مثلثات و دایرهٔ مثلثاتی (ریاضی ۱ — تجربی)

مثلثات: از نسبتی ثابت تا نقطه‌ای روی دایره

چرا این نسبت‌ها اصلاً معنا دارند؟

پایهٔ همهٔ فصل یک چیز است: تشابه. دو مثلث وقتی متشابه‌اند که زاویه‌هایشان دوبه‌دو برابر باشد؛ آن‌وقت اضلاع متناظرشان نسبت ثابتی دارند:

\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}

نتیجه‌اش این است: در هر مثلث قائم‌الزاویه‌ای که زاویهٔ حادهٔ $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داشته باشد، نسبت «ضلع مقابل به وتر» همیشه یک عدد ثابت است — چه مثلث کوچک باشد چه بزرگ. همین ثبات اجازه می‌دهد برای آن عدد نامی بگذاریم:

\sin\alpha=\frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}\qquad \cos\alpha=\frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}}\qquad \tan\alpha=\frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}}\qquad \cot\alpha=\frac{\text{مجاور}}{\text{مقابل}}

\boxed{\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\qquad \boxed{\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\tan\alpha}}

کاربردِ مستقیمِ همین تعریف‌ها: اگر وتر $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و زاویهٔ حاده $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، ضلع روبه‌روی زاویه $a\sin\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ضلع مجاور $a\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

تعریف بزرگ‌تر: دایرهٔ مثلثاتی

تعریف بالا فقط برای زاویه‌های حاده کار می‌کند؛ برای $120°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $-40°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اصلاً مثلث قائمی در کار نیست. دایرهٔ مثلثاتی این محدودیت را برمی‌دارد: دایره‌ای به مرکز مبدأ و شعاع $1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با نقطهٔ شروع $A(1,0)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. چرخش خلاف عقربه‌های ساعت زاویهٔ مثبت و چرخش هم‌جهت با عقربه‌ها زاویهٔ منفی می‌سازد. اگر $P(x,y)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نقطهٔ متناظر با زاویهٔ $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد:

\boxed{\cos\theta=x,\qquad \sin\theta=y}\qquad \tan\theta=\frac{y}{x}\;(x\neq0)\qquad \cot\theta=\frac{x}{y}\;(y\neq0)

تعریف قبلی حالا حالتی خاص از این تعریف است: در ربع اول، $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان ضلع مجاور و ضلع مقابلِ مثلثِ قائمِ درون دایره‌اند.

چون $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی دایرهٔ واحد است، $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هرگز از بازهٔ $[-1,1]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بیرون نمی‌زنند:

\boxed{-1\le\sin\theta\le1\qquad -1\le\cos\theta\le1}

اما $\tan\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\cot\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سقفی ندارند و هر عدد حقیقی می‌توانند باشند؛ فقط جایی تعریف نمی‌شوند که مخرجشان صفر شود: $\tan$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $\theta=90°+k\cdot180°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\cot$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $\theta=k\cdot180°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

علامت‌ها و زاویه‌های مرزی

علامت هر نسبت فقط به علامت $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در آن ربع بستگی دارد. قاعدهٔ حفظی‌اش ASTC است: ربع اول همه مثبت، ربع دوم فقط $\sin$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ربع سوم فقط $\tan$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\cot$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ربع چهارم فقط $\cos$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

ربع	$\sin$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\cos$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\tan$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\cot$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
اول	+	+	+
دوم	+	$-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
سوم	$-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	+
چهارم	$-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	+	$-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

عکسِ این قاعده هم ابزار خوبی است: $\sin\theta<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همراه با $\tan\theta>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی ربع سوم. روی زاویه‌های مرزی، $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقاً روی محورها می‌افتد: $0°\to(1,0)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $90°\to(0,1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $180°\to(-1,0)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $270°\to(0,-1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

دو مثلثِ طلایی و جدول مقادیر

به‌جای حفظ‌کردن خشکِ جدول، دو الگو را به خاطر بسپارید:

مثلث $30°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $60°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با وتر $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: ضلع روبه‌روی $30°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $\frac{a}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ضلع روبه‌روی $60°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $\frac{\sqrt3}{2}a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
مثلث قائمِ متساوی‌الساقین با ساق $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: وتر برابر $x\sqrt2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

زاویه	$\sin$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\cos$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\tan$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$30°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{\sqrt3}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{\sqrt3}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$45°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{\sqrt2}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{\sqrt2}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$60°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{\sqrt3}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\sqrt3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

سینوس الگوی ساده‌ای دارد: $\frac{\sqrt1}{2},\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt3}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — عدد زیر رادیکال از ۱ تا ۳ بالا می‌رود. مقادیر ربع دوم ( $120°,135°,150°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) هم از همین اعداد ساخته می‌شوند و فقط علامت $\cos$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\tan$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین منفی می‌شود. سه‌تایی‌های فیثاغورسی $(3,4,5)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $(5,12,13)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $(7,24,25)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را هم بشناسید؛ مثلث $6,8,10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان $(3,4,5)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضرب‌در‌۲ است.

اتحادها: قلبِ محاسبه‌های فصل

از $x^2+y^2=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی دایرهٔ واحد، مهم‌ترین رابطهٔ فصل بیرون می‌آید:

\boxed{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}

تقسیم دو طرف بر $\cos^2\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و سپس بر $\sin^2\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، دو اتحاد دیگر می‌دهد:

\boxed{\tan^2\alpha+1=\frac{1}{\cos^2\alpha}=\sec^2\alpha}\qquad \boxed{\cot^2\alpha+1=\frac{1}{\sin^2\alpha}=\csc^2\alpha}

( $\sec$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\csc$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط نام کوتاهِ وارونِ کسینوس و سینوس‌اند.)

تلهٔ رایج: وقتی از این رابطه‌ها جذر می‌گیرید، $\sqrt{u^2}=|u|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است نه $u$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ علامت را همیشه از روی ربعِ زاویه تعیین کنید. نمونه: اگر $\sin\alpha=-\frac45$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در ربع سوم باشد، $\cos\alpha=-\frac35$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $\tan\alpha=\frac43$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\cot\alpha=\frac34$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — هر دو مثبت.

سه ابزار جانبیِ پرکاربرد:

ضرب در مزدوج: $\frac{1}{1+\sin\theta}\cdot\frac{1-\sin\theta}{1-\sin\theta}=\frac{1-\sin\theta}{\cos^2\theta}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
نقش کلیدی $\sin x\cos x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: چون $(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm2\sin x\cos x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، با داشتن جمع یا تفاضلشان می‌توان ضربشان را یافت و برعکس؛ از همین‌جا $\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
تانژانت‌های پنهان: در کسری همگن، تقسیم صورت و مخرج بر $\cos x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همه‌چیز را به تانژانت تبدیل می‌کند: $\frac{\sin x-2\cos x}{3\sin x+\cos x}=\frac{\tan x-2}{3\tan x+1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

برای اثبات یک اتحاد باید درستی‌اش را برای همهٔ مقادیر $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نشان دهید، ولی برای ردکردنش یک مثال نقض کافی است.

کاربردها: مساحت، قضیهٔ سینوس‌ها، شیب خط

\boxed{S_{\triangle ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\hat B}

یعنی «نیمِ حاصل‌ضرب دو ضلع در سینوسِ زاویهٔ بینشان». همین ایده تعمیم می‌یابد: مساحت متوازی‌الاضلاع $S=ab\sin\hat A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است (بدون ضریب $\frac12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، چون از دو مثلث ساخته شده) و مساحت هر چهارضلعیِ محدب با قطرهای $d_1,d_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $\frac12 d_1d_2\sin\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ بین دو قطر است.

قضیهٔ سینوس‌ها در هر مثلثی — نه فقط مثلث قائم — برقرار است:

\boxed{\frac{\sin\hat A}{a}=\frac{\sin\hat B}{b}=\frac{\sin\hat C}{c}}

که در آن $a,b,c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌ترتیب اضلاع روبه‌روی زاویه‌های $\hat A,\hat B,\hat C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند.

شیب خط: اگر خطی با جهت مثبت محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بسازد، شیبش $\boxed{m=\tan\alpha}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. پس خط $y=2x-4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با شیب $2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویه‌ای حدود $63.4°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌سازد؛ خط افقی $m=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد و شیبِ خط قائم تعریف نشده است.

دامنه‌یابی: جایی که دو سرِ بازه کافی نیست

$\sin\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از $0°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین افزایشی و تا $270°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کاهشی است؛ $\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $180°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کاهشی و پس از آن افزایشی. اگر نقطهٔ بیشینه داخل بازه بیفتد، نگاه‌کردن فقط به دو سرِ بازه جواب غلط می‌دهد: برای $30°<\theta<150°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چون $90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داخل بازه است، $\frac12<\sin\theta\le1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.