پرش به محتوای اصلی

مثلثات (فصل 2 ریاضی 1) (علوم تجربی)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

مثلثات — از مثلث قائم تا دایرهٔ مثلثاتی

مثلثات فصل دوم ریاضی ۱، از تشابه مثلث‌ها شروع می‌شود و به تعریف کلی‌تری روی دایرهٔ مثلثاتی می‌رسد که برای هر زاویه‌ای — نه فقط زوایای حاده — کار می‌کند.

نسبت‌های مثلثاتی در مثلث قائم‌الزاویه

در مثلث قائم ABCABC با زاویهٔ قائمهٔ CC:

sin⁡A=BCABcos⁡A=ACABtan⁡A=BCACcot⁡A=ACBC\sin A=\frac{BC}{AB}\quad \cos A=\frac{AC}{AB}\quad \tan A=\frac{BC}{AC}\quad \cot A=\frac{AC}{BC}
tan⁡A=sin⁡Acos⁡Acot⁡A=1tan⁡A\boxed{\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}}\qquad \boxed{\cot A=\frac{1}{\tan A}}

مقادیر استاندارد را می‌توان با یک ترفند حفظ کرد: sin⁡30°,sin⁡45°,sin⁡60°\sin30°,\sin45°,\sin60° به‌ترتیب 12,22,32\frac{\sqrt1}{2},\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt3}{2}‌اند — عدد زیر رادیکال از ۱ تا ۳ بالا می‌رود. مساحت مثلث هم با یک نسبت مثلثاتی به دست می‌آید: S=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡BS=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B.

دایرهٔ مثلثاتی

روی دایره‌ای به شعاع ۱ و مرکز مبدأ، اگر P(x,y)P(x,y) متناظر با زاویهٔ θ\theta باشد:

cos⁡θ=x,sin⁡θ=y\boxed{\cos\theta=x,\qquad \sin\theta=y}

حرکت خلاف عقربه‌ها زاویهٔ مثبت و هم‌جهت عقربه‌ها زاویهٔ منفی می‌سازد. چون PP روی دایرهٔ واحد است، همیشه −1≤sin⁡θ≤1-1\le\sin\theta\le1 و −1≤cos⁡θ≤1-1\le\cos\theta\le1؛ اما tan⁡θ\tan\theta و cot⁡θ\cot\theta نامحدودند. علامت نسبت‌ها در چهار ربع با قاعدهٔ «ASTC» حفظ می‌شود: ربع اول همه مثبت، دوم فقط sin، سوم فقط tan، چهارم فقط cos. رابطهٔ شیب خط با تانژانت هم از همین‌جا می‌آید: اگر خط با محور xx زاویهٔ α\alpha بسازد، شیب m=tan⁡αm=\tan\alpha.

اتحاد فیثاغورسی و مشتقات آن

مهم‌ترین رابطهٔ فصل:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\boxed{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}

با تقسیم بر cos⁡2α\cos^2\alpha یا sin⁡2α\sin^2\alpha دو اتحاد دیگر ساخته می‌شود:

tan⁡2α+1=1cos⁡2αcot⁡2α+1=1sin⁡2α\boxed{\tan^2\alpha+1=\frac{1}{\cos^2\alpha}}\qquad \boxed{\cot^2\alpha+1=\frac{1}{\sin^2\alpha}}

نمونه: اگر sin⁡α=−45\sin\alpha=-\frac45 در ربع سوم باشد، cos⁡α=−1−1625=−35\cos\alpha=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac35 و در نتیجه tan⁡α=43\tan\alpha=\frac43 — در ربع سوم sin و cos هر دو منفی‌اند اما tan و cot مثبت می‌مانند. برای اثبات اتحادهای مثلثاتی، معمولاً طرف پیچیده‌تر را با تبدیل همه چیز به sin⁡\sin و cos⁡\cos ساده می‌کنند؛ مثلاً sin⁡θtan⁡θ=1cos⁡θ−cos⁡θ\sin\theta\tan\theta=\frac{1}{\cos\theta}-\cos\theta از سادهٔ طرف راست به sin⁡2θcos⁡θ\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} ثابت می‌شود.

زوایای خاص، تناوب و فرمول‌های تکمیلی

زوایای مکمل (90°−α90°-\alpha) سینوس و کسینوس را جابه‌جا می‌کنند: sin⁡(90°−α)=cos⁡α\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha. زوایای منفی نشان می‌دهند sin⁡,tan⁡,cot⁡\sin,\tan,\cot توابع فردند و cos⁡\cos زوج است: sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alpha، cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha. دورهٔ تناوب sin⁡\sin و cos⁡\cos، ۳۶۰° و دورهٔ tan⁡\tan و cot⁡\cot، ۱۸۰° است — با این‌ها زوایای بزرگ ساده می‌شوند: sin⁡750°=sin⁡30°=12\sin750°=\sin30°=\frac12.

فراتر از کتاب اما پرکاربرد در کنکور، فرمول‌های جمع زاویه:

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

که با آن‌ها sin⁡75°=sin⁡(45°+30°)=6+24\sin75°=\sin(45°+30°)=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} محاسبه می‌شود. فرمول‌های دو برابر زاویه هم مکمل همین ابزارند: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha و cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha.

نکات کنکوری: اگر sin⁡θ⋅cos⁡θ>0\sin\theta\cdot\cos\theta>0 باشد، θ\theta در ربع اول یا سوم است. tan⁡θ\tan\theta وقتی تعریف نمی‌شود که cos⁡θ=0\cos\theta=0، یعنی θ=90°+k⋅180°\theta=90°+k\cdot180°. و برای ساده‌سازی سریعِ کسرهای رادیکالی مثل 11+sin⁡θ\frac{1}{1+\sin\theta}، ضرب در مزدوج 1−sin⁡θ1−sin⁡θ\frac{1-\sin\theta}{1-\sin\theta} همیشه راه‌حل استاندارد است.

زوایای مرزی و کاربردهای عملی

روی دایرهٔ مثلثاتی، چهار نقطهٔ مرزی مقادیر خاصی می‌دهند: در 0°0° و 360°360°، P(1,0)P(1,0) پس sin⁡=0,cos⁡=1\sin=0,\cos=1؛ در 90°90°، P(0,1)P(0,1) پس tan⁡\tan تعریف نشده؛ در 180°180°، P(−1,0)P(-1,0)؛ در 270°270°، P(0,−1)P(0,-1) پس cot⁡\cot تعریف نشده. این جدول برای حل سریع معادلات مثلثاتی کاربرد مستقیم دارد.

مثال کاربردی از کتاب: هواپیمایی در ارتفاع ۲ کیلومتر با زاویهٔ فرود ۱۳° نسبت به افق در حال نزول است. فاصلهٔ افقی تا نقطهٔ فرود از رابطهٔ tan⁡13°≈0.23\tan13°\approx0.23 به دست می‌آید: 2d=0.23⇒d≈8.7\frac{2}{d}=0.23 \Rightarrow d\approx8.7 کیلومتر — نمونه‌ای از این‌که تانژانت در مسائل شیب و ارتفاع، مستقیماً کاربرد فیزیکی پیدا می‌کند.

برای اثبات مقادیر ۳۰° و ۶۰°، در مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع ۲ ارتفاع 3\sqrt3 است، از همین‌جا sin⁡30°=12\sin30°=\frac12 و cos⁡30°=32\cos30°=\frac{\sqrt3}{2} به دست می‌آید؛ برای ۴۵°، در مثلث قائمِ متساوی‌الساقین با ساق ۱، وتر 2\sqrt2 می‌شود و sin⁡45°=cos⁡45°=22\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt2}{2}.

زوایای متمم و منعکس

علاوه بر زوایای مکمل، دو دستهٔ دیگر هم در حل سریع مسائل به کار می‌آیند. زوایای متمم (مجموع 180°180°):

sin⁡(180°−α)=sin⁡αcos⁡(180°−α)=−cos⁡α\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha \qquad \cos(180°-\alpha)=-\cos\alpha

و زوایای منعکس (180°+α180°+\alpha):

sin⁡(180°+α)=−sin⁡αcos⁡(180°+α)=−cos⁡α\sin(180°+\alpha)=-\sin\alpha \qquad \cos(180°+\alpha)=-\cos\alpha

نکتهٔ کاربردی: چون tan⁡\tan دورهٔ تناوب 180°180° دارد، tan⁡(180°+α)=tan⁡α\tan(180°+\alpha)=\tan\alpha — یعنی زاویهٔ منعکس، تانژانت را عوض نمی‌کند، برخلاف sin و cos.

نابرابری کمکی (فراتر از کتاب): برای 0<θ<π20<\theta<\frac{\pi}{2} برحسب رادیان: sin⁡θ<θ<tan⁡θ\sin\theta<\theta<\tan\theta، رابطه‌ای که در مباحث حد و تقریب زاویه‌های کوچک به کار می‌رود.

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. نقطهٔ متناظر با زاویهٔ 180∘180^\circ روی دایرهٔ مثلثاتی کدام است؟

  • (0,1)(0,1)
  • (−1,0)(-1,0)
  • (0,−1)(0,-1)
  • (1,0)(1,0)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«(−1,0)(-1,0)» درست است. از نقطهٔ شروع (1,0)(1,0) اگر 180∘180^\circ خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخیم، به سمت چپ محور xx می‌رسیم. پس مختصات نقطه برابر (−1,0)(-1,0) است. تلهٔ تستی: مؤلفهٔ xx نقطهٔ متناظر با cos⁡θ\cos\theta و مؤلفهٔ yy با sin⁡θ\sin\theta متناظر است؛ جابه‌جاییِ این دو، یک ربع را با ربعِ همسایه‌اش اشتباه می‌کند.

2. اگر sin⁡θ=513\sin\theta=\dfrac{5}{13} و θ\theta در ربع دوم باشد، cos⁡θ\cos\theta کدام است؟

  • 512\dfrac{5}{12}
  • 1213\dfrac{12}{13}
  • −1213-\dfrac{12}{13}
  • −512-\dfrac{5}{12}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−1213-\dfrac{12}{13}» درست است. از اتحاد sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 داریم cos⁡2θ=1−25169=144169\cos^2\theta=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}، پس cos⁡θ=±1213\cos\theta=\pm\dfrac{12}{13}. چون زاویه در ربع دوم است، کسینوس منفی می‌شود؛ پس cos⁡θ=−1213\cos\theta=-\dfrac{12}{13}. تلهٔ تستی: علامتِ نسبت‌هایِ مثلثاتی فقط با قاعدهٔ ASTC (ربعِ اول همه، دوم فقط sin⁡\sin، سوم فقط tan⁡\tan، چهارم فقط cos⁡\cos) تعیین می‌شود؛ حدس‌زدنِ علامت بدونِ مراجعه به این قاعده رایج‌ترین خطاست.

3. اگر sin⁡θ=513\sin\theta=\dfrac{5}{13} و θ\theta در ربع دوم باشد، tan⁡θ\tan\theta برابر است با

  • 512\dfrac{5}{12}
  • −125-\dfrac{12}{5}
  • 125\dfrac{12}{5}
  • −512-\dfrac{5}{12}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−512-\dfrac{5}{12}» درست است. در ربعِ دوم cos⁡θ<0\cos\theta<0، پس از اتحادِ اصلی cos⁡θ=−1−25/169=−1213\cos\theta=-\sqrt{1-25/169}=-\dfrac{12}{13}. بنابراین tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=5/13−12/13=−512\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{5/13}{-12/13}=-\dfrac{5}{12}. «512\dfrac{5}{12}» رد می‌شود چون علامتِ منفیِ cos⁡θ\cos\theta در ربعِ دوم نادیده گرفته شده. «−125-\dfrac{12}{5}» و «125\dfrac{12}{5}» رد می‌شوند چون کسر معکوس محاسبه شده. تلهٔ تستی: علامتِ نسبت‌هایِ مثلثاتی فقط با قاعدهٔ ASTC (ربعِ اول همه، دوم فقط sin⁡\sin، سوم فقط tan⁡\tan، چهارم فقط cos⁡\cos) تعیین می‌شود؛ حدس‌زدنِ علامت بدونِ مراجعه به این قاعده رایج‌ترین خطاست.

4. کدام گزینه همواره برابر sec⁡2θ\sec^2\theta است؟

  • 1+tan⁡2θ1+\tan^2\theta
  • 1+cot⁡2θ1+\cot^2\theta
  • sin⁡2θ+1\sin^2\theta+1
  • 1−tan⁡2θ1-\tan^2\theta

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«1+tan⁡2θ1+\tan^2\theta» درست است. از تقسیم اتحاد اصلی بر cos⁡2θ\cos^2\theta نتیجه می‌گیریم tan⁡2θ+1=sec⁡2θ\tan^2\theta+1=\sec^2\theta. گزینهٔ 1+cot⁡2θ1+\cot^2\theta برابر csc⁡2θ\csc^2\theta است، نه سکانت مربع. تلهٔ تستی: فرمول‌هایِ cos⁡2θ\cos2\theta سه شکلِ هم‌ارز دارند (cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^2\theta-\sin^2\theta، 1−2sin⁡2θ1-2\sin^2\theta، 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta-1)؛ انتخابِ شکلِ نامناسب با اطلاعاتِ داده‌شده باعثِ محاسباتِ اضافی یا خطا می‌شود.

5. اگر cot⁡θ=−2\cot\theta=-2 و θ\theta در ربع دوم باشد، sin⁡θ\sin\theta کدام است؟

  • 25\dfrac{2}{\sqrt5}
  • −15-\dfrac{1}{\sqrt5}
  • −25-\dfrac{2}{\sqrt5}
  • 15\dfrac{1}{\sqrt5}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«15\dfrac{1}{\sqrt5}» درست است. از cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=−2\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=-2 می‌فهمیم قدرمطلق کسینوس دو برابر قدرمطلق سینوس است. اگر sin⁡θ=y\sin\theta=y و cos⁡θ=−2y\cos\theta=-2y، از y2+4y2=1y^2+4y^2=1 داریم 5y2=15y^2=1، پس y=±15y=\pm\dfrac1{\sqrt5}. چون ربع دوم است، سینوس مثبت می‌شود؛ بنابراین sin⁡θ=15\sin\theta=\dfrac1{\sqrt5}. تلهٔ تستی: علامتِ نسبت‌هایِ مثلثاتی فقط با قاعدهٔ ASTC (ربعِ اول همه، دوم فقط sin⁡\sin، سوم فقط tan⁡\tan، چهارم فقط cos⁡\cos) تعیین می‌شود؛ حدس‌زدنِ علامت بدونِ مراجعه به این قاعده رایج‌ترین خطاست.

6. اگر cot⁡θ=−2\cot\theta=-2 و θ\theta در ربع دوم باشد، cos⁡θ\cos\theta کدام است؟

  • 25\dfrac{2}{\sqrt5}
  • −15-\dfrac{1}{\sqrt5}
  • 15\dfrac{1}{\sqrt5}
  • −25-\dfrac{2}{\sqrt5}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−25-\dfrac{2}{\sqrt5}» درست است. چون cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=−2\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=-2، داریم cos⁡θ=−2sin⁡θ\cos\theta=-2\sin\theta. با جای‌گذاری در اتحادِ اصلی: sin⁡2θ+4sin⁡2θ=1⇒sin⁡θ=15\sin^2\theta+4\sin^2\theta=1\Rightarrow\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt5} (مثبت، چون در ربعِ دوم sin⁡θ>0\sin\theta>0)، پس cos⁡θ=−2×15=−25\cos\theta=-2\times\dfrac{1}{\sqrt5}=-\dfrac{2}{\sqrt5}. «25\dfrac{2}{\sqrt5}» رد می‌شود چون علامتِ منفیِ ربعِ دوم نادیده گرفته شده. «−15-\dfrac{1}{\sqrt5}» و «15\dfrac{1}{\sqrt5}» رد می‌شوند چون به‌جایِ cos⁡θ\cos\theta، مقدارِ sin⁡θ\sin\theta گرفته شده. تلهٔ تستی: از cot⁡θ\cot\theta می‌توان مستقیماً نسبتِ cos⁡θ=−2sin⁡θ\cos\theta=-2\sin\theta را ساخت و در اتحادِ اصلی جای‌گذاری کرد؛ نیازی به محاسبهٔ جداگانهٔ زاویه نیست.

7. اگر معادلهٔ خط y=−3x+5y=-\sqrt3x+5 باشد، زاویهٔ آن با محور xx در بازهٔ 0∘0^\circ تا 180∘180^\circ کدام است؟

  • 60∘60^\circ
  • 120∘120^\circ
  • 150∘150^\circ
  • 30∘30^\circ

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«120∘120^\circ» درست است. شیب خط m=−3m=-\sqrt3 است و باید زاویه‌ای در بازهٔ 0∘0^\circ تا 180∘180^\circ بیابیم که تانژانتش −3-\sqrt3 باشد. چون tan⁡120∘=−3\tan120^\circ=-\sqrt3، زاویهٔ مورد نظر 120∘120^\circ است؛ 60∘60^\circ تانژانت مثبت دارد. تلهٔ تستی: وقتی زاویهٔ داخلِ تابع ضریبی مثلِ 22 یا 33 دارد، بازهٔ آن زاویه هم به همان نسبت گسترش می‌یابد (مثلاً [0∘,360∘)[0^\circ,360^\circ) برایِ 2x2x به [0∘,720∘)[0^\circ,720^\circ) تبدیل می‌شود)؛ فراموش‌کردنِ این گسترش نیمی از جواب‌ها را حذف می‌کند.

8. اگر tan⁡θ=−3\tan\theta=-\sqrt3 و θ\theta در بازهٔ 0∘0^\circ تا 180∘180^\circ باشد، θ\theta برابر است با

  • 150∘150^\circ
  • 30∘30^\circ
  • 60∘60^\circ
  • 120∘120^\circ

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«120∘120^\circ» درست است. در این بازه، تانژانت منفی فقط در ربع دوم است. زاویهٔ مرجع برای مقدار 3\sqrt3 برابر 60∘60^\circ است، پس زاویهٔ اصلی 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circ می‌شود. تلهٔ تستی: وقتی زاویهٔ داخلِ تابع ضریبی مثلِ 22 یا 33 دارد، بازهٔ آن زاویه هم به همان نسبت گسترش می‌یابد (مثلاً [0∘,360∘)[0^\circ,360^\circ) برایِ 2x2x به [0∘,720∘)[0^\circ,720^\circ) تبدیل می‌شود)؛ فراموش‌کردنِ این گسترش نیمی از جواب‌ها را حذف می‌کند.

9. اگر sin⁡75∘\sin75^\circ را با فرمول جمع زوایا محاسبه کنیم، کدام گزینه درست است؟

  • 6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}
  • 3+12\dfrac{\sqrt3+1}{2}
  • 3−12\dfrac{\sqrt3-1}{2}
  • 6−24\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}» درست است. داریم sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ. با جایگذاری مقادیر خاص به 22⋅32+22⋅12=6+24\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} می‌رسیم. تلهٔ تستی: در فرمولِ sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) علامتِ بینِ دو جمله همیشه مثبت است، اما در cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) همیشه منفی؛ خلطِ این دو فرمول با هم رایج‌ترین خطاست.

10. کدام گزینه برابر cos⁡15∘\cos15^\circ است؟

  • 32\dfrac{\sqrt3}{2}
  • 22\dfrac{\sqrt2}{2}
  • 6−24\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}
  • 6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}» درست است. با استفاده از فرمول تفاضل کسینوس داریم cos⁡15∘=cos⁡(45∘−30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=6+24\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. تلهٔ تستی: در فرمولِ sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) علامتِ بینِ دو جمله همیشه مثبت است، اما در cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) همیشه منفی؛ خلطِ این دو فرمول با هم رایج‌ترین خطاست.

مباحث مرتبط

مجموعه، الگو و دنباله(فصل 1 ریاضی 1) (علوم تجربی)توان های گویا و عبارت های جبری (فصل 3 ریاضی 1) (علوم تجربی)معادله ها و نامعادله ها (فصل 4 ریاضی 1) (علوم تجربی)تابع (فصل 5 ریاضی 1) (علوم تجربی)شمارش، بدون شمردن (فصل 6 ریاضی 1) (علوم تجربی)آمار و احتمال (فصل 7 ریاضی 1) (علوم تجربی)هندسه تحلیلی و جبر (فصل 1 ریاضی 2) (علوم تجربی)هندسه (فصل 2 ریاضی 2) (علوم تجربی)تابع (فصل 3 ریاضی 2)(علوم تجربی)مثلثات (فصل 4 ریاضی 2) (علوم تجربی)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان