔ سه‌جمله‌ای وقتی ضریب a≠1a\ne1 است

وقتی ضریب x2x^2 برابر ۱ نیست، روش گروه‌بندی جواب می‌دهد: برای 2x2+5x+3=02x^2+5x+3=0، حاصل‌ضرب a⋅c=6a\cdot c=6 را با دو عددی که مجموع‌شان ۵ باشد می‌شکنیم (22 و 33):

2x2+2x+3x+3=2x(x+1)+3(x+1)=(2x+3)(x+1)=02x^2+2x+3x+3=2x(x+1)+3(x+1)=(2x+3)(x+1)=0

که ریشه‌های x=−32x=-\frac32 و x=−1x=-1 می‌دهد. همین روش برای مسئلهٔ کلاسیک فیثاغورس هم به کار می‌رود: سه ضلع متوالی x,x+1,x+2x,x+1,x+2 در مثلث قائم، با جایگذاری در قضیهٔ فیثاغورس به x2−2x−3=0x^2-2x-3=0 می‌رسد که تجزیه‌اش (x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1)=0 است.

تقاطع سهمی با محورها و رسم سریع

نقطهٔ تقاطع سهمی با محور yy همیشه y0=cy_0=c است (جایگذاری x=0x=0)؛ تقاطع با محور xx همان ریشه‌های معادلهٔ درجهٔ دوم است. الگوریتم رسم سریع: رأس را حساب کن، محور تقارن را رسم کن، عرض از مبدأ و ریشه‌ها را پیدا کن، و چند نقطهٔ قرینه نسبت به محور تقارن اضافه کن. برای y=x2−4x+5y=x^2-4x+5: رأس (2,1)(2,1) و چون Δ=16−20=−4<0\Delta=16-20=-4<0، سهمی اصلاً محور xx را قطع نمی‌کند — نمودار کاملاً بالای محور xx باقی می‌ماند.

اثرِ ضرایب روی شکل سهمی

در فرم رأسی y=a(x−h)2+ky=a(x-h)^2+k، هر ضریب نقش مستقلی دارد:

تبدیل اثر
y=ax2+ky=ax^2+k انتقال عمودی به اندازهٔ kk
y=a(x−h)2y=a(x-h)^2 انتقال افقی به اندازهٔ hh
y=−ax2y=-ax^2 بازتاب نسبت به محور xx

هر خط موازی محور تقارن، سهمی را در دقیقاً یک نقطه قطع می‌کند؛ هر خط غیرموازی آن، حداکثر در دو نقطه. برای یافتن معادلهٔ سهمی وقتی سه شرط (مثل دو صفر و یک نقطهٔ دیگر) داده شده: فرم y=a(x−x1)(x−x2)y=a(x-x_1)(x-x_2) را بنویس و با جایگذاری نقطهٔ سوم، aa را پیدا کن — مثلاً سهمی‌ای که x=−1,2x=-1,2 صفر است و از (0,2)(0,2) می‌گذرد، با جایگذاری a=−1a=-1 می‌دهد: y=−(x+1)(x−2)y=-(x+1)(x-2).

مثال کامل تعیین علامت با کسر جبری

برای Q=x2−92x+1Q=\dfrac{x^2-9}{2x+1}: صورت را تجزیه می‌کنیم (x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3)، ریشه‌ها ±3\pm3) و مخرج را جدا بررسی می‌کنیم (x=−12x=-\frac12، تعریف‌نشده). با چیدن سه ریشه روی محور و ضرب علامت‌ها، Q≥0Q\ge0 روی (−3,−12)∪[3,+∞)\left(-3,-\frac12\right)\cup[3,+\infty) برقرار است — نکتهٔ کلیدی این‌که در x=−12x=-\frac12 نقطه از جواب کنار گذاشته می‌شود چون تعریف‌نشده است، هرچند علامت نامعادله ≥\ge باشد.

کاربرد فیزیکی سهمی — حرکت پرتابه

معادلهٔ ارتفاع جسمِ پرتاب‌شده به‌صورت h(t)=−5t2+v0t+h0h(t)=-5t^2+v_0t+h_0 نوشته می‌شود (با g≈10g\approx10). حداکثر ارتفاع دقیقاً در رأس این سهمی رخ می‌دهد (t∗=v010t^*=\frac{v_0}{10}) و زمان برخورد با زمین از حل h(t)=0h(t)=0 به دست می‌آید — نمونه‌ای ملموس از این‌که رأس سهمی همان بیشینه یا کمینهٔ تابع است.

نکات کنکوری تکمیلی: شرط علامت ریشه‌ها بدون حل مستقیم معادله قابل تشخیص است — اگر x1x2<0x_1x_2<0، ریشه‌ها علامت مخالف دارند؛ اگر x1x2>0x_1x_2>0 و x1+x2>0x_1+x_2>0، هر دو ریشه مثبت‌اند. فاصلهٔ افقی بین دو ریشهٔ سهمی برابر Δ∣a∣\frac{\sqrt\Delta}{|a|} است، رابطه‌ای که مستقیماً از فرمول ریشه‌ها می‌آید. و در نامعادله‌های کسری، خطای رایج این است که فرض شود f(x)g(x)≥0⇒f(x)≥0\frac{f(x)}{g(x)}\ge0 \Rightarrow f(x)\ge0؛ این استنتاج غلط است مگر این‌که علامت g(x)g(x) از قبل معلوم باشد — همیشه باید از جدول کامل تعیین علامت استفاده کرد.

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. به ازای کدام مقادیر mm، معادله درجه دوم (m−1)x2−2(m+1)x+m+3=0(m-1)x^2 - 2(m+1)x + m + 3 = 0 دارای دو ریشه حقیقی متمایز و هم‌علامت است؟

  • m>1m > 1 و m≠3m \neq 3
  • 1<m<31 < m < 3
  • m>1m > 1
  • m>1m > 1 یا m<−3m < -3

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برایِ درجهٔ دوم‌بودن باید m≠1m\neq1. دلتا: Δ=4(m+1)2−4(m−1)(m+3)=4[(m2+2m+1)−(m2+2m−3)]=4(4)=16\Delta=4(m+1)^2-4(m-1)(m+3)=4\left[(m^2+2m+1)-(m^2+2m-3)\right]=4(4)=16، که همیشه مثبت است، پس ریشه‌ها همیشه حقیقی و متمایزند (مستقل از mm). برایِ هم‌علامت‌بودنِ ریشه‌ها باید حاصل‌ضربشان مثبت باشد: P=ca=m+3m−1>0P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m+3}{m-1}>0. این کسر وقتی مثبت است که صورت و مخرج هم‌علامت باشند: یا هر دو مثبت (m>−3m>-3 و m>1m>1، یعنی m>1m>1) یا هر دو منفی (m<−3m<-3 و m<1m<1، یعنی m<−3m<-3). پس مجموعهٔ کاملِ پاسخ m>1m > 1 یا m<−3m < -3 است. گزینه‌های دیگر یا فقط نیمی از این اجتماع را شامل می‌شوند یا یک استثنایِ بی‌دلیل (مثلِ m≠3m\neq3) به آن اضافه می‌کنند که از هیچ شرطی نتیجه نمی‌شود. تلهٔ تستی: نامساویِ کسریِ m+3m−1>0\frac{m+3}{m-1}>0 همیشه یک اجتماعِ *دو* بازه می‌دهد (هر دو مثبت یا هر دو منفی)؛ گزارش‌کردنِ فقط یکی از این دو بازه (اینجا فقط m>1m>1) نیمی از پاسخِ صحیح را از قلم می‌اندازد.

2. رأس سهمی y=x2+mx+(m+1)y=x^2+mx+(m+1) روی خط y=xy=x قرار دارد. مجموع مقادیر ممکن برای mm کدام است؟

  • 88
  • −6-6
  • 66
  • 44

پاسخنامه‌ی تحلیلی

طولِ رأس xv=−m2x_v=-\dfrac{m}{2} و عرضِ رأس yv=c−b24a=(m+1)−m24y_v=c-\dfrac{b^2}{4a}=(m+1)-\dfrac{m^2}{4}. چون رأس رویِ خطِ y=xy=x است، باید yv=xvy_v=x_v: (m+1)−m24=−m2(m+1)-\dfrac{m^2}{4}=-\dfrac{m}2. با ضربِ دو طرف در 44: 4(m+1)−m2=−2m  ⟹  4m+4−m2+2m=0  ⟹  −m2+6m+4=0  ⟹  m2−6m−4=04(m+1)-m^2=-2m \implies 4m+4-m^2+2m=0 \implies -m^2+6m+4=0 \implies m^2-6m-4=0. این یک معادلهٔ درجهٔ دوم بر حسبِ mm است؛ طبقِ رابطهٔ ویتا، مجموعِ دو ریشهٔ آن (یعنی دو مقدارِ ممکن برایِ mm) برابرِ 66 است. گزینه‌های دیگر از خطایِ محاسباتی در بسط یا از فراموش‌کردنِ ضربِ صحیحِ دو طرف در 44 ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: وقتی شرطِ «رأس رویِ یک خط» به یک معادلهٔ درجهٔ دوم بر حسبِ پارامتر می‌انجامد، برایِ یافتنِ «مجموعِ مقادیرِ ممکن» نیازی به حلِ کاملِ معادله (با رادیکال) نیست؛ رابطهٔ ویتا (−ba-\frac{b}{a}) مستقیماً این مجموع را می‌دهد.

3. به ازای کدام مجموعه مقادیر aa، عبارت x2−2(a−1)x+a2+ax^2 - 2(a-1)x + a^2 + a همواره مثبت است؟

  • a<13a < \frac{1}{3}
  • a<12a < \frac{1}{2}
  • a>12a > \frac{1}{2}
  • a>13a > \frac{1}{3}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای اینکه عبارت درجه دوم با ضریب x2x^2 مثبت (1>01>0) همواره مثبت باشد، باید دلتای آن منفی باشد: Δ<0\Delta<0. داریم Δ=[2(a−1)]2−4(1)(a2+a)=4(a−1)2−4(a2+a)=4[a2−2a+1−a2−a]=4(1−3a)\Delta=[2(a-1)]^2-4(1)(a^2+a)=4(a-1)^2-4(a^2+a)=4\left[a^2-2a+1-a^2-a\right]=4(1-3a). شرط Δ<0\Delta<0 می‌دهد: 4(1−3a)<0  ⟹  1−3a<0  ⟹  3a>1  ⟹  a>134(1-3a)<0 \implies 1-3a<0 \implies 3a>1 \implies a>\frac13. پس گزینهٔ a>13a > \frac{1}{3} صحیح است. گزینه‌های دیگر از خطایِ علامت هنگامِ تقسیمِ دو طرفِ نامساوی بر عددِ منفی، یا جای‌گذاریِ نادرستِ ضرایب در فرمولِ دلتا ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: وقتی دو طرفِ یک نامساوی در عددِ منفی ضرب یا بر آن تقسیم می‌شود، جهتِ نامساوی باید برعکس شود؛ فراموش‌کردنِ همین نکته در مرحلهٔ آخرِ حل، رایج‌ترین منشأِ خطا در این‌گونه مسائل است.

4. اگر به ازای هر xx حقیقی، نامعادله x2−(m−1)x+m+2>0x^2 - (m-1)x + m + 2 > 0 برقرار باشد، حدود mm کدام است؟

  • −1<m<2-1 < m < 2
  • −1<m<7-1 < m < 7
  • −3<m<2-3 < m < 2
  • −2<m<6-2 < m < 6

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای اینکه یک سهمی با ضریب x2x^2 مثبت همواره بالای محور xx باشد، باید Δ<0\Delta < 0 باشد. Δ=(m−1)2−4(1)(m+2)<0  ⟹  m2−2m+1−4m−8<0  ⟹  m2−6m−7<0  ⟹  (m−7)(m+1)<0  ⟹  −1<m<7\Delta = (m-1)^2 - 4(1)(m+2) < 0 \implies m^2 - 2m + 1 - 4m - 8 < 0 \implies m^2 - 6m - 7 < 0 \implies (m-7)(m+1) < 0 \implies -1 < m < 7. بنابراین پاسخِ صحیح −1<m<7-1 < m < 7 است. تلهٔ تستی: برایِ «همواره مثبت‌بودن» یک عبارتِ درجهٔ دوم با ضریبِ پیشرویِ مثبت، فقط شرطِ Δ<0\Delta<0 کافی است؛ نیازی به بررسیِ جداگانهٔ علامتِ ضریبِ x2x^2 نیست چون همیشه 11 (مثبت) است.

5. به ازای کدام مقدار kk، سهمی y=x2−2kx+k2+k−3y = x^2 - 2kx + k^2 + k - 3 بر محور xxها مماس است؟

  • 00
  • 33
  • 22
  • 11

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای اینکه سهمی بر محور xxها مماس باشد، باید معادله y=0y=0 ریشه مضاعف داشته باشد، یعنی Δ=0\Delta = 0. Δ=(−2k)2−4(1)(k2+k−3)=4k2−4k2−4k+12=0  ⟹  −4k+12=0  ⟹  k=3\Delta = (-2k)^2 - 4(1)(k^2+k-3) = 4k^2 - 4k^2 - 4k + 12 = 0 \implies -4k + 12 = 0 \implies k = 3. بنابراین پاسخِ صحیح 33 است. تلهٔ تستی: «مماس‌بودن بر محورِ xxها» دقیقاً همان Δ=0\Delta=0 است (ریشهٔ مضاعف، سهمی فقط یک نقطه با محور مشترک دارد)؛ این را با Δ>0\Delta>0 (قطع در دو نقطه) یا Δ<0\Delta<0 (عدمِ برخورد) اشتباه نگیرید.

6. اگر حاصل‌ضرب ریشه‌های معادله x2−(a2−1)x+a2−4=0x^2 - (a^2-1)x + a^2 - 4 = 0 منفی باشد، ریشه‌ها نسبت به هم چگونه‌اند؟

  • هر دو مثبت
  • هر دو منفی
  • ریشه حقیقی ندارد
  • یکی مثبت و یکی منفی

پاسخنامه‌ی تحلیلی

حاصل‌ضرب ریشه‌ها برابر P=ca=a2−4P = \frac{c}{a} = a^2 - 4 است. طبق فرض P<0  ⟹  a2<4  ⟹  −2<a<2P < 0 \implies a^2 < 4 \implies -2 < a < 2. از طرفی چون حاصل‌ضرب ریشه‌ها منفی است، پس قطعاً دو ریشه حقیقی با علامت‌های مخالف (یکی مثبت و یکی منفی) وجود دارد. تلهٔ تستی: وقتی حاصل‌ضربِ ریشه‌ها (ca\frac ca) منفی باشد، دلتا خودکار مثبت می‌شود (چون −4ac>0-4ac>0 در این حالت)؛ پس نیازی به بررسیِ جداگانهٔ حقیقی‌بودنِ ریشه‌ها نیست.

7. به ازای کدام مقادیر xx، عبارت P(x)=x2−4x2+1P(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1} منفی است؟

  • x<−2x < -2
  • (−2,2)(-2, 2)
  • x∈Rx \in \mathbb{R}
  • x>2x > 2

پاسخنامه‌ی تحلیلی

مخرج کسر x2+1x^2+1 همواره مثبت است. پس علامت کسر فقط به علامت صورت بستگی دارد. صورت کسر x2−4x^2-4 بین دو ریشه خود یعنی در بازه (−2,2)(-2, 2) منفی است. تلهٔ تستی: قبل از بررسیِ علامتِ کسر، باید مطمئن شد مخرج هرگز صفر نمی‌شود (اینجا x2+1x^2+1 همیشه مثبت است)؛ در غیرِ این صورت باید نقاطِ تعریف‌نشده هم در جدولِ علامت لحاظ شوند.

8. به ازای کدام مقادیر aa، سهمی y=ax2−4x+ay = ax^2 - 4x + a کاملاً زیر محور xxها قرار می‌گیرد؟

  • a<−2a < -2
  • a<2a < 2
  • a>−2a > -2
  • هیچ مقدار aa

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای اینکه سهمی همواره زیر محور xxها باشد باید a<0a < 0 و Δ<0\Delta < 0 باشد. Δ=(−4)2−4(a)(a)=16−4a2<0  ⟹  4a2>16  ⟹  a2>4  ⟹  a>2\Delta = (-4)^2 - 4(a)(a) = 16 - 4a^2 < 0 \implies 4a^2 > 16 \implies a^2 > 4 \implies a > 2 یا a<−2a < -2. با اشتراک با شرط a<0a < 0، بازه نهایی a<−2a < -2 به دست می‌آید. تلهٔ تستی: قرارگرفتنِ «کاملاً زیرِ محورِ xxها» دو شرطِ هم‌زمان می‌خواهد (a<0a<0 و Δ<0\Delta<0)؛ اشتباهِ رایج این است که فقط یکی از این دو شرط بررسی شود و شرطِ اشتراکِ نهایی نادیده گرفته شود.

9. فرض کنید a≠0a\neq0 و به ازای هر x∈Rx\in\mathbb{R} داشته باشیم ax2+bx+c≤0ax^2+bx+c\leq0. کدام گزینه شرطِ لازم و کافی است؟

  • a>0a > 0 و Δ≤0\Delta \leq 0
  • a<0a < 0 و Δ≥0\Delta \geq 0
  • a<0a < 0 و Δ≤0\Delta \leq 0
  • a<0a < 0 و Δ<0\Delta < 0

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون a≠0a\neq0، نمودارِ y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c یک سهمیِ واقعی است. برایِ اینکه این سهمی هرگز بالایِ محورِ xxها نرود، دو شرط لازم است: دهانه رو به پایین باشد (a<0a<0)، و سهمی حداکثر مماسِ محور شود (Δ≤0\Delta\le0). اگر Δ>0\Delta>0 باشد، سهمیِ روبه‌پایین بینِ دو ریشه‌اش مقادیرِ مثبت می‌گیرد و فرضِ سؤال نقض می‌شود. برعکس، هر تابعی که این دو شرط را داشته باشد به‌ازایِ هر xx نامثبت است، پس این شرط هم لازم است هم کافی. وارسیِ مستقل: f(x)=−(x−1)2f(x)=-(x-1)^2 با a=−1<0a=-1<0 و Δ=0\Delta=0 همواره نامثبت است ✓؛ f(x)=−x2+1f(x)=-x^2+1 با a=−1<0a=-1<0 ولی Δ=4>0\Delta=4>0 در x=0x=0 مقدارِ +1+1 می‌دهد ✗. ردِ گزینه‌های دیگر: «a<0a<0 و Δ<0\Delta<0» کافی است اما لازم نیست (حالتِ مماس با Δ=0\Delta=0 را کنار می‌گذارد)؛ «a>0a>0 و Δ≤0\Delta\le0» دقیقاً شرطِ همیشه *نامنفی*بودن است؛ «a<0a<0 و Δ≥0\Delta\ge0» حالتِ Δ>0\Delta>0 را می‌پذیرد که تابع در بازه‌ای مثبت می‌شود. تلهٔ تستی: تفاوتِ نامساویِ اکید و غیراکید حیاتی است — «همواره نامثبت» یعنی تابع می‌تواند در رأس دقیقاً صفر شود، پس شرطِ درست Δ≤0\Delta\le0 است نه Δ<0\Delta<0.

10. به ازای کدام مقادیر xx، نامعادله 1x>1\frac{1}{x} > 1 برقرار است؟

  • x>1x > 1
  • x<0x < 0
  • x<1x < 1
  • 0<x<10 < x < 1

پاسخنامه‌ی تحلیلی

نامعادله را ساده می‌کنیم: 1x−1>0  ⟹  1−xx>0\frac{1}{x} - 1 > 0 \implies \frac{1-x}{x} > 0. ریشه‌های صورت و مخرج به ترتیب ۱ و ۰ هستند. با تعیین علامت مشخص می‌شود که کسر در بازه (0,1)(0, 1) مثبت است. بنابراین پاسخِ صحیح 0<x<10 < x < 1 است. تلهٔ تستی: در نامعادلهٔ 1x>1\frac1x>1، هرگز نباید دو طرف را در xx ضرب کرد بدونِ دانستنِ علامتِ آن؛ روشِ درست انتقالِ همه‌چیز به یک طرف و تشکیلِ یک کسرِ واحد است.

مباحث مرتبط

مجموعه، الگو و دنباله(فصل 1 ریاضی 1) (علوم تجربی)مثلثات (فصل 2 ریاضی 1) (علوم تجربی)توان های گویا و عبارت های جبری (فصل 3 ریاضی 1) (علوم تجربی)تابع (فصل 5 ریاضی 1) (علوم تجربی)شمارش، بدون شمردن (فصل 6 ریاضی 1) (علوم تجربی)آمار و احتمال (فصل 7 ریاضی 1) (علوم تجربی)هندسه تحلیلی و جبر (فصل 1 ریاضی 2) (علوم تجربی)هندسه (فصل 2 ریاضی 2) (علوم تجربی)تابع (فصل 3 ریاضی 2)(علوم تجربی)مثلثات (فصل 4 ریاضی 2) (علوم تجربی)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان