اصل شمارش، جایگشت و ترکیب (ریاضی ۱)

شمارش، بدون شمردن

تقریباً هر مسئلهٔ این فصل با دو پرسش ساده رام می‌شود:

۱. آیا کار با انجام همهٔ مرحله‌ها تمام می‌شود، یا با انتخاب یکی از راه‌ها؟ پاسخ اول یعنی اصل ضرب، پاسخ دوم یعنی اصل جمع.
۲. آیا ترتیب مهم است؟ اگر بله، با جایگشت سروکار داری؛ اگر نه، با ترکیب.

هرچه در ادامه می‌آید — فاکتوریل، $P(n,r)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $\binom{n}{r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، بسط دوجمله‌ای — فقط ابزارهایی برای پاسخ‌دادن دقیق به همین دو پرسش است.

اصل ضرب

اگر انجام کاری چند مرحله داشته باشد و مرحلهٔ اول به $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روش و مرحلهٔ دوم (به ازای هر حالت مرحلهٔ اول) به $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روش انجام شود، کل کار $m\times n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روش دارد.

تعمیمش به $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مرحله:

m_1\times m_2\times\cdots\times m_k

شرط کلیدی این است که همهٔ مرحله‌ها باید انجام شوند. اگر این کار را با نمودار درختی بکشی، دلیلش را می‌بینی: زیر هر شاخهٔ سطح اول، تمام شاخه‌های سطح دوم دوباره از نو تکرار می‌شوند؛ پس تعداد برگ‌ها حاصل‌ضرب است نه حاصل‌جمع.

اصل جمع

اگر کاری را بتوان به دو روش مستقل انجام داد که هم‌زمان رخ نمی‌دهند و روش اول $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و روش دوم $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین انتخاب داشته باشد، در مجموع $m+n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روش وجود دارد.

تعمیمش: $m_1+m_2+\cdots+m_k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اینجا کار فقط با یکی از روش‌ها تمام می‌شود (یا این، یا آن). قاعدهٔ سرانگشتی برای تشخیص: واژهٔ «یا» معمولاً نشانهٔ اصل جمع و واژهٔ «و» نشانهٔ اصل ضرب است.

وقتی هر دو اصل با هم لازم‌اند

بیشتر مسائل واقعی ترکیبی‌اند: اول مسئله را به چند حالت جدا از هم می‌شکنی (اصل جمع)، بعد درون هر حالت مرحله‌ها را در هم ضرب می‌کنی (اصل ضرب). مثلاً اگر بخواهیم رمزی سه‌حرفی بسازیم که هر حرفش فارسی ( $32$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حرف) یا انگلیسی ( $26$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حرف) باشد و دو حرف کنار هم هرگز هم‌زبان نباشند، فقط دو الگو ممکن است: فارسی-انگلیسی-فارسی با $32\times26\times32=26624$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت و انگلیسی-فارسی-انگلیسی با $26\times32\times26=21632$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت؛ چون این دو الگو با هم رخ نمی‌دهند، پاسخ $48256$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

شمارش توابع و پاسخ‌نامهٔ تستی

یکی از پرکاربردترین نتیجه‌های مستقیم اصل ضرب، شمارش تابع است:

اگر $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارای $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عضو و $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارای $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عضو باشد، تعداد توابعی که می‌توان از $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعریف کرد برابر $m^{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

دلیلش ساده است: هر یک از $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عضو $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باید دقیقاً یک تصویر بگیرد و برای هرکدام مستقلاً $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین انتخاب داریم. اما اگر تابع را یک‌به‌یک بخواهیم، دیگر انتخاب‌ها مستقل نیستند و هر عضو تازه باید تصویری متفاوت از قبلی‌ها بگیرد؛ آن‌وقت جواب دقیقاً همان جایگشت می‌شود:

\text{تعداد توابع یک‌به‌یک}=P(m,n)=\frac{m!}{(m-n)!}\qquad(n\le m)

هر مسئله‌ای که در آن چند جایگاه مستقل داریم و هر جایگاه چند گزینه دارد، از همین خانواده است. نمونه‌اش پرکردن پاسخ‌نامهٔ تستی: در آزمونی ۵ سؤالی که هر سؤال ۴ گزینه دارد، اگر «نزدن» هم مجاز باشد هر سؤال $5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت دارد و کل پاسخ‌نامه $5^{5}=3125$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت؛ اگر پاسخ به همه اجباری باشد، $4^{5}=1024$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. دام رایج این است که «نزده» را یک حالت کلی برای کل پاسخ‌نامه حساب کنی، درحالی‌که برای هر سؤال یک حالت جداگانه است.

ساخت عددهای چندرقمی

در این مسائل هر رقم یک جایگاه است و دو قاعده کار را پیش می‌برد: رقم صفر اجازه ندارد در باارزش‌ترین جایگاه (مثلاً صدگان) بنشیند، و جایگاه‌های دارای شرط را باید اول پر کرد. مثلاً با ارقام $\{0,2,3,7\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعداد عددهای سه‌رقمی برابر $3\times4\times4=48$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است (صدگان فقط $3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت دارد) و اگر تکرار رقم ممنوع باشد $3\times3\times2=18$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. برای عددهای زوجِ بدون تکرار باید یکان $0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد و چون این دو حالت پیامد متفاوتی برای صدگان دارند، باید جدا شمرده و جمع شوند.

اصل متمم: وقتی شمردن مستقیم سخت است

گاهی شمردن مستقیمِ حالت‌های مطلوب چنان شاخه‌شاخه می‌شود که بهتر است سراغ حالت‌های نامطلوب بروی:

\text{حالت‌های خواسته}=\text{کل حالت‌ها}-\text{حالت‌های ناخواسته}

نشانهٔ روشن این روش، دیدن عبارت «حداقل یکی» در صورت سؤال است. برای نمونه، با ارقام $\{1,2,3,4,5\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و بدون تکرار، تعداد عددهای چهاررقمی که حداقل یکی از رقم‌هایشان $5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد از این راه به‌دست می‌آید: کل حالت‌ها $P(5,4)=120$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و حالت‌هایی که اصلاً رقم $5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ندارند $P(4,4)=24$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس پاسخ $120-24=96$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اگر می‌خواستی مستقیم بشماری، باید جای رقم $5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در چهار جایگاه جداگانه بررسی می‌کردی و مراقب هم‌پوشانی‌ها هم می‌بودی.

جایگشت

فاکتوریل پایهٔ همهٔ فرمول‌های این بخش است:

n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1,\qquad 0!=1

دو ویژگی که در ساده‌سازی‌ها مدام به کار می‌آیند: $n!=n\times(n-1)!$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و

\frac{n!}{(n-r)!}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)

جایگشت کامل یعنی چیدن $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیء متمایز کنار هم که با اصل ضرب $P(n,n)=n!$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود (جایگاه اول $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین انتخاب، جایگاه دوم $n-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین انتخاب و همین‌طور تا آخر). جایگشت ناقص یعنی انتخاب و چیدن $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیء از $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیء، با اهمیت‌داشتن ترتیب:

P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}=n(n-1)\cdots(n-r+1)

چند مقدار پرکاربرد: $P(n,0)=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $P(n,1)=n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $P(n,n)=n!$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نسبت مفید $\dfrac{P(n,r)}{P(n,r-1)}=n-r+1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

دو قید همیشگی: «کنار هم» و «کنار هم نباشند»

این دو قید ظاهر شبیهی دارند ولی روش‌هایشان کاملاً فرق می‌کند:

کنار هم باشند: آن $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیء را یک واحد فرض کن، کل اشیا را در این حالت بچین، و بعد در ترتیب درونی همان واحد ( $k!$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) ضرب کن.
کنار هم نباشند: اول بقیهٔ اشیا را بچین، بعد اشیای ممنوع را در فاصله‌های ایجادشده جای بده؛ اگر $n-k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیء دیگر چیده شده باشند، $n-k+1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصله برای این کار داری.

ترتیب نسبی: وقتی فقط توالی چند شیء مهم است

گاهی مسئله می‌گوید چند عضو مشخص باید به ترتیب معینی ظاهر شوند، ولی لازم نیست کنار هم باشند:

از میان $n!$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جایگشت $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیء، اگر $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیء مشخص فقط در یک ترتیب نسبی خاص مجاز باشند، تعداد حالت‌ها $\dfrac{n!}{r!}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

منطقش این است که هر $r!$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جایگشت فقط در چیدمان نسبی همان $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیء با هم فرق دارند و از میانشان دقیقاً یکی مطلوب ماست. مثلاً اگر شش نفر در صف بایستند به‌شرطی که رضا جلوتر از سارا و سارا جلوتر از نیما باشد، پاسخ $\dfrac{6!}{3!}=120$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. این را با قید «کنار هم» اشتباه نگیر؛ اینجا فاصلهٔ این سه نفر از هم هیچ اهمیتی ندارد.

وقتی بعضی اشیا تکراری‌اند

اگر میان $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیء، گروه‌هایی با $n_1,n_2,\ldots,n_k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عضو کاملاً یکسان باشند:

\text{تعداد جایگشت}=\frac{n!}{n_1!\times n_2!\times\cdots\times n_k!}

نکتهٔ ظریفی که کنکور رویش حساس است این است که اگر ندانیم چند شیء تکراری است، نمی‌شود همه را در یک کسر جمع کرد؛ باید حالت‌ها را جدا شمرد و با اصل جمع کنار هم گذاشت، چون مخرج فرمول در هر حالت فرق می‌کند. همین موضوع وقتی از میان حروف تکراری فقط چندتا را برمی‌داریم هم پیش می‌آید: باید بر اساس اینکه چند حرف تکراری وارد انتخاب شده حالت‌بندی کنی، و یادت باشد حالت «سه حرف یکسان» فقط برای حرفی ممکن است که واقعاً سه بار یا بیشتر تکرار شده باشد.

جایگشت دوری

در چیدن $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیء دور یک میز، چرخاندن کل چیدمان حالت تازه‌ای نمی‌سازد، پس تعداد حالت‌ها $(n-1)!$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ و اگر قرینه‌شدن هم حالت تازه‌ای نسازد (مثل مهره‌های یک گردنبند)، $\dfrac{(n-1)!}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

ترکیب

وقتی فقط عضویت مهم است و نه ترتیب، وارد قلمرو ترکیب می‌شویم:

\binom{n}{r}=C(n,r)=\frac{n!}{r!\,(n-r)!}\qquad(0\le r\le n)

رابطهٔ پل‌مانند میان این دو مفهوم را از یاد نبر: هر ترکیب $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببینتایی، $r!$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جایگشت متفاوت می‌سازد، پس

\binom{n}{r}=\frac{P(n,r)}{r!}\quad\Longleftrightarrow\quad P(n,r)=r!\cdot\binom{n}{r}

مقدارهای پرکاربرد: $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $\binom{n}{1}=n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

خواص و مثلث پاسکال

تقارن: $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — انتخاب $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیء دقیقاً معادل کنارگذاشتن $n-r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیء است.
هویت پاسکال: $\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — یک عضو خاص را در نظر بگیر: یا در انتخاب هست (جملهٔ اول) یا نیست (جملهٔ دوم). مثلث پاسکال از همین هویت ساخته می‌شود و هر عدد آن مجموع دو عدد بالای خودش است.
$\binom{n}{r}=\dfrac{n}{r}\binom{n-1}{r-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\displaystyle\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}=2^{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، که همان تعداد کل زیرمجموعه‌های یک مجموعهٔ $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببینعضوی است.

الگوهای پرتکرار مسائل ترکیب

صورت مسئله	راه‌حل
عضو خاص حتماً انتخاب شود	$\binom{n-1}{r-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
عضو خاص انتخاب نشود	$\binom{n-1}{r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
حداقل یکی از گروه $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببینعضوی خاص	$\binom{n}{r}-\binom{n-k}{r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

دو الگوی دیگر هم بسیار تکرار می‌شوند. نخست انتخاب و سپس چیدن: اول با ترکیب تصمیم می‌گیری چه کسانی انتخاب شوند و بعد با فاکتوریل آن‌ها را در جایگاه‌های متمایز می‌چینی، یعنی $\binom{n}{k}\times k!$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که عدداً همان $P(n,k)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است اما وقتی شرط انتخاب پیچیده باشد بسیار راحت‌تر است. دوم انتخاب یکی از هر جفت: اگر از میان $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جفت، $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جفت را انتخاب کنیم و از هر جفت دقیقاً یک عضو برداریم، پاسخ $\binom{n}{k}\times 2^{k}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ مثلاً برداشتن یک لنگه از هریک از ۳ جفت کفشِ انتخاب‌شده از میان ۷ جفت، $\binom{7}{3}\times2^{3}=280$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت دارد.

دامی که باید بشناسی

فرض کن از میان ۳ آموزگار و ۴ مربی گروهی ۳نفره می‌خواهیم که هم آموزگار داشته باشد هم مربی. راه‌حل وسوسه‌انگیز «یک آموزگار ( $3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، یک مربی ( $4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، و نفر سوم از ۵ نفر باقی‌مانده ( $5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)» عدد $60$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد که غلط است: وقتی نفر سوم خودش آموزگار (یا مربی) باشد، همان گروه دو بار شمرده می‌شود، چون این روش به اعضا نقش مصنوعی «اصلی» و «اضافه» می‌دهد که در گروه نهایی وجود ندارد. راه درست، حالت‌بندی بر اساس ترکیب اعضا و جمع‌بستن حالت‌های مجزاست.

تقسیم به گروه‌ها

تقسیم $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیء به گروه‌هایی با ظرفیت $k_1,k_2,\ldots,k_m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر است با

\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdots k_m!}

اما این فرمول وقتی درست است که گروه‌ها از هم قابل تشخیص باشند (نام یا جایگاه متفاوت داشته باشند). اگر گروه‌ها بی‌نام باشند و چند گروه هم‌اندازه میانشان باشد، جابه‌جاکردن کامل آن گروه‌ها همان تقسیم‌بندی را دوباره می‌سازد؛ پس باید بر $m!$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (تعداد گروه‌های هم‌اندازهٔ بی‌نام) هم تقسیم کنی.

کاربردهای هندسی و شبکه‌ای

از $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نقطه که هیچ سه‌تایشان هم‌خط نیستند، $\binom{n}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خط و $\binom{n}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مثلث ساخته می‌شود؛ اگر $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نقطه از آن‌ها هم‌خط باشند، تعداد مثلث‌ها به $\binom{n}{3}-\binom{k}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کاهش می‌یابد. تعداد قطرهای یک چندضلعی $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببینضلعی هم $\dfrac{n(n-3)}{2}=\binom{n}{2}-n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

در یک شبکهٔ مشبک، هر مستطیل با انتخاب ۲ خط عمودی و ۲ خط افقی ساخته می‌شود، پس اگر شبکه $p$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خط عمودی و $q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خط افقی داشته باشد، تعداد مستطیل‌ها $\binom{p}{2}\times\binom{q}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. و تعداد کوتاه‌ترین مسیرها در شبکهٔ $m\times n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از گوشهٔ پایین-چپ به بالا-راست (با حرکت فقط به بالا یا راست) برابر $\binom{m+n}{m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، چون هر مسیر فقط ترتیبی از $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حرکت بالا و $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حرکت راست است.

بسط دوجمله‌ای

(a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}

جملهٔ $(r+1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببیناُم این بسط $T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. جای‌گذاری‌های خاص نتیجه‌های مهمی می‌دهند: با $a=b=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان $\sum\binom{n}{r}=2^{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، با $a=1,b=-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رابطهٔ $\sum(-1)^{r}\binom{n}{r}=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و با $a=1,b=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رابطهٔ $\sum\binom{n}{r}2^{r}=3^{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. از هویت‌های پرکاربرد دیگر: $r\binom{n}{r}=n\binom{n-1}{r-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و اینکه مجموع جمله‌های زوج‌مرتبه و مجموع جمله‌های فردمرتبهٔ یک سطر پاسکال هر دو برابر $2^{n-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببیناند.

چند ابزار تکمیلی

ترکیب با تکرار: انتخاب $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیء از $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نوع، با امکان تکرار و بدون اهمیت ترتیب، $\binom{n+r-1}{r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت دارد. زیرمجموعه‌ها: یک مجموعهٔ $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببینعضوی $2^{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زیرمجموعه و $2^{n}-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زیرمجموعهٔ غیرتهی دارد. قانون دست‌دادن: در گروهی $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببیننفره که همه یک‌بار با هم دست می‌دهند، $\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دست‌دادن رخ می‌دهد. اصل شمول و طرد: برای دو مجموعه $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برای سه مجموعه

|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|

که در شمارش، معمولاً برای حذف موارد دوباره‌شمرده‌شده به کار می‌رود.

خطاهای رایج

فراموش‌کردن ممنوعیت صفر در باارزش‌ترین رقم؛ شمردن مستقیم به‌جای متمم در سؤال‌های «حداقل»؛ به‌روزنکردن تعداد اشیا پس از یکی‌کردن اشیای «کنار هم»؛ و باور به تساوی‌های همیشه‌غلطِ $6!=3!\times2!$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $6!=3!+3!$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. در معادله‌های فاکتوریلی هم سه الگو بیشتر تکرار می‌شود: از $n!=k\,(n-1)!$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نتیجه می‌گیریم $n=k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، از $\dfrac{n!}{(n-2)!}=k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $n(n-1)=k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم، و از $\binom{n}{r}=\binom{n}{s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $r=s$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در می‌آید یا $r+s=n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.